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波函数满足定态薛定谔方程

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15.6 波函数 一维定态薛定谔方程

15.6 波函数 一维定态薛定谔方程
k nπ a
2
2mE
2
2
, n 1, 2 ,
En n
π
2 2
,
n 1, 2 ,
2ma
n 为主量子数，表明粒子的能量是量子化的。
大学物理 第三次修订本
13
第15章 量子物理基础
波函数
nπ Ψ n x A sin a
2 a
x , n 1, 2 ,
i t Ψ (r , t ) Ψ (r )e
E
定态薛定谔方程
2m 2 2 2 Ψ( r ) 2 E V Ψ(r ) 0 x y z
2 2 2
若粒子在一维空间运动，则
d Ψ x
2
dx
2

2m
大学物理 第三次修订本
o
a
x
势能曲线
11
第15章 量子物理基础
薛定谔方程
d Ψ x
2
dx
2

2mE
2
Ψ x 0
d Ψ x
2
,0 xa
k Ψ x 0
2
令 k
2 mE
2
则
dx
2
方程通解
Ψ x A sin kx B cos kx
Ψ 利用边界条件 x = 0， 0 0 , 则 B = 0 。
物质波波函数是复数，它本身并不代表任 何可观测的物理量。 波函数是怎样描述微观粒子运动状态的？
大学物理 第三次修订本
3
第15章 量子物理基础
1926年德国物理学家玻恩提出了物质波的 统计解释：实物粒子的物质波是一种概率波, t 时刻粒子在空间 r 处附近的体积元 dV 中出现的 概率dW与该处波函数绝对值的平方成正比。

19-(3)波函数 薛定谔方程

19-(3)波函数 薛定谔方程
19-3 波函数 薛定谔方程
1
一 波函数
波函数：描述具有波粒二象性粒子的运动函数。 设一自由粒子，不受外力作用，则粒子作匀速直线运动（设 沿X轴），其动量、能量保持恒定。 X
E const
P const


E h
h p
恒定！ 恒定！
从波动观点看来：这种波只能是单色平面波。
2
自由粒子的波函数 X
波函数：描述具有波粒二象性粒子的运动函数。 注意：波函数一般要用复数表示!
5
二 波函数的统计解释（波恩Born）
代表什么？
粒子的观点 极大值 极小值 中间值 较多电子到达 较少电子到达 介于二者之间 波动的观点 波强度大 波强度小 介于二者之间
b
x
p h

大量粒子的一次性行为和一个粒子多 次性重复性行为是等价的。 统一地看：粒子出现的几率正比
E Ek
Px
2m
i
t


2

2 2
2m x
( 6)
15
2 势场中的薛定谔方程
若粒子处在势场中，势能为U（x、t），总能量：
E Px
2
U ( x , t )(7)
Px
2
2m
E U ( x , t ) ( 8)
2m
将（5）式看成一般情况下的特例：


2
( x , y , z ) U ( x , y , z ) E ( x , y , z )(18)
2
2m
定态薛定谔方程： 2
2m
2
( E U ) 0(19)
19

2

量子力学与统计物理习题解答完整版

量子力学与统计物理习题解答完整版

量子力学与统计物理习题解答 第一章1. 一维运动粒子处于⎩⎨⎧≤>=-)0(0)0()(x x Axe x xλψ的状态，式中λ>0，求（1）归一化因子A ； （2）粒子的几率密度；（3）粒子出现在何处的几率最大？ 解：（1）⎰⎰∞-∞∞-*=0222)()(dx e x Adx x x x λψψ令 x λξ2=，则323232023202224!28)3(88λλλξξλξλA AA d e A dx ex Ax=⨯=Γ==-∞∞-⎰⎰由归一化的定义1)()(=⎰∞∞-*dx x x ψψ得 2/32λ=A（2）粒子的几率密度xe x x x x P λλψψ2234)()()(-*==（3）在极值点，由一阶导数0)(=dxx dP 可得方程0)1(2=--xe x x λλ 而方程的根0=x ；∞=x ；λ/1=x 即为极值点。

