定态薛定谔方程解的算例

第一讲第讲主要内容振动和波动量子力学的诞生量子力学的基本原理薛定谔方程应用举例1薛定谔方程的应用举例定态薛定谔方程无限深方势阱中的粒子方势垒的穿透一维谐振子2薛定谔方程的应用举例定态薛定谔方程无限深方势阱中的粒子方势垒的穿透一维谐振子6一维无限深势阱中粒子能级有如下特点：维无限深势阱中粒子能级有如下特点：z能级量子化。

量子力学的普遍规律，束缚态（E <V 0）能级量离子化（离散的，非连续的）。

量子化能量的值要取决于束缚势能的具体情况。

值得指出的是，束缚粒子存在量子化这一事实，可简单和直接的由满足薛定谔方程的波函数应用边界条件就得到了。

z粒子的最低能级，这与经典粒子不同。

这是微观粒子波性的表静的波是有意的从02/2221≠=ma E πh 这是微观粒子波动性的表现，静止的波是没有意义的。

从不确定度关系也可以给予粗略的说明。

211zE ∝n ,能级分布是不均匀的。

CdSe量子点的吸收边和发射峰显著依赖尺寸大小。

可应用于：•生物标记•LED照明•平板显示•太阳能电池12薛定谔方程的应用举例定态薛定谔方程一维自由粒子无限深方势阱中的粒子方势垒的穿透一维谐振子13扫描隧道显微镜20薛定谔方程的应用举例定态薛定谔方程一维自由粒子无限深方势阱中的粒子方势垒的穿透一维谐振子21谐振子能量本征值ωh ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=21n E n ( n = 0,1,2, … )m ω=βz为系统的本征角频率z束缚态，能级量子化。

图1.12 线性谐振子的势能曲线及本征值最低几条能级上的谐振子能量本征函数：122α谐本)(x n ψ)(x n ψ)2exp()(4/10x x απψ−=)21exp(2)(224/11x x x ααπαψ−=1exp(1212222x x x ααα−−=)2p()(2)(4/12πψ29)21exp()132(3)(22224/13x x x x αααπαψ−−=2⏐ψn (x )⏐图1.16 n =10时线性谐振子的几率密度z 实线表示量子谐振子位置概率分布，虚线为经典谐振子的概率分布。

量子力学例题第二章一．求解一位定态薛定谔方程1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数[解] 薛定谔方程:当, 故有利用波函数在处的连续条件由处连续条件:由处连续条件:给定一个n 值,可解一个, 为分离能级.2．粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数[解]体系的定态薛定谔方程为当时对束缚态解为在处连续性要求将代入得又相应归一化波函数为:归一化波函数为:3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为求束缚态的能级所满足的方程[解]束缚态下粒子能量的取值范围为当时当时薛定谔方程为令解为当时令解为当时薛定谔方程为令薛定谔方程为解为由波函数满足的连续性要求,有要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必须为零计算行列式,得方程例题主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.一. 有关算符的运算1.证明如下对易关系(1)(2)(3)(4)(5)[证](1)(2)(3)一般地,若算符是任一标量算符,有(4)一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有(5)=0同理：。

2.证明哈密顿算符为厄密算符[解]考虑一维情况为厄密算符, 为厄密算符,为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: 。

[证]。

是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又:可求出:二.有关力学量平均值与几率分布方面1.(1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值[解]即是的本征函数。

本征值2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数描写。

求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意:是否归一化波函数能量本征值出现的几率 , 出现的几率能量平均值另一做法3 .一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数，求（1）的数值；2）在态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值[解](1) , 归一化，，，（2），，；，；，；（3）时，所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。

