2015年湖南省衡阳市中考数学试题及解析

2015 年衡阳市初中毕业学业水平考试一试卷数学考生注意： 1．本学科试卷共三道大题，满分120 分，考试时量 120 分钟。

2．本试卷的作答一律答在答题卡上，选择题用2B 铅笔按涂写要求将你以为正确的选项涂黑；非选择题用黑色墨水署名笔作答，作答不可以高出黑色矩形边框。

直接在试题卷上作答无效。

一、选择题（本大题共12 个小题，每题3 分，满分 36 分。

在每题给出的四个选项中只有一项为哪一项切合题目要求的。

）D 】01．计算12 的结果是【A ．3B ．1C．1D．302．以下计算正确的选项是【 A 】2A ．a a 2a B．b3gb32b3C．a3 a a3D．a57a 03．以下左图的几何体是由一个圆柱体和一个长方体构成的，则这个几何体的俯视图是【C】A．B．1C． D ．04．若分式x2的值为 0 ，则x的值为【C】x1A．2或1B．0C．2D．105．函数y x1中自变量 x 的取值范围为【B】A ．x≥0B ．x≥1C．x＞1 D ．x≥1≥206．不等式组B＜的解集在数轴上表示为【】x1A ．B．C． D ．07．若等腰三角形的两边长分别为 5 和 6 ，则这个等腰三角形的周长为【 D 】A ．11B．16C．17D．16或1708．若对于x的方程x23x a0 有一个根为1，则另一个根为【A】A ．2B ．2C．4D．309．以下命题是真命题的是【A】A ．对角线相互均分的四边形是平行四边形B ．对角线相等的四边形是矩形C．对角线相互垂直的四边形是菱形D．对角线相互垂直均分的四边形是正方形10．在今年全国助残日捐钱活动中，某班级第一小组七名同学踊跃捐出自己的零花费，奉献自己的爱心。

他们捐钱的数额分别是50、20、50、30、25、50、55 （单位：元），这组数据的众数和中位数分别是A．50元，30元B．50元，40元C．50元，50元D．55元，50元【 C】11．绿苑小区在规划设计时准备在两栋楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地且长比宽多10米，设绿地的宽为x 米，依据题意，可列方程为【B】A ．x x 10900B．x x 10 900C．10 x 10900D．2 x x10900 12．如图，为了测得电视塔的高度AB ，在 D 处用高为 1米的测角仪CD 测得电视塔顶端 A 的仰角为30o，再向电视塔方向行进100米抵达 F处又测得电视塔顶端 A 的仰角为60o，则这个电视塔的高度AB为【 C】A．50 3米B．51米C．503 1 米D．101米二、填空题（本大题共 8 个小题，每题 3 分，满分24 分。

2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案写在下面的表格内）1．下列各式中，①，②，③，④，其中分式有（）个．A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个2．点（﹣2，3）在（）A． x轴上 B．第四象限内 C．第三象限内 D．第二象限内3．若点A（﹣3，a）与点B（b，4）关于原点成中心对称，则a﹣b的值是（）A．﹣4 B．﹣1 C．﹣7 D．﹣34．如果把中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（）A．不变 B．扩大10倍 C．缩小10倍 D．扩大20倍5．下面哪个点在函数y=﹣2x+3的图象上（）A．（﹣5，﹣7） B．（0.5，2） C．（3，0） D．（1，﹣5）6．如果直线y=kx+b经过一、二、四象限，则有（）A． k＞0，b＞0 B． k＞0，b＜0 C． k＜0，b＞0 D． k＜0，b＜07．若反比例函数y=的图象经过点（3，﹣2），那么这个函数的表达式为（）A． y=﹣6x B． y=﹣C． y=6x D． y=8．若y=（m﹣1）x|m|﹣2是反比例函数，则m的值为（）A． m=2 B． m=﹣1 C． m=1 D． m=09．设m+n=mn，则的值是（）A．B． 0 C． 1 D．﹣110．函数y1=kx+k，y2=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．11．下列函数中，y随x的增大而减小的有（）①y=﹣2x+1；②y=﹣x；③x=；④y=．A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个12．小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（）A． 12分钟 B． 15分钟 C． 25分钟 D． 27分钟二、填空题（每小题3分，共24分）13．当x= 时，分式的值等于0．14．约分：= ．15．函数y=中自变量x的取值范围是．16．用科学记数法表示：﹣0.000000038= ．17．若方程=+2有增根，则m= ．18．函数y=﹣2x﹣4的图象与x轴的交点A坐标为，与y轴的交点B坐标为，直线与坐标轴围成的△AOB的面积为．19．已知点A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（3，c）都在反比例函数y=（m为常数，m＜0）上，则a，b，c的大小关系为．20．反比例函数y=在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P，如果△MOP的面积为3，那么k的值是．三、计算题（共7题，共60分）21．（12分）（2015春•衡阳县期中）计算：（1）（）0+（﹣）﹣1+（﹣2）2（2）+（3）﹣x．22．解方程：（1）（2）．23．已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）．（1）求y与x的函数关系式；（2）当x=﹣6时，求对应的函数值y；（3）当x取何值时，y=．24．列方程解应用题：从A地到B地的路程是450千米，C地到B地的路程为400千米，甲、乙两汽车分别从A，C两地沿同一条高速公路到达B地，乙车的速度比甲车慢10千米/小时，结果两车同时到达B地，求两车的速度．25．先化简代数式：，然后选取一个使原式有意义的x的值代入求值．26．（10分）（2008•安顺）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣4，2）、B（2，n）两点，且与x轴交于点C．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象写出一次函数的值＜反比例函数的值x的取值范围．27．（10分）（2015春•衡阳县期中）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，已知一盏A型台灯进价为30元，售价为45元，一盏B型台灯进价为50元，售价为70元，则：（1）若商场预计进货款为3500元，问：这两种台灯各购进了多少盏？（2）若商场规定B型台灯进货数量不超过A型台灯的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完了这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案写在下面的表格内）1．