平面问题分为平面应力和平面应变问题

弹性力学重点复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。

2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。

3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。

4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。

与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。

应力及其分量的量纲是L -1MT -2。

5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。

6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。

7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。

8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。

9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。

10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。

11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。

12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。

分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。

13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。

14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。

其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。

15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。

平面应力问题的求解方法
解析法
实验法
通过数学分析的方法，将问题转化为 数学方程进行求解。适用于简单几何 形状和边界条件的问题。
通过实验测试来测量物体的应力分布， 通常需要制作模型并进行加载测试。 适用于无法通过理论分析求解的问题。
有限元法
将物体离散化为有限个小的单元，通 过求解每个单元的平衡方程来得到整 个物体的应力分布。适用于复杂几何 形状和边界条件的问题。
弹性力学的基本方程
描述物体在受力后的应力 与应变之间的关系。
描述物体在受力后发生的 位移和应变关系。
描述物体内部力的平衡关 系03
平面应力问题
平面应力问题的定义
平面应力问题是指在弹性力学中，物 体受到的应力作用在某一平面内，且 在该平面上没有作用力的问题。
平面应力问题通常适用于薄板、薄壳 等二维结构，其中应力分量在某一平 面内变化，而垂直于该平面的方向上 ，应力和应变均为零。
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04
平面应变问题
平面应变问题的定义
平面应变问题是指在弹性力学中，应变和应力都仅发生在某一平面内的现象。在 此情况下，应变和应力分量都与离开平面的距离无关。
平面应变问题通常出现在薄壁结构、板壳结构等二维结构中，其中主要的变形和 应力分布都在一个平面内。
平面应变问题的求解方法
1 2 3
有限元法
通过将问题离散化为有限个小的单元，利用弹性 力学的平衡方程和变形协调方程，求解每个单元 的应力、应变和位移。
跨学科的研究
与其他学科的交叉研究 可能会带来新的思想和 理论。例如，与物理学 、化学、生物学等学科 的交叉可能会为弹性力 学的研究提供新的视角 和思路。
实验与理论的结 合
实验技术的发展将有助 于更好地验证理论的正 确性和实用性。同时， 理论的发展也将为实验 提供更好的指导。因此 ，实验与理论的结合将 是未来研究的一个重要 方向。

平面应力问题和平面应变问题
平面应力和平面应变是力学研究中的一个重要内容，它们主要涉及到应力和应变的表达、状态的判断以及它们之间的联系。

首先，平面应力是指施加在平面上的外力，它以牛顿力/
千克为单位来表示。

应力分为正应力和负应力，当施加的外力为正时，应力也是正的，反之亦然。

应力的大小由施加的外力的大小决定，如果外力越大，应力越大，反之亦然。

其次，平面应变是指在应力作用下物体的形变，它以百分比表示，一般用“δ”表示。

应变可以分为正应变和负应变，正
应变表示物体受力时膨胀，负应变表示物体受力时压缩，应变的大小与应力的大小成正比，如果应力越大，应变也越大，反之亦然。

最后，平面应力和应变之间的关系是对称的，它们的关系可以用应力-应变曲线来表示，一般来说，应力和应变的关系
是线性的，也就是说，如果应力增加一倍，应变也会增加一倍。

总之，平面应力和平面应变是力学研究中的一个重要内容，它们主要涉及到应力和应变的表达、状态的判断以及它们之间的联系。

应力和应变之间的关系可以用应力-应变曲线来表示，一般来说，应力和应变的关系是线性的，应力增加一倍，应变也会增加一倍。

一、填空题【1】弹性体的特征：在外力作用下物体变形，当外力不超过一定限度时，除去外力后变形能完全恢复。

【2】弹性力学的平面问题包括：平面应力问题和平面应变问题；【3】变质岩分类包括片理状岩类（片麻状构造、片状构造、千枚状构造、板状构造）和块状岩类（块状构造）；【4】岩石的密度：岩石单位体积所具有的质量。