§16.3 一维定态薛定谔方程的建立和求解举例（一）一维运动自由粒子的薛定谔方程波函数随时间和空间而变化的基本方程，是薛定谔于1926年提出的，称为薛定谔波动方程，简称波动方程或薛定谔方程，它成为量子力学的基本方程．将（16.2.14）式分别对t 和x 求导，然后从这两式消去E 、p 、和ψ，便可得到一维运动自由粒子的薛定谔方程：ψ-=∂ψ∂)/iE (t 即ψ=∂ψ∂E t i （16.3.1）ψ=∂ψ∂22)/ip (x 2ψ=ψ∂-2222p⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡<<的薛定谔方程自由粒子轴运动的沿)c x (v方程（16.3.3）中不含有能量E 和动量p ，表明此方程是不受E 和p 的数值限制的普遍方程．请同学们自己试一试，如果上述波函数不用复数表式（16.2.14），改用类似于（16.2.1）式的余弦函数或正弦函数表式，就不会得到合乎要求的薛定谔方程（16.3.3）式❶．这薛定谔方程不是根据直接实验结果归纳而得，也不是由经典波动理论或其他理论推导出来的，它是在物质波假设的基础上，参照经典波动方程而建立起来的．薛定谔方程在微观领域中得到广泛的应用，它推导出来的结果，都与相关实验结果符合得很好，这才是薛定谔方程正确反映微观领域客观规律的最有力的证明．（二）一维运动自由粒子的定态薛定谔方程❶❷上述薛定谔方程（16.3.3）是偏微分方程，从此方程可解出波函数ψ（x ，t ）．在量子力学中最重要的解，是可把波函数ψ（x,t ）分离成空间部分u （x ）和时间部分f （t ）两函数的乘积的特解，即〔一维运动自由粒子的定态波函数〕 ψ（x,t ）=u （x ）f （t ）（16.3.4）将此式代入（16.3.3）式得：222dx u d )t (f )m 2/(dt df )x (u i -=两边除以ψ=uf 得：222dx u d u 1)m 2/(dt df f 1i -=此式左边是时间t 的函数，右边是坐标x 的函数．已知t 与x 是互相独立的自变量，左右两边相等，必须是两边都等于同一常量E ，即❶ 郭敦仁《量子力学初步》16—17页，人民教育出版社1978年版.❶ 郭敦仁《量子力学初步》21—22页，人民教育出版社1978年版.❷ 周世勋编《量子力学》32—33页，上海科学技术出版社1961年版.（16.3.8） （16.3.9） (图16.3a )一维矩形深势阱E dt df f 1i = E dx u d u 1)m 2/(222=- （16.3.5）因此，一个偏微分方程（16.3.3）可分解成两个常微分方程（16.3.5）以求解．如〔附录16C 〕所示，（16.3.5）式的E 就是粒子的能量E ．上述两个常微分方程的解分别为：〔时间波函数f （t ）〕 /iEt Ce )t (f -= （16.3.6）〔空间波函数u （x ）〕 （16.3.7）将上式的待定常量C 合并到A 和B 中，便可得到下式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡<<函数和几率密度的定态波子一维运动自由粒)c (v从此式可知，特解ψ=uf 使得几率密度|ψ|2与时间t 无关，这是粒子的几率分布与时间无关的恒定状态，因此称为定态．ψ=uf 称为定态波函数，其中空间部分u （x ）可称空间波函数，时间部分f （t ）可称时间波函数．如（16.3.9）式所示，定态的几率密度|ψ|2决定于空间波函数u ，与时间波函数f 无关．（16.3.5）式中空间波函数u 满足的方程，称为定态薛定谔方程，此方程重写如下： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡<<的定态薛定谔方程一维运动自由粒子)c (v （16.3.10） （16.3.7）式表明，空间波函数u （x ）的表式中有三个待定常量A 、B 、α，它们要由实际例子中的边界条件和归一化条件来确定．下面就要介绍确定常量A 、B 、α的一个实际例子．（三）一维矩形深势阱中，自由粒子的薛定谔方程定态解（1）金属中自由电子的运动金属中自由电子的运动，假设可简化为自由粒子的一维运动．