特殊三角形复习

特殊三角形复习一：等腰三角形 例1：如图1，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论中正确的有（ ） ①△ACE ≌△BCD ，②BG=AF ，③△DCG ≌△ECF ，④△ADB ≌△CEA ，⑤DE=DG ，⑥∠AOB=60°．A ． ①②③⑤B ． ①②④⑤C ． ①②③⑥D ．①②③④⑤⑥图1 图3二：等腰三角形的性质 例2：如图2，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连结AE ． （1）求证：AE ∥BC ； （2）当AD=AE 时，求∠BCE 的度数．图2例3： 如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=P 13P 14=P 14A ，则∠A 的度数是 _________ ．例4：如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，∠ABC 的平分线BG ，交AD 于点E ，EF ⊥AB ，垂足为F ．求证：EF=ED ．拓展：如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，BD 为∠ABC 的平分线，若A 点到直线BD 的距离为a ，则BE 的长为 _________ ．三，等腰三角形的判定例5：等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．例6：如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有_________ 个．例7：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC．四，直角三角形的性质例8：如图，已知：△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G是垂足．求证：（1）G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE．例9：已知∠BAC=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E，求证：∠AMB=∠DMC．四，直角三角形的判定例10：如图，在△ABC 与△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C 、D 、E 在同一条直线上，连接BD 、BE ．把以下所有正确结论的序号都填在写在横线上： _________ ．①BD=CE ； ②∠ACE+∠DBC=45°； ③BD ⊥CE ； ④BE 2=2（AB 2+AD 2）．五，直角三角形全等的判定例11： 在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE=CF ．（1）求证：Rt △ABE ≌Rt △CBF ；（2）若∠CAE=30°，求∠ACF 的度数．课后练习一．选择题1．如图1，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：①BE=DF ，②∠DAF=15°，③AC 垂直平分EF ，④BE+DF=EF ，⑤S △CEF =2S △ABE ．其中正确结论有（ ）个．A．2 B． 3 C ． 4 D ． 5图1 图2 图3 图42．如图2，OP 平分∠BOA ，∠BOA=45°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD 等于（ ）A 4BCD 2．．．．二．填空题1．如图3，矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD=8，AB=4，则DE的长为_________ ．2．如图4，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= _________ 度．3．如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸的两个格点（即正方形的顶点），在这个6×6的方格纸中，找出格点C，使△ABC的面积为1个平方单位的直角三角形的个数是_________ 个．4．如图a，P是等边△ABC内任意一点，由P向边BC、AC、AB分别引垂线段PD、PE、PF，AM⊥BC，AM=6cm，则PD+PE+PF= _________ ．图a 图b 图c5．如图b，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，则∠BAC= _________ °．6．如图c，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于_________ ．三．解答题1．已知，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．（1）求证：PE+PF=CH；（2）P为BC延长线上的点时，其它条件不变，求证：PE﹣PF=CH．2．如图：已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，点D是AB上任意一点，AE⊥AB，且AE=BD，DE与AC相交于点F．（1）试判断△CDE的形状，并说明理由．（2）是否存在点D，使AE=AF？如果存在，求出此时AD的长，如果不存在，请说明理由．3．如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，E在AC边上，且AD=AE．（1）若∠BAD=40°，求∠EDC的度数；（2）若∠EDC=15°，求∠BAD的度数；（3）根据上述两小题的答案，试探索∠EDC与∠BAD的关系．4．如图，△ABC是等腰三角形，D、E分别是腰AB及AC延长线上的点，且DG=GE，请证明：BD=CE．5．如图所示，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，点F在边BC上，BF=CF．求证：△DEF是等腰三角形．6．如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．7．如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．求证：DB=DE．8．如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管_________ 根．9．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AD=AE．10.在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE．求证：AD=CE．11．如图，点D，E分别在AB，AC上，且AD=AE，∠BDC=∠CEB．求证：BD=CE．12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N．求证：AM=AN．13．如图，已知在等边三角形ABC的边AC、BC上各取一点P、Q，且AP=CQ，AQ、BP相交于点O，（1）求证：△ABP≌△ACQ；（2）求∠BOQ的度数．14．如图，P是等边△ABC内一点，∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明．15．已知：如图，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，BD平分∠ABC．求证：DC=AD．16．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC，求证：BC=BD+AD．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE．求证：EC∥AB．18.如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．19．如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．20．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．21．如图，正方形ABCD中，边长为4，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE=BC．求证：AF⊥FE．22．如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．23．已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．（1）如图1，若点O在边BC上，求证：AB=AC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画出图表示．。

