特殊三角形综合【精华版】

总复习第21讲 特殊三角形一、考点诠释 ㈠等腰三角形1、定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

2、性质： ①等边对等角：②三线合一：顶角平分线、底边中线、底边上的高互相重合。

3、判定：等角对等边（在一个三角形中，若有两个角相等，则它们所对的边也相等）说明：腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念。

㈡等边三角形1、定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形。

2、性质：等边三角形的各角都相等，且都等于60°3、判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形。

②有一角为60°的等腰三角形是等边三角形。

说明：等边三角形是特殊的等腰三角形。

㈢直角三角形1、定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

2、性质：直角三角形中的两锐角互余。

②直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半。

③直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

④勾股定理：222c b a =+（直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方） ⑤ch ab S ABC Rt 2121==∆（其中a 、b 为两直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高） 3、判定：①两内角互余的三角形是直角三角形。

②勾股定理逆定理：在一个三角形中，若有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。

③在一个三角形中，若有一边上的中线等于该边的一半， 则这个三角形是直角三角形。

ABC腰腰 底底角顶 角 ┐A BCD 1 2┐30°A C B┐ AC B D┐ABC Da bc h二、考题精练 ㈠选择题：1、等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长是（ ） A 、13 B 、17 C 、22 D 、17或222、已知，一个等腰三角形两内角之比为1∶4，则它的顶角的度数为（ ）A 、20°B 、120°C 、20°或120°D 、36° 3、AB=AC ，∠A=44°，CD ⊥AB 于D ，则∠DCB 等于（ ） A 、44° B 、68° C 、46° D 、22° 4、将一张矩形ABCD 如图那样折起，使顶点C 落在C′处， 其中AB=4。

特殊三角形性质总结三角形是几何学中最基本的图形之一，具有丰富的性质和定理。

特殊三角形是指具有特殊性质的三角形，包括等边三角形、等腰三角形和直角三角形。

本文将总结和讨论这些特殊三角形的性质。

一、等边三角形等边三角形是指三条边都相等的三角形。

它具有以下性质：1. 所有内角均为60度：由于三条边等长，在等边三角形中，三个内角均相等。

根据三角形内角和定理，三个内角的和为180度，所以每个内角均为60度。

2. 具有三条对称轴：等边三角形具有三个对称轴，通过连接任意两个顶点并垂直于对称轴，可以得到一个等边三角形。

这是因为等边三角形中，每个内角均为60度，所以旋转或翻转三角形都会得到与源等边三角形相等的图形。

3. 高、中线和角平分线重合：等边三角形的高、中线和角平分线都经过三角形的顶点、重心和垂心，所以它们重合于同一点。

二、等腰三角形等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。

它具有以下性质：1. 两个底角相等：等腰三角形的两条底边相等，所以两个底角也相等。

这可以通过等腰三角形的定义和证明得到。

2. 高、中线和角平分线重合：等腰三角形的高、中线和角平分线都经过三角形的顶点、重心和垂心，所以它们重合于同一点。

3. 内角和公式：等腰三角形是普通三角形的一种特殊情况，所以它的内角和公式也适用。

根据三角形内角和定理，等腰三角形的两个底角之和与顶角相等，都为180度。

三、直角三角形直角三角形是指具有一个直角（90度角）的三角形。

它具有以下性质：1. 毕式定理：直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边长的平方和。

即a^2 + b^2 = c^2，其中c为斜边，a和b为直角边。

2. 特殊三角比值：在直角三角形中，存在一些特殊的三角比值，如正弦、余弦和正切。

正弦是指直角三角形中的一个锐角的对边比斜边的比值，余弦是指直角三角形中的一个锐角的邻边比斜边的比值，正切是指直角三角形中的一个锐角的对边比邻边的比值。

这些三角比值在三角学和实际问题中具有重要的应用。

特殊三角形知识定位特殊三角形在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，不管三解形还是特殊三角形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础。

特殊三角形的判定和性质是证明有关三角形问题的基础，必须熟练掌握。

本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中特殊三角形相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理三角形类型定义性质判定等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形，其中相等的两条边分别叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角为底角1.等腰三角形是对称图形，顶角平分线所在直线为它的对称轴2.等腰三角形两底角相等，即在同一个等腰三角形中，等边对等角3.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形的三线合一1.（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形2.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，即，在同一个三角形中，等角对等边等边三角形三条边都相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，也叫正三角形1.等边三角形的内角都相等，且为60°2.等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴3.等边三角形每条边上的中线，高线和所对角的角平分线三线合一，他们所在的直线都是等边三角形的对称轴1.三条边都相等的三角形是等边三角形2.三个内角都等于60°的三角形是等边三角形3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形，即“R t△”1.直角三角形的两锐角互余2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半4.直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）1.有一个角是直角的三角形是直角三角形2.有两个角互余的三角形是直角三角形3.如果一个三角形中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）2、等腰三角形（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。