下列各式中，①，②，③，④，其中分式有（）个．A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个考点：分式的定义．分析：根据分式的定义对各小题进行逐一分析即可．解答：解：①的分母中含有未知数，是分式；②的分母中不含有未知数，是整式；③的分母中含有未知数，是分式；④的分母中含有未知数，是分式．故选C．点评：本题考查的是分式的定义，熟知一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式是解答此题的关键．2．点（﹣2，3）在（）A． x轴上 B．第四象限内 C．第三象限内 D．第二象限内考点：点的坐标．分析：根据四个象限内点的坐标符号可判定已知点所在象限．解答：解：点P（﹣2，3）在第二象限．故选：D．点评：此题主要考查了点的坐标，关键是掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．3．若点A（﹣3，a）与点B（b，4）关于原点成中心对称，则a﹣b的值是（）A．﹣4 B．﹣1 C．﹣7 D．﹣3考点：关于原点对称的点的坐标．分析：直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．解答：解：∵点A（﹣3，a）与点B（b，4）关于原点成中心对称，∴b=3，a=﹣4，∴a﹣b=﹣4﹣3=﹣7．故选：C．点评：此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．4．如果把中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（）A．不变 B．扩大10倍 C．缩小10倍 D．扩大20倍考点：分式的基本性质．分析：根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，可得答案．解答：解：=，故选：A．点评：本题考查了分式的性质，熟记分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变是解题的关键．5．下面哪个点在函数y=﹣2x+3的图象上（）A．（﹣5，﹣7） B．（0.5，2） C．（3，0） D．（1，﹣5）考点：一次函数图象上点的坐标特征．分析：分别将各个点的值代入函数中满足的即在图象上．解答：解：当x=﹣5时，y=13，（﹣5，﹣7）不在函数y=﹣2x+3的图象上；当x=0.5时，y=2，（0.5，2）在函数y=﹣2x+3的图象上；当x=3时，y=﹣3，（3，0）不在函数y=﹣2x+3的图象上；当x=1时，y=﹣7，（1，﹣5）不在函数y=﹣2x+3的图象上；故选B点评：本题考查一次函数问题，关键是根据在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．6．如果直线y=kx+b经过一、二、四象限，则有（）A． k＞0，b＞0 B． k＞0，b＜0 C． k＜0，b＞0 D． k＜0，b＜0考点：一次函数图象与系数的关系．分析：根据一次函数y=kx+b图象在坐标平面内的位置关系先确定k，b的取值范围，从而求解．解答：解：由一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，又由k＜0时，直线必经过二、四象限，故知k＜0．再由图象过一、二象限，即直线与y轴正半轴相交，所以b＞0．故选C．点评：本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y =kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．7．若反比例函数y=的图象经过点（3，﹣2），那么这个函数的表达式为（）A． y=﹣6x B． y=﹣C． y=6x D． y=考点：待定系数法求反比例函数解析式．分析：直接把点（3，﹣2）代入y=计算出m的值即可．解答：解：把点（3，﹣2）代入y=，得m=3×（﹣2）=﹣6，所以反比例函数解析式为y=﹣．故选B．点评：本题考查了待定系数法求反比例函数解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．8．若y=（m﹣1）x|m|﹣2是反比例函数，则m的值为（）A． m=2 B． m=﹣1 C． m=1 D． m=0考点：反比例函数的定义．分析：根据反比例函数的定义得到：|m|﹣2=﹣1且m﹣1≠0，由此求出m的值．解答：解：依题意得：|m|﹣2=﹣1且m﹣1≠0，解得m=﹣1．故选：B．点评：本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y=kx﹣1（k≠0）的形式．9．设m+n=mn，则的值是（）A．B． 0 C． 1 D．﹣1考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，将已知等式代入计算即可求出值．解答：解：∵m+n=mn，∴原式==1，故选C点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．函数y1=kx+k，y2=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．专题：数形结合．分析：根据反比例函数的比例系数可得经过的象限，一次函数的比例系数和常数项可得一次函数图象经过的象限．解答：解：若k＞0时，反比例函数图象经过一、三象限；一次函数图象经过一、二、三象限，所给各选项没有此种图形；若k＜0时，反比例函数经过二、四象限；一次函数经过二、三、四象限，故选：C．点评：考查反比例函数和一次函数图象的性质；若反比例函数的比例系数大于0，图象过一三象限；若小于0则过二四象限；若一次函数的比例系数大于0，常数项大于0，图象过一二三象限；若一次函数的比例系数小于0，常数项小于0，图象过二三四象限．11．下列函数中，y随x的增大而减小的有（）①y=﹣2x+1；②y=﹣x；③x=；④y=．A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个考点：反比例函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质．分析：根据一次函数的性质可得①y随x的增大而减小，根据正比例函数的性质可得②y随x的增大而减小；根据反比例函数的性质可得③y随x的增大而增大，④1y随x的增大而减小．解答：解：①y=﹣2x+1y随x的增大而减小；②y=﹣xy随x的增大而减小；③x=y随x的增大而增大；④y=y随x的增大而减小．故选：C．点评：此题主要考查了正比例函数、一次函数和反比例函数的性质，关键是掌握一次函数y=kx+b （k、b为常数，k≠0）k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．反比例函数y=，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．