第2章特殊三角形单元复习1.掌握图形的对称及轴对称图形的定义，会作一个图形关于直线的对称图形，理解轴对称的性质.2.了解等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的性质与判定；了解直角三角形的定义，掌握直角三角形的性质与判定；理解中垂线、角平分线的性质与判定.3.理解等腰三角形和直角三角形这两个基本图形在几何中的地位和作用，能将复杂的几何问题转化为基本图形解决.考点一：轴对称与轴对称图形例1 （湖州市吴兴区）下列图形中,属于轴对称图形的是()A. B. C. D.例2 （宁波市北仑区）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，将军在观望烽火之后从山脚上的点A出发，奔向小河旁边的点P饮马，饮马后再到点B宿营，若点A,B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是3，1，A，B两点之间水平距离是3，则AP+PB的最小值为.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一组对应点所连线段的垂直平分线.由轴对称的性质可以得到以下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形是轴对称图形，我们只要找到一组对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴；③轴对称图形的对称轴是任何一组对应点所连线段的垂直平分线.1.（台州市椒江区）如图所示，P是直线l外一个定点，A为直线l上一个定点，点P关于直线l的对称点记为P1，将直线l绕点A顺时针旋转30°得到直线l′，此时点P2与点P关于直线l′对称，则∠P1AP2等于()A.30°B.45°C.60°D.75°2.（宁波市北仑区）如图所示为由5个边长为单位1的小正方形拼成的图形，请你在图上添加一个小正方形，使添加后的图形是一个轴对称图形，要求画出三种.考点二：等腰三角形的性质与判定例3 （杭州市江干区）一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形底角为(A)A.72°或45°B.45°或36C.36°或90°D.72°或90°例4 （宁波市镇海区）如图所示，AB∠CD，CE平分∠ACD交AB于点E.（1）求证：∠ACE是等腰三角形.（2）若AC＝13cm，CE＝24cm，求∠ACE的面积.1.等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一).2.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边).3.在①等腰、②底边上的高、③底边上的中线、④顶角平分线四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.3.（绍兴市柯桥区）在∠ABC中，与∠A相邻的外角是140°，要使∠ABC是等腰三角形，则∠B的度数是.4.（嘉兴市）如图所示，∠ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC＝.(第4题）5.（杭州市江干区）证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”是真命题.考点三：直角三角形的性质与判定例5 （杭州市余杭区）如图所示，在∠ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，BC＝BD，则∠ACD的度数是(C)A.64B.42°C.32°D.26°例6 （天台县）如图所示，在Rt∠ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∠BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1.（1）求∠B的度数.（2）求CN的长.直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，还具有一些特殊的性质：①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；②在直角三角形中，两个锐角互余；③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；④直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积；⑤在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.6.（杭州市拱墅区）在Rt∠ABC中，∠C＝90°，∠A-∠B＝70°，则∠A的度数为()A.80°B.70°C.60°D.50°7.（绍兴市越城区）如图所示，在∠ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，E是AB的中点，AD,CE相交于点F，且AD＝DB.若∠B＝20°，则∠DFE等于()A.30°B.40°C.50°D.60°8.（嘉善县）如图所示，在∠ABC中，D是BC中点，E是AB上一点，F是AC上一点.若∠EDF＝90°，且BE2+FC2＝EF2，求证：∠BAC＝90°.考点四：线段的中垂线与角平分线例7 （德清县）如图所示，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∠OB，EC∠OB于点C，EG∠OA于点G，若EC=√3，则OF的长度是()A.2√3B.√3C.3D.2例8 （杭州市西湖区）在∠ABC中，∠BAC＝α，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线交边BC于点E，连结AD，AE，则∠DAE的度数为.（用含α的代数式表示）1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不必证明全等.2.线段垂直平分线的性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段；②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点到三个顶点的距离相等.9.