波函数满足定态薛定谔方程

量子力学与统计物理习题解答 第一章1. 一维运动粒子处于⎩⎨⎧≤>=-)0(0)0()(x x Axe x xλψ的状态，式中λ>0，求（1）归一化因子A ； （2）粒子的几率密度；（3）粒子出现在何处的几率最大？ 解：（1）⎰⎰∞-∞∞-*=0222)()(dx e x Adx x x x λψψ令 x λξ2=，则323232023202224!28)3(88λλλξξλξλA AA d e A dx ex Ax=⨯=Γ==-∞∞-⎰⎰由归一化的定义1)()(=⎰∞∞-*dx x x ψψ得 2/32λ=A（2）粒子的几率密度xe x x x x P λλψψ2234)()()(-*==（3）在极值点，由一阶导数0)(=dxx dP 可得方程0)1(2=--xe x x λλ 而方程的根0=x ；∞=x ；λ/1=x 即为极值点。

几率密度在极值点的值0)0(=P ；0)(lim =∞→x P x ；24)/1(-=e P λλ由于P(x)在区间(0，1/λ)的一阶导数大于零，是升函数；在区间(1/λ，∞)的一阶导数小于零，是减函数，故几率密度的最大值为24-e λ，出现在λ/1=x 处。

2. 一维线性谐振子处于状态t i x Aet x ωαψ212122),(--=（1）求归一化因子A ；（2）求谐振子坐标小x 的平均值；（3）求谐振子势能的平均值。

解：（1）⎰⎰∞∞--∞∞-*=dx e Adx x222αψψ⎰∞-=02222dx e A xα⎰∞-=222ξαξd e Aαπ2A =由归一化的定义1=⎰∞∞-*dx ψψ得 πα=A （2） ⎰⎰∞∞-∞∞--==dx xe A dx x xP x x222)(α因被积函数是奇函数，在对称区间上积分应为0，故 0=x （3）⎰∞∞-=dx x P x U U )()(⎰∞∞--=dx e kx x 22221απα ⎰∞-=0222dx e x k x απα⎰∞-=222ξξπαξd e k⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰∞-∞-0022221ξξπαξξd e e k⎰∞-=02221ξπαξd e k 2212ππαk=24αk =将2μω=k 、μωα=2代入，可得02141E U ==ω 是总能量的一半，由能量守恒定律U T E +=0可知动能平均值U E U E T ==-=0021和势能平均值相等，也是总能量的一半。

