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⼀维定态薛定谔⽅程求解的两种⽅法（matlab）量⼦⼒学中，薛定谔⽅程是核⼼。
薛定谔的猫描述了态的概念，但实际研究中，要想细致地研究⼀个原⼦，分⼦，甚⾄⼀块物质，都需要从薛定谔⽅程的求解开始。
下⾯将会以我的⼀次作业的题⽬为例，向⼤家展⽰整个求解过程。
薛定谔⽅程的完整形式为：以上⽅程有对时间的微分，还有对空间的微分。
⽽对于定态的薛定谔⽅程，我们只需考虑某⼀时刻的波函数，所以直接可将能量算符替代为E（⼀个常数）。
(1)分段势能法对于空间的梯度，如果只是⼀维情况的话，可以直接将梯度算符改为微分。
所以⼀维定态薛定谔⽅程就显得很简单：就是⼀个简单的⼆阶微分⽅程。
此⽅程的解想必⼀眼就可以看出来。
就是这个解是假设U(x)与x⽆关，是⼀个常数才得出这个⾃由波的解。
类似与微积分中的⽅法，对于⼀个任意势场函数，我们可以假设在某⼀个极⼩的dt范围内，势函数是不变的，因此可以将任意⼀个势函数⽤有限个⼀定宽度的恒定势场来代替。
如下图所⽰：其中的各个⼩段的波函数就可以表⽰为这样就会有2N个⽅程，然后利⽤内部的n-1个边界条件（界⾯处波函数连续，波函数的倒数连续），和两端的衔接（假设⼊射为1，则A1=1, B1=r；且最终透射端没有反射波，AN=t, BN=0. ），就可以写出2N个线性⽆关的⽅程，从⽽可以将系数都求解出来。
注意，这种情况下，我们⽆从得知基态的能量值，以及能量的分⽴的特性。
但是从这种⾓度出发，我们可以很容易计算出波在这样的势函数中传输特性，可以计算出⼊射端的反射系数R，以及不同能量所对应的⼊射波的透射系数T。
下⾯将以⼀个例⼦应⽤上述关系。
根据上图中所⽰的势函数求解薛定谔⽅程，得到透射系数和反射系数随温度的变化关系为(2)差分法现在我们从另外⼀个⾓度出发，⼀维定态薛定谔⽅程如下在这⾥，我们要求的是，可以将分为N份，采⽤数值计算⽅法，将微分⽅程变成差分⽅程。
参考相应书籍可知可以化为对于上述波函数也可以转化为类似的形式，所以可以由矩阵T的特征值对应能量，特征向量对应于波函数在每⼀个节点的解。
薛定谔方程的含义和求解方法薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，描述了微观粒子（如电子）的行为。
本文将介绍薛定谔方程的含义及其求解方法。
一、薛定谔方程的含义薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，用来描述微观粒子的运动和性质。
该方程是一个偏微分方程，包含粒子的波函数（Ψ）和哈密顿量（H）。
薛定谔方程的一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数，t是时间。
Ψ是粒子的波函数，H是系统的哈密顿量。
薛定谔方程描述了一个量子系统的演化过程。
通过对波函数的求解，我们可以得到粒子在不同位置和时间的概率分布，从而理解其行为和性质。
二、薛定谔方程的求解方法薛定谔方程是一个高度复杂的偏微分方程，一般情况下无法通过解析方法求解。
但可以通过一些近似方法和数值方法来求解。
1. 解析方法对于简单的系统，可以通过解析方法求解薛定谔方程。
例如，对于自由粒子，可以得到平面波的解。
对于一维谐振子，可以得到谐振子波函数的解。
然而，对于复杂的系统，如多电子体系或相互作用体系，解析方法往往不适用。
因此，需要使用近似方法和数值方法来求解。
2. 近似方法常用的近似方法包括变分法、微扰法和量子力学近似等。
变分法通过选取适当的波函数的形式和参数，使得波函数的能量最小化。
微扰法将系统的哈密顿量分解为一个已知的部分和一个微扰项，通过级数展开的方式求解波函数。