（宁波市江北区）如图所示，在∠ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，CD＝2，则AC＝.(第9题）(第10题）10.（杭州市临安区）如图所示，AB∠CD，∠ABC和∠DCB的平分线BP，CP交于点P，过点P作PA∠AB于点A，交CD于点D.若AD＝10，则点P到BC的距离是，∠BPC＝.考点五：勾股定理例9 （嘉兴市）如图所示的图案由赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝27，S3＝1，则S1的值是.例10 （慈溪市）如图所示，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC 于点E，若CD＝5，则AE＝.1.勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2.2.勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有a=√c2−b2，b=√c2−a2及c=√a2+b2.3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形.运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角.然后进一步结合其他已知条件来解决问题.11.（湖州市南浔区）如图1所示，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按如图2所示的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若S1＝1，S2＝2，S3＝3，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为()图1 图2A.5B.5.5C.5.8D.612.（临海市）如图所示，在∠ABC中，AB＝4，BC＝2，AC＝2√3.(第12题）（1）求证：∠ABC是直角三角形.（2）D是AC上的中点，求BD的长.考点六：等边三角形与直角三角形例11 （杭州市临安区）在直线上顺次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边长在直线的同侧作等边三角形，作得两个等边三角形的另一顶点分别为D，E.（1）如图1所示，连结CD，AE，求证：CD＝AE.（2）如图2所示，若AB＝1，BC＝2，求DE的长.（3）如图3所示，将图2中的等边三角形BEC绕点B作适当的旋转，连结AE，若有DE2+BE2＝AE2，试求∠DEB的度数.图1 图2 图31.等边三角形是特殊的等腰三角形；等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，且都等于60°；等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；等边三角形的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线都是对称轴.2.等腰直角三角形是另一种特殊的三角形，具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.即两个锐角相等且都是45°；斜边上的中线、斜边所对角的角平分线、斜边上的高三线合一.13.（余姚市）如图所示，∠BAC＝90°，B是射线AM上的一个动点，C是射线AN上一个动点，且线段BC 的长度不变，点D是点A关于直线BC的对称点，连结AD.若2AD＝BC，则∠ABD的度数是.(第13题）14.（杭州市余杭区）如图所示，∠ABC和∠DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°.(第14题）（1）求证：BD＝AE.（2）若∠ABD＝∠DAE，AB＝8，AD＝6，求四边形ABED的面积.本章主要易错点1.注意轴对称与轴对称图形的区别，轴对称是指两个图形的关系，而轴对称图形是指一个图形本身的特征.2.“等边对等角”“等角对等边”指的是同一个三角形中边角之间的转化关系，不能与全等混淆.3.等腰三角形“三线合一”的“三线”是指底边的中线、高线和顶角平分线.4.勾股定理描述直角三角形边之间的关系，主要应用于线段长度的计算，注意其前提条件是在直角三角形中，因此构造直角三角形是应用勾股定理最重要的一个步骤.5.等腰三角形中按边分类、直角三角形中按直角分类是特殊三角形问题中常见的分类讨论，要注意合理分类. 练习1.（杭州市江干区）用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应当假设这个三角形中( )A.有一个内角小于60°B.每一个内角都小于60°C.有一个内角大于60°D.每一个内角都大于60°2.（湖州市吴兴区）如图所示，在∠ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，CD 是AB 边上的高，则线段AD 的长度为( )A. 125B. 245C. 135D. 75(第2题）(第3题）(第4题）(第5题）(第6题）3.（杭州市江干区）如图所示，在Rt∠ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，DE 是斜边AB 的中垂线，交AC 于点E ，∠EBC 的周长为14，则AB ＝ .4.（嘉兴市）如图所示，已知正方形ABCD 的边长是2cm ，E 是CD 边的中点，点F 在BC 边上移动，当AE 恰好平分∠FAD 时，CF ＝ cm.5.（杭州市萧山区）如图所示，在∠ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，S ∠ABC ＝8√3，M ，P ，N 分别是边AB ，BC ，AC 上任意一点. （1）AB 的长为 .（2）PM+PN 的最小值为 .6.（嵊州市）如图所示，∠ABC 是边长为12的等边三角形，点D ，E 分别在AB ，BC 上，且BE ＝BD ＝10，P 是线段DE 上的一个动点，分别作点P 关于AB ，AC ，BC 的对称点P 1，P 2，P 3，若连结P 1，P 2，P 3所得的三角形是等腰三角形，则DP ＝ .。