【5】岩石的容重：岩石单位体积所具有的重量。

【6】岩石的容重取决于：（1）岩石的矿物成分；（2）孔隙发育程度；（3）含水量【7】岩石强度：是指岩石在外荷载作用下，达到破坏前所能承受的最大应力。

【8】岩石的三轴抗压强度：是指岩石在三围荷载作用下，达到破坏前所能承受的最大压应力。

【9】三轴压缩试验的加载方式（1）真三轴加载；（2）伪三轴加载；【10】岩石的变形有：（1）弹性变形；（2）塑性变形；（3）黏性变形；【10】岩体的结构单元有：（1）结构面（坚硬结构面、软弱结构面）；（2）结构体（块状结构体、板状结构体）；【11】岩体的赋存环境包括：（1）地应力；（2）地下水；（3）地温；【12】根据结构面的成因不同分：（1）原生结构面（2）构造结构面（3）次生结构面【13】流变现象：是指应力-应变曲线与时间因素有关的性质，岩体在变形过程中有时间效应的现象。

【14】岩石的流变包括：（1）蠕变（当应力不变时，变形随时间的延长而增加的现象）；（2）松弛（当变形一定时，应力随时间的延长而减小的现象）；（3）弹性后效（当瞬间加载或卸载时，应变滞后于应力的现象）。

【15】围岩-支护共同作用：是指围岩与支护形成一个共同体，使其两者之间产生相互耦合和相互影响的情况。

【16】马克斯威尔体（本构方程、蠕变方程、松弛方程）和凯尔文体（本构方程、蠕变方程、弹性后效（卸载效应））的相关方程答：马克斯威尔体具有瞬间变形、等速蠕变和松弛的性质；凯尔文体具有弹性后效、稳定蠕变，没有松弛的性质；【17】岩石种类：岩浆岩、变质岩、沉积岩。

岩浆岩：深成岩、浅成岩、喷出岩。

特点
平面应力问题的定义
平面应力问题的基本假设
假设弹性体是连续的，没有空隙或裂缝。
假设弹性体的材料性质在空间中是均匀的，即各向同性。
假设弹性体的材料性质在不同方向上相同。
假设弹性体的变形是微小的，即变形前后的形状和尺寸变化不大。
连续性
均匀性
各向同性
小变形
解析法
01
通过数学公式和定理求解弹性力学问题的精确解。适用于简单形状和边界条件的平面应力问题。
平面问题的定义
02
CHAPTER
平面应力问题
在弹性力学中，平面应力问题是指应变场和应力场在二维平面上变化的问题。这类问题通常涉及到薄板、薄壳等二维结构，其厚度相对于结构的尺寸较小，可以忽略不计。
平面应力问题
平面应力问题具有对称性，即应变和应力在垂直于平面的方向上为零。同时，由于结构厚度较小，平面应力问题通常只考虑平面内的应变和应力分量，忽略垂直于平面的分量。
弹性力学简介
平面问题是指弹性物体在平面内的变形问题，其中物体与平面平行或与平面垂直。
平面应变问题是指物体在平行于平面的方向上发生变形，而垂直于平面的方向上变形较小或忽略不计。
平面问题可以分为平面应变问题和平面应力问题两类。
平面应力问题是指物体在垂直于平面的方向上发生变形，而平行于平面的方向上变形较小或忽略不计。
03
CHAPTER
平面应变问题
平面应变问题
模拟 aword/noun like "bleepileysing前进 on how toilet b. The first time you feel that there is a word-like "bleepilexamples the first time you具有重要的 first time you feel that there is a word's a word-like "bleepilexamples[c. The first time you feel that there is a word's a word-like b. The first time you feel that there is a word's a word's a word-like "bleepilexamples the first time you's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a way toilet's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's

一、20分)(×) 1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置( √ ) 2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元(×) 3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型( √ ) 4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元(×) 5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案(×) 6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析( √ ) 7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好(×) 8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度( √ ) 9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小( √ ) 10 一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。

二、填空(20 分)1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是：平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内；后者受力特点是：垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。