在外界条件不变的情况下，可设想自由电子的几率分布是恒定的，不随时间而变．这就是上述定态的一维运动自由粒子的一个例子．上述（16.3.3）至（16.3.10）诸式均可应用于此例子．上述待定常量A 、B 、α，可按此例的边界条件和归一化条件确定之．（2）边界条件确定常量B 与α上述自由电子只能在金属中运动，可设定它的运动范围为0＜x ＜b ．在此范围内，设它的势能为零，即E p =0，E=E k ．在此范围外，它的势能必须达到无限大，即E p →∞，E →∞．所谓E p →∞，就是用势能条件表示自由电子不能越出金属之外，也就是说，这些自由电子被限制在矩形无限深势阱中运动，如（图16.3a ）所示．按几率来说，在金属表面以外没有自由电子，就是说，在x≤0和x ≥b 的范围中，这些电子的几率密度|ψ|2=0．因此，在此范围中，波函数ψ=0，u=0．这就是边界条件，或称边值条件．/mE 2x cos B x sin A )x (u =+=ααα222/iEt |u |x cos B x sin A e )x cos B x sin A ()t (f )x (u )t ,x (=+=ψ+===ψ-αααα ()0Eu /m 2dx u d 222=+（16.3.16） （16.3.17） (图16.3b)一维矩形深势阱中、自由粒子的几率密度与能级将此边值条件代入（16.3.7）式便可确定B 与α的数值，计算如下：在x=0处：u （0）=Asin0°+Bcos0°=B=0 （16.3.11）∴u （x ）=Asin αx （16.3.12）在x=b 处：u （b ）=Asin αb=0，αb=n π即α=n π/b ， n=1,2,3,…… （16.3.13）∴ψ（x,t ）=Asin （n πx/b ） /iEt e - （16.3.14）在（16.3.13）式中，u （b ）=0不选用A=0的答案．这因为A=0，则u （x ）=0，|ψ|2=0．这是x 等于任何数值，都使|ψ|2=0的不合理答案．在（16.3.13）式，不选用n=0的答案．因为n=0则α=0、u （x ）=0、|ψ|2=0，这也是处处都没有电子的不合理答案．在（16.3.13）式，如果选用n=－1,－2,－3，……所得ψ值，与选用n=1,2,3,……求得的ψ值，绝对值相等、正负号相反．因此，在计算|ψ|2时，不必要保留n 的负值．（3）归一化条件确定常量A将波函数表式（16.3.14）代入归一化条件式（16.2.11），按上述一维情况进行积分，并考虑到自由电子只在0＜x ＜b 范围内运动，可得结论如下：1dx x sin A dx dx 2b 0 2b 0 2 ==ψ=ψ⎰⎰⎰∞∞-α即()()[]=-=-=⎰b 022b0 2x 2sin )4A (2b A dx x 2cos 12A 1ααα()[]2b A )b x n 2sin(n 4b A 2b A 2b 0 22=ππ-=． b /2A 2=∴， b /2A = （16.3.15）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡<<ψ的定态波函数自由粒子中一维无限深矩形势阱)c (v ,（四）一维矩形无限深势阱中、自由粒子的几率分布从（16.3.17）式可得上述自由粒子的几率密度|ψ|2的表式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡<<的几率密度自由粒子中一维矩形深势阱)c (v , （16.3.18）上述空间波函数u 和几率密度|ψ|2的图线，如（图16.3b ）所示．自由粒子的运动范围限制在0＜x ＜b ，因此（16.3.18）式的角度αx=n πx/b 的变化范围为0＜αx ＜n π．当量子数n=1时，u 1（x ）=)b /x sin(b /2π；,3,2,1n ,b x 0),b /x n sin(b /2)x (u ,e )b /x n sin(b /2)t ,x (/iEt =<<π=π=ψ- b x 0 ,,3,2,1n )b /x n sin()b /2(u 222<<=π==ψ21ψ=(2/b)sin 2(πx/b)．