12．小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（）A． 12分钟 B． 15分钟 C． 25分钟 D． 27分钟考点：一次函数的应用．专题：压轴题；数形结合．分析：依据图象分别求出平路、上坡路和下坡路的速度，然后根据路程，求出时间即可．解答：解：先算出平路、上坡路和下坡路的速度分别为、和（千米/分），所以他从单位到家门口需要的时间是（分钟）．故选：B．点评：本题通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力．二、填空题（每小题3分，共24分）13．当x= ﹣3 时，分式的值等于0．考点：分式的值为零的条件．分析：根据分式的值为零的条件，分子等于0，分母不等于0，列式计算即可得解．解答：解：根据题意得，x+3=0且x﹣1≠0，解得x=﹣3且x≠1，所以，当x=﹣3时，分式的值等于0．故答案为：﹣3．点评：本题考查了分式的值为零的条件，（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．14．约分：= ．考点：约分．分析：将分式的分子与分母的公因式约去，即可求解．解答：解：=．故答案为．点评：本题考查了约分的定义及方法．约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．15．函数y=中自变量x的取值范围是x＞2 ．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得，x﹣2＞0，解得x＞2．故答案为：x＞2．点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．16．用科学记数法表示：﹣0.000000038= ﹣3.8×10﹣8．考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：﹣0.000000038=﹣3.8×10﹣8，故答案是﹣3.8×10﹣8．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．17．若方程=+2有增根，则m= ﹣2 ．考点：分式方程的增根．专题：计算题．分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x ﹣1=0，所以增根是x=1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．解答：解：方程两边都乘（x﹣1），得x﹣3=m+2（x﹣1），∵方程有增根，∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1，把x=1代入整式方程，得m=﹣2．点评：解决增根问题的步骤：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．18．函数y=﹣2x﹣4的图象与x轴的交点A坐标为（﹣2，0），与y轴的交点B坐标为（0，﹣4），直线与坐标轴围成的△AOB的面积为 4 ．考点：一次函数图象上点的坐标特征．分析：先令y=0求出x的值，再令x=0求出y的值即可得出A、B两点的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可．解答：解：令y=0，则x=﹣2；令x=0，则y=﹣4，∴A（﹣2，0）、B（0，﹣4），∴OA=2，OB=4，∴S△AOB=OA•OB=×2×4=4．故答案为：（﹣2，0）、（0，﹣4），4点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．19．已知点A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（3，c）都在反比例函数y=（m为常数，m＜0）上，则a，b，c的大小关系为c＜a＜b ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：先根据反比例函数中m＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．解答：解：∵反比例函数y=中m＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．∵﹣2＜﹣1＜0，∴A（﹣3，a），B（﹣1，b）位于第二象限，且0＜a＜b．∵3＞0，∴点C（3，c）位于第四象限，∴c＜0，∴c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，解题时，利用了反比例函数图象的增减性，减少了繁琐的计算过程．20．反比例函数y=在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P，如果△MOP的面积为3，那么k的值是 6 ．考点：反比例函数系数k的几何意义．分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．解答：解：由题意得：S△MOP=|k|=3，k=±6，又∵函数图象在一象限，∴k=6．故答案是：6．点评：主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．三、计算题（共7题，共60分）21．（12分）（2015春•衡阳县期中）计算：（1）（）0+（﹣）﹣1+（﹣2）2（2）+（3）﹣x．考点：分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及乘方的意义计算即可得到结果；（2）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；（3）原式第一项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．解答：解：（1）原式=1﹣2+4=3；（2）原式=﹣==；（3）原式=•﹣x=x﹣x=0．点评：此题考查了分式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．解方程：（1）（2）．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：（1）去分母得：3x﹣9=2x﹣4，解得：x=5，经检验x=5是分式方程的解；（2）去分母得：4x﹣4﹣2x+x2=x2﹣x，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．23．已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）．（1）求y与x的函数关系式；（2）当x=﹣6时，求对应的函数值y；（3）当x取何值时，y=．考点：待定系数法求正比例函数解析式．分析：（1）设正比例函数解析式为y=kx，把点的坐标代入计算即可得解；（2）把x=﹣6代入解析式解答即可；（3）把y=代入解析式解答即可．