3. 数值方法数值方法是求解薛定谔方程的重要手段之一。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和动态变分法等。
这些方法通过将波函数和哈密顿量离散化，将偏微分方程转化为一组代数方程，然后通过迭代求解来得到波函数的数值解。
数值方法的优点是适用于各种复杂系统，并且可以提供较高的精度。
但需要注意选择合适的离散化方法和参数，以及控制误差和收敛性。
总之，薛定谔方程是研究微观粒子的基本工具之一，可以描述粒子的运动和性质。
通过适当的求解方法，我们可以获得粒子的波函数，从而深入理解量子力学中的各种现象和行为。
第一章薛定谔方程,一维定态问题
薛定谔方程是描述量子力学中微观粒子运动的基本方程，也是研究原子、分子、固体等微观粒子体系行为的重要工具。
在一维定态问题中，我们假设粒子在一个长度为L的有限区域内运动，边界处满足一定的边界条件。
这种假设简化了问题的复杂性，使得我们能够更加深入地研究粒子在有限区域内的定态行为。
一维定态问题的薛定谔方程可以写成如下的形式：
$$-
\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\Psi(x)}{dx^{2}}+V(x)\Psi(x)=E \Psi(x)$$
其中，$\hbar$为约化普朗克常数，m为粒子的质量，V(x)为粒子在x位置处的势能，E为粒子的总能量，$\Psi(x)$为描述粒子波函数的解析函数。
一维定态问题中，由于波函数只与一个坐标x有关，因此我们可以采用分离变量的方法将波函数表示为如下形式：
$$\Psi(x)=\psi(x)e^{ikx}$$
其中，$\psi(x)$为关于x的解析函数，k为波矢。
将上式代入薛定谔方程，可将其简化为如下形式：
$$-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)+(V(x)-E)\psi(x)=0$$
这个简化后的方程可以通过求解得到波函数的解析表达式及对应的能量。
对于有限区域内的粒子，我们需要根据边界条件来限定波函数的形状，在定态问题中，我们通常采用周期性边界条件或硬壳边界条件。
通过分析一维定态问题的波函数和能谱，我们可以深入理解原子、分子、固体等复杂体系中微观粒子的行为规律，同时也可以为设计新的材料、光电子器件等提供理论基础和指导。
一维薛定谔方程求解
薛定谔方程是研究量子力学的基本方程之一，用于描述微观粒子（如电子、原子、分子等）在时间和空间中的运动和状态。
在一维情况下，薛定谔方程可以写为：
iψ(x,t)/t = -^2/2m ^2ψ(x,t)/x^2 + V(x)ψ(x,t) 其中，ψ(x,t)是波函数，描述了粒子在时空中的状态；m是粒子的质量；V(x)是势能函数，描述了粒子在不同位置的势能。
这个方程可以通过一些数值方法来求解，例如有限差分法、谱方法等。
其中，有限差分法是一种简单易懂的数值求解方法，它将微分方程转化为差分方程，通过在空间和时间上进行离散化，用有限差分代替微分，从而得到数值解。
在求解一维薛定谔方程时，我们可以采用中心差分法或向前/向后差分法来进行空间和时间上的离散化，并利用迭代法或解析法来求解差分方程。
另外，谱方法也是一种常用的数值求解方法，它将波函数表示为一组基函数的线性组合，通过对基函数的选择和系数的计算，得到波函数的数值解。
在求解一维薛定谔方程时，我们可以选择正交多项式作为基函数，例如拉盖尔多项式、切比雪夫多项式等，利用计算机进行系数的计算，从而得到波函数的数值解。
总之，在求解一维薛定谔方程时，我们可以利用有限差分法或谱方法进行数值求解，得到粒子在时空中的波函数和状态。
