2019届湖南省长沙市第一中学高三下学期第八次月考数学(文)试题(解析版)

2019届湖南长沙市第一中学高三月考试题（三）数学（文）试题一、单选题1．集合2{|0}{|2}A x x a B x x =-≤=<，，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,4]-∞B ．(,4)-∞C ．[0,4]D ．(0,4)【答案】B【解析】当0a <时，集合A =∅，满足题意；当0a ≥时，[]A a a =-，，若A B ⊆，则2a <，∴0<4a ≤，所以(4)a ∈-∞，，故选B ． 2．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙标准差分别为σ甲、σ乙，则( )A ．x x <甲乙，σσ<甲乙B ．x x <甲乙，σσ>甲乙C ．x x >甲乙，σσ<甲乙D ．x x >甲乙，σσ>甲乙【答案】C【解析】通过读图可知甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙. 【详解】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙.故选. 【点睛】本题考查平均数及标准差的实际意义，是基础题.3．若实数a 满足1||2iai+=（i 为虚数单位），则a =（ ） A ．1 B ．±1C ．2-D ．2【答案】B【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的模公式计算得答案． 【详解】 因为21(1)111i i i i i ai ai a a a +-+-===--， 所以2211111||||()()2i i ai a a a a+=-=+-=， 解得1a =±． 故选：B ． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题． 4．如图，AB 为圆O 的一条弦，且AB 4=，则·OA AB =u u u v u u u vA ．4B ．-4C ．8D ．-8【答案】D【解析】分析：设AB 的中点为M ，连接OM ，运用圆的垂径定理，可得OM ⊥AB ，运用向量的数量积的定义和解直角三角形的知识，即可得到． 详解：设AB 的中点为M ，连接OM ，则OM ⊥AB ，则·OA AB u u u v u u u v =2AM u u u u r •OA u u u v=2|AM u u u u r |•|OA u u u v |•cos ()OAB π∠-=-2×2•|AO u u u r|•cos OAB ∠ =-4|AM u u u u r|=-8． 故选D ．点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ⋅=⋅v vv v ；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+vv ；三是利用数量积的几何意义.进行化简.5．已知椭圆()2221016x y m m+=>的上焦点为()10,3F ，则m =（ ）A ．3BCD ．5【答案】D【解析】由题可得出,b c ，利用222a b c =+，可求出m . 【详解】由题意得：椭圆焦点在y 轴上，则222,16,3a m b c ===，由于222a b c =+，则291625m =+=， 因为0m >，所以5m =， 故选：D. 【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，运用了椭圆中222a b c =+，属于基础题.6．已知m ，n ，m n +成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则m n -的值为（ ） A ．2- B ．12C ．2D ．12-【答案】A【解析】根据题意，结合等差中项与等比中项，列方程组可解得m ，n 的值，即可求出m n -． 【详解】根据题意，若m 、n 、m n +成等差数列，则2()n m m n =++，则有2n m =， 若m 、n 、mn 成等比数列，则2n m mn =⨯，则2n m =， 解可得2m =，4n =， 所以2m n -=-. 故选：A. 【点睛】本题考查等差中项和等比中项的性质，关键是求出m 和n 的关系．7．如图，矩形ABCD 内的黑色图形来自中国清朝时期的天平的铜砝码，其中6AB =，4BC =，E ，F 是线段AB 的两个三等分点，G ，H 是线段CD 的两个三等分点（图中圆弧近似地看作半圆）.在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．412π+ B ．26π+ C ．3824π+ D ．5824π+ 【答案】C【解析】根据题意，判断概率类型，分别算出正方形面积和阴影面积，再利用几何概型公式加以计算，即可得到所求概率． 【详解】由6AB =，4BC =可得矩形的面积24S =，E Q ，F 是线段AB 的两个三等分点，且G ，H 是线段CD 的两个三等分点（图中圆弧近似地看作半圆）， 2CH EF ∴==，()22242138S πππ=⨯+⨯-⨯=+黑色，所以3824P π+=. 故在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是3824π+， 故选：C ． 【点睛】本题考查了概率，通过面积型几何概型，利用面积比得出概率，考查了数据处理的能力和应用意识． 8．函数()21exf x x=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】C【解析】观察图象，通过判断零点个数和代入特殊点排除选项，即可选出答案由图象可知，令()0f x =，则0ex =，得出0x =，则只有一个零点，排除B 选项；令12x =时，有11201214ef ⎛⎫=> ⎪⎝⎭-，排除A 选项； 令2x =时，有()22014ef =<-，排除D 选项； 故选：C. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，一般图象识别的题目中，利用奇偶性、单调性、判断零点个数以及带入特殊点等排除选项，是基础题．9．如图，BC 为圆O 的直径，D 为圆周上异于B 、C 的一点，AB 垂直于圆O 所在的平面，BE AC ⊥于点E ，BF AD ⊥于点F .给出以下命题：①BF DE ⊥；②BE CD ⊥；③平面ABD ⊥平面ACD ；④平面BEF ⊥平面ACD . 其中正确命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】由题意得，根据已知条件AB ⊥平面BCD 和CD BD ⊥，再利用线面垂直的判定和性质以及面面垂直的判定，即可判断出来. 【详解】由题可知，AB ⊥平面BCD ，则有AB CD ⊥，且CD BD ⊥，可得CD ⊥平面ABD ，CD ⊂平面ACD ,得：平面ABD ⊥平面ACD ，故③正确； 由CD ⊥平面ABD ，得CD BF ⊥，又BF AD ⊥，得BF ⊥平面ACD ，DE ⊂平面ACD ,所以BF DE ⊥，故①正确；由BF ⊥平面ACD ，BE ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面ACD ，故④正确； 不正确的是②BE CD ⊥， 故选：C. 【点睛】本题综合考查了空间中线面垂直和面面垂直的判定定理和性质，还涉及圆的性质等基础n ，则输入整数p的最小值为（）10．执行如图所示的程序框图，若输出的是6A．15 B．16 C．31 D．32【答案】B【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序…时的n值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程的作用是利用循环计算累加器S p中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【详解】列表分析如下：是否继续循环S n循环前0 1第一圈是 1 2第二圈是 3 3第三圈是7 4第四圈是15 5第五圈是31 6第六圈否故当S值不大于15时继续循环，大于15但不大于31时退出循环，故整数p的最小值为16.故选：B.【点睛】本题考查程序框图，程序题一般常考的有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程11．设函数()22x xf x x x a e=--+（其中e 为自然对数的底数），若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(0,1]e+ B ．1(0,]e e+C ．1[,)e e++∞D ．1(,1]e-∞+【答案】D【解析】由题意得，构造新函数，通过利用函数的单调性，可知()f x 在1x =处取最小值，函数()f x 至少存在一个零点，只需()10f ≤即可，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】依题意得，函数()f x 至少存在一个零点，且()22x xf x x x a e=--+， 可构造函数22y x x =-和xx y e =-， 因为22y x x =-，开口向上，对称轴为1x =，所以(),1-∞为单调递减，()1,+∞为单调递增； 而x x y e =-，则1xx y e-'=，由于0x e >，所以(),1-∞为单调递减，()1,+∞为单调递增；可知函数22y x x =-及x xy e=-均在1x =处取最小值，所以()f x 在1x =处取最小值，又因为函数()f x 至少存在一个零点，只需()10f ≤即可，即：()11120f a e=--+≤ 解得：11a e≤+. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，通过构造新函数以及利用二次函数性质和导数求出函数的单调性进而求出函数最小值，结合零点求出参数范围．12．已知点F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，则与双曲线共焦点，且过点P 的椭圆的离心率为（ ）A ．57B 1C ．514D ．2【解析】由题可知，1,a b ==APF ∆周长最小，则||||PA PF +最小，即1||||2PA PF a ++最小，即1,,P A F 三点共线，再结合焦点三角形利用余弦定理，求出PA和1PF ，即可求出离心率. 【详解】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线的定义可知1||2||PF a PF =+， 因此APF ∆的周长为：11||||||||2||||2||PA PF AF PA a PF AF PA PF a AF ++=+++=+++，由于2||a AF +是定值，要使1||||PA PF +最小，即1,,P A F 三点共线. 