(完整版)浙教版八年级上册+特殊三角形综合复习

浙教版数学八年级上册第二章《特殊三角形》复习一、知识结构本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、HL 定理等知识，这些知识点之间的结构如下图所示：等腰Rt两直角三角形全等的判定直角三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形等边三角形等腰三角形特殊三角形二、重点回顾1．等腰三角形的性质：等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对_____)；等腰三角形三线合一，这三线是指________________、________________、________________，也就是说一条线段充当三种身份；等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。

2．等腰三角形的判定：有____边相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_____）。

注意：有两腰相等的三角形是等腰三角形，这句话对吗？ 3．等边三角形的性质：等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；等边三角形是______图形，它有____条对称轴。

4．等边三角形的判定：有____边相等的三角形是等边三角形；有三个角都是______的三角形是等边三角形；有两个角都是______的三角形是等边三角形；有一个角是______的______ 三角形是等边三角形。

5．直角三角形的性质：直角三角形两锐角_______；直角三角形斜边上的中线等于_______；直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。

30°角所对的直角边等于斜边的________ 6．直角三角形的判定：有一个角是______的三角形是直角三角形；有两个角_______的三角形是直角三角形；两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。

一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。

初二几何第2单元疑难问题集锦一•选择题（共10小题）1. 如图：在△ ABC中，CE平分/ ACB CF平分/ ACD,且EF// BC交AC于M ,若CM=5,贝U CE+CF2等于（）A. 75B. 100C. 120D. 1252. 等腰Rt A ABC中，/ BAC=90, D是AC的中点，ECL BD于E,交BA的延长线于F,若BF=12则厶FBC的面积为（）A. 40B. 46C. 48D. 503. 如图，将两个大小、形状完全相同的△ ABC和厶A B拼在一起，其中点A 与点A重合，点C落在边AB上，连接B'.若/ ACB=/ AC B' =90AC=BC=3则B'的长为（）4. 如图，在Rt A ABC 中，/ ACB=90, CD L AB,垂足为D, AF 平分/ CAB 交CD于点E,交CB于点F.若AC=3, AB=5,贝U CE的长为（5•如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形,如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是2,直角三角形较长的直角边为 m ，6.要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（） ① 有两条直角边对应相等；② 有两个锐角对应相等；③ 有斜边和一条直角边对应相等；④ 有一条直角边和一个锐角相等；⑤ 有斜边和一个锐角对应相等；⑥ 有两条边相等.A . 6个B. 5个C. 4个D. 3个7. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已 知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x 、y 表示直角三角形的两直角 边（x >y ），下列四个说法：① x 2+y 2=49，②x -y=2，③ 2xy+4=49，④x+y=9.其 中说法正确的是（ ）A .①②B .①②③ C.①②④ D .①②③④D. 那么（m+n ）2的值为（25 D .无答案8. 如图，锐角△ ABC中，D、E分别是AB AC边上的点，△ ADG^A ADC, △AEB^A AEB,且G D/ EB7/ BC, BE、CD交于点F.若/ BAC=35,则/ BFC的大小是（）A. 105°B. 110°C. 100°D. 120°9. 如图甲是我国古代著名的赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6 BC=5将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的数学风车”则这个风车的外围周长是（）A. 52B. 42C. 76D. 7210. 如图，△ ABC面积为1,第一次操作：分别延长AB，BC, CA至点A i，B i, C i,使A1B=AB C1B=CB C1A=CA 顺次连接A1，B1，C，得到△A1B1C1 .第二次操作：分别延长A1B1,B1C1,C1A1 至点A Z,B2,C2,使A2B1=A1B1,B2C1=B I C1,QA1=C1A1,顺次连接A2, B2, C2,得到△ A2B2C2, ••按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014,最少经过（）次操作.AA. 7B. 6C. 5D. 4二•填空题（共9小题）11. 在正三角形△ ABC所在平面内有一点P,使得△ PAB △ PBC △ PAC都是等腰三角形，则这样的P点有________ 个.12. 如图，在锐角厶ABC中，/ BAC=45, AB=2,Z BAC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN的最小值是_______ .13. 在Rt A ABC中，/ C=90°, BC=8cm AC=4cm 在射线BC上一动点D,从点B出发，以一•厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为_________ 秒.（结果可含根号）. 14. 如图，已知/ AON=40，0A=6,点P是射线ON上一动点，当△ AOP为直角三角形时，/ A= ______ ,Q P N15. _________ 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），/ AON=30，当/ A= 时，△ AOP为直角三角形.16. 如图，在△ ABC中，AB=BC=8 AO=BQ点M是射线CO上的一个动点，/ AOC=60,则当△ ABM为直角三角形时，AM的长为________ .17. 如图，在 Rt A ABC 中，/ C=90°, AC=10, BC=5 线段 PQ=AB P, Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AO 上运动，当AP= ________ 时，△ ABC 和 △ PQA 全等.18. 如图1,这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称 它为赵爽弦图”此图案的示意图如图2,其中四边形ABCD 和四边形EFGH 都是 正方形，△ ABF △ BCG △ CDH △ DAE 是四个全等的直角三角形.若 EF=2CB三•解答题（共11小题）20.如图，在△ ABC中，M为BC的中点，DM丄BC, DM与/BAC的角平分线交于点D，DE丄AB, DF丄AC, E、F为垂足，求证：BE=CF21.已知：如图，△ ABC中，/ ABC=45, CD丄AB 于D，BE平分/ ABC，且BE 丄AC于E,与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G. （1）求证：BF=AC22 .如图，D为AB上一点，△ ACE^A BCD, AD2+DB2=D^，试判断厶ABC的形23. 把两个含有45°角的大小不同的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE, AD, AD的延长线交BE于点F.说明：AF丄BE324. 图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1,线段AB EF的端点均在小正方形的顶点上.(1)如图1,作出以AB为对角线的正方形并直接写出正方形的周长；(2)如图2,以线段EF为一边作出等腰厶EFG(点G在小正方形顶点处)且顶角为钝角，并使其面积等于4.團1 圏225. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1 ,每个小格的顶点叫做格点, 以格点为顶点分别按下列要求画三角形.(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；(2)在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；(3)在图3中，画一个正方形，使它的面积是10.26. 如图，△ ABC 中，/ B=90°, AB=3, BC=4 若CD=12, AD=13.求阴影部分的面积.27. 如图，在△ ACB 中，/ ACB=90 , CD 丄AB 于 D .(1) 求证：/ ACD=Z B ;(2) 若AF 平分/ CAB 分别交CD BC 于E 、F ,求证：/ CEF 2 CFE28. 如图所示，在△ ACB 中，/ ACB=90, /仁/ B .(1) 求证：CD 丄AB ;(2) 如果 AC=8 BC=6 AB=10,求 CD 的长.29. 如图，在厶ABC 中，/ B=90°, M 是AC 上任意一点（M 与A 不重合）MD 丄 BC,且交/ BAC 的平分线于点 D ,求证：MD=MA . A n5\ C4 9 30. 已知，在△ ABC 中，AC=BC / ACB=90，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边 上一点. （1） 直线BF 丄CE 于点F ,交CD 于点G （如图①），求证：AE=CG（2） 直线AH 丄CE 于点H ,交CD 的延长线于点M （如图②），找出图中与BEz?相等的线段，并证明.第11页（共32初二几何第2单元疑难问题集锦参考答案与试题解析一•选择题（共10小题）1.如图：在△ ABC中，CE平分/ ACB CF平分/ ACD,且EF// BC交AC于M ,若CM=5,贝U CE+CF2等于（）A. 75B. 100C. 120D. 125【解答】解：：CE平分/ ACB, CF平分/ ACD,•••/ ACE寺/ ACB / ACF寺/ ACD,即/ ECF= (/ ACB^Z ACD) =90°,•••△ EFC为直角三角形，又T EF// BC, CE平分/ ACB CF平分/ ACD,•••/ ECB2 MEC=Z ECM , / DCF=/ CFM=Z MCF,••• CM=EM=MF=5 EF=10由勾股定理可知CE+CF^EFMOO.故选B.2.等腰Rt A ABC中，/ BAC=90 , D是AC的中点，ECL BD于E,交BA的延长线于F ,若BF=12则厶FBC的面积为（）A. 40B. 46C. 48D. 50【解答】解：：CEL BD ,第13页（共32:丄 BEF=90,vZ BAC=90,:丄 CAF=90,•••Z FAC Z BAD=90 , Z ABD+Z F=90°, Z ACF+Z F=90°,•••Z ABD=Z ACF ,•••在厶ABD 和A ACF 中ZBAD=ZCAFAB=AC, ZABD=ZACF• △ ABD ^A ACF ,• AD=AFv AB=AC D 为 AC 中点,• AB=AC=2AD=2AFv BF=ABAF=12• 3AF=12• AF=4• AB=AC=2AF=8• △ FBC 的面积是丄 X BF X AC 二 X 12X 8=48 , 2 2故选C .3•如图,将两个大小、形状完全相同的△ ABC 和厶A B 拼在一起,其中点 A与点A 重合，点C'落在边AB 上,连接B C 若Z ACB=/ AC B' =90AC=BC=3则B'的长为（ ）A . 3 - B. 6 C. 3 * D. 1汀[【解答】解：I/ ACBKAC B' =90AC=BC=3•i AB= ［「j | =3 '_,/ CAB=45,•••△ ABC 和△ A B'大I 、、形状完全相同，•••/ C' AB /=AB=45, AB =AB=3,•••/ CAB =9Q°:B C =：J-甘 J =3 ：:，故选：A .4.如图，在 Rt A ABC 中，/ ACB=90，CD 丄AB,垂足为 D , AF 平分/CAB 交v/ ACB=90，CD 丄 AB,•••/ CDA=90,•••/ CAF+/ CFA=90, / FA&/ AED=90 ,v AF 平分/ CAB•••/ CAF=/ FAD,•••/ CFA=/ AED=/ CEF ••• CE=CFv AF 平分/ CAB / ACF=/ AGF=90 ,••• FC=FGv/ B=/ B , / FGB=/ ACB=90 ,•••△ BF3A BAC, :-FGAB = AC '【解答】解：过点F 作FG 丄AB 于点G ， 则CE 的长为（第15页（共32••• AC=3 AB=5, / ACB=90,••• BC=45•如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是2,直角三角形较长的直角边为较短的直角边为n ，那么（m+n ）2的值为（ ）A . 23 B. 24 C. 25 D .无答案【解答】解：（m+n ）2=m 2+n 2+2m 门=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和(13- 1) =25.故选C .6.要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（）① 有两条直角边对应相等；② 有两个锐角对应相等；=13+即CE 的长为32③有斜边和一条直角边对应相等；第17页（共32④ 有一条直角边和一个锐角相等；⑤ 有斜边和一个锐角对应相等；⑥ 有两条边相等.A . 6个B. 5个C. 4个D. 3个【解答】解：①有两条直角边对应相等，可以利用 SAS 证明全等，正确;② 有两个锐角对应相等，不能利用 AAA 证明全等，错误；③ 有斜边和一条直角边对应相等，可以利用 HL 证明全等，正确；④ 有一条直角边和一个锐角相等，不一定可以利用 AAS 证明全等，错误;⑤ 有斜边和一个锐角对应相等，可以利用 AAS 证明全等，正确；⑥ 有两条边相等，不一定可以利用 HL 或SAS 证明全等，错误；故选D .7. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已 知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x 、y 表示直角三角形的两直角 边（x >y ），下列四个说法：① x 2+y 2=49，②x -y=2，③ 2xy+4=49，④x+y=9.其 中说法正确的是（ ）A .①②B .①②③ C.①②④ D .①②③④①-②得2xy=45 ③,2xy+4=49,① + ③得 x 2+2xy+y 2=94， .•.（ x+y ） 2=94，.①②③正确，④错误.故选B8. 如图，锐角△ ABC 中，D 、E 分别是 AB AC 边上的点，△ ADG^A ADC , △【解答】 解: 由题意AEB^A AEB,且G D/ EB7/ BC, BE、CD交于点F.