这些数值解可以用来研究微观粒子的运动和相互作用，对于理解和设计材料、药物、电子器件等具有重要的理论和实际意义。
微观粒子在一维势箱中出现的几率例题我们来考虑在一维势箱中的微观粒子。
我们定义这个箱子为：1.在x=0处与在x=L处，有两堵墙。
在左墙左边以及右墙右边，势能都是无穷大。
2.在0<x<L之间，也就是在箱子内部，势能为0。
我们知道，一个粒子不能存在于势能为无穷大的空间内。
所以，这两堵势墙把这个微观粒子围在了盒子内部，不得出去。
我们列出粒子在盒子内部的一维定态薛定谔方程：因为我们定义箱内势能为0，那么我们可以删除势能项，只剩下动能项：如果我们设波函数的表达式为：（其中C与D为参数）代入方程，再重排得到动能的表达式：现在，我们得到了动能的表达式，我们转过头来看看这个一维势箱中粒子的波函数有什么限制。
可以看出，在x=0与x=L这两个点的位置，势能就已经取了无穷大值。
说明波函数在这两点处必定为0。
代表着，粒子出现在这两个绝对的位置的概率为0。
用数学语言表达，便是下式：因为这一条件限制的是波函数在盒子边界处的行为（behaviour），所以这一条件也属于边界条件（Boundary Condition）。
波函数满足边缘条件的必要性说明只有特定的波函数是可接受的，所以这把可观测量的值限制到了离散的值。
因为波函数在盒子的边缘处值必须为0，而我们如果用一个正弦函数来描述波函数，这个问题就变得很简单了。
这意味着，正弦函数的频率只能是一些特定的值，而只有这些值能使正弦函数在盒子的边缘通过0点。
量化这个结论，就是：盒子的长度，L，必须是一个正整数，n，乘以波函数的半波长：而对于一个正弦函数sin(kx)来说，（在本系列文章第二篇中也提到过），其波长等于两倍圆周率除以正弦函数内，x前面的系数，也就是k。
所以我们有：（如果我们忽略Dcos（kx））于是，对于不同的n值，波函数的波长会越来越短，但是如果n还是满足正整数条件，那么这个正弦函数一定会满足边界条件，且总是会在盒子的两个边缘值为0，就像如下：到了这一步，既然C是任意常数，我们就令其等于归一化常数吧。
现代商贸工业２０１９年第１４期２１１㊀一维定态薛定谔方程的理论求解及M A T L A B 的仿真实现研究王文慧(江苏省新海高级中学,江苏连云港２２２００６)摘㊀要:量子力学的提出可谓是２０世纪物理学上一个划时代的里程碑.经过一百多年的历史证明,量子物理学说明了物质属性及其微观结构这个根本性问题,同时也促进了一些高科技产业的发展.简述了量子力学的发展历程.在理想无限深方势阱下对一维定态薛定谔方程使用两种求解方法,一种是传统的理论求解,适用于简单势阱下的粒子运动;另一种是借助MA T L A B 软件进行特解求解,适用于复杂的势阱情况.为了全面描述粒子的运动状态,结合概率密度函数和概率分布函数来进行描述,适用于多个势阱条件.关键词:量子力学;薛定谔方程;无限深方势阱;MA T L A B中图分类号:T B ㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀㊀㊀d o i :１０．１９３１１/j．c n k i ．１６７２Ｇ３１９８．２０１９．１４．０９８１㊀绪论经典力学中以牛顿运动定律为基础的部分作为力学的一个分支最早被认为是力学的基本纲领.原因是牛顿运动定律能很好地解释宏观生活中的许多物理现象,被人们广泛接受与认可,具有很强的实用性.例如,人们根据牛顿的理论预测并发现了海王星.然而十九世纪以来,随着人们对物理学研究的不断深入,经典力学的局限性也逐渐显露出来.例如黑体辐射,英国物理学家瑞利根据经典统计力学和电磁理论推导出黑体辐射的能量分布公式仅适用于长波,发现短波部分与实验的反差严重,这一现象被称为 紫外灾难 .