（二）特殊三角形考点精要解析考点一：线段的垂直平分线1.定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线.2.性质：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等.3.判定：与一条直线两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.4.三角形的三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，交点是三角形的外新，且到三角形三个顶点的距离相等.考点二：等腰三角形1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：（1）两腰相等（2）两底角相等（简称为等边对等角）（3）等腰三角形定角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）.（4）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线.3.判定（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形.（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”）.考点三：等边三角形1.定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形.2.性质（1）三边都相等，三个角都相等，每个角都等于60°.（2）等边三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）.3.判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形.（2）三个角都相等的三角形是等边三角形.（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.考点四：直角三角形与勾股定理直角三角形（1）定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形.（2）性质：①两锐角互余；②30°角所对的直角边等于斜边的一半；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（3）判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形.2.勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a ，b 斜边长为c ，那么222c b a =+.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、，b ，c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形.4.直角三角形斜边上的高的求法：如图4-2-29所示，ab=ch cab h =⇒ 5.折叠的常见基本图形，如图4-2-30所示.高频考点过关 例题1.如图4-2-31所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，BD 平分∠CBA 交AC 于点D ，DE 丄AB 于E.若△ADE 的周长为8cm ，则AB= cm.答案：8解析：∵DE 丄AB ，∴∠DEB=90°, ∵BD 平分∠CBA,∴∠CBD=∠EBD.又∵BD=BD ，∴△CBD ≌△EBD,∴CD=DE,BC=BE.∴AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE=BC+AE=BE+AE=AB=8(cm)考点二 ：等腰三角形和等边三角形例题2.已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )A.55°，55°B.70°，40°C.55°，55°或 70°，40°D.55°，70°答案注意分类讨论：70°角可能是顶角，也可能是底角.例题3.如图4-2-32所示，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE 丄AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F,垂足为点Q ，若BF=2，则PE 的长为( )A.2B. D.3答案C例题4 在一次数学课上，王老师在黑板上画一图，如图4-2-33所示，并写下了四个等式：①AB=DC ②BE=CE ③∠B=∠C ④∠BAE=∠CDE要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED 是等腰三角形.请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由(写出一种即可)已知：①③（或①④，或②③，或②④）求证: △AED 是等腰三角形.证明：在△ABE 和△DCE 中，B C AEB DEC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩Q ∴△ABE ≌△DCE∴AE=DE 即△AED 是等腰三角形.考点三：直角三角形与勾股定理例题5 如图4-2-34所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B= 30°，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，EF=2，求BC 的长.【解】连接AF 如图4-2-35所示. ∵EF 垂直平分AB ，∴AF=BF,∴∠B=∠FAB.∵∠B= 30°，∴∠FAB= 30°,∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∴∠BAC=120°,∴∠FAC=∠BAC －∠FAB=90°,在Rt △BEF 中,∠B=30°,∴BF=AF=2EF=4.在Rt △FAC 中,∠C=30°,∴FC=2AF=8.∴BC=BF+FC=12.中考真题链接真题1.( 天门中考)如图4-2-36所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°；BC=6cm；AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( ) A.4cm B.3cm C.2cm D.1cm真题2 (毕节中考)已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为( ).A.16B.20 或16C. 20D.12真题3 (钦州中考)等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是( )A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°真题4 (宿迁中考)在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1.过点C作直线l //AB，P为直线l上一点，且AP=AB则点P到BC所在直线的距离是( )A. 1B. 1或C.1或D.真题5 (衝州中考)将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为30cm的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图4-2-27所示，则三角板的最大边的长为( )A.3cmB.6cmC.cmD.真题6 (黔西南州中考)一直角三角形的两边长分别为3和4则第三边的长为( )A.5 D.5真题7.(新疆中考）如图4-2-38所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒(0≤t＜6),连接DE，当△BDE是直角三角形时,t的值为( )A.2B. 2.5 或3.5C. 3.5 或4.5D. 2 或3. 5 或4.5真题8（泰州中考)如图4-2-39所示，在△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为cm.真题9 (1)(巴中中考)方程x2－9x+18 = 0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为.(2) (白银中考)等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为.真题10(黔西南州中考)如图4-2-40所示，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE,则∠E= 度.真题11(黄冈中考）如图4-2-41所示，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1, 连接DE，则DE= .真题12.(鞍山中考）如图4-2-42所示，D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是.真题13.(上海中考）如图4-2-43所示，在△ABC中，AB=AC,BC=8，tanC=32，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为.真题14.(东营中考)如图4-2-44所示，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁．．离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0. 3m与蚊子相对．．的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m(容器厚度忽略不计).真题15.(河北中考)如图4-2-45所示，巳知边长为2的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的x轴y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值是.真题16.(白银中考)两个城镇A，B与两条公路l1，l2位置如图4-2-46所示，电信部门需在C处修建一座信号反射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1,l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点。