若/ BAC=35,则/ BFC的大小是（）A. 105°B. 110°C. 100°D. 120°【解答】解：设/ C =,Z B'=,•••△ADC^A ADC, △AEB^A AEB,•••/ ACD=/ C' =, Z ABE=Z B' =，/ BAE=Z B' AE=35•••/ C' DB Z BACACD=35+a, Z CEB =35°.•••C' / EB'// BC,•••Z ABC=/ C DB Z BACACD=35+a, Z ACB=/ CEB =3倂B,•••Z BAG Z ABO Z ACB=180, 即卩105° + a+B =180：则a+B =75：•Z BFC Z BDG Z DBE,•Z BFC=35+a+B =35+75°=110°.9. 如图甲是我国古代著名的赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6 BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的数学风车”则这个风车的外围周长是（）第19页（共32【解答】解：依题意得，设 数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为X ,则貳=122+52=169,解得x=13.故数学风车”的周长是：（13+6）X 4=76.故选：C.10. 如图，△ ABC 面积为1,第一次操作：分别延长 AB , BC, CA 至点A i , B i , C 1 ,使 A 1B=AB GB=CB GA=CA 顺次连接 A , B 1 , C ，得到△ A 1B 1C 1 .第二次 操作：分别延长 A 1B 1 , B 1C 1 , C 1A 1 至点 A 2 , B 2 , C 2 ,使 A 2B 1=AB 1, B 2C 1=B I C 1 , C 2A 1=C 1A 1 , 顺次连接A 2 , B 2 , C 2 ,积比为1： 2,得到△ A 2B2C 2, ••按此规律，要使得到的三角形的面积超 过2014,最少经过（ ）次操作.C. 5 D . 4【解答】解: △ ABC 与厶A i BBi 底相等 (AB=AB ),高为 1： 2 (BB i =2BC ),故面 A . 7 B. 6 4S A1B1B F2.同理可得，S\CIBI（=2,S\AAIC=2,S\ A1B1C=S\ C1B1（+S\ AA1C+S^ A1B1B+S\ ABC=2+2+2+1=7；同理可证厶A2B2C2的面积=7XA A1B1C1的面积=49,第三次操作后的面积为7X 49=343,第四次操作后的面积为7X 343=2401.故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014,最少经过4次操作.故选D.二•填空题（共9小题）11 •在正三角形△ ABC所在平面内有一点P,使得△ PAB △ PBC △ PAC都是等腰三角形，则这样的P点有10 个.【解答】解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的.每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个，故答案为：10.12.如图，在锐角厶ABC中，/ BAC=45, AB=2,Z BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN的最小值是—丄_ .【解答】解：如图，作BH 丄AC,垂足为H ,交AD 于M 点，过M 点作M N1AB, 垂足为N',则BM+M N 为所求的最小值.••• AD 是/ BAC 的平分线，••• M H=M N••• BH 是点B 到直线AC 的最短距离（垂线段最短）,••• AB=2 / BAC=45,••• BH=AB?si n45 =乂返，！,2••• BM+MN 的最小值是 BM +M N =B+M H=BH=[.故答案为：一二13.在 Rt A ABC 中，/ C=90°, BC=8cm AC=4cm 在射线 BC 上一动点 D ,从点 B 出发，以.匚厘米每秒的速度匀速运动，若点 D 运动t 秒时，以A 、D 、B 为顶 点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t 为_「.!.一：,—秒.（结果可含 根号）.【解答】解：①如图1，当AD=BD 时，在Rt A ACD 中，根据勾股定理得到: AD 2=AC ?+CD 2, 即卩 BD ^= （8 - BD ） 2+42，解得，BD=5 （cm ）,则t=〒=.，（秒）;② 如图2,当AB=BD 时.在Rt A ABC 中，根据勾股定理得到:AB=J ; ；'=4「！•，则 A N V B（秒）；③如图3,当AD=AB时，BD=2BC=16则t于■弋蜃（秒）；综上所述，t的值可以是：！ . —- \ ;14•如图，已知/ AON=40, 0A=6,点P是射线ON上一动点，当△ AOP为直角三角形时，/ A= 50 或90【解答】解：当AP I ON时，/ APO=90,则/ A=50°,当PAIOA时，/ A=90°,即当△ AOP为直角三角形时，/ A=50或90°故答案为：50或90.15. 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），/ AON=30 , 第19页（共32页）当/ A 60或90°时，△ AOP为直角三角形.【解答】解：若/ APO是直角，则/ A=90°-Z AON=90 - 30°60°,若/ APO是锐角，•••/ AON=30是锐角，•••Z A=90°，综上所述，Z A=60°或90°故答案为：60°或90°16. 如图，在△ ABC中，AB=BC=8 AO=BQ点M是射线CO上的一个动点，Z AOC=60,则当△ ABM为直角三角形时，AM的长为 J或4—或4 .【解答】解：如图1,当Z AMB=90时,•OM=OB=4,又TZ AOC=/ BOM=6°，•△ BOM是等边三角形，••• BM=B0=4,••• Rt A ABM 中，AM= j — =4 . 如图2,当/ AMB=90时，v O是AB的中点，AB=8, ••• OM=OA=4,又v/ AOC=60,•△ AOM是等边三角形，•AM=AO=4;如图3,当/ ABM=90时,v/ BOM=/ AOC=60,•/ BMO=3° ,•MO=2BO=2X 4=8,--Rt A BOM 中，BM二q j. =4 :;,Rt A ABM 中，AM= , . 'ir =4 7,综上所述，当△ ABM为直角三角形时，AM的长为4 -；或4 -或4.故答案为：4■或4■或4.17. 如图，在Rt A ABC中，/ C=90°, AC=10, BC=5 线段PQ=AB P, Q 两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP= 5 或10 时，△ ABC 和厶PQA全等.【解答】解：当AP=5或10时，△ ABC和厶PQA全等,理由是：I / C=90, AO丄AC,•/ C=/ QAP=90，①当AP=5=BC时，在Rt A ACB和Rt A QAP 中fAB=PQ|BC=AP•Rt A ACB^ Rt A QAP ( HL)，②当AP=10=AC时，在Rt A ACB和Rt A PAQ中fAB=PQ 仏二AP•Rt A ACB^ Rt A PAQ( HL)，故答案为：5或10.18. 如图1,这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为赵爽弦图”此图案的示意图如图2,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是第22页（共32页）正方形，△ ABF △ BCG △ CDH △ DAE是四个全等的直角三角形.若EF=2••• BF=BG- BF=6,•••直角△ ABF中，禾I」用勾股定理得：AB=十，厂=10・故答案是：10.19. 如图：在△ ABC中，AB=AC BC=BD AD=DE=EB 贝U/ A= 45【解答】解：：DE=EB•••设/ BDE=/ ABD=x•••/ AED=/ A=2x,•••/ BDC=/ C=/ ABC=3x 在厶ABC中，3x+3x+2x=180°, 解得x=22.5 °•••/ A=2x=22.5°X 2=45°.故答案为：45°.三.解答题（共11小题）20. 如图，在△ ABC中，M为BC的中点，DM丄BC, DM与/BAC的角平分线交于点D , DE 丄AB , DF 丄AC, E 、F 为垂足，求证：BE=CF•••点D 在BC 的垂直平分线上,••• DB=DCv D 在/BAC 的平分线上，DE± AB, DF 丄AC, ••• DE=DFvZ DFC=z DEB=90,在 Rt A DCF 和 Rt A DBE 中，卩出DCI DMF ,••• Rt A DCF ^Rt A DBE (HL ),21. 已知：如图，△ ABC 中，Z ABC=45, CD 丄AB 于 D , BE 平分Z ABC ,且 BE丄AC 于E ,与CD 相交于点F , H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G .（1）求证：BF=AC【解答】解：连接DB.••• CF=BE （全等三角形的对应边相等）【解答】(1)证明：T CD 丄AB ,/ ABC=45,•••△ BCD 是等腰直角三角形.••• BD=CDv/ DBF=90-/ BFD, / DCA=90 -/ EFC 且/ BFD=Z EFC•••/ DBF=/ DCA在 Rt A DFB 和 Rt A DAC 中，ZBDF=ZCDA■-■ I -,BD=DC••• Rt A DFB ^ Rt ^ DAC (AAS ,••• BF=AC(2) 证明：v BE 平分/ ABC,•••/ ABE=/ CBE在 Rt A BEA 和 Rt A BEC 中,ZAEB=ZCEBr …, ZABE=ZCBE••• Rt A BEA^ Rt A BEC(ASA ).••• CE=AE 二AC,2 ，又 v BF=AC••• CE 丄 BF. 222 .如图，D 为AB 上一点，△ ACE^A BCD AD 2+DB 2=D^，试判断厶ABC 的形[ [状，并说明理由.【解答】解：△ ABC是等腰直角三角形,理由是::△ ACE^A BCD,••• AC=BC / EAC2 B, AE=BD••• A D2+DB2=DE：,••• AD2+AE2=DE?,•••/ EAD=90 ,•••/ EAOZ DAC=90 ,•••/ DAG/ B=90° °•••/ ACB=180 - 90°=90°°••• AC=BC•••△ ABC是等腰直角三角形.23•把两个含有45°角的大小不同的直角三角板如图放置，点D在BC上,连接BE, AD , AD的延长线交BE于点F.说明：AF丄BE【解答】证明：AF丄BE,理由如下：由题意可知/ DEC/ EDC=4O5 , / CBA=/ CAB=45 ,••• EC=DC BC=AC 又/ DCE/ DCA=90 ,•••△ ECD^PA BCA都是等腰直角三角形,••• EC=DC BC=AC / ECD/ ACB=90.在厶BEC^n^ ADC中EC=DC / ECB W DCA, BC=AC•••△ BEC^A ADC (SAS.•••/ EBC=z DACvZ DAC+Z CDA=90，/ FDB=Z CDA•••/ EBG Z FDB=90.•••Z BFD=90,即AF丄BE.24. 图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1,线段AB EF的端点均在小正方形的顶点上.（1）如图1,作出以AB为对角线的正方形并直接写出正方形的周长；（2）如图2,以线段EF为一边作出等腰厶EFG（点G在小正方形顶点处）且顶角为钝角，并使其面积等于4.【解答】解：（1）以AB为对角线的正方形AEBF如图所示，正方形的周长为4.丨| .囹1(2)等腰△ EFG如图所示，&EFG^ X ■ tx「=4.11严■ ■ * ■ u r!，•■ - —|1■ . -4L_. JF■…/iN；；111_ 125. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1 ,每个小格的顶点叫做格点, 以格点为顶点分别按下列要求画三角形.（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10.【解答】解：（1）三边分别为：3、4、5 （如图1）;（2）三边分别为：.】、2二、.II （如图2）;26. 如图，△ ABC 中，/ B=90°, AB=3, BC=4 若CD=12, AD=13.求阴影部分的面积.【解答】解::△ ABC中，/ B=90 ° AB=3,••• AC=一= ：L '=5-v CD=12 AD=13. AC=5,••• AC2+CD2=AD2,•••△ ACD是直角三角形,S阴影=S\ACD—S A ABC^X 5X 12 - —X 3X 4=30- 6=24. :- :-27. 如图，在△ ACB中，/ ACB=90 , CD丄AB于D.(1)求证：/ ACD=Z B;(2)若AF平分/ CAB分别交CD BC于E、F,求证：/ CEF2 CFE【解答】证明：(1)vZ ACB=90 , CD丄AB于D,•••/ ACD F Z BCD=90，/ B+Z BCD=90,•••/ ACD=/ B;(2)在Rt A AFC中，Z CFA=90—Z CAF, 同理在Rt A AED中，Z AED=90-Z DAE 又v AF平分Z CAB•••Z CAF=/ DAE,•••Z AED=/ CFE又vZ CEF Z AED,• Z CEF Z CFE28. 如图所示，在△ ACB 中，/ ACB=90, /仁/ B . (1) 求证：CD 丄AB ;(2) 如果 AC=8 BC=6 AB=10,求 CD 的长.【解答】(1)证明：I / ACB=90, •••/ 1+/ BCD=90,v/ 仁/ B,•••/ B+/ BCD=90, •••/ BDC=90, ••• CD 丄 AB ;29. 如图，在△ ABC 中，/ B=90°, M 是AC 上任意一点（M 与A 不重合）MD 丄 BC,且交/ BAC 的平分线于点 D ,求证：MD=MA .【解答】 证明：v MD 丄BC,且/ B=90°,.AB// MD , ./ BAD=/ D又v AD 为/ BAC 的平分线 ./ BAD=/ MAD , •••/ D=Z MAD, ••• MA=MD...CD —I IAB10=4.8.(2)解：v S\AB ?CD 丄 AC ?BC30.已知，在△ ABC 中，AC=BC / ACB=90,点D 是AB 的中点，点E 是AB 边 上一点.（1） 直线BF 丄CE 于点F ,交CD 于点G （如图①），求证：AE=CG（2） 直线AH 丄CE 于点H ，交CD 的延长线于点M （如图②），找出图中与BE 相 等的线段，并证明.•••/ ACB=90，•••/ A=Z ABC=45，Z ACE=90-Z BCF••• BF 丄 CE, •••/ CFB=90,•••/ CBG=90-Z BCF•••/ ACE W CBQ 在厶ACE ft^ CBG 中，ZA=ZBCG=45&AC=BC, ZACE=ZE0G•••△ ACE^A CBG( ASA )， ••• AE=CG(2)解：CM=BE 理由： •••CD 丄AB ，AH 丄CE •••/ CDE W CHM=9,，•••/ DCE ■/CEB=90，Z DCE^Z CMA=90， •••/ CEB W CMA , 在厶 BCE^n ^ ACM 中，[r ZB=ZACI!-45frZCEB=ZCMA ,t AC=BC•••△ BCE^A ACM (AAS),••• CM=BE。