第二章 波函数与薛定谔方程2.1 设22()exp )2(x x A αψ-=，α为常数, 求归一化常数A . 解：由波函数满足的归一化条件()21x dx ψ+∞-∞=⎰有2222222222()exp 12()x x x x dx A dx A e dx A e dx αααψ+∞+∞+∞+∞---∞-∞-∞-∞-====⎰⎰⎰⎰由积分公式2x e dx +∞--∞=⎰有()()222211x x y e dx ed xe dy ααα+∞+∞+∞----∞-∞-∞===⎰⎰⎰即22221x A e dx A α+∞--∞==⎰，归一化常数A =2.2 设粒子波函数为(,,)x y z ψ ，求在(,)x x dx +范围中找到粒子的概率.解：在(,)x x dx +范围内找到粒子的概率为2(,,)x y z dydz dx ψ+∞+∞-∞-∞⎛⎫⎪⎝⎭⎰⎰.2.3 设在球坐标系中，粒子波函数表为(,,)r ψθϕ，求：(1)在球壳(,)r r dr +中找到粒子的概率；(2)在(,)θϕ方向的立体角d Ω中找到粒子的概率.解：(1)在球壳(,)r r dr +中找到粒子的概率为()22|(,,)|r d r dr ψθϕΩ⎰； (2)在(,)θϕ方向的立体角d Ω中找到粒子的概率()22|(,,)|r r dr d ψθϕΩ⎰.2.4求平面单色波为00()p i x p x ψ⎛⎫⎪⎝⎭=在动量表象中的形式. 解：由坐标表象与动量表象间傅里叶变换式()()121,t (,)e2ipx p x t dx ϕψπ+∞--∞=⎰得单色平面波动量表象中的形式为()()()()001112122111,t ()e e 222ii p x px px p p x dx e dx ϕψπππ⎛⎫ ⎪⎝⎭+∞+∞---∞-∞⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭==⎰⎰()()001e2i p p xdx p p δπ+∞---∞==-⎰即平面单色波的波函数在动量表象中的表示形式为()()00,p p t p p ϕδ=-.2.5 粒子在0x x =点的量子态为δ函数00()()x x x x ψδ=-，试在动量表象中写出此量子态的形式.解：由坐标表象与动量表象间傅里叶变换式()()121,t (,)e 2i px p x t dx ϕψπ+∞--∞=⎰得δ函数在动量表象中量子态的形式为()()()()00012211211()e e21,t ()2e 2ip i ip x x x x p p x dx x x dx δϕπψππ+∞-----∞+∞∞-===⎰⎰即量子态为δ函数的波函数在动量表象中表示形式为()()00121,t e2i px x p ϕπ-=.2.6 证明从单粒子薛定谔方程得出的粒子速度场是非旋的，即求证0v ∇⨯=，其中/v j ρ=，ρ为概率密度，j 为概率流密度.证明：概率密度为()()(),,,r t r t r t ρψψ*=概率流密度为()()()()(),,,,,2j r t r t r t r t r t mi ψψψψ**⎡⎤⎣⎦=∇-∇根据薛定谔方程式可导出几率守恒方程，并定义几率流密度()()()()()(),,ln ,ln ,2,,2r t r t jv r t r t mi r t r t miψψψψρψψ***⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∇∇==-=∇-∇()()()()()ln ,ln ,l 2,,n 2r t i m r r t r t t mi ψψψψ**⎡⎤⎣⎦=∇-=∇可见v 正比于一个标量场()(),,r t r t ψψ* 的对数的梯度.梯度场无旋，故v是一个无旋场(0v ∇⨯=).2.7 设粒子在复势场()()()12V r V r iV r =+ 中运动，其中()1V r 和()2V r为实数，证明粒子的概率不守恒，并求出在某一空间体积中粒子概率“丧失”或“增加”的速率.解：根据薛定谔方程及其复数共轭形式()22122i V iV t m ψψψ∂=-∇++∂ (2.7.1)()22122i V iV t mψψψ***∂-=-∇+-∂ (2.7.2)ψ**(2.7.1) -ψ*(2.7.2)得()222222i iV t t m ψψψψψψψψψψ*****⎛⎫ ⎪⎝⎭∂∂+=-∇-∇+∂∂()2222iV mψψψψψψ***=-∇⋅∇-∇+ (2.7.3)即()()222V t mi ψψψψψψψψ****∂+∇⋅∇-∇=∂，可以写为 22j V tρρ∂+∇⋅=∂(2.7.4)其中()()(),,,r t r t r t ρψψ*=，()()()()(),,,,,2j r t r t r t r t r t mi ψψψψ**⎡⎤⎣⎦=∇-∇.上式右边不为零，这意味着粒子的几率不守恒.将上式对空间Ω积分，则得3322Sd r jds d rV t ρρΩΩ∂+=∂⎰⎰⎰ 故某一空间体积中粒子概率“丧失”或“增加”的速率为3322S V d r jds d r t ρρΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰ .2.8 设()()()1212,0E E r c r c r ψψψ=+ ，问(),0r ψ是否为定态，为什么？