此时，设1||PF n =，||PF m =，160PF F ∠=︒，在1PF F ∆中，16F F =，2m n -=，由余弦定理可得22366m n n =+-，联立有265m =，165n =，椭圆的离心率为26527c c e a a m n ====+. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率，利用双曲线的定义和焦点三角形的性质，结合余弦定理，属中档题．二、填空题13．函数()|1|xf x e x =+-（其中e 为自然对数的底数）的图象在点()0,2处的切线方程为___________. 【答案】2y =【解析】依题意，先求出函数的导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，运用直线的点斜式方程，计算即可得到所求切线的方程． 【详解】依题意得，()()()1,11,1x x e x x f x e x x ⎧+-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，所以，点()0,2在()()1,1xf x e x x =-+<图象上，则()1xf x e '=-，所以()00f '=，即切线斜率为0，所以，()f x 在点()0,2处的切线方程为2y =， 故答案为：2y =. 【点睛】本题考查运用导数的几何意义求切线的方程，正确求导是解题的关键． 14．数列{}n a 的通项是2cos12n n a n π=+，其前n 项和记为n S ，则20S =_________. 【答案】240【解析】先根据余弦函数值化简，再分组求和得结果. 【详解】2222201(21)1(41)1(61)(201)S =+-++++++-++++L2222222222220(246820)20(24)(68)(1920)=+-+-+-+=+-++-+++-+L L10(220)202(24681820)20+2240.2+=++++++=⨯= 【点睛】本题采用分组转化法求和，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型还有分段型（如,2,n nn n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数）及符号型（如2(1)n n a n =- ）15．已知点,,,,P A B C D 是球O 表面上的点，球O的体积为，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，则四棱锥P ABCD -的表面积为_________.【答案】8+【解析】PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，得出O 为PC 的中点，从而得出OM ⊥平面ABCD ，再根据条件求出PA ，便可以求出四棱锥P ABCD -各个面的面积，从而得出表面积.【详解】由球的体积为，设AC 与BD 交点为M ，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ， 四边形ABCD 是边长为2的正方形，则球心O 为PC 的中点， 得3OC =，且OM⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 是边长为2的正方形，则2MC =，则1OM =，故2PA =，则表面积为1122222222284222⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+.故答案为：842+【点睛】本题考查四棱锥的表面积，其中运用到直线与平面垂直的性质以及外接球的应用，同时考查对几何体的理解辨析能力．16．已知实数,x y 满足00220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪++⎩…„„，若10ax y a -+-≥恒成立，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】(,1]-∞-【解析】画出约束条件的可行域，化简目标函数，推出a 的表达式，利用不等式的几何意义，求解范围即可． 【详解】实数,x y 满足00220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪++⎩…„„的可行域如图：可知1x ≤-，由10ax y a -+-≥，可得：11y a x -≤-， 其中11y x --的几何意义是可行域内的点与()1,1D 连线的斜率， 由图形可知连线的斜率的最大值为011112BD k -==--， 最小值大于与直线0x y +=平行时的斜率，即11112y x --<≤-. 可得(,1]a ∈-∞-.故答案为：(,1]-∞-. 【点睛】本题考查线性规划的应用，化简目标函数判断目标函数的几何意义是解题的关键．三、解答题17．在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C =++. （Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）求πsin sin(2)6B C +-的最大值.【答案】(1)2π3A =;(2)98. 【解析】（Ⅰ）根据正弦定理和余弦定理，求得A ∠的大小． （Ⅱ）根据三角形内角和为π及2π3A =，将表达式πsin sin 26B C ⎛⎫+- ⎪⎝⎭转化为角B 的表达式，进而转化为关于sin B 的二次函数表达式，利用函数单调性、对称性求得最大值． 【详解】（Ⅰ）因为222sin sin sin sin sin A B C B C =++，由正弦定理，得222a b c bc =++，所以2221cos 22b c a A bc +-==-，又因为()0,πA ∈， 所以2π3A =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，ππ3B C A +=-=， 所以π3C B =-， 所以πππsin sin 2sin sin 2636B C B B ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2πsin sin 2sin cos22sin sin 12B B B B B B ⎛⎫=+-=+=-++ ⎪⎝⎭2192sin 48B ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 因为π03B <<，所以30sin B <<， 所以当1sin 4B =时，sin sin 26B C π⎛⎫+- ⎪⎝⎭取得最大值98.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，三角函数诱导公式、和差公式的简单化简，二次函数的最值等，涉及知识点多，综合性较强，属于中档题．18．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为1，O 为正方形ABCD 的中心.（1）求证：1//OD 平面11A C B ；（2）若异面直线1OD 与1C B 所成的角的正弦值为66，求直线1OD 到平面11A C B 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】（1）通过证明四边形一组对边平行且相等，得出四边形是平行四边形，从而得出另一组对边平行，得出线//线，即可证出线//面；（2）法一：通过已知异面直线1OD 与1C B 6高12BB =1）得出1//OD 平面11A C B ，将直线1OD 到平面11A C B 的距离转化成点到面的距离，即点1B 到平面11A C B 的距离，再利用线面垂直的判定和性质，证出1B H ⊥平面11BA C ，所以在直角三角形11O BB 中，求出1B H 的值，即可得出所求答案；法二：直线1OD 到平面11A C B 的距离转化成点到面的距离，即点1B 到平面11A C B 的距离，再利用三棱锥等体积法求点到面的距离，即111111B A B C B A BC V V --=，化简便可求出结果.【详解】（1）连接BD ，AC 交于点O ，连接11B D ，交11A C 于点1O ，连接1BO ，正四棱柱中，11//BD B D ，且11BD B D =，又因为点O 、1O 分别为BD 、11B D 的中点， 所以11//BO D O ，且11BO D O =，则四边形11BOD O 为平行四边形，故11//OD BO ， 又1OD 不在平面11A C B 内，1BO 在平面11A C B 内， 故1//OD 平面11A C B .（2）由（1），11//OD BO ，故异面直线1OD 与1C B 所成的角等于11O BC ∠， 因为正四棱柱中，侧棱1BB ⊥底面1111D C B A ，则111BB A C ⊥，又1111AC B D ⊥，则11A C ⊥平面11B D DB ，则111AC O B ⊥.因正方形ABCD 的边长为1，则111111262sin 6O C O BC BC BC ∠===. 得13BC =12BB =因为1//OD 平面11A C B ，则直线1OD 到平面11A C B 的距离等于点1D 到平面11A C B 的距离，又1O 为11B D 的中点，则点1D 到平面11A C B 的距离等于点1B 到平面11A C B 的距离， 在三角形11O BB 内作11B H BO ⊥，因为11A C ⊥平面11B D DB ， 则平面11BAC ⊥平面11B D DB ，故1B H ⊥平面11BA C . 直角三角形11O BB 中，112O B =，12BB =110O B =，则12210210B H ⋅==. 则直线1OD到平面11A C B 的距离为105. 方法二（等体积法）：因为1//OD 平面11A C B ，则直线1OD 到平面11A C B 的距离等于点1D 到平面的11A C B 的距离，又1O 为11B D 的中点，则点1D 到平面11A C B 的距离等于点1B 到平面11A C B 的距离， 设点1B 到平面11A C B 的距离为d ，由111111B A B C B A BC V V --=，1111111133A B A BC C S BB S d ∆∆⋅=⋅，且11112A B C S ∆=，1152A BC S ∆=，12BB =.求得105d =.则直线1OD 到平面11A C B 的距离为105. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定和点到面的距离，其中涉及到平行四边形的性质和利用线面垂直的判定和性质、等体积法求点到面的距离，还运用了三棱锥的体积公式13V Sh =. 19．某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．附：相关系数公式()()niix x y y r --=∑0.55≈，0.95≈．【答案】(1)0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．