八年级上册第二章《特殊三角形》复习一、知识构造本章重要学习了等腰三角形旳性质与鉴定、直角三角形旳性质与鉴定以及勾股定理、HL 定理等知识，这些知识点之间旳构造如下图所示：等腰Rt两直角三角形全等的判定直角三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形等边三角形等腰三角形特殊三角形二、重点回忆1．等腰三角形旳性质：等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一种三角形中，等边对_____)；等腰三角形三线合一，这三线是指________________、________________、________________，也就是说这三线为同一条线段；等腰三角形是________图形，它旳对称轴有_________条。

2．等腰三角形旳鉴定：有____边相等旳三角形是等腰三角形；有_____相等旳三角形是等腰三角形（即在同一种三角形中，等角对_____）。

3．等边三角形旳性质：等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；等边三角形是______图形，它有____条对称轴。

4．等边三角形旳鉴定：有____边相等旳三角形是等边三角形；有三个角都是______旳三角形是等边三角形；有两个角都是______旳三角形是等边三角形；有一种角是______旳______ 三角形是等边三角形。

5．直角三角形旳性质：直角三角形两锐角_______；直角三角形斜边上旳中线等于_______；直角三角形两直角边旳平方和等于________（即勾股定理）。

30°角所对旳直角边等于斜边旳________6．直角三角形旳鉴定：有一种角是______旳三角形是直角三角形；有两个角_______旳三角形是直角三角形；两边旳平方和等于_______旳三角形是直角三角形。

一条边上旳中线等于该边长度旳一半，那么该三角形是直角三角形，但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。

浙教版八年级三角形及特殊三角形总复习在八年级的数学学习中，三角形及特殊三角形是一个重要的知识点板块。

这部分内容不仅在数学学科中具有基础地位，还在实际生活中有着广泛的应用。

接下来，让我们一起对浙教版八年级三角形及特殊三角形进行一次全面的总复习。

一、三角形的基本概念三角形是由三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。

它有三个顶点、三条边和三个内角。

三角形的内角和为 180 度，这是三角形的一个重要性质。

在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

这个性质在判断三条线段能否组成三角形时非常有用。

二、三角形的分类1、按角分类三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

锐角三角形的三个内角都小于 90 度；直角三角形有一个内角等于 90 度；钝角三角形有一个内角大于 90 度小于 180 度。

2、按边分类三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。

等边三角形的三条边都相等；等腰三角形有两条边相等；不等边三角形的三条边都不相等。

三、特殊三角形1、等腰三角形（1）性质等腰三角形的两腰相等，两底角相等。

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合，简称“三线合一”。

（2）判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。

2、等边三角形（1）性质等边三角形的三条边相等，三个内角都等于 60 度。

（2）判定三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形。

3、直角三角形（1）性质直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

直角三角形中，30 度角所对的直角边等于斜边的一半。

（2）判定如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

四、三角形的全等1、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。

3、全等三角形的判定（1）“边边边”（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。

浙教版数学八年级上册第二章《特殊三角形》复习一、知识结构本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、HL 定理等知识，这些知识点之间的结构如下图所示：等腰Rt两直角三角形全等的判定直角三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形等边三角形等腰三角形特殊三角形二、重点回顾1．等腰三角形的性质：等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对_____)；等腰三角形三线合一，这三线是指________________、________________、________________，也就是说一条线段充当三种身份；等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。

2．等腰三角形的判定：有____边相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_____）。

注意：有两腰相等的三角形是等腰三角形，这句话对吗？ 3．等边三角形的性质：等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；等边三角形是______图形，它有____条对称轴。

4．等边三角形的判定：有____边相等的三角形是等边三角形；有三个角都是______的三角形是等边三角形；有两个角都是______的三角形是等边三角形；有一个角是______的______ 三角形是等边三角形。

5．直角三角形的性质：直角三角形两锐角_______；直角三角形斜边上的中线等于_______；直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。

30°角所对的直角边等于斜边的________6．直角三角形的判定：有一个角是______的三角形是直角三角形；有两个角_______的三角形是直角三角形；两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。