2 ．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量：σx，σy，τxy ，三个独立的应变分量：εx，εy，γxy，但对应的弹性体几何形状前者为薄板，后者为长柱体。

3．位移模式需反映刚体位移，反映常变形，满足单元边界上位移连续。

4 ．单元刚度矩阵的特点有：对称性，奇异性，还可按节点分块。

5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为二维问题处理。

6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。

等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。

7．有限单元法首先求出的解是节点位移，单元应力可由它求得，其计算公式为} = [D][B]6}e 。

1.两种平面问题的根本概念和根本方程；答：弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。

平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。

平面应力问题设有张很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。

由于平板很薄，外力不沿厚度变化，因此在整块板上有：，，剩下平行于XY面的三个应力分量未知。

平面应变问题设有很长的柱体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。

平面问题的根本方程为：平衡方程几何方程物理方程〔弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到〕•平面应力问题的物理方程平面应力问题有•平面应变问题的物理方程平面应变问题有在平面应力问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应变问题的物理方程；在平面应变问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应力问题的物理方程。

2弹性力学中的根本物理量和根本方程；答：根本物理量有：空间弹性力学问题共有15个方程，3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。

其中包括6个应力分量，6个应变分量，3个位移分量。

平面问题共8个方程，2个平衡方程，3个几何方程，3个物理方程，相应3个应力分量，3个应变分量，2个位移分量。

根本方程有：1.平衡方程及应力边界条件：平衡方程：边界条件：2.几何方程及位移边界条件：几何方程：边界条件：3.物理方程:3.有限元中使用的虚功方程。

对于刚体，作用在其上的平衡力系在任意虚位移上的总虚功为0，这就是刚体的平衡条件，或者称为刚体的虚功方程。

对于弹性变形体，其虚位移原理为：在外力作用下处于平衡的弹性体，当给予物体微小的虚位移时，外力的总虚功等于物体的总虚应变能。

设想一处于平衡状态的弹性体发生了任意的虚位移,相应的虚应变为,作用在微元体上的平衡力系有〔X,Y,Z〕和面力。

外力的总虚功为实际的体力和面力在虚位移上所做的功，即：在物体产生微小虚变形过程中，整个弹性体内应力在虚应变上所做的功为总虚应变能，即：其中为弹性体单位体积内的应力在相应的虚应变上做的虚功，由此得到虚功方程：4.节点位移，单元位移及它们的关系。

在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中，有限差分法常用于求解偏微 分方程，特别是对于规则的网格划分，计算效率较高。
有限差分法的精度取决于差分格式的选择和网格的划分，同时需要注意数 值稳定性和计算精度的问题。
边界元法
边界元法是一种基于边界积 分方程的数值分析方法，通 过将微分方程转化为边界积
分方程来求解。
变形特点
应用领域
在平面应力问题中，变形主要发生在作用 面上，而在平面应变问题中，变形可以发 生在整个结构中。
平面应力问题在桥梁、建筑和机械等领域 有广泛应用，而平面应变问题在岩土、地 质和材料等领域有广泛应用。
06
结论与展望
结论总结
平面应力问题和平面应变问题在弹性力学中具有重要地位，它们是描述物体在应力作用下的变形和应 力分布的基础。
弹性模量表示材料在受力作用下的刚度，是衡量材料抵 抗弹性变形能力的重要参数。
剪切模量表示材料在剪切力作用下的刚度，与弹性模量 和泊松比有关。
03
平面应变问题
应变状态分析
平面应变条件
应变分量中，只有$varepsilon_{x}$ 、$varepsilon_{y}$和 $gamma_{xy}$不为零，其余分量为 零。
有限元法在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中广泛 应用，因为它能够处理复杂的几何形状和边界条件，且计 算精度高。
有限元法的实现需要建立离散化的模型、选择合适的单元 类型和求解算法，并进行数值稳定性和误差分析。
有限差分法
有限差分法是一种基于差分原理的数值分析方法，通过将微分方程转化为 差分方程来求解。
薄板弯曲问题
考虑一个矩形薄板，受到一对相距较远的集中力作用，使板发生弯曲。根据平面应力问题，可以分析 板的应力分布、中性面位置以及挠度等。