(2) 4600元．【解析】试题分析：(1)由折线图，可得,x y ，依次算得()521i i x x =-∑，()521i j y y =-∑，()()51iii x x y y =--∑，可求得r 0.950.75=≈>, 所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.(2)分别计算安装1台，2台时所获周利润值（期望值），数值大的为所选择．试题解析：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y++++==，因为()()()()5131000316iii x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，====所以相关系数()()nx x y y r --=0.95==≈，因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）记商家周总利润为Y 元，由条件可知至少需要安装1台，最多安装3台光照控制仪．①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元； ②安装2台光照控制仪的情形：当70X >时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润300010002000Y =-=元， 当3070X <≤时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润230006000Y =⨯=元， 故Y 的分布列为：所以()10000.250000.790000.14600E Y =⨯+⨯+⨯=元．综上可知，为使商家周利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪． 【点睛】本题考查了折线图识图，虽然简单，但在学习过程容易忽略．第（1）主要考查数据的运算能力，较简单．第（2）是考查学生利用统计知识解决实际问题，体现了数学知识的应用性，需要注意的是可以选择安装一台，也可以安装两台，而两台时是一个期望值．20．已知抛物线()2:20C y px p =>，过点()20，的直线l 交C 于A ，B 两点，且满足以线段AB 为直径的圆，圆心为M ，且过坐标原点O . （1）求抛物线C 的方程；（2）若圆M 过点()4,2P -，求直线l 的方程和圆M 的方程.【答案】（1）22y x =（2）当1m =时，:20l x y --=，22:(3)(1)10M x y -+-=，当12m =-时，:240l x y +-=，229185:4216M x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】（1）依题意得，直线l 过点()20，，可设:2l x my =+，与抛物线联立，写出韦达定理，再根据圆的性质得出0OA OB ⋅=u u u r u u u r，代数化简求出p ，即可得出抛物线的方程；（2）因为圆M 的直径为AB ，且过点()4,2P -，由圆的性质得出0PA PB ⋅=u u u r u u u r，结合（1）中的韦达定理，代数化简求得m 的值，因此得出直线l 的方程和圆M 的方程.【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，:2l x my =+， 联立方程有222x my y px=+⎧⎨=⎩，2240y pmy p --=， 124y y p =-，22212122216444y y p x x p p===， 又以线段AB 为直径的圆，圆心为M ，且过坐标原点O ，有0OA OB ⋅=u u u r u u u r，12120x x y y +=，有1p =，即抛物线C 的方程为22y x =.（2）由（1）可得122y y m +=，()21212424x x m y y m +=++=+，()22,M m m +，由圆M 过点()4,2P -，可得0PA PB ⋅=u u u r u u u r， 故()()()()121244220x x y y --+++=，故（1）可得124x x =，124y y =-，可得2210m m --=， 解得1m =或者12m =-， 当1m =时，:20l x y --=，22:(3)(1)10M x y -+-=，当12m =-时，:240l x y +-=，229185:4216M x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，联立方程并写出韦达定理，求抛物线的方程，还结合运用圆的性质和向量垂直，以及直线方程和圆的标准方程. 21．已知函数22111()ln (1),()222f x x x x a x a x a ⎛⎫⎛⎫=-++-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在[]1,x e ∈（e 为自然对数的底数）上的最大值为1-，试求实数a 的值.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）ln 2a =【解析】（1）先求定义域，再求导，令()0f x '=，求出极值点，分类讨论a ，分别求出单调增减区间；（2）由（1）得出三种情况下，()f x 在[]1,x e ∈的单调性，分别求出()f x 的最大值，便可求出实数a 的值. 【详解】（1）()()()1ln f x x a x '=--，（0x >） 令()0f x '=，解得1x =或a x e =，①当0a <时，()f x 在区间(),1ae 单调递增；在区间()0,ae，()1,+∞单调递减；②当0a =时，()f x 在区间()0,∞+单调递减； ③当0a >时，()f x 在区间()1,ae单调递增；在区间()0,1，(),ae +∞单调递减；（2）当0a ≤时，由（1）知()f x 在[]1,x e ∈上单调递减， 则max 1()(1)(1)124a f x f a ==+-+=-，解得12a =（舍）； 当01a <<时，()1,ae e ∈，由（1）知()f x 在()1,ax e ∈上单调递增，在(),ae e 上单调递减； 则()()2max 114aa a f x f ee e ==-=-，解得ln 2a =，满足题意；当1a ≥时，()f x 在[]1,x e ∈上单调递增， 则22max 11()()142f x f e e a e a e ==-+⋅-⋅=-， 解得22421242e e a e e e-+==<-（舍）， 综上所述：当ln 2a =，满足题意. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，涉及含参数的函数单调性时，需要对参数进行分类讨论，还考查通过单调性求函数的最值，需要学生具备的分类讨论思想.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数）.以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是sin 4πρθ⎛⎫⎪⎭=⎝+（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上的动点，过P 点且与x 垂直的直线交2C 于点A ，求||PA 的最小值，并求此时点P 的直角坐标.【答案】（1）曲线1C 的普通方程为：2213x y +=；曲线2C 的直角坐标方程为：80x y +-=（2）||PA 的最小值为6，此时点P 的坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）利用消参法，消去参数α，可把曲线1C 的参数方程化为普通方程；通过极坐标和直角坐标的互化公式cos ,sin x y ρθθ==，可将曲线2C 的极坐标方程化成直角坐标方程；（2）点P 是曲线1C 上动点，由2C 的参数方程可表示出点P 坐标，运用点到直线距离公式求P 到直线2C 的距离，再运用辅助角公式化简即可得出答案. 【详解】（1）由曲线1:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得：cos sin yαα⎧=⎪⎨⎪=⎩两式两边平方相加可得：曲线1C 的普通方程为：2213x y +=.由曲线2:sin 4C πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(sin cos )ρθθ+=， 即()sin cos 8ρθθ+=，所以曲线2C 的直角坐标方程为：80x y +-=. （2）由（1）知椭圆1C 与直线2C 无公共点，椭圆上的点),sin Pαα到直线80x y +-=的距离为d ==， 当sin 13πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d的最小值为 此时||PA 的最小值为6，此时点P 的坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查利用消去参数的方法将参数方程化为普通方程，利用关系式222cos ,sin tan x y x y y x ρρθρθθ⎧⎧+==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩等可以将极坐标方程与直角坐标方程互化，利用点到直线距离的公式和三角恒等变换的辅助角公式求距离最值问题. 23．已知()|1||3|(0)f x ax ax a a =-+->. （1）当1a =时，求不等式()5f x ³的解集；（2）若不等式()5f x ≤的解集不为空集，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）91|22x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或（2）02a <≤ 【解析】（1）根据绝对值不等式，分类讨论去绝对值，得出分段函数，解不等式即可得解集；（2）不等式()5f x ≤的解集不为空集，利用三角不等式求出()f x 的最小值，即可求实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，24(3)()132(13)42(1)x x f x x x x x x -⎧⎪=-+-=<⎨⎪-<⎩…„，易得()5f x ≥解集为91|22x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或. （2）()|1||3||1(3)||31|f x ax ax a ax ax a a =-+----=-…. 故()f x 的最小值为|31|a -.∵()5f x ≤解集不为空集，∴|31|5a -≤， ∵0a >，∴02a <≤. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，同时考查运用绝对值三角不等式求最值，属于中档题.。