一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。

课题：第二章特殊三角形一、等腰三角形分类讨论1.1等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为50°，则这个等腰三角形顶角的度数为：1.2等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm．等腰三角形的腰长为：1.3.等腰三角形一腰上的高等于该三角形另一边长的一半．则其顶角等于：钢架问题2.1.如图1，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，则∠BGH＝图1 图2 图3 图4 图52.2如图2钢架中，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…恰能加8根钢架，且P1A=P1P2，求∠A范围．2.3如图3，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…均为等边三角形．若OB1＝1，则△A8B8B9的边长为：性质应用3.1如图4，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，求AC的长3.2如图5，等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M．（1）求∠E的度数．（2）求证：M是BE的中点．3.3如图6，等腰△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE作图：4直线L上有一点O，点A为直线外一点，连接OA，在直线L上找一点B，使得△AOB是等腰三角形，这样的点B最多有个二、等边三角形性质应用1.1如图7，等边三角形ABC，BC＝2，D是AB的中点，作DF⊥AC于点F，作EF⊥BC于点E，BE的长为：图6 图7 图8 图9 图10 图111.2.如图8，等边△ABC中，BD=CE，连接AD、BE交于点F。

∠AFE=______面积法：2.1如图9，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P为底边BC上任一点，PE⊥AB，PF⊥AC，求PE+PF的值。

期末复习(二) 特殊三角形01 知识结构特殊三角形⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧图形的轴对称⎩⎪⎨⎪⎧轴对称图形轴对称轴对称和轴对称图形的性质等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧轴对称性性质定理判定定理逆命题和逆定理⎩⎪⎨⎪⎧互逆命题互逆定理线段垂直平分线定理的逆定理直角三角形⎩⎪⎨⎪⎧性质定理判定定理勾股定理勾股定理的逆定理全等的判定角平分线的性质定理02 重难点突破重难点1 等腰三角形的性质及判定【例1】 (萧山区期中)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC .(1)若AC ＝BC ，∠B ∶∠C ＝2∶1，试写出图中的所有等腰三角形，并给予证明； (2)若AB ＋BD ＝AC ，求∠B ∶∠C 的比值、 【思路点拨】 (1)根据等腰三角形的定义及“等角对等边”判定等腰三角形；(2)利用“截长法”或“补短法”添加辅助线，将AC －AB 或AB ＋BD 转化成一条线段，通过全等得到线段相等，从而得到角相等、解：(1)等腰三角形有3个：△ABC ，△ABD ，△ADC ，证明：∵AC ＝BC ，∴△ABC 是等腰三角形、 ∴∠B ＝∠BAC .∵∠B ∶∠C ＝2∶1，∠B ＋∠BAC ＋∠C ＝180°， ∴∠B ＝∠BAC ＝72°，∠C ＝36°. ∵∠BAD ＝∠DAC ＝12∠BAC ＝36°，∴∠B ＝∠ADB ＝72°，∠DAC ＝∠C ＝36°. ∴AB ＝AD ，DA ＝DC .∴△ABD 和△ADC 是等腰三角形、(2)在AC 上截取AE ＝AB ，连结DE ， 又∵∠BAD ＝∠DAE ，AD ＝AD ， ∴△ABD ≌△AED .∴∠AED ＝∠B ，BD ＝DE .∵AB ＋BD ＝AC ，AC ＝AE ＋EC ， ∴BD ＝EC . ∴DE ＝EC .∴∠EDC ＝∠C .∴∠B ＝∠AED ＝∠EDC ＋∠C ＝2∠C . ∴∠B ∶∠C ＝2∶1.1、(上城区期中)如图，△AB C 、△ADE 中，C 、D 两点分别在AE 、AB 上，BC 与DE 相交于点F .若BD ＝CD ＝CE ，∠ADC ＋∠ACD ＝104°，则∠DFC 的度数为( C )A 、104°B 、118°C 、128°D 、136°2、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在A B 、B C 、AC 边上，且BE ＝CF ，BD ＝CE .(1)求证：△DEF 是等腰三角形；(2)当∠A ＝40°时，求∠DEF 的度数、解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C .在△BDE 和△CEF 中，⎩⎨⎧BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，∴△BDE ≌△CEF (SAS )、∴DE ＝EF ，即△DEF 是等腰三角形、 (2)∵∠A ＝40°，AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ＝70°.由(1)知，△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF.∴∠DEF＝180°－∠BED－∠CEF＝180°－∠BED－∠BDE＝∠B＝70°.重难点2直角三角形的性质及判定【例2】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，∠AEF＝∠AFE.(1)求证：AD⊥BC(请用一对互逆命题进行证明)；(2)写出你所用到的这对互逆命题、【思路点拨】由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠ABF＋∠AFB＝90°，又因为∠ABF＝∠CBF，∠AEF＝∠BED，从而转化为∠CBF＋∠BED＝90°，从而AD⊥BC得证、解：(1)证明：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，∴∠ABF＋∠AFB＝90°.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF.∵∠AEF＝∠AFE，∠BED＝∠AEF，∴∠BED＝∠AFE.∴∠CBF＋∠BED＝90°.∴∠BDE＝90°.∴AD⊥BC.(2)互逆命题：直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形、3、(庆元县岭头中学月考)已知，如图，B、C、D三点共线，AB⊥BD，ED⊥CD，C是BD 上的一点，且AB＝CD，∠1＝∠2，请判断△ACE的形状并说明理由、解：△ACE是等腰直角三角形，理由：∵∠1＝∠2，∴AC＝CE.∵AB⊥BD，ED⊥CD，∴∠B＝∠D＝90°.在Rt△ABC和Rt△CDE中，⎩⎨⎧AC ＝CE ，AB ＝CD ，∴Rt △ABC ≌Rt △CDE . ∴∠ACB ＝∠CED .∵∠CED ＋∠ECD ＝90°， ∴∠ACB ＋∠ECD ＝90°. ∴∠ACE ＝90°.∴△ACE 是等腰直角三角形、重难点3 勾股定理及其逆定理【例3】 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 是AC 的中点，作∠ADB 的平分线DE 交AB 于点E .(1)求证：DE ∥BC ；(2)若AE ＝3，AD ＝5，点P 为线段BC 上的一动点，当BP 为何值时，△DEP 为等腰三角形？请求出所有BP 的值、【思路点拨】 (1)要证DE ∥BC ，可转化为证∠AED ＝∠ABC ＝90°，即证DE ⊥AB ，由等腰三角形“三线合一”的性质可推导得出；(2)△DEP 为等腰三角形，存在三种情况：DE ＝EP ，DP ＝EP ，DE ＝DP ，结合勾股定理可求得BP 的值、解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°，点D 是AC 的中点，∴BD ＝AD ＝12AC .∵DE 是∠ADB 的平分线， ∴DE ⊥AB .又∵∠ABC ＝90°，∴DE ∥BC . (2)∵AE ＝3，AD ＝5，DE ⊥AB ， ∴DE ＝AD 2－AE 2＝4. ∵DE ⊥AB ，AD ＝BD ， ∴BE ＝AE ＝3.①DE ＝EP 时，BP ＝42－32＝7； ②DP ＝EP 时，BP ＝12DE ＝12×4＝2；③DE ＝DP 时，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，则DF ＝BE ＝3， 由勾股定理，得FP ＝42－32＝7， 点P 在F 下边时，BP ＝4－7，点P 在F 上边时，BP ＝4＋7，综上所述，BP 的值为7，2，4－7或4＋7.4、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝3 cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1 cm /s 的速度运动，设运动时间为t (s )、(1)当△ABP 为直角三角形时，求t 的值； (2)当△ABP 为等腰三角形时，求t 的值、解：(1)∵∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝3 cm ，∴BC ＝4 cm .①当∠APB 为直角时，点P 与点C 重合，BP ＝BC ＝4 cm ， ∴t ＝4.②当∠BAP 为直角时，BP ＝t cm ，CP ＝(t －4)cm ，AC ＝3 cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝32＋(t －4)2， 在Rt △BAP 中，AB 2＋AP 2＝BP 2， ∴52＋[32＋(t －4)2]＝t 2， 解得t ＝254.综上，当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或254.(2)①当BP ＝BA ＝5 cm 时，t ＝5.②当AB ＝AP 时，BP ＝2BC ＝8 cm ，∴t ＝8.③当PB ＝P A 时，PB ＝P A ＝t cm ，CP ＝(4－t )cm ，AC ＝3 cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2＋CP 2， ∴t 2＝32＋(4－t )2，解得t ＝258. 综上，当△ABP 为等腰三角形时，t ＝5或8或258.03 备考集训一、选择题(每小题3分，共30分)1、(上城区期中)下列四个图形中，是轴对称图形的是( C )2、下列各命题的逆命题成立的是( C )A 、全等三角形的对应角相等B、如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C、两直线平行，同位角相等D、如果两个角都是45°，那么这两个角相等3、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，如果∠A＝50°，那么∠DCB ＝( A )A、50°B、45°C、40°D、25°4、下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是( B )A、两条直角边对应相等B、两个锐角对应相等C、一条直角边和它所对的锐角对应相等D、一个锐角和锐角所对的直角边对应相等5、(永嘉县校级期中)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( D )A、60°B、120°C、60°或150°D、60°或120°6、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，且DA＝DB＝5，如果△DAB的面积为10，那么DC的长是( B )A、4B、3C、5D、4.5第6题图第7题图7、如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC 于点D，连结BD，下列结论错误的是( D )A、∠C＝2∠AB、BD平分∠ABCC、图中有三个等腰三角形D、S△BCD＝S△BOD8、(萧山区期中)△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB 于点D，PE⊥AC于点E，则PD＋PE的长是( A )A、4.8B、4.8或3.8C、3.8D、59、(庆元县岭头中学月考)如图，三角形纸片ABC中，∠B＝2∠C，把三角形纸片沿直线AD 折叠，点B落在AC边上的E处，那么下列等式成立的是( B )A、AC＝AD＋BDB、AC＝AB＋BDC、AC＝AD＋CDD、AC＝AB＋CD第9题图第10题图10、(河北中考)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(D)A、1个B、2个C、3个D、3个以上二、填空题(每小题4分，共24分)11、等腰三角形的一个角是110°，则它的底角是35°、12、(永嘉县校级期中)如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图，根据图中的尺寸(单位：cm)，计算两个圆孔中的A和B的距离为10cm.第12题图第13题图13、如图，在△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝6，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，D是AB的中点，则△DEF的周长是10、14、(萧山区期中)如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为32、第14题图第15题图15、(江山期末)如图，在边长为2的等边△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AC中点，点P是AD上一动点，则PC＋PE的最小值是3、16、(杭州期中)已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD ＝BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE ＝BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足，下列结论：①△ABD ≌△EBC ；②∠BCE ＋∠BCD ＝180°；③AD ＝EF ＝EC ；④BA ＋BC ＝2BF .其中正确的结论有①②④(填序号)、三、解答题(共46分)17、(10分)如图，请将下面两个三角形分成两个等腰三角形、(要求重新画图，且标出每个等腰三角形的内角的度数)解：如图：18、(10分)(杭州中考)如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，点M ，N 分别在AB ，AC 边上，AM ＝2MB ，AN ＝2NC .求证：DM ＝DN .证明：∵AM ＝2MB ，AN ＝2NC ，AB ＝AC ， ∴AM ＝AN .∵AD 平分∠BAC ， ∴∠MAD ＝∠NAD .在△AMD 和△AND 中，⎩⎨⎧AM ＝AN ，∠MAD ＝∠NAD ，AD ＝AD ，∴△AMD ≌△AND (SAS )、 ∴DM ＝DN .19、(12分)(萧山区期中)(1)用直尺和圆规作一个等腰三角形，使得底边长为线段a ，底边上的高的长为线段b ，要求保留作图痕迹；(不要求写出作法)(2)在(1)中，若a ＝6，b ＝4，求等腰三角形的腰长、解：(1)如图，等腰三角形ABC 即为所求作三角形，其中AB ＝a ，OC ＝b . (2)由题意知AC ＝BC ，AO ＝BO ，CO ⊥AB ，且CO ＝4，AB ＝6， ∴AO ＝3.∴AC ＝OA 2＋OC 2＝5，即等腰三角形的腰长为5.20、(14分)如图1，OA ＝2，OB ＝4，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt △ABC . (1)求C 点的坐标； (2)如图2，P 为y 轴负半轴上一个动点，当P 点沿y 轴负半轴向下运动时，以P 为顶点，P A 为腰作等腰Rt △APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点，求OP －DE 的值、解：(1)过C 作CM ⊥x 轴于M 点，∵∠MAC ＋∠OAB ＝90°，∠OAB ＋∠OBA ＝90°， ∴∠MAC ＝∠OBA .在△MAC 和△OBA 中，⎩⎨⎧∠CMA ＝∠AOB ＝90°，∠MAC ＝∠OBA ，AC ＝BA ，∴△MAC ≌△OBA (AAS )、 ∴CM ＝OA ＝2，MA ＝OB ＝4.∴OM ＝OA ＋AM ＝2＋4＝6. ∴点C 的坐标为(－6，－2)、(2)过D 作DQ ⊥OP 于Q 点，则DE ＝OQ . ∴OP －DE ＝OP －OQ ＝PQ .∵∠APO ＋∠QPD ＝90°，∠APO ＋∠OAP ＝90°， ∴∠QPD ＝∠OAP .在△AOP 和△PQD 中，⎩⎨⎧∠AOP ＝∠PQD ＝90°，∠OAP ＝∠QPD ，AP ＝PD ，∴△AOP ≌△PQD (AAS )、 ∴PQ ＝OA ＝2， 即OP －DE ＝2.。