平面应变问题和平面应力问题的异同点1. 前言在我们讨论材料力学时，平面应变和应力这两个概念就像两个兄弟，性格各异却又密不可分。

想象一下，平面应变就像个爱静的书呆子，而平面应力则是那个热爱社交的朋友。

今天就来聊聊这两个家伙的异同，看看他们在我们生活中是怎么“打交道”的。

2. 平面应变问题2.1 定义与特征首先，平面应变问题指的是在某些条件下，材料在某个平面上的变形情况。

简单来说，就是我们常见的“拉伸”和“压缩”情景。

想象一下，像橡皮泥被捏扁了，表面看起来光滑，但内部却可能发生了复杂的变形。

在这种情况下，材料的某一方向的变形被假设为零，这样我们就能简单地处理问题。

2.2 应用场景说到应用，这平面应变可不简单！它常常出现在一些工程问题中，比如桥梁、隧道建设等，特别是在大规模的结构中。

想象一下，一个大桥的承重结构，所有的力都集中在某个平面上，这时应变问题就浮出水面了。

工程师们可得好好研究这个问题，才能保证桥梁的安全性。

3. 平面应力问题3.1 定义与特征转到平面应力问题，哎呀，这家伙可就热闹多了！它主要讨论在一个平面内的应力状态，简单来说，就是材料受到的各种力作用下的反应。

想象你在拥挤的地铁里被挤来挤去，那种“被压力包围”的感觉就是平面应力的典型表现。

这个时候，虽然我们也考虑了材料的厚度，但更关注的是在某个面上的力的分布。

3.2 应用场景在实际应用中，平面应力同样是不可或缺的。

很多时候，我们在设计零件，比如汽车车身或飞机机翼时，就会用到这个概念。

设计师们可得深思熟虑，确保在高速行驶时，这些材料能承受得住压力，绝不能让人有“毛毛的感觉”。

4. 异同点总结4.1 相似之处好啦，现在我们来看看这两个概念的相似之处。

首先，平面应变和应力都涉及到材料如何在外力作用下变形或反应，都是力学的基础。

其次，它们都为工程师提供了重要的分析工具，帮助他们设计出安全可靠的结构，真是一对“亲密无间”的兄弟。

4.2 不同之处不过，这两者的不同也挺明显的。

跨学科融合
弹性力学与材料科学、计算科学、生物学等学科的交叉融合，为解决 复杂工程问题提供了新的思路和方法。
数值模拟与计算
随着计算机技术的进步，数值模拟和计算在弹性力学领域的应用越来 越广泛，能够更精确地模拟和预测材料的力学行为。
多尺度分析
从微观到宏观的多尺度分析方法，能够更好地理解材料的微观结构和 宏观性能之间的关系。
它们简化了问题的复杂性，使得 弹性力学成为一种实用的工程工 具。
02
基本假设的局限性
03
限制条件的考虑
在某些情况下，这些假设可能不 成立，例如在处理非均匀、非各 项同性或大变形问题时。
在应用弹性力学时，必须考虑这 些限制条件，以确保结果的准确 性和可靠性。
06 弹性力学的发展趋势和未 来研究方向
弹性力学的发展趋势
非线性力学
随着工程结构的复杂性和非线性特征的增加，非线性力学的研究越来 越受到重视，为解决复杂工程问题提供了新的理论和方法。
未来研究方向
新材料和新结构的力学行为
智能材料的力学行为
研究新型材料和复杂结构的力学行为，探 索其性能优化和设计方法。
研究智能材料的响应机制和调控方法，探 索其在传感器、驱动器和自适应结构等领 域的应用。
生物医学中的弹性力学问题
研究生物组织的力学行为和生理功能，探 索其在生物医学工程和再生医学等领域的 应用。
环境与可持续发展的弹性力学问 题
研究环境因素对材料和结构的影响，探索 其在环保和可持续发展等领域的应用。
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材料力学性能的测试
材料弹性模量的测定
通过实验测定材料的弹性模量，可以了解材料的力学性能，为工程设计和材料选择提供依据。