考点16.特殊三角形（等腰三角形与直角三角形）（精讲）【命题趋势】特殊的三角形重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查等腰（等边）三角形性质与判定和勾股（逆）定理、直角三角形的性质、尺规作图等知识点结合考查，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活运用。

在解答题中会出现等腰三角形与直角三角形的性质和判定，这部分知识主要考查基础。

【知识清单】1：等腰（等边）三角形的性质与判定（☆☆☆）1）等腰三角形的定义：有两边相等的三角形角等腰三角形。

2）等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）。

3）等腰三角形的判定：若某三角形有两个角相等，那这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。

4）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形。

5）等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边相等；（2）三个内角都相等，且每个内角都是60°；（3）等边三角形（边长为a6）等边三角形的判定：（1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

2：垂直平分线的性质与判定（☆☆）1）垂直平分线的定理：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。

2）垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

3）垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

3：勾股定理与逆定理及其应用（☆☆）1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．2）勾股定理的逆定理：若三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．4：直角三角形的性质及计算（☆☆☆）1）直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．2）直角三角形的性质：（1）直角三角形两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

学生做题前请先回答以下问题问题1:看到等边三角形想什么？①等边三角形三条边________ ,三个角__________ :②等边三角形“三线合一〃.问题2：看到直角和30。

角想什么？问题3：看到直角和直角三角形斜边上的中线或中点想什么？问题4：看到等腰三角形想什么？①等腰三角形两腰________ ,两个底角 __________ ;②等腰三角形“三线合一〃.问题5：等腰直角三角形两直角边 ______ ,两底角都是_________特殊三角形（综合测试三）人教版一、单选题（共6道，每道16分）1.如图，在AABC中，ZC=90°, ZA=30°, AB的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,则AC与DC的关系是（）A.AC=2DCB.AC=3DCAC=-DCC. 2D.无法确定答案：B 解题思路:如图，•・• DE垂直平分AB:.AD=DB:.ZDBA=ZA=30°VZC=90°, ZJ=3O°,・•・ ZABC=60°,・・・ZC肋=30。

，在RtABCD中，ZC=90°, ZCBD=30°,・•・ BD=2DC:.AD=2DC・・・AC=3DC故选B・试题难度：三颗星知识点：线段垂直平分线性质定理2.如图，在ZkABC中，AB=AC, ZA=12O°, EF垂直平分AB,垂足为E, EF交BC于F, 连接AF.若BC=12cm,则EF等于（）答案:A 解题思路:A.2cm C.4cmB.3cm D.6cmA在厶ABC中，MB三4C, ZB4C=120。

，・•・ Z5=ZC=30°TEF垂直平分•站・・.AF=BF/.Z1=Z5=3O°/.ZC4F=90°在R X AACF中，ZG4F=90°, ZC=30°,・•・ CF=2AF・•・ CF=2BF/. BC=3BFV5C=12/. BF=4在RtABEF中，ZBEF=90。