八年级专题复习---第二章 特殊三角形知识点回顾一、等腰三角形1、等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形2、等腰三角形性质(1)等腰三角形的两腰相等、两个底角相等(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合3、等腰三角形判定（1） 定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。

（2）判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形二、等边三角形1、等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形2、等边三角形性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°3、等边三角形判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（2）三条边都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

三、直角三角形1、直角三角形：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。

通常用符号“Rt △”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。

如果AB ＝AC 且∠A ＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。

2、直角三角形性质：(1) 在直角三角形中，两个锐角互余(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

(4)直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。

如果用字母a,b 和c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么222c b a =+3、直角三角形判定(1)根据定义判定(2)两内角互余的三角形是直角三角形.(3)如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形四、勾股定理1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.符号语言：在△ABC 中，∠C=90°（已知）222c b a =+∴2、勾股定理的应用：（1）已知两边（或两边关系）求第三边；（2）已知一边求另两边关系；（3）证明线段的平方关系；（4）作长为n 的线段.3、利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：1．先找出最大边（如c ）2．计算2c 与22b a +，并验证是否相等若222b a c +=，则△ABC 是直角三角形若222b a c +≠，则△ABC 不是直角三角形五、直角三角形判定方法：ASA, AAS 、SAS 、SSS 、 HL1、三边对应相等的两个三角形全等（简记为：“边边边”或“SSS ”）；2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为“边角边”或“SAS ”）；3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA ”）；4、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为：“角角边”或“AAS ”）；5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：“斜边、直角边”或“HL ”）。

类型之一轴对称及轴对称图形1．下列图形中，是轴对称图形的为()A B C D2．如图2－1，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB＝7，BC＝6，则△BCD 的周长为____．（第2题图）（第8题图）（第9题图）类型之二等腰三角形的性质与判定3. 等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角度数是．4．已知实数x，y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长_____ 5．等腰三角形的周长为40，其中一边长为15，那么它的底边长为．6．等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为_______．7．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为．8．如图2－3，在△ABC中，△ABC＝63°，点D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，且AB＝AD＝DE＝EC，则△C的度数是()A．21°B．19°C．18°D．17°9．已知等边三角形ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE△AC于点E，过E作EF△BC于点F，过F作FG△AB于点G.当G与D重合时，AD的长是()A．3 B．4 C．8 D．910．如图，点C ，E 和点B ，D ，F 分别在△GAH 的两边上，且AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF.若△A ＝18°，则△GEF 的度数是 ．11．如图，在等腰△ABC 中，△ABC ＝90°，D 为AC 边上的中点，过点D 作DE △DF ，交AB 于点E ，交BC 于点F .若AE ＝4，FC ＝3，则EF 的长为 ．12．如图，在等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的两动点，且总使AD ＝BE ，AE 与CD 交于点F ，AG△CD 于点G ，则△FAG ＝ ．13．△ABC ，△CDE 均为等边三角形，BD ，AE 交于点O ，BC 与AE 交于点P .求证：△AOB ＝60°.14．已知：在△ABC 中，AD △BC ，垂足为D ，BE △AC ，垂足为E ，M 为AB 边的中点，连结ME ，MD ，ED .求证： (1)△MED 为等腰三角形； (2)△EMD ＝2△DAC .（第13题图）（第14题图）（第11题图）（第10题图）（第12题图）类型之三 勾股定理的应用1．将下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( ) A.3，4， 5 B ．1，2，3 C ．6，7，8 D ．2，3，4 2．若一个三角形的三边长a ，b ，c 满足(a ＋c )(a －c )＝b 2，则该三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．都有可能3．如图，以三角形的三边长为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆的面积之和等于较大的半圆的面积，则这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形 4．如图，在5×5的正方形网格中，以AB 为边画直角△ABC ，使点C 在格点上，满足这样条件的点C 的个数是( )A. 6B. 7C. 8D. 95．四个全等的直角三角形按图2－7的方式围成正方形ABCD ，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S 的小正方形EFGH .己知AM 为Rt△ABM 较长直角边，AM ＝22EF ，则正方形ABCD 的面积为( ) A ．12S B ．10S C ．9S D ．8S6．在△ABC 中，BC ＝42，AB ＝9，AC ＝7，则△C ＝_____．7. 某个直角三角形斜边上的中线是5 cm ，其周长为24 cm ，则此三角形的面积是____cm 2. 8．若三角形的三边长分别为n ＋1，n ＋2，n ＋3，当n ＝____时，这个三角形是直角三角形． 9．在△ABC 中，AB ＝AC ＝12，BC ＝12，则BC 边上的中线AD ＝_____．10．△ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝3，CD 是AB 边上的高线，则CD ＝_____．11．一张三角形纸片ABC ，△C ＝90°，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，现将纸片折叠：使点A 与点B 重合，那么折痕长等于____cm.（第11题图）（第9题图）（第10题图）（第5题图）（第3题图）（第4题图）12．如图是一块地的平面示意图，已知AD ＝4 m ，CD ＝3 m ，AB ＝13 m ，BC ＝12 m ，△ADC ＝90°，则这块地的面积为__ _m 2.13．如图，长方体的底面边长分别为 2 cm 和 4 cm ，高为5 cm.若一只蚂蚁从点P 开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q ，则蚂蚁爬行的最短路径长为____cm.14．如图，在△ABC 中，CD 是边AB 上的高线，BC ＝2，CD ＝3，AC ＝2 3.求证：△ABC 是直角三角形．15．如图，已知AC △BC ，垂足为C ，AC ＝4，BC ＝33，将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，连结DC ，DB . (1)线段DC ＝____； (2)求线段DB 的长度．16．如图△，一架梯子AB 长2.5 m ，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5 m ，梯子滑动后停在DE 的位置上，如图△所示，测得BD ＝0.5 m ，求梯子顶端A 下滑的距离．类型之四 直角三角形（第13题图）（第12题图）1．在全等三角形的判定方法中，一般三角形不具有，而直角三角形具有的判定方法是( ) A ．SSS B ．SAS C ．ASA D ．HL 2．如图，用“HL ”判定Rt △ABC 和Rt △DEF 全等的条件可以是（ ） A ．AC ＝DF ，BC ＝EF B ．△A ＝△D ，AB ＝DE C ．AC ＝DF ，AB ＝DE D ．△B ＝△E ，BC ＝EF3．如图，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，下列能使△ABD△△ACD 的条件是（ ） A ．AB ＝AC B ．△BAC ＝90° C ．BD ＝AC D ．△B ＝45°4．如图，P 是AD 上一点，PE △AC 于点E ，PF △AB 于点F .若PE ＝PF ，△CAD ＝20°，则△BAD 为( ) A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°5．已知点P 在△BAC 的角平分线OD 上,且PE △AB 于点E,PF △AC 于点F .若PE =3cm,则PF = cm. 6．如果Rt△ABC △Rt△DEF ,AC =DF =4,AB =7, △C =△F =90°，则DE = ,EF = ．7．如图，AB ＝AC ，CD △AB 于点D ，BE △AC 于点E ，BE 与CD 相交于点O ，图中有 对全等的直角三角形．8．如图，CA △AB ，垂足为点A ，AB ＝8 cm ，AC ＝4 cm ，射线BM △AB ，垂足为点B ，一动点E 从A 点出发以2 cm /s 的速度沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED ＝CB ，当点E 运动 秒时，△DEB 与△BCA 全等．9．如图，Rt △ABC 中，△ACB 是直角，D 是AB 上一点，BD ＝BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于点E ，求证：CD △BE ．10．在Rt△ABC 中，△A ＝90°，D 为斜边BC 上一点，且BD ＝BA ，过点D 作BC 的垂线交AC 于点E .求（第2题图）（第4题图）（第3题图）（第8题图）（第7题图）（第9题图）证：点E在△ABC的平分线上．11．如图，在△ABC中，AB＝CB，△ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.（1）求证：Rt△ABE△Rt△CBF；（2）若△CAE＝30°，求△ACF的度数．（第11题图）12．(1)如图△，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高线AG与正方形的边长相等，求△EAF的度数；(2)如图△，在Rt△BAD中，△BAD＝90°，AB＝AD，点M，N是BD边上的任意两点，且△MAN＝45°.将△ABM 绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连结NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由；专项训练：思想方法荟萃名师点金：本章涉及的数学思想方法有：(1)分类讨论思想：在等腰三角形中，当角没确定是底角还是顶角时，当边没确定是底边还是腰时常用分类讨论思想；(2)方程思想：在解决有关等腰三角形边角问题时常通过设适当的边或角为未知数，列方程求解；(3)数形结合思想：在解决有关实际问题时，常从实际问题中抽象出几何图形，借助几何图形来解决；(4)转化思想：证线段的和，差关系时，通常将分散的线段转化到同一条线段上，使复杂的问题简单化．分类讨论思想1．等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的顶角应该为____________．2．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足2a－3b＋5＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为()A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10方程思想3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度数．4．如图，P是等边三角形ABC边AB上任一点，AB＝2，PE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FQ⊥AB 于Q，设BP＝x.(1)用含有x的式子表示AQ；(2)当x等于多少时，点P和点Q重合？数形结合思想5．上午8时，一条渔船从海岛A出发，以15海里/时的速度匀速向正北航行，10时到达海岛B处．已知在海岛A测得灯塔C在北偏西42°方向上，在海岛B测得灯塔C在北偏西84°方向上．求海岛B到灯塔C的距离．转化思想6．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于E，求证：BE＝12(AC－AB)．。