2019届湖南省长沙市高三月考八理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 命题“ ”的否定是（）A．________________________ B．C．________________________ D．2. 在复平面内，复数（为虚数单位），对应的点在第四象限的充要条件是（）A．_________ B．___________ C．___________ D．3. 已知是等差数列，，其前10项和，则其公差为（）A．___________ B．___________ C．___________ D．4. 设函数，将的图象向左平移个单位长度后，所得图象与原函数的图象重合，则的最小值是（）A．___________ B．3___________ C．6___________ D．95. 设非负实数满足：，是目标函数取最大值的最优解，则的取值范围是（）A．___________ B．___________ C．_________ D．6. 已知点是椭圆上非顶点的动点，分别为椭圆的左、右焦点，是坐标原点，若是的平分线上一点，且，则的取值范围是（）A．___________ B．___________ C．___________D．7. 在闭区间上随机取出一个数，执行右图程序框图，则输出不小于39的概率为（）A． B． C． D．8. 某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教（每地至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有（）种．A．27___________ B．30___________ C．33___________ D．369. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．4___________ B．_________ C．_________ D．810. 已知函数，若存在实数，满足，其中，则的取值范围是（）A．___________ B．___________ C．___________D．11. 中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（）A．锐角三角形_________ B．钝角三角形________ C．直角三角形_________ D．上述均不是12. 用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例：9的因数有1，3，9，，10的因数有1，2，5，10，，那么（）．A．______________ B．C．______________ D．二、填空题13. 在某项测量中，测量结果，若在内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为________．14. 已知的展开式中的系数为2，则实数的值为________．15. 曲线与直线及轴所围成的图形的面积是________．16. 设函数（，为自然对数底数），定义在上函数满足：，且当时，，若存在．使，则实数的取值范围为________．三、解答题17. 已知，且．（1）将表示为的函数，并求的单调增区间．（2）已知分别为的三个内角对应边的边长，若且，求的面积．18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂中为，在上，且，是的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）若点是棱上一点，且，求的值．19. 为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分．根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率为；现记“该选手在回答完个问题后的总得分为”．（1）求且的概率；（2）记，求的分布列，并计算数学期望．20. 已知曲线，，动直线与相交于两点，曲线在处的切线相交于点．（1）当时，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；（2）若直线与相切于点，试问：在轴上是否存在两个定点，当直线斜率存在时，两直线的斜率之积恒为定值？若存在求出满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．21. 已知函数．（1）若在上为增函数，求实数的取值范围；（2）当时，设的两个极值点恰为的零点，求的最小值．22. 在中，，过点的直线与其外接圆交于点，交延长线于点．（1）求证：；（2）若，求的值．23. 已知曲线的参数方程为，曲线的极坐标方程为．以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）求曲线上的动点到曲线的距离的最大值．24. 已知定义在上的函数，存在实数使成立．（1）求实数的值；（2）若，，求证：．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