求(),r t ψ.解：(1)由于定态是体系能量具有确定值的状态，而题中波函数(),0r ψ处于能量1E 的本征态()1E r ψ与能量2E 的本征态()2E r ψ 的叠加状态，故(),0r ψ 不是定态；(2) t 时刻的波函数为()()()121212,i i E t E t E E r t c r e c r eψψψ--=+.2.9 计算1ikr e ψ=和2ikr e r ψ-=相应的概率流密度，并由所得结果说明这两个波函数描述的是怎样传播的波.解：由微商关系式：x y z e e e x y z∂∂∂∇=++∂∂∂ ，r r r e r ∇==，3211r r e r r r ∇=-=-(1)1ψ的概率流密度为：1ikr e r ψ=，1ikr e rψ-*= ()()()2122211ikr ikrikr ikrik ik ikr r r r e r e r ikr e e ikre r e r r rr r r ikr e e r ψ⎛⎫⎪⎝⎭∇-∇-∇-∇-∇=∇===∇= 或()111111ikrikrikr ikr ikr ikr ikr ikr r r r ikr e e ike e e e ike r e r e e e rrr r r r r r ψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-∇=∇=∇+∇=∇+-∇=-= ()()()2212211ikrikr ikr ikr ikr i r r i r k k e r e r ikr e e ikre r e r r rr r r ikr e e r ψ-*------⎛⎫⎪⎝⎭∇-∇+-∇-∇=∇===--∇=+∇ ()()()()()11111,,,,,2j r t r t r t r t r t mi ψψψψ**⎡⎤⎣⎦=∇-∇()()22112ikrikrikr ikr r r ikr e ikr e e e e e mi r r r r --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-+=--112r ikr ikr e mi r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭--=+2rk e mr =即()12,r k j r t e mr=描述的是沿径向向外传播的球面波； (2) 2ψ的概率流密度为：2ikr e r ψ-=，2ikr e rψ*= ()()()2222211ikr ikrikr ikr ikri r kr ikr e r e r ikr e e ikre r e ikr e e r r r rr r r ψ-------⎛⎫⎪⎝⎭∇-∇+-∇-+∇-∇=∇===-∇= ()()()2222211ikr ikrikr ikrikr ikr r ikr e r e r ikr e e ikre r ik e r r rr r r e r e r ψ*⎛⎫⎪⎝⎭∇-∇-∇-∇=∇====∇∇- ()()()()()22222,,,,,2j r t r t r t r t r t mi ψψψψ**⎡⎤⎣⎦=∇-∇()()22112ikrikr ikr ikrr r ikr e ikr e e e e e mi r r r r --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦+-=-- ()33112r ikr ikr e mi r r ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-+-=-2rk e mr =-即()22,r k j r t e mr=-描述的是沿径向向内传播的球面波.2.10 粒子在一维势场中运动，若所处的外场均匀但与时间有关，即()(),V x t V t =，试用分离变量法求解一维薛定谔方程.解：由一维薛定谔波动方程()()()222,,,2i x t V x t x t t m x ψψ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∂∂=-+∂∂ ， 采用分离变量法求特解，令其特解可表示为()()(),x t x f t ψϕ=，带入一维薛定谔波动方程有()()()()()()()()()()2222i x f t x f t V t x f t t m x ϕϕϕ∂∂=-+∂∂ ()()()()()()()()2222x i f t f t x V t x f t t m xϕϕϕ∂∂=-+∂∂方程两边同时除以()()x f t ϕ可得()()()()()22212f t i x V t f t t m x x ϕϕ∂∂=-+∂∂ ()()()()()22212f t i V t x f t t m x x ϕεϕ∂∂-=-≡∂∂其中ε是既不依赖于t ，也不依赖于x 的常数.