特殊三角形◆考点链接1．等腰（等边）三角形的判定定理与性质定理．2．直角三角形的判定与性质．3．勾股定理的应用．◆典例精析【例题1】判断题：（正确的画“∨”，错误的画“×”）（1）若三角形中最大的内角是60°，那么这个三角形是等边三角形；（）（2）等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形；（）（3）等腰三角形两腰上的高相等；（）（4）等边三角形的三条高相等；（）（5）等腰三角形的角平分线垂直且平分对边；（）（6）顶角相等的两个等腰三角形全等．（）评析：本题主要考查等腰三角形的性质与判定．（1）三角形有一角为60°时，另两角和是120°，若其中之一小于60°，必有另一个大于60°，与最大角为60°相矛盾．（2）等腰三角形一腰上的中线不一定等于腰长的一半．（3）（4）应用等腰（等边）三角形的性质，通过三角形面积的不同表示方法可证明．（5）当等腰三角形腰和底不相等时，底角的平分线不垂直平分对边．（6）•和等腰三角形底边平行的直线截得的等腰三角形与原三角形顶角相等，但不全等．答案：（1）∨ （2）× （3）∨ （4）∨ （5）× （6）×评析：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，等腰三角形的“三线合一”在等边三角形中就都成立，这是因为在等边三角形中，每个顶点都可以视作等腰三角形的顶点．【例题2】（1）已知：a、b、c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+50=60a+8b+10c，试判断△ABC的形状．（2）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂中为D点，且CD2=AD·BD，求证：△ABC 为直角三角形．解题思路：由三角形的三边的数量关系来判断三角形是否是直角三角形，或用于构造直角三角形证明两直线垂直，一般与勾股定理和代数式、方程相结合，综合运用．特别是由一个等式求三角形的三边长时，往往把等式化为A2+B2+C2=0的形式，再由A=0，B=0，C=0，求得三角形三边的长，再用于计算或判断．（1）解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0，∴（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0，∴a-3=0，b-4=0，c-5=0，∴a=3，b=4，c=5，∴a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．（2）证明：∵CD⊥AB，∴AD2+DC2=AC2，DB2+DC2=BC2．∴AC2+BC2=AD2+DB2+2DC2，∵DC2=AD·DB，∴AC2+BC2=AD2+DB2+2AD·DB=（AD+DB）2=AB2．∴△ABC为直角三角形．评析：（1）对于原等式关键处是化为A2+B2+C2=0的形式，对常数项拆项的依据是一次项系数的一半的平方．（2）本题的解答在于反复应用勾股定理及其逆定理，•先分别在Rt△ACD和Rt△BCD中使用勾股定理，再依据已知条件，进而求得A C2+BC2=AB2，•利用勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形．【例题3】（北京）如图，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．解题思路：（1）木棍在滑动过程中，OP始终是Rt△AOB斜边中线，故为斜边AB•的一半，而AB的长为定长，所以OP不变．（2）木棍在滑动的过程中，斜边上的高在发生变化，因为AB为定值，当高最大时，△AOB的面积为最大，所以当OP⊥AB（即OA=OB）•时，•△AOB面积最大．解：（1）不变．理由：在直角三角形中，因为斜边AB•的长不变，•由性质有斜边中线OP长不变．（2）当△AOB的斜边AB上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大，如图，若h与OP 不相等，则总有h ，故根据三角形面积公式，有 h 与 OP 相等时，△ AOB 的面积最大．此时，S△AOB=AB·h=×2a·a=a2．所以△AOB的面积最大值为a2．评析：（1）在变化过程中，要抓住不变量，建立起所求量与不变量的关系．（2）要求面积的最大值转化为三角形底不变，高是变量，即找出高的变化的最大值即得．◆探究实践【问题1】已知△ABC的两边AB、AC长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．解题思路：（1）用根与系数的关系、勾股定理建立方程求解，•再用判别式和根与系数的关系检验．（2）用求根公式和等腰三角形的性质求解．解：（1）根据一元二次方程根与系数的关系和勾股定理，可列方程组：∵AC2+AB2=（AC+AB）2-2AC·AB．∴25=（2k+3）2-2（k2+3k+2），∴k1=-5，k2=2．当k=-5时，方程的两根为负值，不合题意，舍去．∴k=2，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．（2）∵△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1>0，方程有两个不相等的实数根，∴AC≠AB．当AB=BC或AC=BC时，将x=5代入方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0，k=3，k=4．k=3时，方程为x2-9x+20=0，x1=4，x2=5．△ABC的周长为14．k=4时，方程为x2-11x+30=0，x1=5，x2=6．△ABC的周长为16．评析：这是一道综合题，涉及知识较多，一元二次方程的解法，一元二次方程根与系数关系，根的判别式，勾股定理，因为没指明等腰三角形的底和腰，不要漏解．另外，求解以后要检验，如三角形的边不能为负值，那么方程的解为负值即不合题意舍去，再如，求出的三边是否满足三角形三边之间的关系定理，不满足的也要舍去．【问题2】如下左图，图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边的长为c．图②是以c为直角边的等腰直角三角形，•请你开动脑筋将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；（1、用单纯形法求解，并回答下列问题。