长沙市一中2025届高三月考试卷（二）语文得分：_____________ 本试卷共10页，时量150分钟，满分150分。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1~5题。

材料一中国诗词讲究含蓄，以淡为美。

而英美诗歌则比较奔放，以感情激越为胜。

另外，中国诗词多以歌颂为主，而英美现代诗歌多以揭露为主。

中国诗人或托物言志，或借景抒情，永远把自己的情感埋藏于诗词之中，我们只有通过“感悟”才可能感觉出其美，最突出的例子莫过于马致远的《天净沙·秋思》。

他几乎没有用一个表达感情的词语，只是把“枯藤”“老树”“昏鸦”简单地排列在一起，寥寥几笔便勾勒出一幅凄凉寂寥的景象，后面两句把几种事物列在一处，却恰如其分地渲染了寂寞、惨淡的气氛，“夕阳西下”更是给整幅画面涂上了一层昏黄的颜色，最后一笔带出“断肠人在天涯”，感觉上前后好像并无直接联系，但感情是连贯的，思路也是连贯的。

一口气读下来，仿佛自己就是诗人所描绘的画中的游子，引起强烈的共鸣。

然而几种事物的并列，虽然没有任何的主观感情，却比再多的语言都要强烈地表达了一种孤寂凄清的感情，这正是中国古典诗歌的魅力所在。

相比之下，英美现代诗歌强调写资本主义社会中畸零人的心理，比较直率地把诗人的所要表达的意思表现出来，直抒胸臆而毫无造作，言尽而意亦尽，回味的空间相对缩小了，但这样比较符合西方人的心理特征、思维特征。

（摘编自吕洋《中西方诗歌比较》）材料二①与中国古典诗歌弱化主体的倾向不同，西方诗歌中的主体差不多总是在场的。

以十四行诗为例，主体总是堂而皇之地出现在诗中，站出来讲话。

这样，西方诗歌就形成了与中国诗歌迥然不同的风格。

②诗歌的风格离不开其文化土壤。

在中国，流行的思想是人与自然的和谐，这种观念的形成与中国人的生活方式和生活环境有关。

早在新石器时代，农业经济就已经建立起来。

几千年来，自给自足的经济稳定繁荣，因此，人们非常依赖自然环境，对自然世界的任何微妙变化都很敏感，他们渴望与自然亲密接触。

2019届湖南省长沙市第一中学高三第八次月考数学（理）试题一、单选题1．已知全集为实数集R ，集合{}1,1,2,4M =-， {}223N x x x =-，则()R M C N ⋂=（ ）A ．{}1,1,2-B ．{}1,2C ．{}4D ．{|12}x x -≤≤ 【答案】A【解析】{3N x x =或1},x <- {}{|13},1,1,2.R R C N x x M C N =-≤≤⋂=- 选A.2．若1iz i =-+（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】分析：变形1iz i =-+，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标即可得结论.详解：由i 1i z =-+，得()()21i i 1i 1i i iz -+--+===+-，1z i =- ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限，故选D.点睛：本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，意在考查学生对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.3．为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，衡阳市通过随机询问100名性别不同的居民是否做到“光盘”行动，得到如右列联表及附表：经计算：()()()()()22 3.03n ad bc K a b c d a c b d -=≈++++参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别无关”C ．有90%以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别有关”D ．有90%以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别无关” 【答案】C【解析】试题分析：因为22() 3.03()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=≈++++ 因为2.706＜3.030＜3.841所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．故选C ． 【考点】独立性检验4．设离心率为e 的双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是（ ） A ．221k e -> B ．221e k -> C ．221k e -< D ．221e k -<【答案】B【解析】（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 与双曲线的一支相交，不满足题意。