(1)此时关于时间部分为：()()()f t i V t f t tε∂-=∂ 方程两边同时对时间t 积分得()()()()()()00000ln tt t t t df i d d V d d i f d V d t f d d ττττετττττε-=⇒-=⎰⎰⎰⎰⎰()()()()00ln ti V d t ti f t V d t f t e ττεττε⎛⎫ ⎪⎝⎭-+⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰=-+⇒=⎰(2)关于坐标的部分为：()()()()2222221202d d m x x x m x dx dx εϕεϕϕϕ-=⇒+=此二阶齐次微分方程的解为()x Ae ϕ±=由上述两部分可知()()()()0,t i V d t x t x f t Ae eττεψϕ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-+±⎰==其中A 和ε均为常数，分别由归一化条件和初试条件决定.2.11 粒子在无限深方势阱中(0x a <<)中运动，对处于定态()n x ψ的粒子，证明：2ax =，()222226112a x x n π⎛⎫ ⎪⎝⎭-=-， 0p =，()222n p p mE -=，讨论n →∞的情况，并与经典计算结果比较.解：一维无限深方势阱内(0x a <<)粒子的波函数为()n n x x a πψ⎛⎫⎪⎝⎭=， 能量本征值为22222n n E ma π= .(1) ()()0n n n x n x x x x x dx dx a a ππψψ+∞*-∞⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎰⎰200cos 12sin 1222a a n x a n x x x a dx dx a a ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎰⎰ 0020022cos sin 1111122aaa a n x n x x a a dx dx x a a a n πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-=⎰⎰2a=(2)()222202n x a n x x x x dx a a ππ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝-=-⎰22222002212sin 1cos 222a a a n x a n x x dx x dx a a a a ππ⎛⎫⎛⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎝⎭⎝⎭=-=--⎰⎰ 22220000112112cos cos 4a a a a n x a n xx dx x dx dx x dx a a a a a aππ=--+⎰⎰⎰⎰2222222260132412a a a a n n ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭=--+=-(3)()()()(n n i i n x n x p x x dx dx a a ππψψ+∞*-∞⎛⎫⎛⎫-∇-∇ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎰⎰22022sin cos sin aan n x n x n n x i dx i dx a a a a a πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-=-=⎰⎰0022022cos cos 222sin aaaa n x i n x n a a a n n x n i dx i a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-==-=-⎰0=(4)()()222222220sin 2sin an n n x x x a n x p p x x dx dx a a ππψψ+∞*-∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂--∂∂-==⎰⎰2222222230022sin sin sin a an n x n a a a a n x n x dx dx a a πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭--==⎰⎰002222223301221cos sin 222a a a n x a n x x a n a n n a a dx πππππ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭-==-⎰22222n mE n a π==2.12 考虑质量为m 的粒子被限制在宽度为a 的一维无限深势阱();;0,2,2ax V x a x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩<=∞> 中运动，(1)粒子的能级和相应的波函数；(2)粒子处于基态的动量分布. 