出现的问题还有光电效应中的红限频率,比热困难等等.这些问题的出现激励着物理学家不断的进行思考㊁实验,推动了相对论和量子力学的诞生.利用普朗克的量子假说与爱因斯坦提出的光量子概念得出的普朗克－爱因斯坦关系式可以很好地解释了黑体辐射,光电效应以及康普顿效应.波尔的量子论可解释氢原子能级及线状光谱.德布罗意波的提出,指明当波长与客观尺寸相比拟时,波动性就显得很重要.因此在微观世界中,不能使用经典力学分析,只能使用波动力学.薛定谔方程(S c h r öd i n g e re q u a t i o n )是将德布罗意波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程,由奥地利物理学家薛定谔提出.薛定谔方程表明在量子力学中,粒子以概率的方式出现,其正确性只能靠实验来决定.可以描述微观粒子的运动,每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式,通过解方程可得到波函数的具体形式.当势函数不随时间变化时,粒子具有确定的能量,粒子的状态称为定态.本文主要研究定态下一维薛定谔方程的求解问题.目前量子力学的研究,推动了晶体管,能量回收,量子密码等领域的发展,使随机数发生器,量子计算机,瞬时通信,远距传输等成为可能.此外本文还使用MA T L A B 软件进行了结果的形象化处理,其高效的计算能力,让求解薛定谔方程从繁杂的数学运算分析中脱身.其次,MA T L A B 具有很强的图形处理功能,实现计算结果可视化.２㊀薛定谔方程随着物理学研究的不断深入,经典力学开始遇到困难.如关于热辐射经典统计理论,１８９３年,威廉 维恩提出一个数学公式ρνd ν＝C １ν３e －C ２ν/Td ν此公式在光谱的短波部分的测定值与计算值完全一致,然而却不适用于中波,长波部分.１９００年,英国物理学家瑞利根据经典统计力学和电磁学理论,推导出黑体辐射的能量分布公式为ρνd ν＝８πc ３k T ν２d ν而此式只适用于长波,在短波部分是无穷值,E ＝ʏ¥０ρνd ν＝８πc３k T ʏ¥０ν２d νң¥可相反的是实验得出结果是零.这个反差强烈的严重问题,被称为 紫外灾难 ,令许多物理学家感到费解.十九世纪末,赫兹和汤姆孙在验证电磁波和发现电子的实验中也遇到了困难.经典物理学理论被一些实验结果推翻:不仅逸出电子的最大初动能与光强无关,存在红限频率,而且光电子几乎是瞬时逸出的.经典的比热理论也遇到了一些困难:杜隆－珀蒂定律C P ≅C ν＝３R 只适用于常温实验条件下;束缚态电子为何对比热贡献可以忽略不计;为何在常温下,大多数双原子分子和多原子分子振动自由度会被冻结,对比热也没有贡献.工程管理与技术现代商贸工业２０１９年第１４期２１２㊀㊀经典物理学中遇到的种种困难推动了量子理论的发展.在１９００年,普朗克提出一个经验公式,非常符合黑体辐射的实验结果.总结普朗克的量子化理论,黑体和辐射场交换能量只能以吸收或者发射 量子 的方式进行,以ε单位吸收或发射,能量保持不连续的变化.１９０５年,爱因斯坦普朗克能量子的假说进行进一步解释,提出了光量子的概念:假定光是由光子组成的粒子流,每个光子的能量的计算方法为ε＝h ν,其中,,ν表示光的频率,h 是普朗克常数.而后,德布罗意对波粒二象性和德布罗意波的提出为量子力学的建立做出了极大贡献.德布罗意觉得 任何物质都伴随以波,而且不可能将物质的运动和波的传播分开.那么我们如何去发现呢?由λ＝h m v 可知对于宏观物体物质波几乎微不可察,而在微观世界,粒子与相应的德布罗意波长可相比拟,波动性才显著,这时不能使用经典力学分析,只能使用波动力学.波函数的形式可以表示为:φ(r ң,t )＝e i (pңr ң－E t )/h (１)其中r ң表示位置,是矢量;t 表示时间,为标量;pң和E 分别表示粒子的动量和能量;h 为约化普朗克常数.