2019届湖南省长沙市第一中学高三下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}(,)2,(,)4,M x y x y N x y x y =+==-=那么集合M N ⋂为（ ） A ．3,1x y ==- B ．()3,1-C ．{}31，-D ．(){}3,1-【答案】D【解析】解对应方程组，即得结果 【详解】 由2,4x y x y +=⎧⎨-=⎩得3,1x y =⎧⎨=-⎩所以(){}3,1M N ⋂=-，选D.【点睛】本题考查集合的交集，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．已知i 为虚数单位，复数()21i ω=+，则ω=（ ）A ．B ．2C ．D ．4【答案】B【解析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到本题答案. 【详解】因为22(1)122i i i i ω=+=++=，所以||2ω==.故选：B 【点睛】本题主要考查复数的四则运算及模的计算，属基础题.3．已知命题2:(1,),168p x x x ∀∈+∞+>，则命题p 的否定为（ ） A ．2 : (1,),168p x x x ⌝∀∈+∞+≤B ．2:(1,),168p x x x ⌝∀∈+∞+<C ．2000 : (1,),168p x x x ⌝∃∈+∞+≤D ．2000 : (1,),168p x x x ⌝∃∈+∞+<【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可直接得出结果.【详解】命题“2:(1,),168p x x x ∀∈+∞+>”的否定是“2000 (1,),168∃∈+∞+≤x x x ”.故选C 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，只需改量词和结论即可，属于基础题型.4．设平面向量,,a b c r r r均为非零向量，则“()0a b c ⋅-=r r r ”是“b c =r r ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．即不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】【详解】由b c =r r 得，0b c -=r r r ，可得()0a b c ⋅-=r r r，由()0a b c ⋅-=r r r 可得()a b c ⊥-r rr ，故()0a b c ⋅-=r r r是b c =r r 的必要而不充分条件，故选B ．【考点】充分条件与必要条件的判定．5．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）A ．关于直线12x π=对称B ．关于直线3x π=对称C ．关于点012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 D ．关于点06π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 【答案】A【解析】由()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期，可以求出ω，从而可以简单的判断出其相关性质 【详解】2(0)T ππωω==>，所以2ω=，即()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令2,()32x k f x πππ+=+⇒关于()122k x k Z ππ=+∈对称，可判断A 正确，B 错误；2,()3x k f x ππ+=⇒关于(,0)()62k k Z ππ-+∈对称，可判断C 、D 错误. 【点睛】根据三角函数的性质求参数，确定表达式后，再次研究其相关性质（对称性、奇偶性、单调性、周期性等），属于中档题. 6．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．63【答案】B【解析】试题分析：由程序框图可知：①，；②，；③，；④，；⑤，. 第⑤步后输出，此时，则的最大值为15，故选B.【考点】程序框图.7．在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()()()sin sin sin a c A C a b B +-=-，则角C =（ ）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】B【解析】先利用正弦定理对已知等式化简，再利用余弦定理求解即可. 【详解】因为()()()sin sin sin a c A C a b B +-=-， 所以由正弦定理知，()()()a c a c a b b +-=-， 化简得222a b c ab +-=，由余弦定理得，222cos 122a b c C ab +-==，又(0,180)C ∈︒︒，所以60C =︒. 故选：B 【点睛】本题主要考查利用正余弦定理求角的问题.8．已知函数,(=ln ,x e x ef x x x e⎧≤⎨>⎩），则函数()y f e x =-的大致图象是 （ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】令()()g x f e x =-，则(),ln(),,e x e e x eg x e x e x e -⎧-≤=⎨-->⎩，化简得(),0ln(),0,e x e x g x e x x -⎧≥=⎨-<⎩，因此()g x 在()()0,,,0+∞-∞上都是增函数.又()0ln 0e e e ->-，故选B.9．设曲线()ln 1axy e x =-+在0x =处的切线方程为210x y -+=，则a =（ ）A ．4B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】利用函数()ln 1axy e x =-+求导后，代入0x =，由结果等于切线的斜率，即可得到本题答案. 【详解】因为()ln 1axy e x =-+，所以11axy ae x '=-+， 令0x =时，得切线的斜率为1a -，又因为曲线()ln 1axy e x =-+在0x =处的切线方程为210x y -+=,所以12a -=，得3a =. 故选：D 【点睛】本题主要考查利用曲线在某点的切线方程求参数的问题. 10．长度都为2的向量OA u u u v ，OB uuu v的夹角为3π，点C 在以O 为圆心的圆弧AB （劣弧）上，OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v=+，则m n +的最大值是（ ） A．B．3CD．【答案】B【解析】∵OC u u u r =m OA u u u r +n OB uuu r ，∴OC u u u r 2=（m OA u u u r +n OB uuu r）2，∴224442m n mn OA OB =++⋅⋅u u u v u u u v ，即224442223m n mn cos π=++⨯⨯⨯，即m 2+n 2+mn=1，故22()()14m n m n mn ++-=≤，（当且仅当m=n 时，等号成立）；故243m n +≤（），故m n +3=，故答案为3． 11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数1x 、2x 都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()0.20.24.14.1f a =，()2.12.10.40.4f b =，()0.20.2log 4.1log 4.1f c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】A【解析】由题，可得()()f x g x x=是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，在(,0)-∞上单调递增，根据函数的单调性，即可判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】 设120x x <<，由题，得()()21120x f x x f x ->，即()()1212f x f x x x >，所以函数()()f x g x x=在(0,)+∞上单调递减， 因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()g x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，因此()()0.20.20.24.1 4.1(1)4.1f a gg ==<，()()()2.1 2.122.10.40.40.4(0.5)0.4f b gg g ==>>，()()()0.20.250.2log 4.1log 4.1log 4.1((1),(0.5))log 4.1f cg g g g ===∈，即a c b <<. 故选：A 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性判断大小的问题，其中涉及到构造函数的运用.12．已知实数a b c d ,,,满足111a e cb d e--==，则()()22a c b d -+-的最小值为（ ）A．eBC ．221e e+D ．221e e + 【答案】D【解析】设(,)b a 是曲线:ln C y x =的点，(,)d c 是直线1:1l y x e=⋅+的点，()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方，通过求函数ln y x =到直线1:1l y x e=⋅+的最小距离，即可得到本题答案.【详解】由题，得1ln ,1a b c d e==⋅+， 设(,)b a 是曲线:ln C y x =的点，(,)d c 是直线1:1l y x e=⋅+的点， ()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方，对ln y x =求导得1y x '=，令1y e'=，得x e =， 所以曲线C 上的点(,1)e 到直线l 的距离最小，该点到直线l==， 因此22()()a c b d -+-的最小值为2221e e⎛⎫=+. 故选：D 【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用问题，其中涉及转化和化归思想的运用.二、填空题13．已知()212'3f x x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则1'3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．【答案】23【解析】对函数()2123f x x f x ⎛⎫=+'- ⎪⎝⎭求导，然后代入13x =-，即可得到本题答案. 【详解】由()2123f x x f x ⎛⎫=+'- ⎪⎝⎭，得1()223f x x f ⎛⎫'=+'- ⎪⎝⎭，令13x =-，得11122333f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-=⨯-+'- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得，1233f ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭. 故答案为：23【点睛】本题主要考查抽象函数的求导问题.14．已知()24,21,3,1,x x f x x e x⎧--≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩则()2e f x dx -=⎰__________．【答案】43332π+ 【解析】由题，得122213()4ef x dx x dx dx x--=-+⎰⎰⎰ò，1224x dx --⎰由定积分的几何意义可得，13edx x⎰由微积分基本定理可得. 【详解】 因为122()4f x x dx -=-⎰表示的是，如下图阴影部分的面积S ，且21143213323S ππ=⨯+⨯⨯=+， 所以121221343433()43ln 33eee f x dx x dx dx x ππ--=-+=++=+⎰⎰⎰.故答案为：43332π+ 【点睛】本题主要考查利用定积分的几何意义和微积分基本定理求定积分. 15．已知函数()f x 的导数为()'f x ，()11f =，若对任意的实数x 都有()()'0f x f x ->，则()1x f x e e<的解集为__________． 【答案】()1,+∞【解析】设()()f x g x x =，由2()()()()()0x x x xf x e f x e f x f xg x e e'-'-'==<，得()g x在R 上单调递减，并且不等式()1xf x e e<等价于()(1)g x g <，根据函数的单调性，即可得到本题答案. 【详解】 设()()xg x f x e =，则2()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e '-'-'==， 因为对任意的实数x 都有()()0f x f x -'>， 所以()0g x '<，即()g x 在R 上单调递减，又因为(1)1f =，所以1(1)g e=， 所以不等式()1xf x e e<等价于()(1)g x g <， 由()g x 在R 上单调递减，得1x >，所以()1xf x e e<的解集为(1,)+∞. 故答案为：(1,)+∞ 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，并利用函数的单调性解不等式，其中涉及到构造函数的运用.16．化简000001cos201sin10tan52sin20tan5+⎛⎫-- ⎪⎝⎭的值为__________．【解析】原式22cos 10cos5sin5cos102cos10sin10sin104sin10cos10sin5cos52sin10sin10⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭o o o o oo o o o o o o o ()1cos102cos10cos102sin 301022sin102sin102sin102⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====oo oo o oo oo o ，三、解答题17．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin a b A =. （1）求角B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围.【答案】（1）6B π=（2）322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）利用正弦定理边转角，即可得到本题答案；（2）角C 用角A 表示，由和差公式及辅助角公式，得cos sin 3A C A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，又由ABC ∆为锐角三角形，可确定角A 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭在25,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭的取值范围，即可得到本题答案. 【详解】（1）由2sin a b A =，根据正弦定理得，sin 2sin sin A B A =， 所以1sin 2B =， 由ABC ∆为锐角三角形得，6B π=；（2）cos sin cos sin()6A C A A ππ+=+--1cos sin()cos cos )6223A A A A A A ππ=++=++=+.