解答：解：（1）设正比例函数解析式为y=kx，∵图象经过点（﹣3，6），∴﹣3k=6，解得k=﹣2，所以，此函数的关系式是y=﹣2x；（2）把x=﹣6代入解析式可得：y=12；（3）把y=代入解析式可得：x=﹣．点评：本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，是求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握．24．列方程解应用题：从A地到B地的路程是450千米，C地到B地的路程为400千米，甲、乙两汽车分别从A，C两地沿同一条高速公路到达B地，乙车的速度比甲车慢10千米/小时，结果两车同时到达B地，求两车的速度．考点：分式方程的应用．分析：设甲车的速度为x千米/小时，乙车的速度为（x﹣10）千米/小时，根据题意可得，甲行驶4 50千米所用的时间等于乙行驶400千米所用的时间，据此列方程求解．解答：解：设甲车的速度为x千米/小时，乙车的速度为（x﹣10）千米/小时，由题意得，=，解得：x=90，经检验：x=90是原分式方程的解，且符合题意，则x﹣10=80．答：甲车的速度为90千米/小时，乙车的速度为80千米/小时．本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．25．先化简代数式：，然后选取一个使原式有意义的x的值代入求值．考点：分式的化简求值．专题：开放型．分析：先算小括号里的，小括号里面的先对第二项的分母分解因式，然后找出两项分母的最简公因式（x﹣1）（x+1），对小括号里的第一项的分子分母都乘以x﹣1，第二项不变，然后根据同分母相加减的法则，分母不变．只把分子相加减，再把除法统一成乘法，约分化为最简．注意化简后，代入的数不能使分母的值为0．解答：解：=（2分）=（4分）=x2+1；（15分）当x=0时，原式的值为1．（6分）说明：只要x≠±1，且代入求值正确，均可记满分（6分）．点评：分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，是有理式恒等变形的重要内容之一．在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．注意化简后，代入的数不能使分母的值为0．26．（10分）（2008•安顺）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣4，2）、B（2，n）两点，且与x轴交于点C．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象写出一次函数的值＜反比例函数的值x的取值范围．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：压轴题；数形结合；待定系数法．分析：（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式为y=，再求出B的坐标是（2，﹣4），利用待定系数法求一次函数的解析式；（2）把△AOB的面积分成两个部分求解S△AOB=×2×4+×2×2=6；（3）当一次函数的值＜反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值＜反比例函数的值x的取值范围﹣4＜x＜0或x＞2．解答：解：（1）设反比例函数的解析式为y=，因为经过A（﹣4，2），∴k=﹣8，∴反比例函数的解析式为y=．因为B（2，n）在y=上，∴n==﹣4，∴B的坐标是（2，﹣4）把A（﹣4，2）、B（2，﹣4）代入y=ax+b，得，解得：，∴y=﹣x﹣2；（2）y=﹣x﹣2中，当y=0时，x=﹣2；∴直线y=﹣x﹣2和x轴交点是C（﹣2，0），∴OC=2∴S△AOB=×2×4+×2×2=6；（3）﹣4＜x＜0或x＞2．点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．27．（10分）（2015春•衡阳县期中）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，已知一盏A型台灯进价为30元，售价为45元，一盏B型台灯进价为50元，售价为70元，则：（1）若商场预计进货款为3500元，问：这两种台灯各购进了多少盏？（2）若商场规定B型台灯进货数量不超过A型台灯的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完了这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．分析：（1）设商场应购进A型台灯x盏，表示出B型台灯为y盏，然后根据“A，B两种新型节能台灯共100盏”、“进货款=A型台灯的进货款+B型台灯的进货款”列出方程组求解即可；（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值解答：解：（1）设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为y盏，根据题意得，，解得，答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，则y=（45﹣30）x+（70﹣50）（100﹣x），=15x+2000﹣20x，=﹣5x+2000，即y=﹣5x+2000，∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，∴100﹣x≤3x，∴x≥25，∵k=﹣5＜0，y随x的增大而减小，∴x=25时，y取得最大值，为﹣5×25+2000=1875（元）答：商场购进A型台灯25盏，B型台灯75盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875元．点评：本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性，（2）题中理清题目数量关系并列式求出x的取值范围是解题的关键．。

数学试卷 第1页（共30页） 数学试卷 第2页（共30页）绝密★启用前湖南省衡阳市2015年初中毕业学业水平考试数 学本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.计算0(1)2-+-的结果是( ) A .3-B .1C .1-D .3 2.下列计算正确的是( )A .2a a a +=B .3332b b b =C .33a a a ÷=D .527()a a =3.如图的几何体是由一个圆柱体和一个长方体组成的,则这个几何体的俯视图是( )AB C D 4.若分式21x x -+的值为0,则x 的值为( ) A .2或B .0C .2D .1- 5.函数y =中自变量x 的取值范围为( ) A .0x ≥B .1x -≥C .1x -＞D .1x ≥ 6.不等式组21x x ⎩-⎧⎨≥＜,的解集在数轴上表示为( )ABCD7.已知等腰三角形的两边长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为( ) A .11B .16C .17D .1617或 8.若关于x 的方程230x x a ++=有一个根为1-,则另一个根为( )A .2-B .2C .4D .3- 9.