几率密度在极值点的值0)0(=P ；0)(lim =∞→x P x ；24)/1(-=e P λλ由于P(x)在区间(0，1/λ)的一阶导数大于零，是升函数；在区间(1/λ，∞)的一阶导数小于零，是减函数，故几率密度的最大值为24-e λ，出现在λ/1=x 处。

2. 一维线性谐振子处于状态t i x Aet x ωαψ212122),(--=（1）求归一化因子A ；（2）求谐振子坐标小x 的平均值；（3）求谐振子势能的平均值。

解：（1）⎰⎰∞∞--∞∞-*=dx e Adx x222αψψ⎰∞-=02222dx e A xα⎰∞-=222ξαξd e Aαπ2A =由归一化的定义1=⎰∞∞-*dx ψψ得 πα=A （2） ⎰⎰∞∞-∞∞--==dx xe A dx x xP x x222)(α因被积函数是奇函数，在对称区间上积分应为0，故 0=x （3）⎰∞∞-=dx x P x U U )()(⎰∞∞--=dx e kx x 22221απα ⎰∞-=0222dx e x k x απα⎰∞-=222ξξπαξd e k⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰∞-∞-0022221ξξπαξξd e e k⎰∞-=02221ξπαξd e k 2212ππαk=24αk =将2μω=k 、μωα=2代入，可得02141E U ==ω 是总能量的一半，由能量守恒定律U T E +=0可知动能平均值U E U E T ==-=0021和势能平均值相等，也是总能量的一半。

大学物理课件：23-2波函数与薛定谔方程

大学物理课件：23-2波函数与薛定谔方程

0.091
例：试求在一维无限深势阱中n=1粒子概率密度的最大值的位置。
解：一维无限深势阱中n=1粒子的概率密度为
1(x)
2
2 a
sin2
a
x
n (x)
d 1(x) 2
dx
4
a2
sin
a
x
cos
a
x0
2 sin n x
aa
因为粒子在阱内，则
sin
a
x
0
cos
a
x
0
a
x
2
由此解得最大值得位置为
在 dV 空间内发现粒子的概率： dP 2 dV *dV
概率密度 表示在某处单位体积内发现粒子的概率. Ψ 2 *
某一时刻在整个空间内发现粒子的概率为:
Ψ
2
dV
1
归一化条件
波函数的标准化条件
1）波函数具有有限性
有限空间内：
Ψ
2
dV
1
2）波函数是连续的
3）波函数是单值的
例：作一维运动的粒子被束缚在 0 x的 a范围内。已知其波函数
移动原子
六、一维简谐振子
微观领域中分子的振
动、晶格的振动、，都
可以近似地用简谐振子模
型来描述 。
一维简谐振子的经典模型
一维简谐振子的势函数：
U (x) 1 kx2 1 m2x2
2
2
k m,
m —— 振子质量， —— 固有频率，x —— 位移
相应的定态薛定谔方程为 ：
2 d2 1 m 2 x2 E
2
2m
d2 dx2
U
x
x
E
x
2