由ABC ∆为锐角三角形知，22B A ππ-<<，2263B ππππ-=-=，25336A πππ<+<，所以1sin()23A π<+<3)32A π<+<=，所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查正弦定理边角转化的应用以及三角函数的图象与性质，其中涉及三角函数的值域问题，主要考查了转化和化归的数学思想.18．如图，已知ACDE 是直角梯形，且//ED AC ，平面ACDE ⊥平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=︒，2AB AC AE === ，12ED AB =，P 是BC 的中点.（1）求证：//DP 平面EAB ；（2）求平面EBD 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）77【解析】（1）由四边形EFPD 是平行四边形，得//DP EF ，从而//DP 平面EAB ； （2）通过建立空间直角坐标系，套用求二面角的公式，即可得到本题答案. 【详解】（1）证明：取AB 的中点F ，连结,PF EF ， 因为P 是BC 的中点，所以//FP AC ，12FP AC =， 因为//ED AC ，且1122ED AB AC ==， 所以//ED FP ，且ED FP =，所以四边形EFPD 是平行四边形， 所以//DP EF ，因为EF ⊂平面EAB ，DP ⊄平面EAB ，所以//DP 平面EAB ； （2）因为90BAC ∠=︒，平面EACD ⊥平面ABC ，所以以点A 为原点，直线AB 为x 轴，直线AC 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则z 轴在平面EACD 内.由已知可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,1,3E ，()0,2,3D .所以()2,1,3EB =--u u u r ，()0,1,0ED =u u u r，设平面EBD 的法向量为(),,n x y z =r， 由0,0.n EB n ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 所以2300x y z y ⎧--=⎪⎨=⎪⎩，取2z =，所以()3,0,2n =r ，又因为平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =u r，所以27cos ||||n m n m n m ⋅<⋅>==r u rr u r r u r ，即平面EBD 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为27. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定以及用向量法求二面角的余弦值.19．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，过右焦点()2,0F c 的直线l ：x my c =+与椭圆C 交于M ，N 两点.当33m =时，M 是椭圆C 的下顶点，且12F NF ∆的周长为6.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的右顶点为A ，直线AM 、AN 分别与直线4x =交于P 、Q 点，证明：当m 变化时，以线段PQ 为直径的圆与直线l 相切.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】（1）由x my c =+与椭圆C 交于,M N 两点.当3m =时，M 是椭圆C 的下顶点，且12F NF ∆的周长为6，得226a c +=，b =，解得,,a b c ，即可得到本题答案;（2）联立直线方程1x my =+与椭圆方程22143x y +=，得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，先求得,P Q 两点的坐标，然后可以表示出以线段PQ 为直径的圆的标准方程，最后由圆心到直线的距离等于半径，即可得到本题答案. 【详解】（1）由题意知，226a c +=，∴3a c +=①又当3m =时，直线l的方程为3x y c =+，∴()0,M ，∴b =② 联立①、②有2a =，b =∴椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l ：1x my =+代入22143x y +=中有()2234690m y my ++-=，∴122634my y m -+=+，122934y y m -=+， 此时AM l ：1122x x y y -=+，AN l ：2222x x y y -=+， ∴112(4,)2y P x -、222(4,)2y Q x -， ∴以线段PQ 为直径的圆的方程为()21212224022y y x y y x x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭.化简得：()()()2224391x y m m -++=+，又圆心()4,3m -到直线l ：1x my =+的距离为222311d m m ==++.∴以线段PQ 为直径的圆与直线l 相切. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及到转化和化归思想的运用，主要考查学生的分析能力与运算能力.20．BMI 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数字，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当BMI 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重；当BMI 数值小于20.5时，我们说体重较轻；身高大于或等于170cm 的我们说身高较高；身高小于170cm 的我们说身高较矮.（1）已知某高中共有32名男体育特长生，其身高与BMI 指数的数据如散点图所示，请根据所得信息，完成下列列联表，并判断是否有95%的把握认为男体育特长生的身高对BMI 指数有影响；身高较矮 身高较高 合计 体重较轻 体重较重 合计（2）①从上述32名男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如下表所示： 编号1 2 3 4 5 6 7 8 身高x （cm ）166167160173178169158173根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程为$0.875.9y x =-.利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献率2R （保留两位有效数字）；②通过残差分析，对于残差（绝对值）最大的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误.已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58（kg ）.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程. （参考公式）µ()()221211ni ii n ii y y R y y ==-=--∑∑，()()()1122211n niii ii i nniii i x xy y x y nx ybx x xnx====---⋅==--∑∑∑∑$，$a y bx =-$，$i ie y bx a =--$$， ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++）.（参考数据）8178880i ii x y==∑，821226112i i x ==∑，168x =，58.5y =，()821320i i i x y =-=∑，()()81256i i i x x y y =--=∑，()821226i i y y =-=∑.【答案】（1）见解析，没有（2）①见解析，2R 约为0.91②$0. 67555. 9y x =-【解析】（1）根据散点图即可完成列联表；套用公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++），算出观测值，与3.841作比较，即可得到本题答案；（2）①把169,158,173x =分别代入$0.875.9y x =-，即可完善下列残差表；然后套用公式µ()()221211ni ii n ii y y R y y ==-=--∑∑，即可得到本题答案；②由①可知，第八组数据的体重应为58，套用1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-，即可得到本题答案. 【详解】 （1）由于()2232656151602.0783.8411220211177K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯因此没有95%的把握认为男体育特长生的身高对BMI 指数有影响. （2）①$()()()()()()()()()22222222210.10.30.9 1.50.5 2.30.5 3.521.2ni i i y y =-=+++-+-+-+-+=∑$()()2212121.2204.8110.91226226ni ii n i i y y R y y ==-=-=-=≈-∑∑， 所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献率2R 约为0.91. ②由①可知，第八组数据的体重应为58. 此时8178880817377496i ii x y==-⨯=∑，又821226112ii x==∑，168x =，57.5y =，8182221877496816857.5ˆ0.67522611281688i ii i i x y x ybx x ==-⋅⋅-⨯⨯===-⨯-⋅∑∑，ˆ57.50.67516855.9a=-⨯=-， 所以重新采集数据后，男体育特长生的身高与体重的线性回归方程为$0. 67555. 9y x =-.【点睛】本题主要考查独立性检验以及线性回归方程的应用. 21．已知函数()ln x af x x-=，其中a 为实数. （1）当1a =时，判断函数()f x 在其定义域上的单调性；（2）是否存在实数a ，使得对任意的()(0,11),x ∈+∞U ，()f x >存在，请说明理由；若存在，求出a 的值并加以证明.【答案】（1）()f x 在()0,1和()1,+∞上单调递增（2）存在，1a =，证明见解析 【解析】（1）求导得，()2ln 1(ln )x x x f x x x -+'=，设()ln 1g x x x x =-+，由()0g x ≥恒成立，即可得到本题答案；（2）当01x <<时，ln 0x <，则ln x aa x x x->⇔>，求()p x x x =的最大值，可确定a 的取值范围；当1x >时，ln 0x >，则ln x aa x x x->⇔<，求()p x x x =的最小值，可确定a 的取值范围，综上，即可得到本题答案. 【详解】（1）当1a =时，()1ln x f x x-=，()2ln 1(ln )x x x f x x x -+'=，令()ln 1g x x x x =-+，()ln g x x '=.当()0,1x ∈时，()'0g x <，当()1,x ∈+∞时，()'0g x >. ∴()()min 10g x g ==， ∴()0g x ≥恒成立，∴()()0,11,x ∈+∞U 时，()'0f x >恒成立. ∵()'0f x >恒成立，∴()f x 在()0,1和()1,+∞上单调递增.（2）①当01x <<时，ln 0x <，则ln x aa x x x->⇔>-，令()p x x x =，则()'p x =，再令()2ln h x x =-，则()11'0h xxx=-=<， 故当01x <<时，()'0h x <，所以()h x 在()0,1上单调递减， 所以当01x <<时，()()10h x h >=，所以()'0h x p x =>，所以()p x 在()0,1上单调递增，()()11p x p <=，所以1a ≥.②当1x >时，ln 0x >，则ln x aa x x x->⇔<. 由①知当1x >时，()'0h x >，()h x 在()1,+∞上单调递增，当1x >时，()()10h x h >=， 所以()'0h x p x =>，所以()p x 在()1,+∞上单调递增，所以()()11p x p >=，所以1a ≤. 综合①②得：1a =. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及导数与不等式的综合应用问题，涉及到分类讨论思想以及转化和化归思想的运用，主要考查学生的推理分析能力和计算能力. 22．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合.若直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知P 为椭圆C ：221169x y +=上一点，求点P 到直线l 的距离的最值.【答案】（1）60x y -+=（22. 【解析】（1）根据和差公式展开，由sin ,cos y x ρθρθ==，即可得到本题答案；（2）由点P 为椭圆C ：221169x y +=上一点，设()4cos ,3sin P αα，再利用点到直线公式及辅助角公式，即可得到本题答案. 【详解】（1）直线l 的极坐标方程sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 22ρθρθ-= 即sin cos 6ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为60x y -+=.（2）点P 为椭圆C ：221169x y +=上一点，设()4cos ,3sin P αα，其中[0,2)απ∈，则P 到直线l 的距离5cos 6d αϕ++==，其中4cos 5ϕ=，∴当()cos 1αϕ+=时，d； 当()cos 1αϕ+=-时，d的最小值为2. 【点睛】本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程以及利用椭圆的参数方程求点到直线的最值问题.23．已知函数()2|1|||f x x x a =++-，a R ∈. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若函数()f x 的最小值为3 ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）4(,2][,)3-∞-+∞U （2）2a =或4a =-【解析】（1）分1x ≥，11x -<<和1x ≤-三种情况，解不等式即可得到本题答案； （2）分1a =-，1a >-和1a <-三种情况，考虑()f x 的最小值，即可确定a 的取值范围. 【详解】（1）若1a =，则()31,1,2113,11,31, 1.x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩当1x ≥时，315x +≥，解之得43x ≥； 当11x -<<时，35x +≥，无解； 当1x ≤-时，315x --≥，解之得2x -≤.综上，不等式()5f x ≥的解集为4(,2][,)3-∞-+∞U .（2）当1a =-时，()3|1|f x x =+的最小值为0，不满足题意；当1a >-时，()32,,2,1,32,1,x a x a f x x a x a x a x +-≥⎧⎪=++-<<⎨⎪--+≤-⎩所以()()min 113f x f a =-=+=，此时2a =；当1a <-时，()32,1,2,1,32,,x a x f x x a a x x a x a +-≥-⎧⎪=---<<-⎨⎪--+≤⎩所以()()min 113f x f a =-=--=，此时4a =-.第 21 页 共 21 页 综上所述，2a =或4a =-.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，涉及到分类讨论思想的运用.。

