《直棱柱、正棱锥、正棱台》 讲义

《直棱柱、正棱锥、正棱台》 讲义

一、直棱柱

1、 定义

直棱柱是指侧棱与底面垂直的棱柱。

2、 特点

（1）侧棱垂直于底面，且侧棱互相平行且相等。

（2）两个底面是全等的多边形。

（3）侧面都是矩形。

3、 表面积和体积

（1）表面积

直棱柱的表面积等于两个底面的面积加上侧面积。侧面积等于底面周长乘以侧棱长。

例如，一个直三棱柱，底面是一个边长分别为 a、b、c 的三角形，侧棱长为 h，则表面积 S ＝ 2×（1/2×a×b×sinC） ＋ （a ＋ b ＋ c）×h

（其中 C 为 a、b 两边的夹角）。

（2）体积

直棱柱的体积等于底面积乘以高。 若直棱柱的底面积为 S，高为 h，则体积 V ＝ S×h 。

4、 常见的直棱柱

（1）直三棱柱

有三条侧棱的直棱柱。

（2）直四棱柱

有四条侧棱的直棱柱，常见的如长方体、正方体等。

二、正棱锥

1、 定义

如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

2、 特点

（1）底面是正多边形。

（2）顶点在底面的射影是底面的中心。

（3）侧面都是全等的等腰三角形。

3、 表面积和体积

（1）表面积

正棱锥的表面积等于底面积加上侧面积。侧面积等于 1/2×底面周长×斜高。 例如，一个正三棱锥，底面边长为 a，侧面的斜高为 h'，则侧面积为 3×（1/2×a×h'） ，表面积为 √3/4×a² ＋ 3×（1/2×a×h'） 。

（2）体积

正棱锥的体积等于 1/3×底面积×高。

设正棱锥的底面积为 S，高为 h，则体积 V ＝ 1/3×S×h 。

4、 正棱锥的性质

（1）正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。

（2）正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形。

（3）正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形。

三、正棱台

1、 定义

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。如果截得的棱台的上下底面都是正多边形，并且侧面都是全等的等腰梯形，这样的棱台叫做正棱台。

2、 特点

（1）上下底面是相似的正多边形。

（2）侧面都是全等的等腰梯形。 （3）侧棱延长后交于一点。

3、 表面积和体积

（1）表面积

正棱台的表面积等于上下底面的面积加上侧面积。侧面积等于 1/2×（上底面周长 ＋ 下底面周长）×斜高。

例如，一个正四棱台，上底面边长为 a，下底面边长为 b，侧面的斜高为 h'＇，则侧面积为 4×（1/2×（a ＋ b）×h'＇） ，表面积为 a² ＋

b² ＋ 4×（1/2×（a ＋ b）×h'＇） 。

（2）体积

正棱台的体积等于 1/3×（上底面积 ＋ 下底面积 ＋ √（上底面积×下底面积））×高。

设正棱台的上底面积为 S₁，下底面积为 S₂，高为 h，则体积 V ＝

1/3×（S₁ ＋ S₂ ＋ √（S₁×S₂））×h 。

4、 正棱台的性质

（1）正棱台的上下底面中心的连线垂直于底面。

（2）正棱台的各侧棱延长后交于一点。

四、直棱柱、正棱锥、正棱台之间的关系

1、 三者都是多面体，都由若干个平面多边形围成。

2、 正棱锥是当直棱柱的上底面逐渐缩小为一个点时形成的。 3、 正棱台是用一个平行于正棱锥底面的平面去截正棱锥得到的。

4、 从体积公式上看，当正棱台的上底面面积趋近于 0 时，正棱台的体积公式就变成了正棱锥的体积公式；当正棱台的上底面和下底面面积相等时，正棱台的体积公式就变成了直棱柱的体积公式。

总之，直棱柱、正棱锥、正棱台在几何中具有重要的地位，它们的性质和相关计算在解决实际问题和数学研究中都有广泛的应用。通过对它们的深入理解和掌握，可以提高我们的空间想象能力和数学思维能力。