中考复习专用三角形与特殊三角形在中考的数学世界里，三角形与特殊三角形是一个非常重要的考点。

今天，咱们就来好好梳理一下这部分知识，为即将到来的中考做好充分准备。

首先，咱们来聊聊三角形的基本概念。

三角形是由三条线段首尾相连组成的封闭图形。

它有三个内角，内角和为 180 度。

这是一个非常重要的性质，在很多题目中都会用到。

比如，已知两个内角的度数，求第三个内角的度数。

三角形的三条边也有很多有趣的性质。

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

这在判断三条线段能否组成三角形时特别有用。

如果给了三条线段的长度，咱们只需要比较两条较短边的和是否大于最长边，就能判断它们能否组成三角形啦。

接下来，咱们重点说说特殊三角形。

特殊三角形主要有等腰三角形、等边三角形和直角三角形。

等腰三角形有两条边相等，这两条相等的边叫做腰，另一条边叫做底边。

等腰三角形的两个底角相等。

如果知道了顶角的度数，就能很容易地求出底角的度数，反之亦然。

而且，等腰三角形“三线合一”的性质也很重要，就是顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。

等边三角形就更特殊啦，它的三条边都相等，三个内角也都相等，都是60 度。

因为它的特殊性，所以在很多题目中一旦出现等边三角形，往往能给我们提供很多有用的信息。

再说说直角三角形。

直角三角形有一个角是 90 度。

它的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理。

比如，一个直角三角形的两条直角边分别是 3 和 4，那么斜边就是 5，因为 3²＋ 4²＝ 5²。

除了勾股定理，直角三角形还有很多重要的性质。

比如，斜边上的中线等于斜边的一半。

在解决与三角形和特殊三角形相关的题目时，我们经常需要用到全等三角形的知识。

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

判断两个三角形全等的方法有“边边边”（SSS）、“边角边”（SAS）、“角边角”（ASA）、“角角边”（AAS）和“斜边、直角边”（HL）。

中考复习特殊三角形中考对于每一位初中生来说都是一次重要的挑战，而数学中的特殊三角形更是考点中的重点。

特殊三角形包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形，它们各自具有独特的性质和判定方法。

接下来，让我们一起深入复习这些特殊三角形的知识。

一、等腰三角形等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。

相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边称为底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