大学物理(下册) 14.6 波函数 薛定谔方程

大学物理(下册) 14.6 波函数 薛定谔方程

1.所描述的状态称为 F 的本征态，而上式则 称为本征值方程；
2.波函数的标准条件：单值、有限和连续；
例题 14.6.1 设质量为m的粒子沿x轴方向运动，其势 能为： , x 0,x a Ep u ( x) 0, 0 x a （14.6.15）
无限深势阱：该势能如图所示形如一 无限深的阱，故称无限深势阱，本问 题为求解该一维无限深势阱内粒子的 波函数。
2 2 1 f ( t ) (x, y,z ) 推出： i V (x, y,z ) f (t ) t 2m (x, y,z )
设常量E：
1 f (t ) i E f (t ) t
2
[
2m
V (x, y,z )] (x, y,z ) E (x, y,z )
o
a
x
解：分析 因为势能不随时间变化，故粒子波函数 满足定态薛定谔方程，在势阱内势能为零故其定 态薛定谔方程为：
定态薛定谔方程为：
Ep
k 2mE
d 2 k 0 2 dx
2
其通解为： ( x)
A sin kx B cos kx
o
a
x
由波函数的标准条件：单值、有限和连续可得：
2.定态薛定谔方程 势能函数： V V ( x, y, z ) 波函数可以分离为坐标函数和时间函数的乘积：
(x, y,z,t ) (x, y,z ) f (t )
（14.6.8）
将其代入薛定谔方程式：
2 f (t ) i (x, y,z ) 2 (x, y,z ) f (t ) V (x, y,z ) (x, y,z ) f (t ) t 2m
2
解之得： 定态波函数：

波函数薛定谔方程

波函数薛定谔方程

(r .t )
0e
i
(
Et
pr )
波函数Ψ是复数，模的平方可表示为
2 *
5
4 、波函数的统计解释: (1)概率密度: 玻恩假定：概率波的波函数Ψ，模的平方
| r,t|2 r,t* r,t
代表 t 时刻，在空间 r 点处单位体积元中发现一个粒子的概 率，称为概率密度。
t 时刻在空间 r 附近体积 dv 内发现粒子的概率为：
为物质波能够干涉)。
薛定谔提出了波函数Ψ(x,y,z,t)所适用的（在非相对论） 动力学方程：
2 2 U x, y, z,t i
2m
t
（１）式中 2 2 2 2 称之为拉普拉斯算符， x2 y 2 z 2
11
（２）U x, y, z, t
表示微观粒子受到的作用势能，它一般的是 r 和 t 的函数， （３） m 是微观粒子的质量。
薛定谔方程既不能由经典理论导出，也不能用严格的逻辑推 理来证明，它的正确与否只能用实验来验证。
1 、一般的薛定谔方程 微观粒子的运动状态用波函数
Ψ(x,y,z,t)描述，薛定谔认为，这 个波函数应该是适用于微观粒子的波 动方程的一个解。
10
•必须能满足德布罗意波公式的要求，
E , h
h
p
•必须是线性微分方程,即其方程的解必须能满足叠加原理 (因
的原理可以证明它的正确性。 从薛定谔方程得到的结论正确与否，需要用实验事实去验证。
薛定谔方程是量子力学的一条基本假设。
14
例 15-23 将波函数在空间各点的振幅同时增大 D 倍,则粒子在 空间的分布概率将
(A)增大Ｄ２倍;(B)增大 2 D 倍;(C)增大 D 倍;(D)不变。

量子力学电子教案波函数和 薛定谔方程

第二章
波函数和 薛定谔方程
微观粒子的基本属性不能用经典语言确切描述。
量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态，波函数所 遵从的方程——薛定谔方程是量子力学的基本方程。 一、 物质波的波函数及其统计解释
1. 波函数： 概率波的数学表达形式， 描述微观客体的运动状态
(r , t ) ( x, y, z, t )
对屏上电子数分布 作概率性描述
一般 t 时刻,到达空间 r（x,y,z）处某体积dV内的粒子数 ： 2 d N N | | d V
| ( x, y, z, t ) | *
2
dN N dV
| ( x, y, z, t ) |
2
的物理意义:
• t 时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比 • t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积 内的概率 • t 时刻，粒子在空间分布的概率密度
2. 波函数的强度——模的平方 2 波函数与其共轭复数的积 | | * 例：一维自由粒子：
| ( x, t ) | * 0e
2 i ( E t p x x ) i h ( E t p x x )
0e
0
2
3. 波函数的统计解释
1 2
| | | 1 2 | 1 1 * 2 2 * 1 2 * 1 * 2
2 2
干涉项
4、 波函数的归一化条件和标准条件 归一化条件 粒子在整个空间出现的概率为1
|
V
| dV
2