初中数学知识归纳特殊三角形及其性质三角形是初中数学中重要的基础概念之一，在数学学习中，我们不仅需要了解普通三角形的性质，还需要归纳特殊三角形及其性质。

本文将对常见的特殊三角形进行归纳总结，包括等边三角形、等腰三角形和直角三角形的性质。

1.等边三角形等边三角形是指三条边长度相等的三角形。

在等边三角形中，有以下几个特点：（1）三条边相等，所以三个内角也是相等的，每个内角都是60°；（2）等边三角形的高、重心、外心和内心都重合于一个点；（3）等边三角形的每条高线同时也是三条中线、三条角平分线和三条中垂线。

2.等腰三角形等腰三角形是指两边长度相等的三角形。

在等腰三角形中，有以下几个特点：（1）两边相等，所以两个底角也是相等的；（2）等腰三角形的底边上的高线、中线和角平分线都是同一条线段；（3）等腰三角形的顶点到底边的距离等于底边的中点到底边的距离。

3.直角三角形直角三角形是指一个内角为直角的三角形。

在直角三角形中，有以下几个特点：（1）直角三角形的直角边与斜边之间满足勾股定理，即直角边的平方和等于斜边的平方；（2）直角三角形的斜边上的高线等于直角边中的线段，可以将直角三角形分成两个相似的三角形；（3）直角三角形的两个锐角互余，即两个锐角的和等于90°。