2024年浙教版八年级上第二章特殊三角形复习精彩课件一、教学内容1. 等腰三角形的性质与判定2. 等边三角形的性质与判定3. 直角三角形的性质与判定4. 特殊三角形在实际问题中的应用二、教学目标1. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形及直角三角形的性质与判定方法。

2. 能够运用特殊三角形的性质解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

三、教学难点与重点重点：等腰三角形、等边三角形及直角三角形的性质与判定。

难点：特殊三角形在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：三角板、直尺、圆规、多媒体课件。

2. 学具：三角板、直尺、圆规、练习本。

五、教学过程1. 导入：通过多媒体课件展示特殊三角形在实际生活中的应用，引导学生思考特殊三角形的重要性。

2. 复习等腰三角形（1）教师引导学生回顾等腰三角形的性质与判定方法。

（2）例题讲解：证明一个三角形是等腰三角形。

3. 复习等边三角形（1）教师引导学生回顾等边三角形的性质与判定方法。

（2）例题讲解：证明一个三角形是等边三角形。

4. 复习直角三角形（1）教师引导学生回顾直角三角形的性质与判定方法。

（2）例题讲解：证明一个三角形是直角三角形。

5. 特殊三角形在实际问题中的应用（1）教师讲解特殊三角形在实际问题中的应用方法。

（2）例题讲解：求解一个实际问题，涉及特殊三角形。

（3）随堂练习：解决一个实际问题，涉及特殊三角形。

六、板书设计1. 等腰三角形的性质与判定2. 等边三角形的性质与判定3. 直角三角形的性质与判定4. 特殊三角形在实际问题中的应用七、作业设计1. 作业题目：（4）解决一个实际问题，涉及特殊三角形。

2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对特殊三角形的性质与判定掌握情况，以及在实际问题中的应用能力。