下列命题是真命题的是( )A .对角线互相平分的四边形是平行四边形B .对角线相等的四边形是矩形C .对角线互相垂直的四边形是菱形D .对角线互相垂直平分的四边形是正方形10.在2015年“全国助残日”捐款活动中,某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱,奉献自己的爱心.他们捐款的数额分别是(单位：元)50,20,50,30,25,50,55,这组数据的众数和中位数分别是( ) A .50元,30元 B .50元,40元 C .50元,50元D .55元,50元11.绿苑小区在规划设计时,准备在两幢楼房之间,设置一块面积为900平方米的矩形绿 地,并且长比宽多10米,设绿地的宽为x 米,根据题意,可列方程为( )A .(10)900x x -=B .(10)900x x +=C .10(10)900x +=D .[]2(10)900x x +-=12.如图,为了测得电视塔的高度AB ,在D 处用高为1米的测 角仪CD ,测得电视塔顶端A的仰角为30,再向电视塔方向前进100米达到F 处,又测得电视塔顶端A 的仰角为60,则这个电视塔的高度AB (单位：米)为( )毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ _____________________________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共30页） 数学试卷 第4页（共30页）A. B .51 C.1D .101第Ⅱ卷(非选择题 共84分)二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.把答案填写在题中的横线上) 13.在1-,0,2-这三个数中,最小的数是 .14.如图,已知直线a b ∥,1120=∠,则2∠的度数是 .15..16.方程13=2x x -的解为 .17.圆心角为120的扇形的半径为3,则这个扇形的面积为 (结果保留π). 18.如图,小明为了测量学校里一池塘的宽度AB ,选取可以直达A ,B 两点的点O 处,再分别取OA ,OB 的中点M ,N ,量得20m MN =,则池塘的宽度AB 为 m .19.已知3a b +=,1a b -=-,则22a b -的值为 .20.如图,112A B A △,223A B A △,334A B A △,…,1n n n A B A +△都是等腰直角三角形,其中点1A 2A ,…,n A 在x 轴上,点1B ,2B ,…,n B 在直线y x =上.已知11OA =,则2015OA 的长为 .三、解答题(本大题共8小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)21.(本小题满分6分)先化简,再求值：2(2)()a a b a b -++,其中1,a b =-.22.(本小题满分6分)为了进一步了解义务教育阶段学生的体质健康状况,教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质抽测,体质抽测的结果分为四个等级：优秀、良好、合格、不合格；根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图,请你根据统计图提供的信息回答以下问题：(1)在扇形统计图中,“合格”的百分比为 ；(2)本次体质抽测中,抽测结果为“不合格”等级的学生有 人；(3)若该校九年级有400名学生,估计该校九年级体质为“不合格”等级的学生约有 人. 23.(本小题满分6分)如图,在平面直角坐标系中,ABC △的三个顶点坐标分别为(3,2),B(3,5),C(1,2)A . (1)在平面直角坐标系中画出ABC △关于x 轴对称的111A B C △；(2)把ABC △绕点A 顺时针旋转一定的角度,得图中的22AB C △,点2C 在AB 上.①旋转角为多少度？数学试卷 第5页（共30页） 数学试卷 第6页（共30页）②写出点2B 的坐标.24.(本小题满分6分)某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动,现准备从4名(其中两男两女)节目主持候选人中,随机选取两人担任节目主持人,请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率.25.(本小题满分8分)某药品研究所开发一种抗菌新药.经多年动物实验,首次用于临床人体试验.测得成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升)与服药时间x 小时之间函数关系如图所示(当410x ≤≤时,y 与x 成反比例).(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与x 之间的函数关系式； (2)问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？26.(本小题满分8分)如图,AB 是O 的直径,点,C D 为半圆O 的三等分点,过点C 作CE AD ⊥,交AD 的延长线于点E .(1)求证：CE 是O 的切线；(2)判断四边形AOCD 是否为菱形？并说明理由.27.(本小题满分10分)如图,顶点M 在y 轴上的抛物线与直线1y x =+相交于,A B 两点,且点A 在x 轴上,点B 的横坐标为2,连结,AM BM . (1)求抛物线的函数关系式；(2)判断ABM △的形状,并说明理由；(3)把抛物线与直线y x =的交点称为抛物线的不动点.若将(1)中抛物线平移,使其顶点为,2m m （）,当m 满足什么条件时,平移后的抛物线总有不动点.28.(本小题满分10分)如图,四边形OABC 是边长为4的正方形,点P 为OA 边上任意一点(与点,O A 不重合),连接CP ,过点P 作PM CP ⊥交AB 于点D ,且PM CP =,过点M 作MN OA ∥,交BO 于点N ,连接,ND BM ,设OP t =. (1)求点M 的坐标(用含t 的代数式表示)；(2)试判断线段MN 的长度是否随点P 的位置的变化而改变？并说明理由； (3)当t 为何值时,四边形BNDM 的面积最小.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第7页（共30页）数学试卷 第8页（共30页）湖南省衡阳市2015年初中毕业学业水平考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】原式123=+=。