如（图16.3b ）所示，曲线u 1和21ψ的最高点都在πx/b=π/2，即x=b/2处．这就是说，当n=1时，在势阱中x=b/2处，粒子的几率密度最大．这与经典理论所说自由粒子应是均匀分布的结论不同．经典理论不能说明微观粒子的情况．当n=2时， )b /x 2(sin )b /2(),b /x 2sin(b /2)x (u 2222π=ψπ=．角度的变化范围是0＜αx ＜2π．曲线u 2的最高点在2πx/b=π/2，即x=b/4处．曲线u 2的最低点在2πx/b=3π/2，即x=3b/4处．曲线u 2还有一个零点在2πx/b=π，即x=b/2处，如图所示．当n=2时，几率密度22ψ的曲线应有两个最高点，在x=b/4和x=3b/4处，有一个零点在x=b/2处．当n=3和n=4时的曲线图，由同学们在习题中计算分析．（图16.3b ）所示曲线形状，与两端固定的弦线中，形成驻波的形状相似．虽然粒子的物质波与弦线中机械波的驻波，在本质上是不同的现象．但是人们仍然喜欢引用驻波中的熟悉名词描写微观粒子的几率分布，把2ψ=0的位置叫做波节或节点，把|ψ|2的最大位置叫做波腹或腹点．（五）一维矩形无限深势阱中、自由粒子的能级从（16.3.7）与（16.3.13）式可得到能量E 的表式： ⎢⎢⎢⎣⎡<<n E )c (的能级自由粒子中一维矩形深势阱v ,E n 是能量E 的本征值．粒子的能量E 只能具有这一系列分立的数值E n ，也就是说，能量E 是量子化的．上述的n 值相当于玻尔理论中的量子数．虽然能级E n 和量子数n 都是玻尔先提出的，但他只作为一种假设提出．而在量子力学中，从薛定谔方程解出波函数ψ的过程，很自然地得出E n 和n ，不必求助于人为的假设．最低的能级E 1是为基态能级，相当于n=1的E 1值．其他各级能量E n =n 2E 1，如（图16.3b ）所示．粒子的能量不能小于E 1．但经典理论原以为，粒子的最小能量为零，所以最小能量E 1也被称为零点能．〔例题16.3A 〕已知原子核的线度为b=10－14米的数量级，质子的静质量为m=1.67×10－27千克．假设质子在原子核内作线性自由运动．求：（1）此质子的能量E 和速率v ．（2）它的动量p 和物质波波长λ．（3）它的总能ε和频率ν．（4）它的空间波函数u(x)和几率密度|ψ|2．〔解〕（1）把此质子看做是在线度为b 的无限深矩形势阱中，作线性自由运动．应用（16.3.20）式可求得它的能量E （即动能E k ）：E=n 2（h 2/8mb 2）=n 2×6.632×10－68/8×1.67×10－27×10－28= =n 2×3.29×10－13焦． E=E k =m v 2/2， v 2=2E/m=2n 2×3.29×10－13/1.67×10－27=n 2×3.94×1014，v =n ×1.98×107米/秒．当v <<c 时，可应用上述计算和下面的计算．（2）p=m v =1.67×10－27×n ×1.98×107=n ×3.31×10－20千克·米/秒．λ=h/p=6.63×10－34/n ×3.31×10－20=(1/n)×2.00×10－14米．（3）ε=E k +mc 2=n 2×3.29×10－13+1.67×10－27×9×1016= =n 2×3.29×10－13＋1.50×10－10=1.50×10－10焦．ν=ε/h=1.50×10－10/6.63×10－34=2.26×1023赫，或ν=c 2/v λ=9×1016/n ×1.98×107×(1/n)×2×10－14=2.27×1023赫． （4）按（16.3.17）式可求得此质子的空间波函数u(x)和几率密度|ψ|2的表式，其图解如（图16.3b ）所示． u(x)=)b /x n sin(b /2π=1.41×107sin （n πx ×1014）米－1/2.|ψ|2=|u|2=2×1014sin 2（n πx ×1014）米－1．〔说明〕请注意德布罗意波长λ=(1/n)×2b ，即势阱宽度b=n （λ/2）．还请注意，本题讨论自由粒子的一维运动，它的|ψ|2与|u|2的单位决定于b 的单位．。