1、性质（1）等腰三角形的两腰相等。

（2）等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）。

（3）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。

2、判定（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。

（2）有两条边相等的三角形是等腰三角形。

在解题中，我们常常利用等腰三角形的性质和判定来求解角度、边长等问题。

例如，已知一个等腰三角形的顶角为 80°，那么底角的度数就可以通过“（180°顶角）÷ 2”来计算，即（180° 80°）÷ 2 ＝ 50°。

二、等边三角形等边三角形又称正三角形，为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为 60°。

1、性质（1）等边三角形的三条边都相等。

（2）等边三角形的三个内角都相等，且均为 60°。

（3）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。

2、判定（1）三边相等的三角形是等边三角形。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。

等边三角形在实际问题中也有广泛的应用。

比如在建筑设计中，利用等边三角形的稳定性可以增强结构的牢固性。

三、直角三角形直角三角形是一个角为直角的三角形。

直角所对的边称为斜边，其余两边称为直角边。

1、性质（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

（2）在直角三角形中，两个锐角互余。

特殊三角形综合复习一．选择题（共10小题）1．（2012•襄阳）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°第1题第2题第3题第4题第5题2．（2012•内江）如图，a∥b，∠1=65°，∠2=140°，则∠3=（）A．100°B．105°C．110°D．115°3．（2011•仙桃天门潜江江汉）如图，AB∥EF∥CD，∠ABC=46°，∠CEF=154°，则∠BCE等于（）A．23°B．16°C．20°D．26°4．（2011•巴彦淖尔）如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A 运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（）A．2.5秒B．3秒C．3.5秒D．4秒5.（2010•株洲）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6B．7C．8D．9第6题第7题第8题第9题第10题6．（2010•鞍山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个7．（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A．6B．12 C．32 D．648．（2010•随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．B．C．D．不能确定9．（2010•西宁）矩形ABCD中，E，F，M为AB，BC，CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EF⊥FM，则EM的长为（）A．5B．C．6D．10．（2012•宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）A．90 B．100 C．110 D．121二．填空题（共4小题）11．（2012•丹东）如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有_________个．第11题第12题第13题第14题12．（2011•南宁）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1．过点C作CC1⊥AB于C1，过点C1作C1C2⊥AC于C2，过点C2作C2C3⊥AB于C3，…，按此作发进行下去，则AC n=_________．13．（2011•南昌）如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB=30°．有以下四个结论：①AF丄BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG：DE=：4，其中正确结论的序号是_________．14．（2012•鞍山）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边AB边中线CD，得到第一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第二个三角形DEF；依此作下去…则第n个三角形的面积等于_________．三．解答题（共11小题）15．（2012•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P 作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．16．（2000•内蒙古）如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE，DE．求证：EC=ED．17．（2011•烟台）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．（1）求证：AB=BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD．18．（2011•随州）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．19．（2010•大田县）如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）若AD=5，BD=12，求DE的长．20．（2008•江西）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；（1）求证：B′E=BF；（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．26．（2011•宁德）定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”．（1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；（2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．①摆出等边“整数三角形”；②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整数三角形”．。

（二）特殊三角形考点精要解析考点一：线段的垂直平分线1.定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线.2.性质：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等.3.判定：与一条直线两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.4.三角形的三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，交点是三角形的外新，且到三角形三个顶点的距离相等.考点二：等腰三角形1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：（1）两腰相等（2）两底角相等（简称为等边对等角）（3）等腰三角形定角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）.（4）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线.3.判定（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形.（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”）.考点三：等边三角形1.定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形.2.性质（1）三边都相等，三个角都相等，每个角都等于60°.（2）等边三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”）.3.判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形.（2）三个角都相等的三角形是等边三角形.（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.考点四：直角三角形与勾股定理直角三角形（1）定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形.（2）性质：①两锐角互余；②30°角所对的直角边等于斜边的一半；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（3）判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形.2.勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a ，b 斜边长为c ，那么222c b a =+.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、，b ，c 满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形.4.直角三角形斜边上的高的求法：如图4-2-29所示，ab=ch cab h =⇒ 5.折叠的常见基本图形，如图4-2-30所示.高频考点过关 例题1.如图4-2-31所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，BD 平分∠CBA 交AC 于点D ，DE 丄AB 于E.若△ADE 的周长为8cm ，则AB= cm.答案：8解析：∵DE 丄AB ，∴∠DEB=90°, ∵BD 平分∠CBA,∴∠CBD=∠EBD.又∵BD=BD ，∴△CBD ≌△EBD,∴CD=DE,BC=BE.∴AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE=BC+AE=BE+AE=AB=8(cm)考点二 ：等腰三角形和等边三角形例题2.已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )A.55°，55°B.70°，40°C.55°，55°或 70°，40°D.55°，70°答案注意分类讨论：70°角可能是顶角，也可能是底角.例题3.如图4-2-32所示，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE 丄AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F,垂足为点Q ，若BF=2，则PE 的长为( )A.2B. D.3答案C例题4 在一次数学课上，王老师在黑板上画一图，如图4-2-33所示，并写下了四个等式：①AB=DC ②BE=CE ③∠B=∠C ④∠BAE=∠CDE要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED 是等腰三角形.请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由(写出一种即可)已知：①③（或①④，或②③，或②④）求证: △AED 是等腰三角形.证明：在△ABE 和△DCE 中，B C AEB DEC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩Q ∴△ABE ≌△DCE∴AE=DE 即△AED 是等腰三角形.考点三：直角三角形与勾股定理例题5 如图4-2-34所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B= 30°，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，EF=2，求BC 的长.【解】连接AF 如图4-2-35所示. ∵EF 垂直平分AB ，∴AF=BF,∴∠B=∠FAB.∵∠B= 30°，∴∠FAB= 30°,∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∴∠BAC=120°,∴∠FAC=∠BAC －∠FAB=90°,在Rt △BEF 中,∠B=30°,∴BF=AF=2EF=4.在Rt △FAC 中,∠C=30°,∴FC=2AF=8.∴BC=BF+FC=12.中考真题链接真题1.( 天门中考)如图4-2-36所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°；BC=6cm；AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( ) A.4cm B.3cm C.2cm D.1cm真题2 (毕节中考)已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为( ).A.16B.20 或16C. 20D.12真题3 (钦州中考)等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是( )A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°真题4 (宿迁中考)在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1.过点C作直线l //AB，P为直线l上一点，且AP=AB则点P到BC所在直线的距离是( )A. 1B. 1或C.1或D.真题5 (衝州中考)将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为30cm的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图4-2-27所示，则三角板的最大边的长为( )A.3cmB.6cmC.cmD.真题6 (黔西南州中考)一直角三角形的两边长分别为3和4则第三边的长为( )A.5 D.5真题7.(新疆中考）如图4-2-38所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒(0≤t＜6),连接DE，当△BDE是直角三角形时,t的值为( )A.2B. 2.5 或3.5C. 3.5 或4.5D. 2 或3. 5 或4.5真题8（泰州中考)如图4-2-39所示，在△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为cm.真题9 (1)(巴中中考)方程x2－9x+18 = 0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为.(2) (白银中考)等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为.真题10(黔西南州中考)如图4-2-40所示，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE,则∠E= 度.真题11(黄冈中考）如图4-2-41所示，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1, 连接DE，则DE= .真题12.(鞍山中考）如图4-2-42所示，D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是.真题13.(上海中考）如图4-2-43所示，在△ABC中，AB=AC,BC=8，tanC=32，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为.真题14.(东营中考)如图4-2-44所示，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁．．离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0. 3m与蚊子相对．．的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m(容器厚度忽略不计).真题15.(河北中考)如图4-2-45所示，巳知边长为2的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的x轴y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值是.真题16.(白银中考)两个城镇A，B与两条公路l1，l2位置如图4-2-46所示，电信部门需在C处修建一座信号反射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1,l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点。