2015年湖南省衡阳市中考数学模拟试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（3分）下列四个数中最小的是（）A．0 B．﹣2 C．πD．﹣12．（3分）下列计算正确的是（）A．2x﹣x=x B．a3•a2=a6 C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．（a+b）（a﹣b）=a2+b23．（3分）我国第六次人口普查公布全国人口约为137054万，用科学记数法表示是（）A．1.37054×108B．1.37054×109C．1.37054×1010D．0.137054×10104．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠0 B．x＞3 C．x≠3 D．x≥35．（3分）某几何体的三视图如图，则该几何体是（）A．三棱柱B．长方体C．圆柱D．圆锥6．（3分）如图，已知a∥b，∠1=130°，∠2=90°，则∠3=（）A．70°B．100°C．140° D．170°7．（3分）若+（y+2）2=0，则（x+y）2015等于（）A．﹣1 B．1 C．32014 D．﹣320148．（3分）用数轴表示不等式x﹣2＜0的解集正确的是（）A． B．C． D．9．（3分）已知一组数据3，a，4，5的众数为4，则这组数据的平均数为（）A．3 B．4 C．5 D．610．（3分）如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（）A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm11．（3分）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角D．四条边相等12．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）|﹣|=．14．（3分）分解因式：x3﹣2x2y+xy2=．15．（3分）已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过（﹣1，2），则k=．16．（3分）已知圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则这个圆锥的侧面积为cm2．17．（3分）如图所示，A、B、C、D是圆上的点，∠1=68°，∠A=40°．则∠D=度．18．（3分）计算：=．19．（3分）已知a、b可以取﹣2、﹣1、1、2中任意一个值（a≠b），则直线y=ax+b 的图象不经过第四象限的概率是．20．（3分）观察下列顺序排列的等式：a1=1﹣，a2=﹣，a3=﹣，a4=﹣，…．试猜想第n个等式（n为正整数）：a n=．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）计算：（﹣2）2+|﹣|﹣3tan30°+（2015﹣π）0．22．（6分）化简并求值（其中a=﹣1）÷（1+）23．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．24．（6分）以“光盘”为主题的公益活动越来越受到社会的关注．某校为培养学生勤俭节约的习惯，随机抽查了部分学生（态度分为：赞成、无所谓、反对），并将抽查结果绘制成图1和图2（统计图不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共抽查了多少名学生？（2）将图1补充完整；（3）根据抽样调查结果，请你估计该校3000名学生中有多少名学生持反对态度？25．（8分）如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）26．（8分）在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数．（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？27．（10分）如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．（1）求证：PC=PG；（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为5，若点O到BC的距离为时，求弦ED的长．28．（10分）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），与y轴交于点C （0，﹣3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．2015年湖南省衡阳市中考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（3分）下列四个数中最小的是（）A．0 B．﹣2 C．πD．﹣1【分析】根据有理数的大小比较法则比较即可．【解答】解：﹣2＜﹣1＜0＜π，即最小的数是﹣2，故选：B．2．（3分）下列计算正确的是（）A．2x﹣x=x B．a3•a2=a6 C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．（a+b）（a﹣b）=a2+b2【分析】A、原式合并同类项得到结果，即可作出判断；B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；C、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；D、原式利用平方差公式计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=x，正确；B、原式=x5，错误；C、原式=a2﹣2ab+b2，错误；D、原式=a2﹣b2，错误；故选：A．3．（3分）我国第六次人口普查公布全国人口约为137054万，用科学记数法表示是（）A．1.37054×108B．1.37054×109C．1.37054×1010D．0.137054×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：137 054万=1 370 540 000人．将1 370 540 000用科学记数法表示为：1.370 54×109．故选：B．4．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠0 B．x＞3 C．x≠3 D．x≥3【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，解得：x≥3．故选：D．5．（3分）某几何体的三视图如图，则该几何体是（）A．三棱柱B．长方体C．圆柱D．圆锥【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【解答】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．故选：D．6．（3分）如图，已知a∥b，∠1=130°，∠2=90°，则∠3=（）A．70°B．100°C．140° D．170°【分析】延长∠1的边与直线b相交，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：如图，延长∠1的边与直线b相交，∵a∥b，∴∠4=180°﹣∠1=180°﹣130°=50°，由三角形的外角性质，∠3=∠2+∠4=90°+50°=140°．故选：C．7．（3分）若+（y+2）2=0，则（x+y）2015等于（）A．﹣1 B．1 C．32014 D．﹣32014【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：∵+（y+2）2=0，∴x=1，y=﹣2，∴（x+y）2015=（1﹣2）2015=﹣1，故选：A．8．（3分）用数轴表示不等式x﹣2＜0的解集正确的是（）A． B．C． D．【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：移项得，x＜2．在数轴上表示为：．故选：A．9．（3分）已知一组数据3，a，4，5的众数为4，则这组数据的平均数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．依此先求出a，再求这组数据的平均数．【解答】解：数据3，a，4，5的众数为4，即4次数最多；即a=4．则其平均数为（3+4+4+5）÷4=4．故选：B．10．（3分）如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（）A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm【分析】首先根据折叠可得AD=BD，再由△ADC的周长为17cm可以得到AD+DC 的长，利用等量代换可得BC的长．【解答】解：根据折叠可得：AD=BD，∵△ADC的周长为17cm，AC=5cm，∴AD+DC=17﹣5=12（cm），∵AD=BD，∴BD+CD=12cm．故选：C．11．（3分）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角D．四条边相等【分析】根据正方形与菱形的性质即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且平分一组对角；菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分．∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．故选：A．12．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，进而判断①；先根据抛物线的开口向下可知a＜0，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据对称轴在y轴右侧得出b与0的关系，然后根据有理数乘法法则判断②；一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则可转化为ax2+bx+c=m，即可以理解为y=ax2+bx+c和y=m没有交点，即可求出m的取值范围，判断③即可．【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴x=﹣＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正确；③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，∴y=ax2+bx+c和y=m没有交点，由图可得，m＞2，故③正确．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）|﹣|=．【分析】当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a．【解答】解：|﹣|=．故答案为：．14．（3分）分解因式：x3﹣2x2y+xy2=x（x﹣y）2．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：x3﹣2x2y+xy2，=x（x2﹣2xy+y2），=x（x﹣y）2．故答案为：x（x﹣y）2．15．（3分）已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过（﹣1，2），则k=﹣2．【分析】直接把点（﹣1，2）代入反比例函数y=（k≠0）即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过（﹣1，2），∴2=，解得k=﹣2．故答案为：﹣2．16．（3分）已知圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则这个圆锥的侧面积为20πcm2．【分析】利用勾股定理易求得圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：∵圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，∴母线长为5cm，∴圆锥的侧面积为2π×4×5÷2=20πcm2．17．（3分）如图所示，A、B、C、D是圆上的点，∠1=68°，∠A=40°．则∠D=28度．【分析】由于∠B、∠D是同弧所对的圆周角，欲求∠D需先求出∠B的度数；已知了∠1、∠A的度数，根据三角形外角的性质即可求出∠B的度数，由此得解．【解答】解：∵∠A+∠B=∠1，且∠1=68°，∠A=40°，∴∠B=∠1﹣∠A=28°；∴∠D=∠B=28°．18．（3分）计算：=2．【分析】分母不变，直接把分子相加即可．【解答】解：原式===2．故答案为：2．19．（3分）已知a、b可以取﹣2、﹣1、1、2中任意一个值（a≠b），则直线y=ax+b的图象不经过第四象限的概率是．【分析】列表得出所有等可能的结果数，找出a与b都为正数，即为直线y=ax+b 不经过第四象限的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表如下：所有等可能的情况数有12种，其中直线y=ax+b不经过第四象限情况数有2种，则P==．故答案为：．20．（3分）观察下列顺序排列的等式：a1=1﹣，a2=﹣，a3=﹣，a4=﹣，…．试猜想第n个等式（n为正整数）：a n=．【分析】根据题意可知a1=1﹣，a2=﹣，a3=﹣，…故a n=﹣．【解答】解：通过分析数据可知第n个等式a n=﹣．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）计算：（﹣2）2+|﹣|﹣3tan30°+（2015﹣π）0．【分析】本题涉及乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简、零指数幂四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：（﹣2）2+|﹣|﹣3tan30°+（2015﹣π）0=4+﹣3×+1=4+﹣+1=5．22．（6分）化简并求值（其中a=﹣1）÷（1+）【分析】原式括号中两边通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=÷=•=当a=﹣1时，原式=﹣．23．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．