解：(1)在阱内体系所满足的定态薛定谔方程是2222d E m dx ψψ=- ，2a x < (2.12.1)在阱外，定态薛定谔方程为()2222V x d E m dx ψψψ+=- ，2a x > (2.12.2) (2.12.2)式中，()x V →∞.根据波函数所满足的连续性和有限性条件，只有当0ψ=时，(2.12.2)式才能成立，所以有0ψ=，2ax >(2.12.3) 该条件为解(2.12.1)式时所需的边界条件.为书写简便，引入记号1222mEα⎛⎫⎪⎝⎭= (2.12.4) 则(2.12.1)式简写为2220d dx αψψ+=，2a x <它的解是sin cos A x B x ψαα=+，ax <(2.12.5) 根据ψ的连续性，由(2.12.3)式20a ψ⎛⎫± ⎪⎝⎭=，代入(2.12.5)，有22sin cos 0aaA B αα+=， 22sin cos 0aaA B αα-+=.由此得到2sin 0aA α=，2cos 0aB α=. (2.12.6)A 和B 不能同时为零，否则ψ到处为零，这在物理上是没有意义的.因此，我们得到两组解：(1) 0A =，2cos 0aα= (2.12.7) (2) 0B =，2sin 0aα= (2.12.8)由此可求得22anαπ=，1,2,3,n = (2.12.9)对于第一组解，n 为奇数；对于第二组解，n 为偶数. 0n =对应于ψ恒为零的解，n 等于负整数时解与n 等于相应正整数时解线性相关（仅差一负号），都不取.由(2.12.4)式和(2.12.9)式，得到体系的能量为22222n n E maπ= ，n 为正整数. (2.12.10) 将(2.12.7)式、(2.12.8)式依次代入(2.12.5)式中，并考虑(2.12.9)及(2.12.3)两式，得到一组解的波函数为sin ,20,2n n aA x n x a a x πψ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩为正偶数 (2.12.11)另一组解的波函数为cos ,20,2n n aB x n x a a x πψ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩为正奇数 (2.12.12)由归一化条件21dx ψ∞-∞=⎰可得常数A B ==(2)粒子处于基态时1n =，体系的能量为22122E ma π= ，波函数为1x aπψ=，对应于动量空间的波函数为：()()221a a i i px px p x e dx x e dx a πϕψ∞---∞-⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭==⎰22c os 2aipx a ap x e dx a π--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭==⎰ 其中积分项2cosaipx a x edx a π--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰采用两次分部积分求出： 222222cossin sin a i px a a ai ipx px a a x e a a a ix edx x pe dx a a πππππ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-⎰⎰222sin i ai a p p aipx a i eep a a x e dx a πππ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ (I)222222cossincos aipx a a aiipx px a a x e a a a ix edx x pe dx a a πππππ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=---⎰⎰2cos aipx a i a p x e dx aππ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎰ (II) 结合(I)、(II)两式可得2222222222cos 2cos i a i a p p ai px a a ap a e e a p p a x e dx a πππππ---⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭+= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎰即()22cos a i px a ap a p x e dx a ππϕ--⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭== . 粒子处于基态的动量分布为()222224cos 221ap ap a p p a a p a πππϕπ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎡⎤⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=2.14 粒子在如图所示的势阱中运动，设粒子处于第n 个束缚态，相应的能级为n E ，如0n V E ，求粒子在阱外出现的概率.解：00E V <<的情况下粒子处于束缚态：在阱外2ax ≥，定态波动方程为 ()022220V d m E dx ψψ--=令β=考虑到束缚态边界条件（x →∞处，()0x ψ→），方程应取如下形式的解(),2,2xx a Ae x x a Be x ββψ-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥=≤-常数A 与B 由归一化条件确定（由于势场具有对称性A B =）.在阱内2ax ≤，定态波动方程表示为22220d mE dx ψψ+= 令k =波函数偶宇称态的解为()cos x C kx ψ ，奇宇称态的解为()sin x D kx ψ . (a) 偶宇称态，波函数()x ψ及其微商()x ψ'在2ax =处是连续的； 22cos cos 2a a x x a xaC kx C k AeAe ββ==--=⇒=()()222cos sin 2xa a x x aAeC kx akC k Ae βββ-==-''-=⇒=-两式相比可得到能级公式为tan 2ka kβ=. 如0n V E ，k β=→=，()2122n ka π+→ ()2222222222+xa a aa a xB A A Aee e e dx Bedx dx x ββββββββψ∞------∞+===⎰⎰⎰阱外带入关系式2cos 2aa C k Ae β-=得()222cos 2C kax dx ψβ=⎰阱外()222221sin 22cos aa C C a ka kdx C kx dx x ψ-+==⎰⎰阱内由于()2122n ka π+→，所以2cos 02ka →，sin 0ka →，粒子出现在阱外的概率远小于粒子出现在阱内的概率()()2222C a dx dx x x ψψ≈≈⎰⎰全空间阱内粒子出现在阱外的概率为()()220222c cos 2=o 2=s =222C k ka V a E dxC a a dxa x x βββψψ⎰⎰全空间阱外22220222221cos 21tan 112ka k k E k V a k ββ⎝⎭====+⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=+⎝⎭⎝⎭.2.16 利用厄米多项式的递推关系()()()11220n n n H H nH ξξξξ+--+=，()()12n n H nH ξξ-='，求证()()111()n n n x x x x ψα-+⎤⎥⎥⎦=+，()()11()n n n d x x x dx ψα-+⎤⎥⎥⎦=， 并由此证明()n x ψ态下0x =，2nE V =，0p =，222n p m E T ==. 证明：(1)谐振子波函数()()22n n x H ξψξ-=，其中xξα=，α=关于Hermite 多项式有递推关系()()()11220n n n H H nH ξξξξ+--+=22ξ-得()()()22222211220n n n H H H ξξξξξξ---+--+=()()()2222221102n n n H H H ξξξξξξα---+--+= (*)()()()1120n n n x x xx αψ+--+=由此即得()()111()n n n x x x x ψα-+⎤⎥⎥⎦=(2) 由()()2n n x H ξψξ-=，()()()()()()()()222222x x x n n n n d d d dx dx dx d dx x H x e H x e H x αααψααα---⎫⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=+⎨⎬⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭= ()()()()()2222212x x n n x e H x e n H x αααααα---⎫⎛⎫⎪ ⎪=-+⎬⎪⎪⎝⎭⎭(()()()()2222212x x n n x H x n H x ααααα---=-+代入(*)的变形式得()()()222222112n n n H H H ξξξαξξξ---+-=+()(()()()()2222212x x n n n d x dx x H x n H x αααψαα---=-+()()()()22222112122x n n n H H n H x αξξαξξα--+---=-++⎫⎪⎪⎭()()()1112n n n x x x αψ⎫⎪⎪⎭+--=- ()()11n n x x α-+⎤⎥⎥⎦=(3)()()111n n n n nx x dx dx x x ψαψψ+∞+∞**-∞-+-∞⎤⎥⎥⎦==⎰⎰()()11n n n n x x dx dx