〔A〕30°〔B〕40°〔C〕45°〔D〕60°4．等腰△的顶角∠A＝20°，P是△内部的一点，且∠＝∠，那么∠的度数为〔〕〔A〕100°〔B〕130°〔C〕115 °〔D〕140°5．在△中，，∠B＝36°，D、E在边上，且与把∠三等分，那么图中共有等腰三角形的个数〔〕〔A〕3 〔B〕4 〔C〕5 〔D〕66．如图，在△中，，，，那么∠A等于〔〕〔A〕30°〔B〕36°〔C〕45 °〔D〕54°7．等腰△中，，⑴假设6，那么△的周长的取值范围是；⑵假设6，那么△的周长的取值范围是；8．等腰△中，，假设其周长为20㎝，那么的取值范围是；的取值范围是。

9．假设等腰三角形的两边长分别为3、5，那么该等腰三角形的周长为。

10．假设等腰三角形有一个角为50°，那么另两个角分别为。

11．等腰三角形周长是29，其中一边是7，那么等腰三角形的底边长是。

12．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米与11厘米两局部，那么此三角形的底边长为 .13．假设等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的底角为度。

14．假设等腰三角形的底角为15°，腰长为2，那么腰上的高为15．如果，等腰三角形的一个外角是125°，那么底角为度；16．等腰三角形两个内角及它们不相邻的外角之与等于260°，那么它的顶角度数为类型三：“三线合一〞及其应用例1．如图△中，＝，∠A ＝36°，平分∠，⊥于E ，假设＝4，且△周长为24，求的长度。

例2．△中，，D 、M 分别为、的中点，E 为延长线上一点，且，求证：〔1〕∠∠；〔2〕例3．如图，在△中，∠A ＝90°，且，平分∠交于F ，过C 作的垂线交于E ，求证：A BC E D21例4．如图，在△中，平分∠，⊥于点D，∥交于点E，求证：()AB-BC2类型四：等腰〔边〕三角形的判定及其应用例1．如图，P是△内一点，且∠1=∠2=∠45°，求证：.1．直角三角形的两边长分别是6，8，那么第三边的长为〔 〕。