V
dN N dV
即
三维定态薛定谔方程
一般形式薛定谔方程

波函数及薛定谔方程

N ⋅ dV | Ψ ( x , y , z , t ) |2 的物理意义：
t 时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比
t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积 内的概率
t 时刻，粒子在空间的概率密度分布
注意：
物质波的波函数不表示任何实在物理 量的波动，不描述介质中运动状态（相 位）传播的过程,
NN
标准条件
Ψ是单值、有限、连续的 。
二、薛定谔方程： 是波函数 Ψ所遵从的方程 — 量子力学的基本方程 , 是量子力学的基本假设之一，其正确性由实验检验。
1. 建立 （简单→复杂， 特殊→一般）
一维自由粒子的振幅方程
Ψ (x,t)
=Ψ e−
i ℏ
(
E
t
−
px
⋅
x
)
0
=
Ψ
0e
+
i ℏ
p
x
⋅x
−i Et
2 x
2m
代入
d2ψ ( x) dx2
=
−
px ℏ2
2
ψ
(
x
)*
得
d 2ψ ( x ) dx2
+
2 mE ℏ2
ψ
(x)
=
0
即 一维自由粒子的振幅方程
p
2 x
=
2mE
一维定态薛定谔方程
粒子在力场中运动，且势能不随时间变化
E
=
Ek
+
Ep
=
p
2 x
2m
+U
px2 = 2m(E −U )
代入
d2ψ ( x) dx2
∴ 建立关于振幅函数 ψ(x)的方程 —— 振幅方程

波函数薛定谔方程


✓ 必须能满足德布罗意波公式的要求
E , h
h
p
✓ 必须是线性微分方程,即其方程的解必须能满 足叠加原理 (因为物质波能够干涉)。
第16章 量子物理基础
16–6 波函数 薛定谔方程
8
薛定谔提出了波函数Ψ(x,y,z,t)所适用的（在非相对论） 动力学方程：
i
2
2 V
t
2m
（1）2 2 2 2 称之为拉普拉斯算符
2m
式中Ｅ是粒子的总能量，又称为能量本征值。
第16章 量子物理基础
16–6 波函数 薛定谔方程
11
一维定态薛定谔方程
设微观粒子在外势场中作一维运动，这时该方程为
d2 dx2
(x)
2m
2
(E
V
)
(
x)
0
对于自由粒子，V＝0，在一维情况，并注意 E p2
(非相对论)
2m
i px
(x) 0e
第16章 量子物理基础
16–6 波函数 薛定谔方程
12
3.薛定谔方程的意义
✓ 薛定谔方程在量子力学中的地位与牛顿方程在 经典物理中的地位相当。
✓ 薛定谔方程本身并不是实验规律的总结，也没 有什么更基本的原理可以证明它的正确性。
✓ 从薛定谔方程得到的结论正确与否，需要用实 验事实去验证。薛定谔方程是量子力学的一条基本 假设。
第16章 量子物理基础
16–6 波函数 薛定谔方程
6
二、薛定谔方程
薛定谔（Erwin Schro..dinger， 1887~1961）奥地利物理学家. 1926年建 立了以薛定谔方程为基础的波动力学,并 建立了量子力学的近似方法. 他还对生命 科学作出重大贡献，他的指导思想是 “科学一定是统一的、相通的.”