【分析】根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可推出∠BAD=∠CAE，从而可利用SAS判定△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质即可证得结论．【解答】证明：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．24．（6分）以“光盘”为主题的公益活动越来越受到社会的关注．某校为培养学生勤俭节约的习惯，随机抽查了部分学生（态度分为：赞成、无所谓、反对），并将抽查结果绘制成图1和图2（统计图不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共抽查了多少名学生？（2）将图1补充完整；（3）根据抽样调查结果，请你估计该校3000名学生中有多少名学生持反对态度？【分析】（1）根据赞成是130人，占65%即可求得总人数；（2）利用总人数减去另外两项的人数，求得反对的人数，从而作出统计图；（3）利用3000乘以持反对态度的比例即可．【解答】解：（1）130÷65%=200名；（2）200﹣130﹣50=20名；（3）3000×=300名．25．（8分）如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）【分析】过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，根据CE=20米，坡度为i=1：，分别求出EF、CF的长度，在Rt△AEH中求出AH，继而可得楼房AB 的高．【解答】解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵i===tan∠ECF，∴∠ECF=30°，∴EF=CE=10米，CF=10米，∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10）米，在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，∴AH=HE=（25+10）米，∴AB=AH+HB=（35+10）米．答：楼房AB的高为（35+10）米．26．（8分）在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数．（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？【分析】（1）设y与x满足的函数关系式为：y=kx+b．，由题意可列出k和b的二元一次方程组，解出k和b的值即可；（2）根据题意：每天获得的利润为：P=（﹣3x+108）（x﹣20），转换为P=﹣3（x ﹣28）2+192，于是求出每天获得的利润P最大时的销售价格．【解答】解：（1）设y与x满足的函数关系式为：y=kx+b．由题意可得：解得答：y与x的函数关系式为：y=﹣3x+108．（2）每天获得的利润为：P=（﹣3x+108）（x﹣20）=﹣3x2+168x﹣2160=﹣3（x ﹣28）2+192．∵a=﹣3＜0，∴当x=28时，利润最大，答：当销售价定为28元时，每天获得的利润最大．27．（10分）如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．（1）求证：PC=PG；（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为5，若点O到BC的距离为时，求弦ED的长．【分析】（1）连结OC，根据切线的性质得OC⊥PC，则∠OCG+∠PCG=90°，由ED ⊥AB得∠B+∠BGF=90°，而∠B=∠OCG，所以∠PCG=∠BGF，根据对顶角相等得∠BGF=∠PGC，于是∠PGC=∠PCG，所以PC=PG；（2）连结OG，由点G是BC的中点，根据垂径定理的推论得OG⊥BC，BG=CG，易证得Rt△BOG∽Rt△BGF，则BG：BF=BO：BG，即BG2=BO•BF，把BG用CG 代换得到CG2=BO•BF；（3）解：连结OE，OG=OG=，在Rt△OBG中，利用勾股定理计算出BG=2，再利用BG2=BO•BF可计算出BF，从而得到OF=1，在Rt△OEF中，根据勾股定理计算出EF=2，由于AB⊥ED，根据垂径定理可得EF=DF，于是有DE=2EF=4．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCG+∠PCG=90°，∵ED⊥AB，∴∠B+∠BGF=90°，∵OB=OC，∴∠B=∠OCG，∴∠PCG=∠BGF，而∠BGF=∠PGC，∴∠PGC=∠PCG，∴PC=PG；（2）解：CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG2=BO•BF．理由如下：连结OG，如图，∵点G是BC的中点，∴OG⊥BC，BG=CG，∴∠OGB=90°，∵∠OBG=∠GBF，∴Rt△BOG∽Rt△BGF，∴BG：BF=BO：BG，∴BG2=BO•BF，∴CG2=BO•BF；（3）解：连结OE，如图，由（2）得OG⊥BC，∴OG=，在Rt△OBG中，OB=5，∴BG==2，由（2）得BG2=BO•BF，∴BF==4，∴OF=1，在Rt△OEF中，EF==2，∵AB⊥ED，∴EF=DF，∴DE=2EF=4．28．（10分）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），与y轴交于点C （0，﹣3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由定点列式计算，从而得到b，c的值而得解析式；（2）由解析式求解得到点A，得到AC，CD，AD的长度，而求证；（3）由（2）得到的结论，进行代入，要使以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形，必须满足的条件是AB平行且等于EF，那么只需将E点的坐标向左或向右平移AB长个单位即可得出F点的坐标，然后将得出的F点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出是否存在符合条件的F点．【解答】解：（1）由题意得，解得：b=2，c=﹣3，则解析式为：y=x2+2x﹣3；（2）由题意结合图形则解析式为：y=x2+2x﹣3，解得x=1或x=﹣3，由题意点A（﹣3，0），∴AC=，CD=，AD=，由AC2+CD2=AD2，所以△ACD为直角三角形；（3）∵A （﹣3，0），B （1，0）， ∴AB=4，∵点E 在抛物线的对称轴上， ∴点E 的横坐标为﹣1，当AB 为平行四边形的一边时，EF=AB=4， ∴F 的横坐标为3或﹣5，把x=3或﹣5分别代入y=x 2+2x ﹣3，得到F 的坐标为（3，12）或（﹣5，12）； 当AB 为平行四边形的对角线时，由平行四边形的对角线互相平分， ∴F 点必在对称轴上，即F 点与D 点重合， ∴F （﹣1，﹣4）．∴所有满足条件的点F 的坐标为（3，12），（﹣5，12），（﹣1，﹣4）．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。