第三章特殊三角形（期中复习）班级姓名一、基本性质及判定1、等腰三角形的性质：①等腰三角形的两底角相等；②等腰三角形的两腰相等；③等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合；2、等腰三角形的判定：①如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形；②如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形；③如果一个角的平分线垂直于对边，那么这个三角形是等腰三角形；④如果一个角的平分线平分对边，那么这个三角形是等腰三角形；⑤线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等；（即由中垂线可得出等腰三角形）3、等边三角形的性质：①等边三角形的三条边相等，三个角都等于60º；②等边三角形的“三线合一”；③等边三角形的边长若是a，那么它的高是2，面积是24a4、等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有两个角是60º的三角形是等边三角形；③有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形；5、直角三角形的性质：①直角三角形的两锐角互余；②勾股定理；③直角三角形中30º角所对的直角边等于斜边的一半；④直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30º；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；⑥在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形面积之和⑦若等腰直角三角形的直角边为a，一、基础题1、等腰三角形有条对称轴，对称轴是，等腰三角形腰上的高与底边所夹的角等于2.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成15cm和6cm两部分，求等腰三角形的底边长。

3.如图，正方形上给定8个点，以这些点为顶点，能构成多少个三角形。

4. 如图已知∠ACB＝90°, BD＝BC, AE＝AC, 则∠DCE＝__________度.4.如图，Rt△ABC中，CF是斜边AB上的高，角平分线BD交CF于G，DE⊥AB于E，则下列结论①∠A=∠BCF , ② CD=CG=DE, ③AD=BD ,④ BC=BE中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4第4题5. 如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA=CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ） A.13 B. 12 C. 23D 、不能确定 6．已知：如图，△ABC 为正三角形，D 是BC 延长线上一点，连结AD ，以AD 为边作等 边三角形ADE ，连结CE ，用你学过的知识探索AC 、CD 、CE 三条线段的长度有何关系? 试写出探求过程．7、如图，一个六边形ABCDEF 的每一个内角都等于120度，其中有相邻的四条边长依次为AB=2，BC=4，CD=3，DE=2，试求六边形ABCDEF 的周长和面积二、多解题(请画图说明)1、等腰三角形一腰上的高等于另一腰的一半，则此等腰三角形的顶角是 ；等腰三角形一腰上的高等于另一边的一半，则此等腰三角形的顶角是 ；等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30 º。

课题特殊三角形复习教学目标理解并掌握等腰三角形、直角三角形的性质与判定以及勾股定理的应用。

重点、难点1、等腰三角形“三线合一”性质的应用；2、勾股定理在翻折问题中的应用。

教学过程一、等腰三角形等腰三角形的性质及判定1.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠C= .在同一个三角形中，等边对等角。

反之，在同一个三角形中，等角对等边。

2.已知：△ABC中，AB=AC，∠B=50°，D为BC的中点，则∠DAC=等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合（三线合一）3.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠B=60°，则△ABC是三角形.有三边相等的三角形是等边三角形。

三个内角都相等的三角形是等边三角形。

习题精讲1.等腰三角形腰长为3，底边长为4，则周长为________；等腰三角形两边长为3和4，则周长为________；等腰三角形两边长为2和4，则周长为________.分类思想边不明确，对边进行分类：腰，底。

2、等腰三角形一个底角的度数为80°，则这个三角形的顶角度数为________；等腰三角形一个内角的度数为80°，则这个三角形的顶角度数为________；等腰三角形一个内角的度数为100°，则这个三角形的顶角度数为________.分类思想角不明确，对边进行分类：顶角，底角。

3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则其顶角为________度分类思想三角形的高线位置进行分类：高线在三角形内、外、上。

4、已知等腰三角形一腰上的中线将它周长分成 9cm和6cm两部分，求等腰三角形的底边长。

对两部分进行分类：AB+AM=9 CM+BC=6AB+AM=6 CM+BC=95、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A. 20°B. 120°C. 20°或120°D. 36°分类思想方程思想：x+x+4x=180°x+4x+4x=180°6、如图AC=BC=BD，AD=DC，则∠ACB= °7、如图, ∠ AOB是一钢架, 为使钢架更加坚固,需在内部添加一些钢管EF.FG.GH……添加的钢管的长度都与OE相等，且RQ⊥OB，求∠AOB的度数。