o
xy
x
y
P
yx
y
A
XN
x
设AB面在xy平面内的长度为dS， 厚度为一个单位长度，N为该面的外 法线方向，其方向余弦为：
B
N
N
N
cos(N , x) l , cos(N , y) m
9
YN S
图2 － 4
斜面AB上全应力沿x轴及y轴的投影分别为XN和YN。由PAB 的平衡条件 Fx 0 可得： X N dS xldS yxmdS
2.主应力的方向
1 与 2 互相垂直。
11
§2-4
几何方程、刚体位移
在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。 通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图2-5所示。弹性 体受力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。 一、P点的正应变
u (u dx) u u x x dx x
二、P点的剪应变
线段PA的转角：
同理可得线段PB的转角：
u y
所以
xy
v u x y
13
因此得到平面问题的几何方程：
u x x v y y v u xy x y
由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变 分量即可完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分 量却不能完全确定。
z

E
( x y )
16
二、平面应变问题的物理方程 1 2 x ( x y ) E 1 1 2 y ( y x ) E 1 2(1 ) xy xy E 三、平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式之间的 变换关系 1 ( ) y 将平面应力中的关系式： x E x

y
P
σy τ yx
dx dy ds
x
A XN
的关于坐标轴的方向余弦： 斜面外法线 N 的关于坐标轴的方向余弦：
τ xy
B YN
cos(N, x) = l cos(N, y) = m
由微元体平衡： 由微元体平衡： ∑Fx = 0, σ xdy ×1τ yxdx ×1+ X N ds ×1 = 0
dx = ds m dy = ds l
因为任一横截面均可视为对称面， 因为任一横截面均可视为对称面，则有 平面。 所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。 —— 平面位移问题
w≡ 0
εz ≡ 0 γ zy = γ yz ≡ 0 γ zx = γ xz ≡ 0
εx = εx (x, y) —— 平面应变问题 ε y = ε y (x, y) γ xy = γ yx = γ xy (x, y)
如图所示三种情形，是否都属平面问题？ 如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平 面应力问题还是平面应变问题？ 面应力问题还是平面应变问题？
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
3. 平面问题的求解
问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件， ）、边界条件 问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件， 求： σ x ,σ y ,τ xy
y
τ xy τ N
B
dx dy ds
A XN
σN
s
N
YN
求解得： 求解得：
m σ σ x = l τ yx
τ yx m = l σ σ y
σ x σ y 2 +τ xy 2
2
X N = lσ x + mτ yx YN = mσ y + lτ xy

2
1 2
(1
3)
平面变形时的应力莫尔圆
金属塑性成形原理
平面应力问题与平面应变问题的相同及区别
相同：Z方向不存在切应力。即 τxz 和 τyz 均为零。 区别：见表
Z方向应力分量 Z方向位移分量
正应变分量
平面应力问题
z 0 w0
x
1 E
( x
-
xy
x
y
y
0
金属塑性成形原理
平面应力状态下任意斜微分面上的正应力、切应力和主应力均可从(3-32)、
（3-33）、（3-35）[Page 75]各式中求得。
由于σ3＝0， 所以平面应力状态下的主切应力为
τ
12
1
2
2
(
x
2
y
)2
2 xy
23
2
2
31
1
2
σ2
σ3
2β2
τmax
A(σx ,τxy)
σα
与σ正方向夹角为150 °。
τα 60o 150o
该截面上的正应力和切应力分别为：
120o O
σ
30sin(150) 25.98MPa
30cos(150) 15MPa
y(0,-30)
金属塑性成形原理
2）主应力 max x y
min
2
x
y
2
2
2 x
30 MPa
30
2
0
0
0 0
0
x y
2 0
0
0
x
2
y
纯切应力状态
或
ij
1
0
0
3
0 0

