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第五章 平面向量与复数§5.2 平面向量基本定理及坐标表示考试要求1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，一对实数λ1，λ2，使a ＝ .若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个 .2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量作正交分解.不共线有且只有λ1e 1＋λ2e 2基底互相垂直3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝ ，a －b ＝ ，λa ＝ ，|a |＝ .(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 ＝， ＝ .(x 1＋x 2，y 1＋y 2)(x 1－x 2，y 1－y 2)(λx 1，λy 1)终点(x 2－x 1，y 2－y 1)4.平面向量共线的坐标表示x1y2－x2y1＝0设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔.常用结论判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底.( )(2)设{a ，b }是平面内的一个基底，若λ1a ＋λ2b ＝0，则λ1＝λ2＝0.( )×(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( )√×√1.下列各组向量中，可以作为基底的是A.e1＝(0,0)，e2＝(1,2)C.e1＝(3,5)，e2＝(6,10)√D.e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)由于选项A，B，C中的向量e1，e2都共线，故不能作为基底.而选项D中的向量e1，e2不共线，故可作为基底.2.若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P 的坐标为√A.(2,2)B.(3，－1)C.(2,2)或(3，－1)D.(2,2)或(3,1)3.若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则下列结论成立的是A.a－c与b共线B.b＋c与a共线√C.a与b－c共线D.a＋b与c共线a－c＝(4,2)，因为4×7－5×2＝18≠0，所以a－c与b不共线；b＋c＝(7,11)，因为7×6－6×11＝－24≠0，所以b＋c与a不共线；b－c＝(3,3)，因为3×6－6×3＝0，所以a与b－c共线；a＋b＝(11,13)，因为11×4－2×13＝18≠0，所以a＋b与c不共线.第二部分例1 (1)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且√思维升华(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.跟踪训练1 (1)(多选)下列命题中正确的是√A.若p＝x a＋y b，则p与a，b共面B.若p与a，b共面，则存在实数x，y使得p＝x a＋y b √对于B，若a，b共线，p与a，b不共线，则不存在实数x，y使得p＝x a ＋y b，故B错误；由平面向量基本定理知AC正确.6方法一 如图，作平行四边形OB1CA1，所以∠B1OC＝90°.方法二 以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，例2 (1) 则点D的坐标为√A.(－2,3)B.(2，－3)C.(－2,1)D.(2，－1)所以点D的坐标为(2，－1).√建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,0).不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，∴C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，思维升华(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解.(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.跟踪训练2 (1)已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且，则P点的坐标为√A.(2,4)B.(－14,16)C.(6,1)D.(22，－11)(2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表示c，则A.c＝2a－3bB.c＝－2a－3b√C.c＝－3a＋2bD.c＝3a－2b如图，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，则A(1,0)，B(2,1)，C(0,4)，D(7,1)，所以a＝(1,1)，b＝(－2,3)，c＝(7，－3)，设向量c＝m a＋n b，则c＝m a＋n b＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，所以c＝3a－2b.命题点1 利用向量共线求参数√所以x(2－y)＝y(－x－4)，所以2x＋4y＝0，即x＋2y＝0.命题点2 利用向量共线求向量或点的坐标例4 设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且，则点P的坐标为A.(3,1)B.(1，－1)√C.(3,1)或(1，－1)D.(3,1)或(1,1)思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R).跟踪训练3 (1)已知向量a＝(－3,2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，则实数λ的值为√由已知得a＋2b＝(5,2－4λ)，a－b＝(－7,2＋2λ)，∵(a＋2b)∥(a－b)，√第三部分1.如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是A.e1与e1＋e2B.e1－2e2与e1＋2e2C.e1＋e2与e1－e2√D.e1－2e2与－e1＋2e2故e1与e1＋e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；故e1－2e2与e1＋2e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；故e1＋e2与e1－e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；对D项，e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，所以e1－2e2与－e1＋2e2为共线向量，不能作为平面内所有向量的一个基底.2.(2022·全国乙卷)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－2,4)，则|a －b |等于A.2B.3C.4D.5由题意知a －b ＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，√√4.(2023·南京模拟)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于√由于a∥b，所以1×y＝2×(－2)，解得y＝－4，AB √画出图象如图所示，AB由于C，D是半圆弧上的两个三等分点，所以△AOC，△COD，△DOB是等边三角形，所以OA＝OB＝OC＝OD＝AC＝CD＝BD，所以四边形OACD和四边形OBDC是菱形，6.(多选)若k 1a ＋k 2b ＝0，则k 1＝k 2＝0，那么下列对a ，b 的判断不正确的是A.a 与b 一定共线 B.a 与b 一定不共线C.a 与b 一定垂直D.a 与b 中至少有一个为0√√√由平面向量基本定理知，当a，b不共线时，若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，当a与b共线时，k1＝k2＝0只是其中一组解，此时解不唯一，所以A错误，B正确；而当a，b不共线时，不一定有a与b垂直，所以C错误；当a与b中至少有一个为0时，k1，k2中至少有一个可以不为零，所以D 错误.√。
