薛定谔方程一维情况

§12－6 薛定谔方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告。

报告后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。

几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。

薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来，它是否正确，只能由实验检验。

一、薛定谔方程 1 一维薛定谔方程1）一维自由运动粒子(无势场)设：一维自由运动粒子，无势场，不受力，动量不变。

一维自由运动粒子的波函数(前已讲)ψ(x , t ) = ψ0 e -i(2π/h ) (Et - px )由此有再利用 可得此即一维自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程。

2）若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程。

3）定态薛定谔方程若粒子在恒定势场U = U (x )中运动，微观粒子的势能仅是坐标的函数，与时间无关，可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即2222ip x hp x hψψψψ∂=∂∂=-∂22p E m=222282h h i m x tψψππ∂∂-=∂∂22p p E E m =+222282p h h E i m x tψψψππ∂∂-+=∂∂2(,)()()()iEt hx t x f t x eπψϕϕ-==式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t )中运动的波函数。

将ψ =ψ (x , t ) = ψ(x )T (t )代入得一维定态薛定谔方程式中ψ =ψ (x )是定态波函数，它所描写的粒子的状态称作定态，是能量取确值的状态。

定态的概率密度ψ(x ,t ) ψ*(x ,t ) = ψ (x ) ψ *(x ) 定态下的概率密度和时间无关。

在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件，求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)。

k0 a =0 , k0 a = 2π ,4π ,6π ,… 2 (8) k0 a k0 a = π ,3π ,5π ,… 奇宇称 cos 2 = 0 , 亦即阱口刚好出现束缚态能级的条件为 k0 = nπ , n = 1 , 2 ,3 ,… (9)
偶宇称 sin
(10) 即 2mV0 a2 h2 = n2π 2 . 2 2 2 一维势阱至少有一个束缚能级.因此, 如 2mV0a h < π , 2 2 2 只存在一个束缚态,偶宇称(基态). 如 2mV0a h = π , 除基态外,阱口将再出现一个奇宇称能级,共二个能级. 2 2 2 如 2mV0a h = (2π ) , 阱口将出现第三个能级(偶宇称). 依次类推.由此可知,对于任何 V0a2值,束缚态能级总数 为 a Nn = 1+ 2mV0 , (11) hπ
ψ = sin η x
x <a
ψ = D sin k ( L − x ) a< x <L (-L<x<-a区间的ψ 可以按偶函数条件写出）能级方程为
(12)
kctgk ( L − a ) = −η cthη a,
(13)
11
讨论
如
a → 0, V0 → ∞,
2aV0 → U0
0
，则
−a
∫ V ( x)dx = 2aV
∑
C n (ih
(12 )
ˆ = ih 其中 x
∂ ∂p
(13 )
代入式(10),即得
p2 ∂ Ψ ( p) + V (ih )Ψ( p) = EΨ ( p) 2m ∂p (14)
例四 粒子在图示之势场： 粒子在图示之势场：
V0 , V ( x ) = 0 , ∞,

k nπ a
2
2mE
2
2
, n 1, 2 ,
En n
π
2 2
,
n 1, 2 ,
2ma
n 为主量子数，表明粒子的能量是量子化的。
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13
第15章 量子物理基础
波函数
nπ Ψ n x A sin a
2 a
x , n 1, 2 ,
i t Ψ (r , t ) Ψ (r )e
E
定态薛定谔方程
2m 2 2 2 Ψ( r ) 2 E V Ψ(r ) 0 x y z
2 2 2
若粒子在一维空间运动，则
d Ψ x
2
dx
2

2m
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o
a
x
势能曲线
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第15章 量子物理基础
薛定谔方程
d Ψ x
2
dx
2

2mE
2
Ψ x 0
d Ψ x
2
,0 xa
k Ψ x 0
2
令 k
2 mE
2
则
dx
2
方程通解
Ψ x A sin kx B cos kx
Ψ 利用边界条件 x = 0， 0 0 , 则 B = 0 。
物质波波函数是复数，它本身并不代表任 何可观测的物理量。 波函数是怎样描述微观粒子运动状态的？
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第15章 量子物理基础
1926年德国物理学家玻恩提出了物质波的 统计解释：实物粒子的物质波是一种概率波, t 时刻粒子在空间 r 处附近的体积元 dV 中出现的 概率dW与该处波函数绝对值的平方成正比。

一维定态薛定谔方程的应用授课人：物理科学与技术学院势 阱日常生活中的各种井（阱）物理学中研究微观粒子运动状态时常用的模型，因其势能函数曲线的形状如同井而得名水井窨井陷阱UxOaU()U x xOa∞∞00()0 , x aU x x x a≤≤⎧=⎨∞<>⎩这是一个理想化的物理模型， 应用定态薛定谔方程求解波函数， 有利于进一步理解在微观系统中 能量量子化和概率密度等概念这样的势能函数称为 一维无限深势阱建立定态薛定谔方程并求解 假设微观粒子质量为 ，由 m 222d()()()2d U x x E x m x ψψ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦x a U x 0()0≤≤=阱内( ) ： 222d ()()2d x E x m xψψ-=x x a U x 0 , ()<>→∞阱外( )： 令： 222mE k =得通解： ()sin()x A kx ψϕ=+ 微观粒子的能量不可能达到无穷大，所以粒子不可能在阱外出现，或者说粒子在阱外出现的概率为零。

()0x ψ≡222d 0d k xψψ+=利用标准条件确定 和 k ϕ因 在整个 轴上必须连续 x ()x ψsin() 0()0 0 0A kx x ax x x ϕψ+≤≤⎧=⎨<>⎩，(0)sin 0A ψϕ== a A ka ()sin()0ψϕ=+=求归一化的波函数 一维无限深势阱中 微观粒子的波函数2220π()d sin d a n x x A x xa ψ+∞-∞=⎰⎰221A a =⋅= 2A a= n a x x a x ax x aπ2sin0()00 , ψ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩()π()sin 1,2,3n x A x n aψ==⋅⋅， 0ϕ=πn k a=()1,2,3n =⋅⋅⋅，微观粒子在势阱中的能量只能取一系列不连续的分立值，即能量是量子化的。

整数称为量子数 确定能量的可能取值n 由及 222mE k =πk an =得 ()2221,2,3,8n hma n E n ==⋅⋅⋅ 1n =时， 称基态能量 2128h E ma =2228n h n E ma=O4n =3n =2n =1n =基态2228n h n E ma=O4n =3n =2n =1n =基态能级间隔： ()212Δ218n n n h E E E n ma +=-=+2Δ1n E α∝表明： 当 时（宏观尺度）， a →∞Δ0n E →能级消失、能量连续分布，回归经典情况。