长沙市一中2025届高三月考试卷（一）语文本试卷共10页，时量150分钟，满分150分。

一、现代文阅读（34分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，18分）阅读下面的文字，完成1～5题。

（一）①因为儒家政治构想的最高目标是旨在修身齐家治国平天下的“人”，人与人之间伦理认同即是根本和逻辑起点。

这种伦理的内涵，有着更为普遍和更为基础的对天下之“人”的论述。

先秦时期的中国，以最为根本性的孝、仁来建构人与人的认同，来建构自己与“他者”共在的联系，即天下。

②周朝的天下，以宗法制为联结，宗法制的伦理根基是“孝”。

家庭共同体有了孝的概念，孝的延伸就是天下共同体之“仁”。

仁不是与他者的对立，而是与他者的共生共通。

“仁”即是处理人与人关系的概念，处理人与人之间关系，逻辑上首先要处理与亲人的关系。

只有实现家庭内部的“亲亲”，才能实现向外的“爱人”。

人与家庭共生，通过“仁”的概念转向了人与天下共生。

因此理想的天下就是“不独亲其亲，不独子其子”。

天下大同，是仁孝概念的逻辑必然，也是伦理化天下的根本内涵。

换句话说，天下其实就是人类的伦理共同体，因此在这个共同体之内，就不可能有民族歧视。

③天下为一家，意味着“他者”的取消，即不以政体或民族区分敌我，而是在伦理关系中确证对方的独立性，并与对方共生共在。

天下一家的秩序展现在现实中，就是以伦理关系为核心的礼制。

凡天下之人，皆需仁孝，而仁孝就要服从礼制，服从礼制就要服从天子。

因此，家与天下就在政治秩序层面实现了同构。

随着大一统的实现，天下之内没有了其他的国，国家秩序也就成了天下秩序。

这种伦理化的天下秩序不断将边缘的地域和人民纳入天下中来，荀子说：“四海之内若一家，通达之属莫不从服。

”④后世的中国人，往往不是以民族或者国家来定义中国，而是以文化或文明定义中国。

正是因为中国概念的文明内涵，才导致中国可以消弭地理边界，逐渐与天下趋同。

⑤这种伦理的、文化的天下观念在宋朝受到了某种程度的挑战。