2. 拓展延伸：（1）引导学生思考：特殊三角形还有哪些性质和应用？（2）推荐阅读：关于特殊三角形的研究性文章，提高学生的兴趣和拓展知识面。

2022-2023学年浙教版八年级数学上册《第2章特殊三角形》单元综合测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．下面说法错误的个数有（）（1）全等三角形对应边上的中线相等．（2）有两条边对应相等的等腰直角三角形全等．（3）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等．（4）两边及其一边上的高也对应相等的两个三角形全等．A．1个B．2个C．3个D．4个2．观察下面A，B，C，D四幅图，其中与如图成轴对称的是（）A．B．C．D．3．如图，∠BAC＝110°，若A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，则∠P AQ 的大小是（）A．70°B．55°C．40°D．30°4．如图案分别表示“福”“禄”“寿”“喜”，其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④EA＝ED；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（）A．105°B．115°C．120°D．130°7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点C、E，再分别以点C与点E为圆心，大于CE长的一半为半径画弧，两弧交于点F，连接BF交AC于点D，若∠A＝50°，则∠CBD的大小是（）A．25°B．40°C．50°D．65°8．已知射线OC平分∠AOB，点P、M、N分别在射线OC、OA、OB上，且PM＝PN，PE ⊥OA于点E，若∠PNO＝110°，则∠EPM的度数为（）A．20°B．35°C．55°D．70°9．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD ＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．410．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边中点，则下列结论不正确的是（）A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．∠BAD＝∠CAD D．AB＝2BC二．填空题（共6小题，满分24分）11．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有对．12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，点D是BC上一动点（点D与点B不重合），连接AD，作B关于直线AD的对称点E，当点E在BC的下方时，连接BE、CE，则CE的取值范围是；△BEC面积的最大值为．13．如图，△APT与△CPT关于直线PT对称，∠A＝∠APT，延长AT交PC于点F，当∠A ＝°时，∠FTC＝∠C．14．如图，已知AB＝CB，要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个，不添加辅助线）15．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出个格点三角形与△ABC成轴对称．16．如图，∠A＝∠C＝90°，且AB＝AC＝4，D，E分别为射线AC和射线CF上两动点，且AD＝CE，当BD+BE有最小值时，则△BDE的面积为．三．解答题（共7小题，满分56分）17．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．18．如图，直线l1∥l2，直线l3交直线l1于点B，交直线l2于点D，O是线段BD的中点．过点B作BA⊥l2于点A，过点D作DC⊥l1于点C，E是线段BD上一动点（不与点B，D 重合），点E关于直线AB，AD的对称点分别为P，Q，射线PO与射线QD相交于点N，连接PQ．（1）求证：点A是PQ的中点；（2）请判断线段QN与线段BD是否相等，并说明理由．19．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，点A关于直线BC的对称点为P，连接PB并延长．过点C作CD⊥AC，交射线PB于点D．（1）如图①，∠ACB为钝角时，补全图形，判断AC与CD的数量关系：；（2）如图②，∠ACB为锐角时，（1）中结论是否仍成立，并说明理由．20．如图，直线a⊥b，请你设计两个不同的轴对称图形，使a、b都是它的对称轴．21．如图，△ABC在正方形网格中，已知网格的单位长度为1，点A，B，C均在格点上，按要求回答下列问题：（1）分别写出点A，B，C的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）请在这个坐标系内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于y轴对称．22．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠BCE＝β．（1）如图（1），点D在线段BC上移动时，①角α与β之间的数量关系是；②若线段BC＝2，点A到直线BC的距离是3，则四边形ADCE周长的最小值是；（2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时，①请问（1）中α与β之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由；②线段BC、DC、CE之间的数量是．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝2∠ABD，当△BDC是等腰三角形时，求：∠DBC 的度数．参考答案一．选择题（共10小题，满分40分）1．解：（1）全等三角形对应边上的中线相等．正确；（2）有两条边对应相等的等腰直角三角形一定全等．正确；（3）一条斜边对应相等的两个直角三角形不一定全等．错误；（4）两边及其一边上的高也对应相等的两个三角形一定全等．错误；故选：B．2．解：与已知图形成轴对称的图形是选项C：．故选：C．3．解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，∵A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，又∵MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠P AQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°故选：C．4．解：第一个图形不是轴对称图形，第二、三、四个图形是轴对称图形，故选：A．5．解：∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形，∴∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，AB＝AE，AC＝AD，∴∠EAD＝3∠BAC﹣360°＝3×150°﹣360°＝90°，故①正确；∴∠BAE＝∠CAD＝（360°﹣90°﹣150°）＝60°，由翻折的性质得，∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，又∵∠EPO＝∠BP A，∴∠BOE＝∠BAE＝60°，故②正确；∵△ACE≌△ADB，∴S△ACE＝S△ADB，BD＝CE，∴BD边上的高与CE边上的高相等，即点A到∠BOC两边的距离相等，∴OA平分∠BOC，故③正确；只有当AC＝AB时，∠ADE＝30°，才有EA＝ED，故④错误；在△ABP和△AEQ中，∠ABD＝∠AEC，AB＝AE，∠BAE＝60°，∠EAQ＝90°，∴BP＜EQ，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③共3个．故选：B．6．解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图，此时BE+EF最小．∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，∴∠AE′F′＝65°，∵BB′⊥AD，∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，∵AG＝AG，∴△ABG≌△AB′G（ASA），∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，∴AD垂直平分BB′，∴BE＝BE′，∴∠E′B′G＝∠E′BG，∵∠BAC＝50°，∴∠AB′F′＝40°，∴∠ABE＝40°，∴∠BE′F′＝50°，∴∠AE′B＝115°．故选：B．7．解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ACB＝（180°﹣50°）÷2＝65°，由题意可知，BC＝BE，∴∠BEC＝∠ACB＝65°，∴∠CBE＝180°﹣65°×2＝50°，∴∠CBD＝∠CBE＝25°．故选：A．8．解：连接MN，∵射线OC平分∠AOB，PM＝PN，∴OP⊥MN，∠MOP＝∠NOP，∴∠MPO＝∠NPO，在△MOP与△NOP中，，∴△MOP≌△NOP（ASA），∴∠OMP＝∠PNO＝110°，∴∠EPM＝∠OMP﹣∠OEP＝110°﹣90°＝20°．故选：A．9．解：①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；②∵D为BC中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝50°，∵∠C＝40°，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥AC，故②正确；③∵∠C＝40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，∵△ADE为等腰三角形，∴AE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE＝40°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝60°，或∵△ADE为等腰三角形，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠AED＝70°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝30°，故③错误，④∵∠BAD＝30°，∴∠CDE＝30°，∴∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∴∠DAC＝∠ADC，∴CD＝AC，∵AB＝AC，∴CD＝AB，∴△ABD≌△DCE（ASA），∴BD＝CE；故④正确；故选：C．10．解：A．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，故A不符合题意；B．∵AB＝AC，点D是BC边中点，∴AD⊥BC，故B不符合题意；C．∵AB＝AC，点D是BC边中点，∴∠BAD＝∠CAD，故C不符合题意；所以排除A，B，C，故选：D．二．填空题（共6小题，满分24分）11．解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵AC＝AB，∵∠CAE＝∠BAD，∴△AEC≌△ADB（AAS）；∴CE＝BD，∵AC＝AB，∴∠CBE＝∠BCD，∵∠BEC＝∠CDB＝90°，∴△BCE≌△CBD（AAS）；∴BE＝CD，∴AD＝AE，∵AO＝AO，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL）；∵∠DOC＝∠EOB，∴△COD≌△BOE（AAS）；∴OB＝OC，∵AB＝AC，∴CF＝BF，AF⊥BC，∴△ACF≌△ABF（SSS），△COF≌△BOF（SSS），综上所述，共有6对全等的直角三角形．故答案是：6．12．解：∵B、E关于AD对称，∴AE＝AB＝4，则可知E点在以A点为圆心、AE为半径的圆上，如图，在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，则BC＝5，当E点与B点重合时，有CE最长，即为5；又∵B、E不重合，∴CE＜5，当E点移动到F点时，使得A、C、F三点共线，此时CF最短，且为CF＝AF﹣AC＝4﹣3＝l，即CE最短为l，即CE的取值范围为：1≤CE＜5；当点E移动到使得AE⊥BC时，A点到BC的距离最短，则E点到BC的距离最大，则此时△BCE的面积最大，设AE交BC于点G点，利用面积可知AB×AC＝BC×AG，∴AG＝2.4，∵AE＝AB＝4，∴EG＝4﹣2.4＝1.6，∴△BCE的面积最大值为：1.6×5×＝4，∴△BCE的面积的最大值为4；故答案为：1≤CE＜5；4．13．解：∵△APT与△CPT关于直线PT对称，∴∠A＝∠C，TA＝TC，∠APT＝∠CPT，∵∠A＝∠APT，∴∠A＝∠C＝∠APT＝∠CPT，∵∠FTC＝∠C，∴∠AFP＝∠C+∠FTC＝2∠C＝2∠A，∵∠A+∠APF+∠AFP＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°，故答案为：36°．14．解：AD＝CD，理由：在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD，∴四边形ABCD是一个轴对称图形，故答案为：AD＝CD．15．解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．故答案为：6．16．解：过点B作BE⊥CF于点N，∵∠A＝∠C＝90°，且AB＝AC＝4，∴四边形ACNB是正方形，∴AC＝CN，∵AD＝CE，∴CD＝NE△BEN≌△NDC，∴BE＝DN，延长BA到M．使得AM＝AB，则B，M关于AC对称，∴BD＝MD，∴BD+BE＝MD+DN，最小时，M，N，D三点共线，此时D为AC的中点，△BDE的面积为：0.5×（2+4）×4﹣0.5×4×2﹣0.5×2×2＝6．故答案为：6．三．解答题（共7小题，满分56分）17．证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°AC＝BD，BC为公共边，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形，∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB＝∠DBC，∴OB＝OC，∴△OBC是等腰三角形．18．（1）证明：连接AE．∵点E关于直线AB，AD的对称点分别为P，Q，∴AP＝AE，AQ＝AE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴AP＝AQ，∵AB⊥l2，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴P，A，Q三点在同一条直线上，∴点A是PQ的中点．（2）解：结论QN＝BD，理由如下：连接PB．∵点E关于直线AB，AD的对称点分别为P，Q，∴BP＝BE，DQ＝DE，∠5＝∠6，∠7＝∠8，∵l1∥l2，DC⊥l1，∴DC⊥l2，∴∠7+∠9＝90°，∴∠8+∠10＝90°，∴∠9＝∠10，又∵AB⊥l2，DC⊥l2，∴AB∥CD，∴∠6＝∠9，∴∠5+∠6＝∠9+∠10，即∠OBP＝∠ODN，∵O是线段BD的中点，∴OB＝OD，又∠BOP＝∠DON，在△BOP和△DON中，∴△BOP≌△DON（AAS），∴BP＝DN，∴BE＝DN，∴QN＝DQ+DN＝DE+BE＝BD．19．解：（1）结论：AC＝CD．理由：如图①中，设AB交CD于O，∵A，P关于BC对称，CA＝CP，∴∠A＝∠P，∠ABC＝∠CBP＝45°，∴∠ABP＝∠ABD＝90°，∵AC⊥CD，∴∠ACO＝∠DBO＝90°，∵∠AOC＝∠DOB，∴∠D＝∠A，∴∠D＝∠P，∴CD＝CP，∴AC＝CD．故答案为：AC＝CD．（2）（1）中结论不变．理由：如图②中，∵A，P关于BC对称，CA＝CP，∴∠A＝∠P，∠ABC＝∠CBP＝45°，∴∠ABP＝∠ABD＝90°，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝∠DBA＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∴∠A+∠BDC＝180°，∵∠CDP+∠BDC＝180°，∴∠A＝∠CDP∴∠CDP＝∠P，∴CD＝CP，∴AC＝CD．20．解：如下图所示：（答案不唯一）．21．解：（1）由图知，A（0，3）、B（﹣4，4）、C（﹣2，1）；（2）△ABC的面积为3×4﹣×2×2﹣×1×4﹣×2×3＝5，答：△ABC的面积为5；（3）如图所示，△A1B1C1即为所求．22．解：（1）①α+β＝180°；理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC∴∠CAE＝∠BAD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠BCE＝180°，即α+β＝180°，故答案为：α+β＝180°；②由①知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，AD＝AE，∴CD+CE＝BD+CD＝BC＝2，当AD⊥BC时，AD最短，即四边形ADCE周长的值最小，∵点A到直线BC的距离是3，∴AD＝AE＝3，∴四边形ADCE周长的最小值是2+3+3＝8，故答案为：8；（2）①成立，理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACD＝∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∴∠BAC+∠BCE＝∠DCE+∠BCE＝180°，即α+β＝180°；②∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，∵BD＝BC+CD，∴CE＝BC+CD，故答案为：CE＝BC+CD．23．解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C．①当BD＝CD时，∠C＝∠CBD＜∠ABC，故不成立；②当BD＝BC时，∠C＝∠BDC＝∠A+∠ABD，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A+∠A+∠ABD+∠A+∠ABD＝180°，∴3∠A+2∠ABD＝180°，4∠A＝180°，∴∠A＝45°，∴∠ABD＝22.5°，∴∠ABC＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ACD＝45°；③当CB＝CD时，∠CBD＝∠CDB＝∠A+∠ABD，设∠ABD＝x，∴∠A＝2x，∴∠CBD＝∠CDB＝3x，∴∠ABC＝∠C＝4x，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴2x+4x+4x＝180°，∴x＝18°，∴∠DBC＝54°；综上所述：∠DBC的度数为54°或45°．。

2024年浙教版八年级上第二章特殊三角形复习课件一、教学内容1. 等腰三角形的性质与判定（2.1节）2. 等边三角形的性质与判定（2.2节）3. 直角三角形的性质与判定（2.3节）4. 等腰直角三角形的性质与判定（2.4节）二、教学目标1. 让学生掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形及等腰直角三角形的性质与判定方法。

2. 培养学生运用特殊三角形知识解决实际问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

三、教学难点与重点1. 教学难点：等腰三角形和等边三角形的判定方法，直角三角形的性质。

2. 教学重点：特殊三角形的性质及其应用。

四、教具与学具准备1. 教具：三角板、直尺、圆规、多媒体课件。

2. 学具：三角板、直尺、圆规、练习本。

五、教学过程1. 实践情景引入：展示一些特殊三角形在实际生活中的应用，如建筑、设计等，激发学生学习兴趣。

细节：通过多媒体课件展示图片，引导学生观察并思考。

2. 例题讲解：例1：已知一个三角形是等腰三角形，求证：这个三角形的底角相等。

例2：已知一个三角形是等边三角形，求证：这个三角形的三个角都相等。

例3：已知一个三角形是直角三角形，求证：这个三角形的两个锐角互余。

细节：通过讲解例题，引导学生运用特殊三角形的性质进行证明。

3. 随堂练习：让学生完成教材课后练习题，巩固所学知识。

细节：学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。

六、板书设计1. 特殊三角形的性质与判定等腰三角形：性质、判定等边三角形：性质、判定直角三角形：性质、判定等腰直角三角形：性质、判定2. 例题及解答七、作业设计1. 作业题目：（1）已知一个三角形的两边长分别为5cm和12cm，第三边长为x cm。