y 面， 面）， n
边长 AB ds, PB lds , PA mds.
2、平面问题中一点的应力状态 x
35
yx yx
y
y y
A
几何参数：
cos(N , x) l ,cos(N , y) m,
xx
xy xy
P P
τN
B py
xy 设AB面面积=ds， PB面积=lds， p σN x PA面积=mds。
z 0, 本题中： zx , zy 0
zx , zy 0.
故只有 ε x , ε y , γ xy ，
ox
z
且仅为 f x, y 。
故为平面应变问题。
y
第二章
平面应力问题和平面应变问题
定义
§2－2
平衡微分方程
平衡微分方程--表示物体内任一点
的微分体的平衡条件。
x
y yz
x xy xz ij = yx y yz zx zy z
x xy xz ij = yx y yz zx zy z
u,,
第二章
平面应力问题和平面应变问题
zx
z xz x
x xy ij = yx y
当 d x, d y 0 时，得切应力互等定理,
xy yx .
(c)
第二章
平面应力问题和平面应变问题
说明
对平衡微分方程的说明：
⑴ 代表A中所有点的平衡条件，
因位（ x ，）∈A； y ⑵ 适用的条件--连续性，小变形； ⑶ 应力不能直接求出； ⑷ 对两类平面问题的方程相同。
第二章

1、简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。

在研究对象方面，材料力学基本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。

在研究方法方面，材料力学研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学推演，但是，得出的解答往往是近似的。

弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。

2、简述弹性力学的研究方法。

答：在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。

即根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。

此外，在弹性体的边界上还要建立边界条件。

在给定面力的边界上，根据边界上微分体的平衡条件，建立应力边界条件；在给定约束的边界上，根据边界上的约束条件建立位移边界条件。

求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。

3、弹性力学中应力如何表示？正负如何规定？答：弹性力学中正应力用表示，并加上一个下标字母，表明这个正应力的作用面与作用方向；切应力用表示，并加上两个下标字母，前一个字母表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表明作用方向沿着哪一个坐标轴。

并规定作用在正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。

相反，作用在负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。

4、简述平面应力问题与平面应变问题的区别。

答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。

对应的应力分量只有，，。

对于平面应力和平面应变问题，若讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件也相同，所得到的解和应力函数均相同。

因此，它们的应力分量σ x，σ y和τ xy也相同，应力分量τ xz和τ yz均等于零，所不同的是z向应力分量 σ z，应变ε z和位移分量w。

下表列出了两种平面问题的主要差别。

力的计算公式。

返回虽然平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。

但是应该注意的问题是平面应力问题解的近似性。

由于讨论平面应力问题时，仅用了一个变形协调方程，其余五个方程未做检验。

这五个方程对于平面应变问题来讲是完全满足的，而对于平面应力问题，变形协调方程除了第四，五两式自动满足外，第二，三，六式还要求这要求ez 为x，y的线性函数，因此ez = ax+by+c，但平面应力问题又要求。

这要求sx+ sy满足线性分布。

这只有均匀应力分布，例如单向、双向拉伸，纯弯曲和纯剪切等可以满足。

这将使求解受到极大的限制，通过双调和方程和边界条件得到的弹性力学解，一般是不可能满足此条件的。

由于平面应力问题e z≠0，这使得问题的求解困难相对。

为了简化分析，对于薄板问题，e z很小，可以认为e z近似为零。

这样平面应力问题也可以像平面应变问题一样求解。

对于这样的假设，将不可避免产生误差，下面将讨论其误差。

假如重新假定应力分量s x，s y，t xy是x，y，z的函数，应力分量s z，t xz 和t yz 仍然等于零，则可以选取新的应力函数求解平面应力问题。

如果上式中函数(x，y）为双调和函数，则应力函数Y(x，y，z）完全满足平衡微分方程和六个变形协调方程。

显然，新的应力函数Y(x，y，z）与平面应力问题近似解应力函数的主要差别在于补充项的影响。

根据上述分析，可以对平面应力简化解的误差做量级上的分析。

由于平面应力问题讨论的板厚很小，补充项含有z的平方项，因此补充项对应力计算的贡献就是一个z的平方项。

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