通过归纳总结特殊三角形及其性质，我们可以更好地理解三角形的特点和规律。

掌握这些性质不仅能够解决与特殊三角形相关的问题，还能够为后续学习提供更扎实的基础。

在解题过程中，我们可以灵活运用特殊三角形的性质，简化问题的求解步骤。

例如，在计算等腰三角形的高时，可以直接利用角平分线和底边的性质，而无需通过勾股定理来计算斜边的长度。

总之，特殊三角形的性质是初中数学学习中必须要掌握的知识点之一。

通过对等边三角形、等腰三角形和直角三角形的归纳总结，我们可以更好地理解三角形的特殊性质，提高解题的效率。

希望本文所述能够帮助你更好地掌握特殊三角形的性质，进一步提高数学学习的成绩。

特殊三角形综合测试（人教版）试卷简介:针对等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定及性质进行综合考查，训练同学们几何做题过程中画图，见到什么想什么，辨析结构的能力.一、单选题(共10道，每道10分)1.在△ABC中,AB=a,AC=b,BC边上的垂直平分线DE交BC,AB于点D,E,则△AEC的周长等于( )A.a+bB.a-bC.2a+bD.a+2b答案：A解题思路：根据题意画出图形，∵DE垂直且平分BC，∴BE=CE．∵AB=a，∴EC+AE=a，∵AC=b．∴△AEC的周长为：AE+EC+AC=a+b，故选A．试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的性质2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D,∠ADC=125°,则∠BAC的度数为( )A.35°B.40°C.45°D.50°答案：B解题思路：如图，延长AD交BC于点E．∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，∵∠ADC=125°，∴∠DCE=35°，又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCE=70°．又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=70°，∴∠BAC=40°．故选B试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的性质3.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到,交AC于点D.若AC=12,则的面积为( )A.6B.9C.12D.18答案：D解题思路：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴由旋转可知：，，∴，∴为等腰直角三角形，∴即．故选D试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的判定和性质4.如图,等边△DEF的顶点分别在等边△ABC的各边上,且DE⊥BC于点E.若AB=1,则DB的长为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：在等边△ABC和等边△DEF中，AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，DE=DF=EF，∠EDF=∠DEF=∠DFE=60°，∵DE⊥BC，∴∠BDE=30°，∴∠ADF=90°，同理∠EFC=90°，∴△BED≌△ADF（AAS），△ADF≌△CFE（AAS），∴AD=BE．在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，∴BD＝2BE，∴BD＝2AD．∵AB=1，∴．故选C．试题难度：三颗星知识点：含30°的直角三角形5.如图,在△ABC中,AB=AC,P是BC上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,BD⊥AC于D,则PE+PF 与BD的大小关系为( )A.PE+PF>BDB.PE+PF=BDC.PE+PF<BDD.无法确定答案：B解题思路：如图，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC，（出现多个垂直考虑等面积法），，，∵，即∵AB=AC，∴BD=PE+PF．故选B试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的性质．6.现有两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC,按如图所示放置,E,A,C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC.则∠MEC的度数为( )A.30°B.36°C.45°D.60°答案：C解题思路：如图，连接AM．∵三角形ADE与三角形ABC是两个全等含30°，60°角的三角板，∴∠2=∠3=60°，AD=AB，∠EAD=30°，DE=AC，∴∠DAB=90°，∴△DAB为等腰直角三角形，∴AM⊥BD，∠1=45°，∠4=45°，∴∠EDM=∠CAM=45°+60°=105°∵M点为BD的中点，∴AM=DM=BM，∴△DEM≌△ACM（SAS），∴ME=MC，∠6=∠5，∵∠AMD=90°，∴∠6+∠EMA=90°，∴∠5+∠EMA=90°，即∠EMC=90°，∴△MEC为等腰直角三角形，∴∠MEC=45°．故选C．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的判定和性质7.如图,△ABD,△ACE都是等边三角形,BE和CD交于点O,连接BC,则∠BOC的度数为( )A.120°B.125°C.135°D.150°答案：A解题思路：如图，∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴AC=AE，AD=AB，∠EAC=∠DAB=60°，∠3=60°，∴∠EAC+∠BAC=∠DAB+∠BAC，即∠EAB=∠CAD．∴△EAB≌△CAD（SAS）．∴∠1=∠2∵∠2+∠CDB=60°，∴∠1+∠CDB=60°，∴∠1+∠CDB+∠3=120°，即∠BOC=120°．故选A．试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质8.如图,在锐角三角形ABC中,∠BAC=60°,BN,CM为高,P是BC的中点,连接MN,MP,NP,则以下结论:①NP=MP;②当∠ABC=60°时,MN∥BC;③BN=2AN;④AN:AB=AM:AC.其中正确的是( )A.①②③B.①②④C.②③④D.②④答案：B解题思路：结论①：∵BN，CM为高，∴∠BMC=∠BNC=90°，∵P为BC的中点，∴NP=MP，①正确；结论②：当∠ABC=60°时，∵∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB=AC∵BN，CM为高，∴，∴AM=AN，∴△AMN为等边三角形，∴∠AMN=60°，∴∠AMN=∠ABC∴MN∥BC，②正确；结论③：在Rt△ABN中，∵∠BAC=60°，∴∠ABN=30°，∴AB=2AN，∴BN≠2AN，③错误；结论④：由③可知AN:AB=1:2，同理可得：AM:AC=1:2，∴AN:AB=AM:AC，④正确．故选B．试题难度：三颗星知识点：等边三角形的判定和性质9.如图,在△ABD中,C是BD的中点,∠BAC=90°,∠CAD=45°.若AC=2,则AB的长为( )A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：1．思路点拨看到中点，想到以下几种方法：与直角三角形结合利用直角三角形斜边中线等于斜边一半；与等腰三角形结合利用“三线合一”；另外就是倍长中线或者类倍长中线，结合题目中的条件，发现可以利用倍长中线法．2．解题过程如图，延长AC至点E，使得CE=AC，连接DE．∵C是BD的中点，∴BC=DC，又∵∠ACB=∠ECD，∴△ACB≌△ECD（SAS）∴∠E=∠BAC=90°，DE=AB，∵∠CAD=45°，∴∠ADE=45°，∴AE=DE，∵AE=2AC，∴AB=2AC，∵AC=2，∴AB=4．3．易错点对中点这个条件不敏感，所以需要同学们对于中点的几种用法进行总结，并能够结合题干条件选择合适的方法解决问题．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的判定和性质10.如图,在等边三角形ABC中,D,E分别在AB,BC边上,且AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G.下列结论:①AE=CD;②∠AFC=120°;③△ADF是等边三角形;④.其中正确的结论是( )A.①②B.②③C.①②③D.①②④答案：D解题思路：结论①：在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠B=60°，又∵AD=BE∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AE=CD，故①正确；结论②：由①知△ABE≌△CAD∴∠ACD=∠BAE，∴∠CAF+∠ACD=∠CAF+∠BAE=∠BAC=60°，在△ACF中，∠AFC=180°-（∠CAF+∠ACD）=120°，故②正确；结论③：∵∠FAD<∠BAC，∠BAC=60°，∴∠FAD≠60°，∴△ADF不是等边三角形，故③错误；结论④：由②知∠AFC=120°∴∠AFG=60°，∵AG⊥CD，∴∠FAG=30°，在Rt△AFG中，∠FAG=30°，∴，即．故④正确，综上所述，正确的有①②④．故选D．试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定与性质第11页共11页。