判断这个三角形是什么类型的三角形。

（2）已知一个等边三角形的边长为a，求这个三角形的面积。

2. 答案：（1）根据在三角形中任意两边之和大于第三边，可得：x<5+12=17cm。

当x=5cm或12cm时，为等腰三角形；当x=13cm时，为直角三角形。

浙教版八年级上第二章特殊三角形复习课件一、教学内容本节课我们将复习浙教版八年级上第二章特殊三角形的内容。

具体包括：等腰三角形的性质与判定（2.1节）、等边三角形的性质与判定（2.2节）、直角三角形的性质与判定（2.3节）以及特殊三角形在实际问题中的应用（2.4节）。

二、教学目标1. 熟练掌握等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质与判定方法。

2. 能够运用特殊三角形的性质解决实际问题。

3. 培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和团队合作能力。

三、教学难点与重点教学难点：特殊三角形性质的理解与运用。

教学重点：等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质与判定。

四、教具与学具准备教具：多媒体课件、三角板、量角器。

学具：练习本、铅笔、直尺。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体课件展示特殊三角形在实际生活中的应用，如等腰三角形屋顶、等边三角形装饰等，引导学生发现生活中的特殊三角形。

2. 例题讲解（15分钟）例题1：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，求∠ABC和∠ACB 的度数。

例题2：已知△DEF中，DE=DF=EF，求∠EDF的度数。

3. 随堂练习（10分钟）练习题1：已知△GHJ中，GH=HJ，∠G=40°，求∠J的度数。

练习题2：已知△KLM中，KL=LM=MK，求∠KLM的度数。

4. 小组讨论（5分钟）将学生分成小组，讨论特殊三角形在实际问题中的应用，如建筑、艺术等。

六、板书设计1. 等腰三角形的性质与判定2. 等边三角形的性质与判定3. 直角三角形的性质与判定4. 特殊三角形在实际问题中的应用七、作业设计1. 作业题目：（1）已知△NOP中，NO=NP，∠N=70°，求∠O和∠P的度数。

（2）已知△QRS中，QR=QS=RS，求∠QRS的度数。

（3）在生活或艺术作品中，寻找特殊三角形的应用，并说明其特点。

2. 答案：（1）∠O=∠P=55°（2）∠QRS=60°八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对特殊三角形的性质与判定掌握情况较好，但在实际问题中的应用方面还需加强。

第二章特殊三角形[复习目标]1、等腰三角形、等边三角形及有关概念性质。

2、等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线所在的直线是它的对称轴3、等腰三角形的两个底角相等性质及三线合一定理和运用4、等腰三角形的判定定理及应用5、直角三角形的性质-----两锐角互余6、有两个角互余的三角形是直角三角形。

7、直角三角形性质的运用8、勾股定理及逆定理的运用[复习重点]1、等腰三角形的各部分名称，了解等腰三角形是轴对称图形2、理解等腰三角形的性质3、等腰三角形的判定方法4、等边三角形的判定和性质5、直角三角形的性质和判定6、直角三角形全等的判定[复习过程]一、提问特殊三角形这一章的所有有关的概念、性质和判定。

二、典型例题讲解基础题训练1、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于9，求它的周长。

2、在△ABC中，AB=AC，∠B=400，则∠A= 。

3、等腰三角形的一个内角是700，则它的顶角为。

4、下列说法正确的是（）A、等腰三角形的底角是锐角B、等腰三角形的角平分线，中线和高线是同一条线段C、等腰三角形有可能是一个直角三角形D、等腰三角形的顶角有可能大于底角。

5、等边三角形两条角平分线所夹的锐角的度数是（）A、300B、450C、600D、9006、适合条件∠A=21∠B=31∠C 的△ABC 是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、不能确定7、在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，若AC=12厘米，BC=5厘米，则CD= 厘米。

8、已知△ABC 中，∠A=Rt ∠，BC=a ，AC=b ，AB=c ， （1） 若b=6，c=8，求a （2） 若a=25，c=20，求b 。

9、 根据下列条件，分别判断以a 、b 、c 为边的三角形是不是直角三角形。

（1）a=；，，14345==c b （2）a=b=2，c=33 10、具有下列条件的Rt △ABC 与Rt △A 1B 1C 1（其中∠C=∠C 1=Rt ∠）是否全等？儿歌全等，在括号里填写理由；如果不全等，在括号里打“×”。

一、等腰三角形定义及其性质【知识梳理】1．等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）；（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线．【例题精讲】例1．如图，有甲，乙两个三角形，请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形，并标出每个三角形各角的度数．例2．如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是__________ ．例3．探究题：（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；直接写出结论，不用证明．②线段AD、BE之间的数量关系是．直接写出结论，不用证明．（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM 为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．猜想：①∠AEB= °；②（CM、AE、BE的数量关系）．证明：。

【巩固练习】1．如图，∠AOB是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为__________ ．2．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（如图1所示）（1）请你在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值．3．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中正确的结论的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、直角三角形及全等的判定【知识梳理】1．定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（1）推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．【说明】“推论”是从某一个定理直接推出的定理．【例题精讲】例1．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在边AB上，∠DEC＝900，且DE＝EC．（1）求证：△ADE≌△BEC；（2）若AD＝a，AE＝b，DE＝c，请用图1证明勾股定理：a2＋b2＝c2；（3）线段AB上另有一点F（不与点E重合），且DF⊥CF（如图2），若AD＝2，BC＝4，求EF的长.例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点．点P 从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，点P、Q同时出发，当点Q运动到点A时停止，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）D、F两点间的距离等于______；（2）以点D为圆心，DC长为半径作圆交DE于M，能否在弧CM上找一点N，使直线QN切⊙D于N，且四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值．若不能，说明理由；（3）作射线QK⊥AB，交折线BC-CA于点G，当t为何值时，点P恰好落在射线QK上；（4）连接PG，当PG∥AB时，直接写出t的值．【巩固练习】1．将一块三角板的直角顶点放在正方形ABCD的对角线交点位置，两边与对角线重合如图甲，将这块三角板绕直角顶点顺时针方向旋转（旋转角小于90°）如图乙．（1）试判断△ODE和△OCF是否全等，并证明你的结论．（2）若正方形ABCD的对角线长为10，试求三角板和正方形重合部分的面积．2．已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按图1摆放，（点C与E点重合），点B、C、E、F始终在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如图2，△DEF从图1出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速运动，同时，点P从A出发，沿AB以每秒1个单位向点B匀速移动，AC与△DEF的直角边相交于Q，当P到达终点B时，△DEF同时停止运动，连接PQ，设移动的时间为t（s）．解答下列问题：（1）△DEF在平移的过程中，当点D在Rt△ABC的边AC上时，求t的值；（2）在移动过程中，是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（3）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，是否存在△PQE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．四、探索勾股定理【知识梳理】1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为和，斜边长为，那么．【注意】应用勾股定理时，应分清直角边和斜边，避免机械地运用公式．【说明】（1）解决直角三角形中线段的求值问题，要首先联想到勾股定理；（2）勾股定理是求线段长度、证明线段平方关系的重要依据．【例题精讲】例1．（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，写出S1，S2，S3之间关系．（不必证明）（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系证明；（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，确定它们的关系并证明．【巩固练习】1．在Rt△ABC中，∠C=90°，以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过C作CH⊥AB于H，延长CH交MN于点I．（1）如图（1）若AC=3，BC=2，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积．（2）请利用图（2）证明直角三角形勾股定理：AC2+BC2=AB2．2．已知：正方形ABCD的边长为2，△EFG为等腰直角三角形，∠EGF=90°．（1）如图1，当点G与点D重合，点E在正方形ABCD的对角线AC上时．求AE+AF的值；（2）如图2，当点G与点D重合，点E在线段CA的延长线上时．通过观察、计算，你能发现AF与AE有怎样的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点G在线段DA的延长线上时，设AG=x．则线段AE、AF与x有怎样的数量关系，请说明理由．课后巩固● 请将本次课错题组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯● 学霸笔记复习，培养复习习惯1．（1）如图1，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；（2）如图2，点B、F、D在射线AM上，点G、C、E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA，求∠A的度数．2．（1）已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．3．如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0〕，B（3，4〕，C（0，4〕．点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度向A运动，同时点Q从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点Q作 QD丄x轴，垂足为点D，交AC于点E．（1）求△APE的面积S与运动时间t（单位：秒）的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）当t为何值时，S的值最大；（3）是否存在点P，使得△APE为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．4．已知：如图1，等边△OAB的边长为3，另一等腰△OCA与△OAB有公共边OA，且OC=AC，∠C=120°．现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发，点P以每秒3个单位的速度沿BO向点O运动，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．请回答下列问题：（1）在运动过程中，△OPQ的面积记为S，请用含有时间t的式子表示S．（2）在等边△OAB的边上（点A除外），是否存在点D，使得△OCD为等腰三角形？如果存在，这样的点D共有个．（3）如图2，现有∠MCN=60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着点C 旋转，使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．5．提出问题：如图，在△ABC中，∠A=90°，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，小亮发现△ABC与△AEG面积相等．小亮思考：这个问题中，如果∠A≠90°，那么△ABC与△AEG面积是否仍然相等？猜想结论：经过研究，小亮认为：上述问题中，对于任意△ABC，分别以边AB、AC向外作正方形ABDE 和正方形 ACFG，连接EG，那么△ABC与△AEG面积相等．证明猜想：（1）请你帮助小亮画出图形，并完成证明过程．已知：以△ABC的两边AB、AC为边长分别向外作正方形ABDE、ACFG，连接GE．求证：S△AEG=S△ABC．结论应用：（2）学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，其中四边形ABCD、CIHG、GFED均为正方形，且面积分别为9m2、5m2和4m2．求这个六边形花圃ABIHFE的面积．。