§2.5定态薛定谔方程解的算例4、方势垒方势垒如图所示，哈密顿方程为通解通解方程同Ⅰ区，但这里无反射波，故如果粒子是从势垒的左边入射，通解中表示从左侧入射的波(粒子)表示碰撞器壁后被反射回去的波(粒子)由于在势垒右侧原来没有粒子，所以B3=0于是表示贯穿势垒后而透射过来的波(粒子)可以计算出粒子流量，用几率流密度表示粒子从I区经过势垒进入III区，称作势垒贯穿或隧道效应。

可以利用下述边界条件和波函数的条件确定：一阶微商连续粒子从I区经过势垒进入III区的穿透率还可用如下方法计算入射粒子的概率(几率)幅反射粒子的概率幅贯穿势垒的粒子的几率幅所以透射率和反射率可按下面的方法求出：通常只需计算向右运动的粒子。

如果势垒的高度V0比入射粒子能量E大得多，或势垒较宽时，即物理意义：1）能量E小于势垒高度的粒子确实有一定的几率穿越势垒。

透射系数T与势垒宽度a、(V0–E)和粒子质量有关2）随着势垒宽度a的增加，透射率T按指数衰减。

若把上式简单看做主要是由指数部分决定的，于是如果在势垒内部距表面距离为d处，几率衰减为表面的1/e，则d被定义为粒子在势垒中的穿透深度：透射系数例：试求入射电子能量为1ev，势垒高度为2ev，宽度为的几率。

如果粒子是质子，求透射系数。

解：由势垒宽度电子：质子：其质量是电子的1840倍，质子的质量约为940MeV例，一粒子质量为1kg，势垒的厚度a=10cm，V 0-E=1eV，穿透几率约为：几乎不能穿透！这说明对宏观物体来说，即便是总能量比势垒仅少1eV，其量子效应也是极其不明显的。

而对质量轻的电子而言，隧道效应就变得十分明显了！经典量子《聊斋志异》中，蒲松龄讲述的故事，说一个崂山道士能够穿墙而过。

虽是虚妄之谈，但从量子力学的观点来看，它还是有一定道理的，只不过是概率“小”了些而已。

利用量子隧道效应，可解释放射性原子核的α粒子衰变现象如果一核半径为R，α粒子在核内由于核力的作用，其势能很低。

关于薛定谔方程一． 定义及重要性薛定谔方程（Schrdinger equation ）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。

是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。

薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。

二． 表达式三． 定态方程()()222V r E r m ηψψ+⎡⎤-∇=⎢⎥⎣⎦所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。

其中，E 是粒子本身的能量；v(x ，y ，z)是描述势场的函数，假设不随时间变化。

2222222z y x ∂∂∂∂∂∂++=∇可化为d 0)(222=-+ψψv E h m dx薛定谔方程的解法一． 初值解法；欧拉法，龙格库塔法二． 边值解法；差分法，打靶法，有限元法龙格库塔法（对欧拉法的完善）给定初值问题).()()((3)),(),()( ,,(2))(),( 3112122111021h O t y t y hk y h t f k y t f k k c k c h y y y c c a y b t a y t f dt dyi i i i i i i i =-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==++==⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=++的局部截断误差使以下数值解法的值及确定常数ββαβα.))(,(,,(3) )()(2)()( ,))(,())(,())(,()( ))(,()( )()(2)()()( )( 3213211处的函数值分别表示相应函数在点其中得代入上式将处展成幂级数在首先将i i y t y t i i y t i i i i i i t y t f f f h O ff f h hf t y t y t y t f t y t f t y t f t y t y t f t y h O t y h t y h t y t y t t y '++++=+'=''='+''+'+=+++.)(21 1 ,,021,01 ),()()())(21()1()( ,)( 3221212213113222111的计算公式局部截断误差为可得到但只有两个方程，因此方程组有三个未知数，满足条件即常数当且仅当要使局部截断误差得下假设在局部截断误差的前提h O c c c c c c c c h O y t y h O ff f c h f c c h y t y t y y i i y t i i i i ==+=-=-+=-++-+-+-=-=++++ββββ有限元方法有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。

§12－6 薛定谔方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告。

报告后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。

几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。

薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来，它是否正确，只能由实验检验。

一、薛定谔方程 1 一维薛定谔方程1）一维自由运动粒子(无势场)设：一维自由运动粒子，无势场，不受力，动量不变。

一维自由运动粒子的波函数(前已讲)ψ(x , t ) = ψ0 e -i(2π/h ) (Et - px )由此有再利用 可得此即一维自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程。

2）若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程。

3）定态薛定谔方程若粒子在恒定势场U = U (x )中运动，微观粒子的势能仅是坐标的函数，与时间无关，可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即2222ip x hp x hψψψψ∂=∂∂=-∂22p E m=222282h h i m x tψψππ∂∂-=∂∂22p p E E m =+222282p h h E i m x tψψψππ∂∂-+=∂∂2(,)()()()iEt hx t x f t x eπψϕϕ-==式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t )中运动的波函数。

将ψ =ψ (x , t ) = ψ(x )T (t )代入得一维定态薛定谔方程式中ψ =ψ (x )是定态波函数，它所描写的粒子的状态称作定态，是能量取确值的状态。

定态的概率密度ψ(x ,t ) ψ*(x ,t ) = ψ (x ) ψ *(x ) 定态下的概率密度和时间无关。

在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件，求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)。