波函数与薛定谔方程


§2.5
定态薛定谔方程
这里讨论一个极为重要的特殊情况： 假设势能U不显含时间t（经典力学中，在这种势场 中的粒子的机械能是守恒量）。 此时，薛定谔方程可以用分离变量法求其解，令特 解为
(r , t ) (r ) f (t )
代入薛定谔方程
i f t
i t
2
(r , t ) * (r , t )
(1)
几率密度时间变化率
w t * t * t
(2)
将薛定谔方程
i t
2
U
2
i
* t


2
U
2
2m
2m
代入得：
w t i 2m i 2m ( * *)
第二章 波函数与薛定谔方程
2.1 波函数的统计解释 2.2 态迭加原理 2.3 薛定谔方程 2.4 粒子流密度和粒子数守恒 2.5 定态薛定谔方程 2.6 一维无限深势阱 2.7 线性谐振子
§2.1波函数的统计解释
• 一、波函数 • 一般情况下，用一个函数表示描写粒 子的波，并称这个函数为波函数。 (r , t ) ( x, y , z , t ) 波函数的统计解释：波函数在空间某点 的强度（振幅绝对值的平方， (r , t ) 2 ）和 在该点找到粒子的几率成正比。 描写粒子的波称为几率波。 波函数描写粒子的量子状态。
c 1 d
2
令
c则w
2
2