式(１)对时间求导:∂φ(r ң,t )∂t ＝φ(r ң,t ) (－i E h )⇒i h ∂∂tφ(r ң,t )＝E φ(r ң,t )(２)式(１)对r ң求导:－i h Ñφ(r ң,t )＝p ңφ(r ң,t )⇒－h ２Ñ２φ(r ң,t )＝p ң２φ(r ң,t )(３)(Ñ为拉普拉斯算子)由E ＝p ң２２m及式(２)(３)得:(i h ∂∂t ＋h ２２m Ñ２)φ(r ң,t )＝(E －p ң２２m )φ(r ң,t )＝０(４)⇒i h ∂∂t φ(r ң,t )＝－h ２Ñ２２m φ(r ң,t )(５)考虑势场V (r ң)中运动的粒子,根据经典粒子的能量关系式:E ＝p ң２/２m ＋V(６)将式(６)代入(４)可得:i h ∂∂t φ(r ң,t )＝(－h ２２mÑ２＋V )φ(r ң,t )(７)此为薛定谔在１９２６年提出的方程,揭示了原子世界中物质运动的基本规律.３㊀无限深方势阱下求解薛定谔方程３．１㊀一维定态薛定谔方程设粒子质量为m ,沿x 方向运动,势能为V (x),可得此时薛定谔方程为i h∂∂tφ(x ,t )＝－h ２２m ∂２∂x２＋V (x )[]φ(x ,t )(８)定态即具有一定能量E 的状态,定态下波函数形式为:φ(x ,t )＝φ(x )e －i E t /h (９)将(９)代入到(８),φ(x )满足如下能量本征方程:－h ２２m d ２d x ２＋V (x )[]φ(x )＝E φ(x )(１０)⇒d ２d x２φ(x ,t )＋２m h E －V (x )[]φ(x ,t )＝０令f (x )＝２m h E －V (x )[]则一维定态薛定谔方程的形式为:d ２d x ２φ(x ,t )＋f (x )φ(x ,t )＝０３．２㊀无限深方势阱通解的理论推导在理想无限深方势阱中V (x )＝０,０＜x ＜a¥,x ＜o ,x ＞a{,当０＜x＜a 时,薛定谔方程为:d ２d x ２φ(x ,t )＋２m h ２E φ＝０(１１)令k ＝２m E h２代入(１１)此时(１１)式可化为φ(x )＝A s i n (k x ＋φ)的形式.由于理想条件下,粒子穿透阱壁的可能性为零,所以φ(０)＝０φ(a )＝０,由上式可解得:φ＝０si n k a ＝０,所以k a ＝n πn ＝１,２,３ 对于E n 能级波函数记为φn (x )㊀则㊀φn (x )＝A n s i n (n πax )(１２)利用归一化条件ʏa ０φn (x )２d x ＝１ʑA n ２＝２a⇒A n ＝２a,将A n ＝２a代入(１２)得归一化的波函数为φn (x )＝２a s i n (n πax ).上文已经求解出函数φn (x )及φn (x )２的形式,是普通的正弦函数形式,接下来通过MA T L A B 进行数值模拟,形象化表示出在不同位置粒子出现的概率.φn (x )和φn (x )２在不同n 值情况下的函数图如图一所示,左侧一列是φn (x )的函数图,中一列是φn (x )２的函数图,从第一行到最后一行分别是n ＝１,２,３,４,５,现代商贸工业２０１９年第１４期２１３㊀６.对于左侧这列图像,可以看出,几乎都均匀分布在φ＝０的两侧,而对于φn (x )２表示概率密度的这条函数曲线表达的是当前位置出现粒子的概率大小.３．３㊀M A T L A B 求无限深方势阱的特解MA T L A B 软件功能非常强大,对于微分方程的求解方面也有相应函数可以解决,对于一个未知的变量连同它自己的微分变量由一个方程联系起来的关系就称之为微分方程,如一维定态薛定谔方程即为二阶微分方程,因为有二次微分项.无限深势阱中的薛定谔方程的形式为:d ２d x ２φ(x ,t )＋k φ＝０(１３)k ＝２m E h２其中,想要快速求解这个二阶微分方程,在这里我们假定势阱边界a ＝１,n ＝１,k ＝π,这样可以使用MA T L A B 求解方程的函数d s o l v e 函数,此函数可以直接将需要求解的方程写入,d s o l v e ( 微分方程 , 自变量 ),例如:y ＝d s o l v e (＇D ２y ＋(pi ^２)∗y ＝０＇,＇x ＇),这个语句可以获得一个通解:y ＝C １∗e x p ((－k )^(１/２)∗x )＋C ２∗e x p (－(－k )^(１/２)∗x ),其中C １和C ２根据不同的初始条件就可以给定不同的数值;另外d s o l v e 函数还可以直接给定初始条件来确定所求微分方程的特解,d s o l v e ( 微分方程 , 初始条件１ , 初始条件２ , 自变量 ),在无限深势阱中,边界的y 都为０,求解函数可以写为y ＝d s o l v e (＇D ２y ＋(p i ^２)∗y ＝０＇,＇y (０)＝０＇,＇y (１)＝０＇,＇x ＇),运行之后得到的解为y ＝C ３∗s i n (p i ∗x ),根据薛定谔方程的归一化条件,可以很快求解出C ３＝２.无限深势阱条件下的薛定谔方程的特解为φ１(x )＝２s i n (πx ).使用MA T L A B 求特解需要注意的是需要使用s y m 类型将方程中的自变量和因变量声明为符号变量,才可以顺利的得到结果.图１㊀φn (x )㊁φn (x )２关和概率分布关于位置x 的函数３．４㊀无限深势阱条件下粒子位置的概率分布上文根据理论推导方法和借助MA T L A B 软件求特解的方法求出了无限深势阱中粒子分布的概率密度函数(图１中间列所示),这个图可以清晰的描绘出粒子落在区间中的概率高低,概率密度值越大,代表粒子出现的概率越大,而粒子落在某个区域的概率并不能从概率密度函数图中直观的看出,这时我们就需要计算概率密度函数的概率分布函数,这个函数一般是来刻画某个随机变量m 小于某一数值x 的概率,在这里我们假设概率分布函数用P 来表示,P (x )指的是粒子出现的位置小于x 的概率,概率分布函数就是概率密度函数的积分,在MA T L A B 中可以直接使用函数i n t来进行计算,计算结果如图１最右一列表示.从图中可以看出每条曲线的x ＝１对应的概率值都为１,对应了薛定谔方程归一化的性质.另外这六条曲线中,总会出现一定的平台,这些平台说明,对应位置粒子出现的概率几乎为０,对应概率密度函数的最低点.若使用电子束来模拟粒子,则平台出现的位置就是暗条纹出现的位置,斜率越大,条纹越明亮.使用概率密度函数结合概率分布函数这样的分析方法,对复杂势阱的分析理解将会有一定的帮助.４㊀结论本文通过对经典力学的局限性的介绍,引出了物理学家对这些局限性问题的研究并提出了相对论和量子力学.另外,本文以无限深势阱为例,给出两种求解方式一种是传统的理论计算,使用于简单势阱下的求解,对于比较复杂的势阱,不具备理论求解的条件下,可以使用MA T L A B 软件来进行求解.对于理解势阱中粒子的分布位置,一般都是使用概率密度函数来分析,本文通过MA T L A B 软件求解出概率密度函数对应的概率分布函数,更加直观的获得粒子位置的概率信息,验证了解的形式与性质,对于复杂势阱中粒子运动状态的研究具有深刻的意义.参考文献[１]林洽武．求解定态薛定谔方程的有限差分法[J ]．广东第二师范大学学报,２０１３．[２]苏汝铿．量子力学[M ]．北京:高等教育出版社,２００２．[３]王忆峰,唐利斌．通过有限差分和MA T L A B 矩阵运算直接求解一维薛定谔方程[J ]．红外,２０１０．。