ψψψψ-++∞+∞**-∞-∞=0=(4)()222222111222n n n n n n V m x m x m x V dx dx dx ωωωψψψψψψ+∞+∞+∞***-∞-∞-∞⎛⎫ ⎪⎝⎭====⎰⎰⎰由(1)得()()111()n n n x x x x ψα-+⎤⎥⎥⎦=+再乘以x 得()()2111()n n n x x x x ψψψα-+⎤⎥⎥⎦=()()()()2211n n n n x x x x αα-+⎫⎤⎤⎪⎥⎥⎪⎥⎦⎦⎤⎥=⎭⎥⎦()()()()2222112n n n n x x x ψα-+⎤⎥⎦=++ ()()()()()222222112n n n n n n x xdx n dx x x x ψψψψα+∞+∞**-∞-∞-+⎧⎫⎤⎨⎬⎩=⎭=⎥⎦+++⎰⎰()()()()222002112n n n n n n x dx n x dx x dx ψψψψψψα+∞+∞**-++∞∞*--∞-∞⎫⎪=++⎬⎪⎩⎭⎰ ()2212n α=+()()222222212111122221112222n n n n E m x m m V ωωωωα=++⎛⎫=+= ⎪⎝⎭==(5)()()11n n n n n n n d d i dx dx i i x dx d p d x x xψψψψψα+∞+∞+∞**-∞-∞-+*-∞--⎤⎛⎫-⎥ ⎪⎝⎭⎥⎦===⎰⎰⎰()()11000n n n n i x x dx dx ψψαψψ-++∞+∞**-∞-∞⎫⎪=-=⎬⎪⎭(6)()()22221121222nn n nnd dm dx m dxxpT dxmx dxαψψψ+∞+∞**-∞--∞+⎧⎫⎤⎪⎪⎥⎨⎬⎥⎪⎪⎛⎫--⎪⎝⎭⎦⎩⎭===⎰⎰()()()() 222 2n nn nn n mx x dx dx x x αααψψ+∞+∞*-*-∞∞+-⎧⎫⎧⎫⎤⎤⎪⎪⎪⎪⎥⎥⎨⎬⎨⎬⎥⎥⎪⎪⎪⎪⎫⎪-⎬⎪⎭⎦⎦⎩⎭⎩⎭=()()()()220022214nn n nnndx dxx xnmx dxψψψψαψψ+∞+∞**-∞+-∞-⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎩⎭+∞*-∞+-=-⎰⎰⎰()222111222212144nm nn Enm mωωα⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭+==+=+=2.17 质量为m的粒子处于势阱()220;,1,20;xxxm xVω∞⎧>=≤⎪⎨⎪⎩中，求粒子的可能能量.提示：利用谐振子波函数()nxψ的奇偶性()()()1nn nx xψψ-=-.解：线性谐振子对应于本正函数()()221212122!xn nnx e H xnαααπψ-⎛⎫⎪=⎪⎝⎭，α=的本征值为12nE nω⎛⎫=+⎪⎝⎭.题中0x≤区域，粒子的波函数满足()0xϕ=.0x>区域粒子的波函数满足边界条件()00ϕ=，()0ϕ∞=，由波函数的连续性可知()00ϕ=.由谐振子波函数()nxψ的奇偶性条件()()()1nn nx xψψ-=-，我们得知只有当n取奇数时连续性条件才被满足，故此时粒子的可能能量值为()1321222nE n nωω⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,n=.相应的本正函数为()()21n nx xϕ+=.()()()222222121011122n n n A x dx A x dx A x dx ψψϕ+∞+∞+∞++-∞====⎰⎰⎰，故A =.2.18 设()1,r t ψ 和()2,r t ψ 是不含时势场()V r中薛定谔方程的两个解，证明对变量变化的全空间积分312d x ψψ*⎰与时间无关，即3120d d x dtψψ*=⎰. 证明：由题意得()1,r t ψ 和()2,r t ψ分别满足薛定谔波动方程()()()()22111,,,2i r t r t V r r t t m ψψψ∂=-∇+∂ (2.18.1) ()()()()22222,,,2i r t r t V r r t t mψψψ∂=-∇+∂ (2.18.2) ()1,r t ψ*⨯ ()2.18.2 - ()2,r t ψ⨯()2.18.1*()()()()()()()()222122112,,,,,,2i r t r t r t r t r t r t t mψψψψψψ***∂=∇-∇∂()()()()()22112,,,,2r t r t r t r t mψψψψ**=∇⋅∇-∇上式对全空间进行积分()()()()()()()()233122112,,,,,,2i r t r t d x r t r t r t r t d x t mψψψψψψ***∂=∇⋅∇-∇∂⎰⎰ ()()()()()22112,,,,2r t r t r t r t ds m ψψψψ**=∇-∇⋅⎰由于无穷远处波函数为零，积分项()()()()()2112,,,,r t r t r t r t ψψψψ**∇-∇⎰ 为零，即()()()132,0,d d x dtr t r t ψψ*= .。

波函数和薛定谔⽅程波函数和薛定谔⽅程⼀、波函数的统计解释、叠加原理和双缝⼲涉实验微观粒⼦具有波粒⼆象性（德布罗意假设）；德布罗意关系（将描述粒⼦和波的物理量联系在⼀起） k n h p h E ====λων物质波（微观粒⼦—实物粒⼦）引⼊波函数（概率波幅）—描述微观粒⼦运动状态对于微观粒⼦来说，如果不考虑“⾃旋”⼀类的“内禀”态，单值波函数是其物理状态的最详尽描述。

⾄少在⽬前量⼦⼒学框架中，我们不能获得⽐波函数更多的物理信息。

微观粒⼦的状态⽤波函数完全描述——量⼦⼒学中的⼀条基本原理该原理包含三⽅⾯内容：粒⼦的状态⽤波函数表⽰、波函数的统计解释和对波函数性质的要求。

要明确“完全”的含义是什么。

按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述体系的量⼦态，若已知单粒⼦（不考虑⾃旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒⼦的位置概率分布，⽽且如动量等粒⼦的其它⼒学量的概率分布也均可通过波函数⽽完全确定。

由此可见，只要已知体系的波函数，便可获得该体系的⼀切物理信息。

从这个意义上说，有关体系的全部信息已包含在波函数中，所以说微观粒⼦的状态⽤波函数完全描述。

必须强调指出，波函数给出的有关粒⼦的“信息”本质上是统计性质的。

例如，在适当条件下制备动量为p 的粒⼦，然后测量其空间位置，我们根本⽆法预⾔测量的结果，我们只能知道获得各种可能结果的概率。

很⾃然，⼈们会提出这样的疑问：既然量⼦⼒学只能给出统计结果，那就只需引⼊⼀个概率分布函数（象经典统计⼒学那样），何必假定⼀个复值波函数呢？事实上，引⼊复值波函数的物理基础，乃是量⼦⼒学中的⼜⼀条基本原理——叠加原理。

这条原理告诉我们，两种状态的叠加，绝不是概率相加，数学求和）。

正因如此，在双缝⼲涉实验中，我们才能看见屏上的⼲涉花纹。

实物粒⼦双缝⼲涉实验分析我们⾸先只打开⼀条狭缝，根据粒⼦的波动性，可以预⾔屏上将显⽰波长p / =λ（p 为粒⼦动量）的单缝衍射花纹。

但是，根据粒⼦的微粒性，它们将是⼀个⼀个打上去的，怎样将这两种性质的描述调和起来呢？为此，我们想象将⼊射粒⼦束强度降低，直到只⼀个粒⼦通过狭缝，这时屏上会出现很微弱的衍射花纹吗？当然不会！单个粒⼦只能作为⼀个不可分割的整体打到屏上的⼀个点，从⽽出现⼀个⼩斑点。

第五章波函数与薛定谔方程§5 - 1 波函数的统计诠释一概率波（1）电子双缝衍射和概率波( a )( b )图5 - 1 光( a )和电子( b )的双缝衍射图样●入射电子流的强度很大，即单位时间内有许多电子通过双缝，则底片上很快就出现了图5- 1 ( b )所给出的衍射图样。

●单个电子就具有波动性：即使入射电子流极其微弱，以致电子几乎是单个地通过双缝，短时间内底片上记录下来的只是一些分布不规律的点子，但是只要时间足够长，底片上仍将呈现出有规律的衍射图样，即单个电子就具有波动性。

●实验上所显示出来的电子的波动性，是许多电子在同一个实验中的统计结果；or 是一个在许多次相同实验中的统计结果。

●实验的衍射图样代表了电子在空间r点附近出现的概率的大小，德布罗意波或薛定谔方程中的波函数ψ正是为描写粒子的这种行为而)(r引进的；是刻画粒子在空间概率分布的概率波。

●在量子力学中，波函数)(rψ是最重要的基本概念之一，它可以完全描述一个体系的量子态。

●在经典物理学中并不存在与波函数ψ对应的物理量。

在经典概念下，)(r当相干波源发出来的声波或光波在空间同一区域交叠时，所发生的是周期变化的实在物理量(如位移、压强或电场强度等)的叠加，在合成的强度分布中出现了在非相干叠加(即振幅的平方或强度叠加)时没有的干涉项，正是这一项决定了干涉和衍射现象的发生。

( 2 ) 波函数的概率诠释设衍射波幅用)(r ψ描述，则衍射图样的强度分布用)(r ψ的模方描述 )()(*)(2r r r ψψψ= (5.1)其中：ψ*( r )是ψ ( r )的复共轭。

衍射波强度 | ψ ( r ) |2是刻画电子出现在r 点附近的概率大小的一个量，即 z y x ∆∆∆2)(r ψ (5.2)表示在r 点处的体积元z y x ∆∆∆中找到粒子的概率。

这就是波函数的概率诠释 量子力学的基本原理之一。

结论：波函数ψ( r )：是刻画粒子在空间概率分布的概率波，称为概率波幅或概率幅。