( x, y, z, t ) d 1
满足上式的波函数称为归一化波函数，上式也称为 归一化条件， c 称为归一化常数。
例：给定 ( x)
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当n给定，l的可取值为0,1,2,…,n-1共n个; 当l给定，ml的可取值为0,±1,±2,…,±l共2l+1个; 当(n,l,ml)给定，ml的可取值为±1/2共2个. 在同一主量子数为n的壳层上，可能有的最多电子数为：
由此可推得多电子的原子中各壳层所可能有的最 多电子数（见下表）。
原子壳层和分壳层中最多可能容纳的电子数
量子数的意义：
1 主量子数n
氢原子只能处在一些分立的状态，用主量子数，角 量子数，磁量子数来描述, 取值如下
主量子数决定着氢原子的能量，E 与n 的依赖关系与波尔理论相同。
2 角量子数l
角动量有确定值，为
角动量是量子化的，叫轨道角动量。习慣用小写字母表示电子具有某一轨道角动量 的量子态，
3 磁量子数ml 由波函数 Rnl(r)Ylm(,) 描写的定态，不但具有
s 是自旋量子数，只能取1/2。 还假定自旋角动量的空间取向也是量子化的，即 s
在Z方向的分量为：
是自旋磁量子数。 完全描述电子的运动状态，需要四个量子数：
电子自旋及空间取向量子化 z
2
原子的壳层结构
在多电子的原子中，电子的分布是分层次的，电子
的分布层次叫电子壳层。n=1,2,3,4,…,的壳层依次叫 K,L,M,N,…壳层。每一壳层上，对应l=0,1,2,3,…可分 成s,p,d,f…分壳层。电子在壳层中的分布遵从下面两条
l0 1 2 ns pd 1K 2(1s)
34
5
6 Zn
f
gh
i
2
2L 2(2s) 6(2p)
8
3M 2(3s) 6(3p) 10(3d)
18
4N 2(4s) 6(4p) 10(4d) 14(4f)
32
5O 2(5s) 6(5p) 10(5d) 14(5f) 18(5g)
50
6P 2(6s) 6(6p) 10(6d) 14(6f) 18(6g) 22(6h)
为止。下图给出了一些多电子原子结够的示意图。
L
L
K
K
K
2 He
本次课内容
§19-8 量子力学简介（2）
三 薛定谔方程解一维势阱问题 四 对应原理 五 一维方势垒 隧道效应
§19-9 氢原子的量子理论 §19-10 多电子原子中的电子分布
课本 pp266—289； 练习册 第二十单元
§19-8 量子力学简介（2）
定态薛定谔方程
一维定态薛定谔方程
求解定态薛定谔方程，就是在已知势函数的条件下，求出体系可能有的能 量值和波函数。
，于是
即: 由此得到粒子的能量En
En 称为本问题中能量E 的本征值。势阱中的粒子,其能量
是量子化的。
当 n = 1,
E1即基态能级
n 叫作主量子数
势阱中粒子的能级图
E
o
ax
与 E 相对应的本征函数，即本问题的解为：
式中常数Ａ可由归一化条件求得。
得到 最后得到薛定谔方程的解为：
讨论
1 势阱中的粒子的能量不是任意的，只能取分立值，即 能量是量子化的。能量量子化是微观世界特有的现象， 经典粒子处在势阱中能量可取连续的任意值。 电子(m=9.1×10-31千克)：
1921年，施忒恩（O.Stern）和盖拉赫（W.Gerlach）
发现一些处于S 态的原子射线束，在非均匀磁场中一束分
为两束。
S
原子炉 准直屏
N 磁铁
§19-10 多电子原子中的电子分布
1925年，乌仑贝克(G.E.Uhlenbeck)和高德斯密特 (S.A.Goudsmit)提出电子自旋假说。由自旋产生的角动 量 的大小是量子化的，其值为
解：已知无限深势阱中粒子的波函数和能量为
则
多次测量能量(可能测到的值) 能量的平均值
概率各占1/2
§19-9 氢原子的量子理论
一 氢原子定态薛定谔方程的求解
氢原子由一个质子和一个电子组成，电子受质子库仑电场作用而绕核运动 （质子静止）。电子的状态由波函数描述，波函数满足定态薛定谔方程：
这里
，（1）式可写成
确定的能量和角动量的大小，而且具有确定的Lz(角动
量在轴方向的分量)
角动量的分量也只能取分立值。空间取向量子化示意图源自Lz h=m l0.
0
0
0
l=0
l=1
l=2
l=3
二 氢原子中电子的径向几率分布
2p 3p
1s 2s 3s
4p
r
4s
r
3d 4d
r
氢原子中电子的角向几率分布
z
z
y
y
z y
斯特恩-盖拉赫实验
采用球坐标： 球坐标下： （2）式则为： 分离变量，令
代入方程（3）可得： 分离变量得 和
令
，（5）再分离变量式为：
即
和 （5b ）的解是
的单值性要求
（5a ）是勒让德方程，其解是勒让德多项式。为了使
和
时， 为有限，必须限定
（4）是径向方程，可写为：
径向方程用级数法求解。
若E>0,能量连续分布，自由电子情形； 但E<0, （束缚态），波函数标准条件要求
72
7Q 2(7s) 6(7p) 10(7d) 14(7f) 18(7g) 22(7h) 26(7i) 98
2 能量最小原理 原子系统处于正常态时，各个电子趋向于占有最
低能级。能级越低，相应壳层离核越近，首先被电子
填满，其余电子依次向未被占取的最低能级填充，直
到所有 Z 个核外电子分别填入可能占取的最低能级
V (x ) 8 8
三 薛定谔方程解一维势阱问题
质量为m 的粒子在外场中作一维运动，势能函数 为
定态薛定谔方程为：
x=0 x=a
当 x < 0 和 x > a 时，
求解方程（1）
(1)式可写成
令
代入上式得：
此方程的通解为： 由于阱壁无限高，所以
由式（1）得 B = 0 ，波函数为：
由式（2）得
①若势阱宽a=10Å，则 En=0.75neV, 量子化明显； ②若a=1cm,则En=0.75×10-14eV ,量子化不明显。
2 能量为En的粒子在 x-x+dx 内被发现的概率:
波函数
n=4
几率密度分布
n=3
n=2
n=1
0
a0x
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例题：在阱宽为a 的无限深势阱中,一个粒子的状态为
多次测量其能量。问 每次可能测到的值和相应概率？ 能量的平均值？
基本规律： 1 泡利(W.Pauli)不相容原理
原子中不可能同时有两个或两个以上的电子处于完全 相同的状态（原子中不可能同时有两个或两个以上的电子 具有四个相同的量子数）。
例：基态氦原子核外两电子都处于1s态，其量子态
(n ,l ,ml ,,ms)分别为( 1,0,0,±1/2 )
利用泡利不相容原理可计算各壳层所可能有的最多电子数: