2020届上海市川沙中学高三数学上学期期中检测试卷

川沙中学高三期中测试卷一．填空题1. 集合{}=⋂<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=M P x x M x x x P 则,9,0322. 函数()()x x f -=2ln 的定义域为3. 行列式6cos3sin 6sin 3cosππππ的值是4. 计算：=+-+∞→nn nn n 4535lim 1 5. 高三毕业之际，有6位同学排成一排照相留念，其中甲乙二人相邻的概率是6. 已知数列{}n a 的前n 项和()*∈=N n n S n 2，则8a 的值是7. 已知⎭⎬⎫⎩⎨⎧---∈3,2,1,21,21,1,2a ，若幂函数()αx x f =为偶函数，且在()∞+，0上递增，则=α8. 某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时）制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5).[25,27.5),[27.5,30]。

根据直方图,这200名学生中，每周的自习时间不少于22.5小时的人数是9.若()73-1x 展开式的第4项为280，则=+++∞→)(lim 2n n x x x Λ 10.在ABC Rt ∆中，AC AB =，点N M ,是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足→→=BC k PC ，当→→⋅PN PM 取得最小值时，实数k 的值为11.已知函数)1(22)(+=+x f x f ，当(]1,0∈x 时，2)(x x f =，若在区间(]1,1-内)1()()(+-=x t x f x g 有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是12.已知数列{}n a 满足0)1(1=a ，)2(对任意的*∈N n ，都有n n a a >+1成立，函数[]1,,)(1sin )(+∈-=n n n n a a x a x nx f 满足：对于任意的实数[)m x f m n =∈)(,1,0总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是二．选择题13. 若向量()()1,1,0,2==→→b a ，则下列结论中正确的是( )A. 1=⋅→→b aB. →→=b aC.→→→⊥b b a )-(D. →→b a //14. 汽车的‘燃油效率’是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲乙丙三辆汽车不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是( )A.消耗一升汽油，一车最多可行驶5000米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速八十千米/小时，相同条件下，在该市相用丙车比用乙车更省油15. 若b a ,是方程)0,0(02<>=+-q p q px x 的两个不同根，且2,,-b a 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则q p +的值等于( )A. 6B.7C. 8D. 916.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点O ，其中x r .y u r 分别为点O 到两个顶点的向量；若将点O 到正六角星12个顶点的向量，都写成ax b y +r u r 的形式，则a b +的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6三，解答题17.（本题满分14分，第一小题满分7分，第二小题满分7分）已知直三棱柱，ABC C B A -111中,ο90,11=∠===BAC AA AC AB(1) 求异面直线B A 1与11C B 所成角(2) 求点1B 到平面BC A 1的距离18.（本题满分14分，第一小题满分7分，第二小题满分7分） 已知函数R x x x x x f ∈-+=,3cos 32cos sin 2)(2（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）在锐角三角形ABC 中，若2,1)(=⋅=→→AC AB A f ,求ABC ∆的面积19.（本题满分14分，第一小题满分7分，第二小题满分7分）某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品后收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元，同时，当预计投入资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品的收入与上一年相同。

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期中考试高三数学理科试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一. 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合{}213A x x =-≤，集合{}2B y y x ==，则=B A （ ） A.{}x x ≤1B. {}x x ≤≤01C. {}2x x ≤ D.{}x x ≤≤022．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10081009101010112a a a a +++=，则2018S =（ ） A ．1009B ．1010C ．D ．3. 设函数(){()211log 2,1,2, 1.x x x f x x -+-<=≥ 则((2))f f -= ( )A.2B.4C.8D.164. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”.B ．命题p ：0x R ∃∈，使得0sin x =；命题q ：x R ∀∈，都有sin x x >；则命题p q ∨为真.C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”.D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.5. 已知()21f x x =+，若()()10f x f a =⎰，则a 的值为（ ） A.12- B.32-C.12D.16． 如右图，正六边形ABCDEF 中，AC BD ⋅的值为18，则此正六边形的边长为（ ）A ．2B ．22C ．3D ．327. 角B A ,是△ABC 的两个内角.下列六个条件中，“B A >”的充分必要条件的个数是 ( )①B A sin sin >； ②B A cos cos <； ③B A tan tan >； ④B A 22sin sin >； ⑤B A 22cos cos <； ⑥B A 22tan tan >. A ． B ． C ． D ．8. “今有垣厚二丈二尺半，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增半尺，小鼠前三日日倍增，后不变，问几日相逢？”意思是“今有土墙厚22.5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞按第三天长度保持不变，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢最快需要的天数为（ ）A ．4B ．5C. 6D ．79.函数)1ln(25x x x y -++=的图象大致为（ ）ABCD10.已知函数()()212sin 06f x x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为单调函数，则ω的最大值是（ ） A ．12B ．35C ．23D ．3411. 在ABC ∆中,16,7,cos 5AC BC A ===,O 是ABC ∆的内心,若OP xOA yOB =+,其中01,12x y ≤≤≤≤,动点P 的轨迹所覆盖的面积为( )103D.20312. 已知函数1ln(1)()2x f x x +-=-（x ＞2），若()1kf x x >-恒成立，则整数k的最大值为（ ） A ．2B ．3C. 4 D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二.填空题 (本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上)13．已知1,22cos cos sin sin αβαβ+=+=则() cos αβ-=。

上海市2020版数学高三上学期理数期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·山东模拟) 已知全集，集合，，则中元素的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 32. （2分）已知各项均为正数的等比数列中，，，则（）A .B . 7C . 6D .3. （2分）如图所示，角的终边与单位圆交于点P（），则的值为（）A .B .C .D .4. （2分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A . y=ln|x|B . y=C . y=sinxD . y=cosx5. （2分） (2019高三上·葫芦岛月考) 已知两个单位向量的夹角为60°，向量，则（）A .B .C .D . 76. （2分）点在圆内，则直线和已知圆的公共点个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 不能确定7. （2分）已知两点，若直线PQ的斜率为-2，则实数m的值是（）A . -8B . 2C . 4D . 108. （2分） (2020高三上·静安期末) 某人驾驶一艘小游艇位于湖面处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东方向，且塔顶的仰角为，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达处，此时测得塔底位于北偏西方向，则该塔的高度约为（）A . 265米B . 279米C . 292米D . 306米9. （2分） (2017高二下·邢台期末) 下列曲线中，在x=1处切线的倾斜角为的是（）A . y=x2﹣B . y=xlnxC . y=sin（πx）D . y=x3﹣2x210. （2分）把函数的周期扩大为原来的2倍，再将其图象向右平移个单位长度，则所得图象的解析式为（）A .B .C .D .11. （2分）已知、分别是双曲线的左、右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）在中，角所对应的边分别为，若，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知直线l过A（﹣2，（t+）2）、B（2，（t﹣）2）两点，则此直线斜率为________14. （1分） (2017高二下·潍坊期中) 已知圆的方程式x2+y2=r2 ，经过圆上一点M（x0 ， y0）的切线方程为x0x+y0y=r2 ，类别上述方法可以得到椭圆类似的性质为：经过椭圆上一点M（x0 ， y0）的切线方程为________．15. （1分） (2017高三上·南充期末) 函数，数列{an}的通项公式an=|f（n）|，若数列从第k项起每一项随着n项数的增大而增大，则k的最小值为________．16. （1分） (2019高三上·佛山月考) 已知定义在上的函数满，当时，，则 ________.三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2019高三上·西湖期中) 已知的内角的对边分别为，若.（1）求角C；（2） BM平分角B交AC于点M，且，求 .18. （10分）(2018·临川模拟) 已知数列为单调等差数列，其中 .（1）求数列的通项公式；（2）记，设的前项和为，求证：对任意恒成立.19. （10分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，点M在线段PD上，且AM⊥MC．（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；（3）求二面角M﹣AC﹣D的余弦值．20. （10分） (2018高二上·淮北月考) 已知圆，圆心为，定点，为圆上一点，线段上一点满足，直线上一点，满足．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）为坐标原点，是以为直径的圆，直线与相切，并与轨迹交于不同的两点．当且满足时，求面积的取值范围．21. （10分）(2018·海南模拟) 已知函数， .（1）若曲线与曲线在它们的交点处的公共切线为，求，，的值；（2）当时，若，，求的取值范围.22. （10分）(2020·银川模拟) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为 ( 为参数)，曲线 .（1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求，的极坐标方程；（2）若射线( 与的异于极点的交点为，与的交点为，求 .23. （10分） (2018高三上·贵阳月考) 选修4-5：不等式选讲设函数 .（Ⅰ）作出函数的图象并求其值域；（Ⅱ）若，且，求的最大值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。

2024学年上海市川沙中学高三数学上学期期中考试卷一、填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1.已知集合()()4,,1,31A B =-=，则A B = ________2.不等式|1|2x -<的解集是___________.3.已知11i z =+，223i z =+（其中i 为虚数单位），则__12z z +=________.4.已知二项式()5x a +展开式中，2x 项的系数为80，则a =______.5.已知一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，则这组数据的方差是______.6.若数列{}n a 为首项为3，公比为2的等比数列，则6S =_______．7.某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30方向，与A 相距6.0海里，船由A 向正北方向航行8.1海里到达C 处，这时灯塔B 与船相距____海里．（精确到0.1海里）8.已知函数2()|1|f x ax x a =+++为偶函数，则不等式()0f x >的解集为________.9.在ABC V 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC V 的面积ABC S = 6a b +=，cos cos 2cos a B b ACc +=，则c =______.10.双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF △周长的最小值为8，则双曲线的离心率为__________．11.已知,,a b c 是平面向量，a 与c 是单位向量，且,2a c π= ，若28150b b c -+= ，则a b -r r 的最小值为_____________．12.已知定义在R 上的函数()f x 存在导数，对任意的实数x ，都有()()2f x f x x --=，且当(0,)x ∈+∞时，()1f x '>恒成立，若不等式()(1)21f a f a a --≥-恒成立，则实数a 的取值范围是________.二、选择题(本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分)13.若实数a 、b 满足0a b >>，下列不等式中恒成立的是（）A.a b +>B.a b +<C.22ab +> D.22ab +<14.设a ∈R ，则“1a =”是“直线20ax y +=与直线(1)20x a y +++=平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.设{}是等差数列.下列结论中正确的是A .若120a a +>，则230a a +> B.若130a a +<，则120a a +<C.若120a a <<，则2a >D.若10a <，则()()21230a a a a -->16.在正方体1111ABCD A B C D -中，点P ，Q 分别是线段111,AB A C 上的点（不为端点），给出如下两个命题：①对任意点P ，均存在点Q ，使得1PQ CD ⊥；②存在点P ，对任意的Q ，均有1PQ DB ⊥，则（）A.①②均正确B.①②均不正确C.①正确，②不正确D.①不正确，②正确三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分)17.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面,,BCD AB AD O =为BD 的中点.（1）求证：AO CD ⊥；（2）若,,BD DC BD DC AO BO ⊥==，求异面直线BC 与AD 所成的角的大小.18.设x R ∈，函数()cos sin f x x x =+，()cos sin g x x x =-．（1）求函数()()()()2F x f x g x fx =⋅+的最小正周期和单调递增区间；（2）若()()2f x g x =，求221sin cos sin cos x x x x+-的值．19.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；（ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.20.设常数2t >．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2,0)，直线l ：x=t ，曲线Γ：()280,0y x x t y =≤≤≥，l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 距离；（2）设3t =，||2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP △的面积；（3）设t =8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．21.已知函数()1ln ,R f x x a x a =--∈.（1）当1a =时，求()f x 的严格增区间;（2）若()0f x ≥恒成立，求a 的值；（3）对于任意正整数n ，是否存在整数m ，使得不等式2111(1(1)222n m +++< 成立?若存在，请求出m 的最小值；若不存在，请说明理由.2024学年上海市川沙中学高三数学上学期期中考试卷一、填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1.已知集合()()4,,1,31A B =-=，则A B = ________【答案】()1,3【解析】【分析】根据交集运算求解.【详解】因为()()4,,1,31A B =-=，所以()1,3A B ⋂=，故答案为：()1,32.不等式|1|2x -<的解集是___________.【答案】(1,3)-【解析】【分析】根据绝对值的意义直接求解即可.【详解】|1|2x -< ,212x ∴-<-<,解得13x -<<，所以不等式的解集为(1,3)-.故答案为：(1,3)-3.已知11i z =+，223i z =+（其中i 为虚数单位），则__12z z +=________.【答案】32i -##2i 3-+【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的加法求__12z z +即可.【详解】由题设，__121i 23i 32i z z +=-=-++.故答案为：32i-4.已知二项式()5x a +展开式中，2x 项的系数为80，则a =______.【答案】2【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式，将2x 项的系数表达式求出等于80，再求解关于a 的方程即可．【详解】()5x a +的展开式的通项为515C r rr r T x a -+=，令52r -=，得3r =，则2x 项的系数335C 80a =，解得2a =；故答案为：2．5.已知一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，则这组数据的方差是______.【答案】2【解析】【分析】由一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，先求出m =10，由此能求出这组数据的方差.【详解】∵一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，∴1(6789)85m ++++=，解得m =10，∴这组数据的方差S 2=15[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]=2.故答案为：2【点睛】本题考查一组数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差计算公式的合理运用.6.若数列{}n a 为首项为3，公比为2的等比数列，则6S =_______．【答案】189【解析】【分析】根据给定条件，利用等比数列前n 项和公式计算即得.【详解】由数列{}n a 为首项为3，公比为2的等比数列，得663(12)18912S -==-.故答案为：1897.某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30 方向，与A 相距6.0海里，船由A 向正北方向航行8.1海里到达C 处，这时灯塔B 与船相距____海里．（精确到0.1海里）【答案】4.2【解析】【详解】由余弦定理得灯塔B 4.2≈8.已知函数2()|1|f x ax x a =+++为偶函数，则不等式()0f x >的解集为________.【答案】(1,0)(0,1)- 【解析】【分析】由函数为偶函数求出a ，再解不等式即可.【详解】由函数2()|1|f x ax x a =+++（∈R ）为偶函数，则()()11f f -=，即2a a a a +=++，解得1a =-，此时2()||f x x x =-+，因为()()f x f x -=-，所以函数是偶函数，符合题意，由()0f x >即2||0x x -+>，即2||||0x x -+>，解得11x -<<且0x ≠，所以不等式的解集为(1,0)(0,1)- .故答案为：(1,0)(0,1)-9.在ABC V 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC V 的面积ABC S = 6a b +=，cos cos 2cos a B b AC c+=，则c =______.【答案】【解析】【分析】由正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简cos cos 2cos a B b AC c+=,由C 的范围特殊角的三角函数值求出C ，代入三角形的面积公式列出方程，利用余弦定理列出方程，变形后整体代入求出c 的值.【详解】由cos cos 2cos a B b AC c+=可得cos cos 2cos ,a Bb Ac C +=在ABC V 中，由正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C+=sin()2sin cos ,A B C C ∴+=,A B C π+=- sin()sin 2sin cos ,A B C C C ∴+==1sin 0,cos ,2C C ≠∴=由0C π<<得，3C π=由ABC S = 1sin 2ab C =得8,ab =6,a b += ∴由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-2()22cos 3616812a b ab ab C =+--=--=解得c =，故答案为：10.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF △周长的最小值为8，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】【分析】根据1APF △的周长为11l AF PF AP =++，结合双曲线的定义，转化为232l a PF AP =+++，当2,,A P F 三点共线时，周长l 取得最小值求解.【详解】设双曲线的左焦点为()2F -，又13AF =，所以APF 的周长为1113l AF PF AP PF AP =++=++，由双曲线的定义得122PF PF a -=，即122PF PF a =+，即232l a PF AP =+++，当2,,A P F 三点共线时，周长l 取得最小值，此时223PF AP AF +==，所以3238a ++=，解得1a =，所以ce a==故答案为：【点睛】关键点点睛：本题主要考查双曲线的定义以及几何性质，理解三点共线时两线段距离和取得最小值是解题的关键，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11.已知,,a b c 是平面向量，a 与c是单位向量，且,2a c π= ，若28150b bc -+= ，则a b -r r 的最小值为_____________．【答案】171-【解析】【分析】把条件的二次方程分解成两个向量的积，得到这两个向量互相垂直，结合图形确定a b -r r的最小值.【详解】如下图所示，设35=====OA a OB b OC c OD c OE c，，，，28150-⋅+=b bc 且1a c == 228150∴-⋅+= b b c c ()()350∴-⋅-= b c b c ()()35∴-⊥- b c b c 35∴=-=- DB b c EB b c，∴点B 在以F 为圆心，DE 为直径的圆上又=-BA a b∴当点B 为圆F 和线段FA 的交点的时候，BA a b =-最短22411171∴-=+-=-a b 故答案为：171-12.已知定义在R 上的函数()f x 存在导数，对任意的实数x ，都有()()2f x f x x --=，且当(0,)x ∈+∞时，()1f x '>恒成立，若不等式()(1)21f a f a a --≥-恒成立，则实数a 的取值范围是________.【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据给定条件，构造函数()()g x f x x =-，利用导数及函数的奇偶性求解不等式即可得答案.【详解】由()()2f x f x x --=，得()()()-=---f x x f x x ，记()()g x f x x =-，则有()()g x g x =-，即()g x 为偶函数，又当(0,)x ∈+∞时，()()10g x f x ''=->恒成立，即()g x 在()0,+∞上单调递增，由()(1)21f a f a a --≥-，得()(1)(1)f a a f a a -≥---，于是()(1)g a g a ≥-，即(||)(|1|)g a g a ≥-，因此|||1|a a ≥-，即2212a a a ≥+-，解得12a ≥，所以实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】关键点点睛：变形给定等式，构造函数并探讨函数性质是求解不等式的关键.二、选择题(本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分)13.若实数a 、b 满足0a b >>，下列不等式中恒成立的是（）A.a b +>B.a b +<C.22ab +> D.22ab +<【答案】A 【解析】【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误.【详解】因为0a b >>，则20a b +-=>，故a b +>，A 对B 错；222022a a b b +-=+-≥，即22a b +≥，当且仅当22ab =时，即当4a b =时，等号成立，CD 都错.故选：A.14.设a ∈R ，则“1a =”是“直线20ax y +=与直线(1)20x a y +++=平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两直线平行列出方程，求出：2a =-或1，验证后均符合要求，从而得到“1a =”是“直线20ax y +=与直线(1)20x a y +++=平行”的充分不必要条件.【详解】当1a =时，20x y +=与220x y ++=的斜率相等，故平行，充分性成立，若“直线20ax y +=与直线(1)20x a y +++=平行”，则满足()120a a +-=，解得：2a =-或1，经验证，：2a =-或1时，两直线不重合，故：2a =-或1，两直线平行，故必要性不成立.故选：A15.设{}是等差数列.下列结论中正确的是A.若120a a +>，则230a a +> B.若130a a +<，则120a a +<C.若120a a <<，则2a >D.若10a <，则()()21230a a a a -->【答案】C 【解析】【详解】先分析四个答案，A 举一反例1232,1,4a a a ==-=-，120a a +>而230a a +<，A 错误，B 举同样反例1232,1,4a a a ==-=-，130a a +<，而120a a +>，B 错误，D 选项，2132,,a a d a a d -=-=-22132()()0,a a a a d ∴--=-≤故D 错，下面针对C 进行研究，{}是等差数列，若120a a <<，则10,a >设公差为d ，则0d >，数列各项均为正，由于22213111()(2)a a a a d a a d -=+-+22221111220a a d d a a d d =++--=>，则2113a a a >1a ⇒>，故选C.考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重点是对知识本质的考查.16.在正方体1111ABCD A B C D -中，点P ，Q 分别是线段111,AB A C 上的点（不为端点），给出如下两个命题：①对任意点P ，均存在点Q ，使得1PQ CD ⊥；②存在点P ，对任意的Q ，均有1PQ DB ⊥，则（）A.①②均正确B.①②均不正确C.①正确，②不正确D.①不正确，②正确【答案】D 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来确定正确答案.【详解】设正方体的边长为1，以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，()()()110,1,0,0,0,1,0,1,1C D CD =- ，()()111,1,1,1,1,1B DB =，设()()1,,,,1,1P x x Q y y -，01,01x y <<<<，()1,1,1PQ y x y x =----，①()()10,1,11,1,1CD PQ y x y x ⋅=-⋅----()110,1x y x y =+-+-=∈，所以PQ 与1CD 不垂直，①错误.②()()11,1,11,1,1DB PQ y x y x ⋅=⋅----11121y x y x x =-+--+-=-+，令210x -+=，解得12x =.所以对任意的Q ，存在P ，使得1PQ DB ⊥，此时P 是1AB 的中点，②正确.故选：D三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分)17.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面,,BCD AB AD O =为BD 的中点.（1）求证：AO CD ⊥；（2）若,,BD DC BD DC AO BO ⊥==，求异面直线BC 与AD 所成的角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）π3.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理即得.（2）分别取,AB AC 的中点,M N ，利用几何法求出异面直线BC 与AD 所成的角.【小问1详解】在三棱锥A BCD -中，由,AB AD O =为BD 的中点，得AO BD ⊥，而平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AO ⊂平面ABD ，因此AO ⊥平面BCD ，又CD ⊂平面BCD ，所以AO CD ⊥.【小问2详解】分别取,AB AC 的中点,M N ，连接,,OM ON MN ，于是//,//MN BC OM AD ，则OMN ∠是异面直线BC 与AD 所成的角或其补角，由（1）知，AO BD ⊥，又AO BO =，AB AD =，则π4ADB ABD ∠=∠=，于是π2BAD ∠=，令2AB AD ==，则2DC BD ==，又BD DC ⊥，则有4BC ==，OC ==，又AO ⊥平面BCD ，OC ⊂平面BCD ，则AO OC ⊥，AO =AC ==，由,M N 分别为,AB AC 的中点，得1112,1,222MN BC OM AD ON AC ======，显然2224MN OM ON ==+，即有π2MON ∠=，1cos 2OM OMN MN ∠==，则π3OMN ∠=，所以异面直线BC 与AD 所成的角的大小π3.18.设x R ∈，函数()cos sin f x x x =+，()cos sin g x x x =-．（1）求函数()()()()2F x f x g x fx =⋅+的最小正周期和单调递增区间；（2）若()()2f x g x =，求221sin cos sin cos xx x x+-的值．【答案】（1）最小正周期为π，单调递增区间是()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦；（2）116.【解析】【分析】（1）根据题意利用二倍角的三角函数公式与辅助角公式，化简得()214F x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．再由三角函数的周期公式与正弦函数的单调区间公式加以计算，可得函数()F x 的最小正周期和单调递增区间；（2）根据() 2 ()f x g x =算出3sin cos x x =，从而得出1tan 3x =．再利用同角三角函数的基本关系进行“弦化切”，可得所求分式的值．【详解】（1）()()()()2cos sin cos sin cos sin F x x x x x x x =+-++22cos sin 12sin cos sin 2cos 21x x x x x x =-++=++214x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以，函数()F x 的最小正周期为π．由()222242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得()388k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()F x 的单调递增区间是()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）由题意，()cos sin 2cos sin x x x x +=-，3sin cos x x =，所以，1tan 3x =．所以，222221sin cos 2sin cos sin cos cos sin cos x x x x x x x x x ++=--212tan 111tan 6x x +==-．【点睛】本题考查sin x 型函数最小正周期和单调递增区间，以及同角三角函数的基本关系，属于中档题．19.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；（ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）答案见解析；（ii ）67．【解析】【详解】分析：（Ⅰ）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．且分布列为超几何分布，即P （X =k ）=34337C C C k k-⋅（k =0，1，2，3）．据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为()127E X =．（ii ）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A 发生的概率为67．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P （X =k ）=34337C C C k k-⋅（k =0，1，2，3）．所以，随机变量X 的分布列为X 0123P13512351835435随机变量X 的数学期望()112184120123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（ii ）设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A =B ∪C ，且B 与C 互斥，由（i ）知，P (B )=P (X =2)，P (C )=P (X =1)，故P (A )=P (B ∪C )=P (X =2)+P (X =1)=67．所以，事件A 发生的概率为67．点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X 的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)n N =样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．20.设常数2t >．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F (2,0)，直线l ：x=t ，曲线Γ：()280,0y x x t y =≤≤≥，l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 距离；（2）设3t =，||2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP △的面积；（3）设t =8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2BF t =+；（2）736；（3）存在，23P ⎛ ⎝⎭．【解析】【分析】（1）方法一：设出B 点坐标，根据两点间距离公式求解出BF 的值，方法二：根据抛物线的定义，即可求得BF 的值；（2）根据抛物线的性质，求得Q 点坐标，即可求得OQ 的中点坐标，即可求得直线PF 的方程，代入抛物线方程，即可求得P 点坐标，则AQP △的面积可求；（3）设,P E 坐标，根据1PF FQ k k ⋅=-求得直线QF 的方程和Q 点坐标，再根据FP FQ FE +=求得E点坐标，则根据22200048()8(6)48y y y +=+可求得P 点坐标.【详解】解：（1）方法一：由题意可知：设(,B t ，则||2BF t ==+，∴||2BF t =+；法二：由题意设(,B t ，由抛物线的性质可知：||22pBF t t =+=+，∴||2BF t =+；（2） (2,0)F ，||2FQ =，3t =，()3,0A ，则||1FA =，∴||AQ ==，∴Q ，设OQ 的中点D ，∴3(,)22D，02322PFk -==-，则直线PF方程：2)y x =-，联立22)8y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，整理得：2320120x x -+=，解得：23x =，6x =（舍去），∴AQP △的面积117732236A P S AQ x x =⋅⋅-=⨯=；（3）存在，设200(,)8y P y ，2(,)8m E m ，则00220081628PF y yk y y ==--且PF FQ ⊥，∴200168FQ y k y -=，直线QF 方程为20016(2)8y y x y -=-，∴22000016483(82)84Q y y y y y --=-=，200483(8,)4y Q y -，又因为四边形FPEQ 为矩形，所以FP FQ FE += ，则2200048(6,84y y E y ++，∴22200048()8(6)48y y y +=+，解得：20165y =，即2,55P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上，且2(,)55P ．【点睛】关键点点睛：解答本题第三问的关键在于利用矩形FPEQ 的两个特点去分析问题：（1）PF FQ ⊥，由此可知1PF FQ k k ⋅=-，利用坐标完成计算；（2）平行四边形法则，由此可知向量关系式FP FQ FE +=.21.已知函数()1ln ,R f x x a x a =--∈.（1）当1a =时，求()f x 的严格增区间;（2）若()0f x ≥恒成立，求a 的值；（3）对于任意正整数n ，是否存在整数m ，使得不等式2111(1(1)222n m +++< 成立?若存在，请求出m 的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）(1,)+∞；（2）1（3）存在，3.【解析】【分析】（1）把1a =代入，利用导数求出()f x 的严格增区间.（2）利用导数求出函数()f x 的最小值，建立不等关系，构造函数求出最值即可.（3）由（2）可得不等式ln(1)x x +£，再赋值并利用不等式性质，结合放缩法求出2111(1)(1)(1)222n +++ 的范围即可得m 的最小值.【小问1详解】当1a =时，函数()1ln =--f x x x 的定义域为(0,)+∞，求导得1()1f x x'=-，由()0f x '>，得1x >，所以()f x 的严格增区间为(1,)+∞.【小问2详解】函数()1ln f x x a x =--的定义域为(0,)+∞，求导得()1a x a f x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当01x <<时，()(1)0f x f <=，不符合题意；当0a >时，由()0f x '<，得(0,)x a ∈，()0f x '>，得(,)x a ∈+∞，则函数()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，min ()()1ln f x f a a a a ==--，由()0f x ≥恒成立，得1ln 0a a a --≥恒成立，令()1ln g a a a a =--，求导得()ln g a a '=-，当01a <<时，()0g a '>，当1a >时，()0g a '<，于是函数()g a 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，max ()(1)0g a g ==因此()0(1)g a g ==，所以1a =.【小问3详解】由（2）知当1a =时，()1ln 0f x x x =--≥，即ln 1≤-x x ，则ln(1)x x +£恒成立，当且仅当0x =时取等号，当12kx =，*N k ∈时，11ln(122k k+<，因此221111111ln(1)ln(1)ln(1)112222222n n n++++⋅⋅⋅++<+++=-< ，则2111ln[(1)(1)]1222n +++< ，即2111(1)(1)e 222n +++< ，当3n ≥时，322111111135(1)(1)(1)(1)(1)222222264n +++≥+++=> ，即当3n ≥时，2111(1)(1)(2,e)222n +++∈ ，所以存在正整数m ，对于任意正整数n ，2111(1(1)222nm +++< 恒成立，则m 的最小值为3.【点睛】关键点点睛：用对数切线不等式将2111(1)(1)222n +++ 放缩成等比数列的和是这题的关键.。

一、选择题1．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*nn n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1002．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形3．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3f x x =；②()xf x e =；③()f x =④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④4．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+5．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．4y xx=+B ．2y =C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<<6．在ABC 中，4ABC π∠=，AB =3BC =，则sin BAC ∠=（ ）A ．10B ．5C D 7．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．168．已知ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )A ．2B ．34C ．32或2D ．34或29．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．2310．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形11．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14B ．21C ．28D ．3512．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．13713．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1B ．6C ．7D ．6或714．已知正项数列{}n a *(1)()2n n n a n N ++=∈，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =15．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32B ．36C ．38D ．40二、填空题16．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=，且13k a =,则k =_________．17．已知120,0,2a b a b>>+=，2+a b 的最小值为_______________. 18．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-，则935784a ab b b b +++的值为_______． 19．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．20．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？ 21．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 22．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ________．23．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++等于__________．24．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．25．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．三、解答题26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为2的等比数列，求数列{}n b 前n 项和n T ．27．已知数列{}n a 是等差数列，111038,160,37n n a a a a a a +>⋅=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项，，第2n 项，按原来的顺序组成一个新数列，求12n n S b b b =+++.28．设数列{}n a 满足12a = ，12nn n a a +-= ；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2132nS n n （） （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b = ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．29．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n a b na =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．30．已知向量()1sin 2A =，m 与()3sin A A =，n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；（2）若BC=2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．D 3．C 4．A 5．C 6．C 7．C 8．C9．A10．D11．C12．B13．B14．B15．B二、填空题16．18【解析】观察下标发现4710成等差数列所以同理17．【解析】【分析】先化简再利用基本不等式求最小值【详解】由题得当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力解题的关键是常量代换18．【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式代值计算可得【详解】∵{an }{bn}为等差数列∴∵＝∴故答案为【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式属基础题19．2300【解析】【分析】【详解】设甲种设备需要生产天乙种设备需要生产天该公司所需租赁费为元则甲乙两种设备生产AB两类产品的情况为下表所示:产品设备A类产品（件）（≥50）B类产品（件）（≥14020．9【解析】解：由题意可知：良马与驽马第天跑的路程都是等差数列设路程为由题意有：故：满足题意时数列的前n项和为由等差数列前n项和公式可得：解得：即二马相逢需9日相逢点睛：本题考查数列的实际应用题(1)21．【解析】【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n所以设f（n）由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值借此能得到的最小值【详解】解：∵an+1﹣an＝2n∴当n≥2时an＝（an﹣an ﹣1）+（a22．【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB的值即得B角【详解】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理得2sinBcosB＝sinAcosC＋si n23．50【解析】由题意可得=填5024．或【解析】【分析】先画出不等式组所代表的平面区域解释目标函数为直线在轴上的截距由目标函数取得最大值的最优解不唯一得直线应与直线或平行从而解出的值【详解】解：画出不等式组对应的平面区域如图中阴影所示将25．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.2．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.3．C解析：C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()()1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1n na q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，()()3313112n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，该函数为“保等比数列函数”；对于②中的函数()xf x e =，()()111n n n n a a a n a n f a e e f a e++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数()f x x =()()111n n n n nna f a a q f a a a +++===，该函数为“保等比数列函数”；对于④中的函数()ln f x x =，()()11ln ln n n n na f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。

高三期中数学卷一.填空题1.已知集合M ={}2,0,xy y x N ==(){}2|lg 2x y x x =-,则M N ⋂=_______.【答案】(1,2) 【解析】M ={}2,0x y y x =={}1,y y N ={}2|lg(2x y x x =-={|02}x x <<,所以M N ⋂={|12}x x <<.2.三阶行列式351236724---中元素5-的代数余子式的值为________. 【答案】34 【解析】 【分析】根据行列式的代数余子式的定义进行计算． 【详解】由题意，可知： （﹣1）1+2•2674-=--[2×4﹣（﹣6）×（﹣7）]＝34．故答案为：34．【点睛】本题主要考查行列式的代数余子式的概念及根据行列式的代数余子式的定义进行计算．本题属基础题．3.已知幂函数()y f x =的图像过点1(2，则4log (2)f 的值为________. 【答案】14【解析】 【分析】先利用待定系数法将点的坐标代入解析式求出函数解析式，再将x 用2代替求出函数值． 【详解】由设f （x ）＝x a ，图象过点（12），∴（12）a =a 12=， ∴log 4f （2）＝log 412124=． 故答案为：14【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式、知函数解析式求函数值． 4.已知向量()1,3a=，()3,b m =且b 在a 上的投影为3，则a 与b 角为______.【答案】【答案】π6. 【解析】 【分析】根据向量数量积的几何意义求得m 的值，然后再求出两向量的夹角． 【详解】设a ，b 的夹角为θ， 则||236a b a b cos θ==⨯=，又()()1,33,3a b m ==+，∴336m +=， 解得3m =．∴2||22a b cos a b θ===⨯，又0θπ≤≤， ∴6πθ=．故答案为：6π． 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义和夹角的计算，解题的关键是熟悉有关的计算公式，用几何意义计算向量的数量积也是解答本题的关键，属于基础题． 5.满足不等式arccos2arccos(1)x x <-的x 的取值范围为________ 【答案】11(,]32【解析】反余弦函数的定义域为[]1,1-，且函数在定义域内单调递减，则不等式等价于：12111121x x x x -≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪>-⎩，求解不等式有：11220213x x x ⎧-≤≤⎪⎪≤≤⎨⎪⎪>⎩， 综上可得，不等式的解集为11,32⎛⎤⎥⎝⎦.6.函数log (3)1(01)a y x a a =+->≠且的图像恒过定点A ，若A 在直线10mx ny ++=，其中,0m n 均大于，则12m n+的最小值_________ 【答案】8 【解析】试题分析：由已知可得定点()2,1A --，代入直线方程可得21m n +=，从而1212()(2)m n m n m n +=++4448n m m n =++≥=. 考点：1、函数的定点；2、重要不等式.【易错点晴】本题主要考查的重要不等式，属于容易题.但是本题比较容易犯错，使用该公式是一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.7.设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若{}n a 的各项和等于q ，则首项1a 的取值范围是____. 【答案】1(2,0)(0,]4- 【解析】 【分析】 由题意易得11a q =-q ，可得a 1＝﹣（q 12-）214+，由二次函数和等比数列的性质可得． 【详解】∵无穷等比数列{a n }的各项和等于公比q ， ∴|q |＜1，且11a q=-q ，∴a 1＝q （1﹣q ）＝﹣q 2+q ＝﹣（q 12-）214+， 由二次函数可知a 1＝﹣（q 12-）21144+≤，又等比数列的项和公比均不为0， ∴由二次函数区间的值域可得： 首项a 1的取值范围为：﹣2＜a 114≤且a 1≠0 故答案为：1(2,0)(0,]4- 【点睛】本题考查等比数列的各项和，涉及二次函数的最值，属基础题．8.已知函数2()f x x =，[1,2]x ∈的反函数为1()f x -，则121[()](2)f x f x --+的值域是____.【答案】[1 【解析】 【分析】依题意，f ﹣1（x ）=（x ∈[1，4]），得函数y ＝[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）＝x y＝x [1，2]上的增函数，可得y 的值域．【详解】依题意，f ﹣1（x ）=（x ∈[1，4]），所以函数y ＝[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）＝x x 满足14124x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即1≤x ≤2，又y ＝x [1，2]上的增函数，所以函数y ＝[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）的值域是[1，4]，故答案为：[1【点睛】本题考查了简单函数的反函数的求法，函数的定义域，值域，属于基础题．解题时注意定义域优先的原则．9.在平面直角坐标系中，记曲线C 为点(2cos 1,2sin 1)P θθ-+的轨迹，直线20x ty -+=与曲线C 交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为________.【答案】【解析】【分析】 由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，得曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，再根据勾股定理以及圆的性质可得弦长的最小值．【详解】由2121x cos y sin θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得（x +1）2+（y ﹣1）2＝4，∴曲线C 的轨迹是以C （﹣1，1）为圆心，2为半径的圆， 又直线20x ty -+=恒过点D ()2,0-，且此点在圆内部 故当CD AB ⊥时|AB |最短， ∴|AB |＝=2，故答案为：【点睛】本题考查了简单曲线的参数方程，考查圆的弦长公式，准确计算是关键，属中档题．10.设等差数列{}n a 满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-，若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是________. 【答案】43(,)32ππ 【解析】 【分析】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d 的范围求出公差的值，代入前n 项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a 1取值范围．【详解】由()22222233363645sin a cos a cos a cos a sin a sin a sin a a -+-=+1， 得：()()()336363636452cos a cosa cosa sina sina cosa cosa sina sina sin a a -+-+=+1，即()()()336364521cos a cos a a cos a a sin a a -++-=+，由积化和差公式得：()3634511222221cos a cos a cos a sin a a +-=+，整理得：()()()()()()63636345451122222cos a cos a sin a a sin a a sin a a sin a a --+-==++1，∴sin （3d ）＝﹣1．∵d ∈（﹣1，0），∴3d ∈（﹣3，0）， 则3d 2π=-，d 6π=-．由()()2111116221212n n n n n S na d na n a n πππ⎛⎫-⋅- ⎪-⎛⎫⎝⎭=+=+=-++ ⎪⎝⎭．对称轴方程为n 1612a ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由题意当且仅当n ＝9时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值，∴1176192122a ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜＜，解得：14332a ππ＜＜． ∴首项a 1的取值范围是4332ππ⎛⎫⎪⎝⎭，． 故答案为：4332ππ⎛⎫⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了三角恒等变换的应用，化简原式得公差的值是关键，考查了学生的运算能力，是中档题．11.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-在[)6,-+∞上的所有零点之和为__________．【答案】8 【解析】 由题意，()1f x x=，()y f x =与y x =都是奇函数，第一象限图象如图，当8x>时，两图象无交点，所以[)6,0-与(]0,6对称，零点之和为0，(]6,8上，零点为8，所以，[)6,-+∞上的零点之和为8.12.在数列{}n a中，11a=，1221332?32(2)n n nn na a n----=-+≥，nS是数列1nan+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和，当不等式*1(31)()1()3()mnmnS mm NS m++-<∈-恒成立时，mn的所有可能取值为 . 【答案】1或2或4【解析】试题分析：由1221332?32(2)n n nn na a n----=-+≥得1212213(1)3(1)332?32(2)n n n n nn na a n------+=++--+≥，即1213(1)3(1)2(2)n nn na a n---+=++≥，所以数列{}13(1)nna-+是以1113(1)2a-+=为首项、2为公比的等比数列，所以13(1)2nna n-+=，由1123nnan-+=，12(1)133(1)1313nn nS⨯-==--，所以1111(31)[3(1)](31)()(3)33(3)33(3)323331113()(3)33(3)333[3(1)]3mm m n m n n mnnm m n m m n mmnnmS m m m mS m m mm++++ +++--+---+----⋅-===+< -------即(3)3233(3)33n mm n mmm+--⋅-<--，当3m=时，该不等式不成立，当3m≠时有233330133mnnmm⋅+--<--恒成立，当1m =时，19322n<<，1n =，这时1mn =，当2m =时，1321n <<，1,2n =，这时2mn =或4mn =，当4m ≥时，233330133m nn m m⋅+--<--不成立，所以mn 的所有可能取值为1或2或4. 考点：1.数列的递推公式；2.等差数列的定义与求和公式；3.不等式恒成立问题. 【名师点睛】本题考查数列的递推公式、等差数列的定义与求和公式、不等式恒成立问题，属难题；数列的递推公式一直是高考的重点内容，本题给出的递推公式非常复杂，很难看出其关系，但所要求的数列的和给出了我们解题思路，即在解题中强行构造数列{}13(1)n n a -+是解题的关键，然后根据不等式恒成立分类讨论求解，体现的应用所学数学知识去解决问题的能力. 二.选择题13.已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】“a＞1”⇒“11a ＜”，“11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”，由此能求出结果． 【详解】a∈R ，则“a＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a＞1或a ＜0”， ∴“a＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选：A ．【点睛】充分、必要条件三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．14.已知函数()2sin(2)6f x x π=+，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是( )A. 在[,]42ππ上是增函数B .其图象关于直线4x π=-对称C. 函数是奇函数D. 当[0,]3x π∈时，函数的值域是[1,2]-【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，()2sin[2()]2sin(2)2cos 2662g x x x x πππ=++=+=，A ：[,]42x ππ∈时，2[,]2x ππ∈，是减函数，故A 错误；B ：()2cos()042g ππ-=-=，故B 错误；C ：()g x 是偶函数，故C 错误；D ：[0,]3x π∈时，22[0,]3x π∈，值域为[1,2]-，故D 正确，故选D ． 考点：1．三角函数的图象变换；2．sin()y A x ωϕ=+的图象和性质．15.已知n N ∈，x ∈R ，则函数22()lim 2n n n x f x x +→∞-=-的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】讨论当|x |＞1，|x |＜1，当x ＝1时和当x ＝﹣1时，求出函数的极限即可得到f （x ）的解析式，画出图象得到正确选项.【详解】当|x |＞1时，2222121lim 22n n n n n n x x lim x x x x+→∞→∞--==---； 当|x |＜1时，222lim 22n n n n x lim x +→∞→∞--==--1；当x ＝1时，22lim 2n n n x x +→∞-=--1；当x ＝﹣1时，22lim 2n n n x x +→∞--不存在．∴f （x ）()()()21111111.x x x x x ⎧--⎪⎪==-⎨⎪--≤⎪⎩＞或＜无意义＜ ∴只有A 选项符合f （x ）大致图像， 故选A.【点睛】本题考查了函数解析式求解及函数图像的识别，考查了不同的取值范围时数列的极限问题，属于中档题．16.设M ，N 是抛物线2y x =上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线OM 与ON 的斜率之积为12-，则（ ） A. ||||42OM ON +≥B. O 到直线MN 的距离不大于2C. 直线MN 过抛物线2y x =的焦点D. MN 为直径的圆的面积大于4π【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，M ，N 可看作直线MN 与抛物线的交点,对直线MN 进行分类讨论，当直线MN 的斜率不存在时，设出M ，N 的坐标，可以求得M ，N 的坐标及直线MN 的解析式；当直线的斜率存在时，利用斜截式设出直线MN 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，推出直线MN 过定点()2,0，结合选项得出答案. 【详解】当直线MN 的斜率不存在时，设，由斜率之积为12-，可得20112y -=-，即202y =，∴MN 的直线方程为2x =； 当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，联立2y kx m y x=+⎧⎨=⎩，可得20ky y m -+=．设()1122(),,M x y N x y ，，则，∴121212OM ON y y k k k x x m ==-⋅=， 即2m k =-．∴直线方程为()22y kx k k x =-=-． 则直线MN 过定点()2,0．则O 到直线MN 的距离不大于2．故选B ．【点睛】圆锥曲线与方程是高考考查的核心之一，解题时不仅要掌握圆锥曲线的几何性质，还要重点掌握直线与圆锥曲线的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想，本题主要利用了设而不求的方法，在设直线方程时要注意斜率是否存在以进行分类讨论. 三.解答题17.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，且2a =． （1）若C=60°且b=1，求a 边的值；（2）当c2b=A 的大小． 【答案】（1）3；（2）A=π3【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角形的面积公式，化简可得sin a C =，又由60C =︒且1b =，即可求解；（2）由余弦定理及2a =，化简可得sin()16A π+=，即可求解A 的大小，得到答案．【详解】（1）由题意知2a =，可得21sinC 2b a a =⋅，∴sin a C =，又因为60C =︒且1b =，∴3a ==；（2）当2cb=+2b c ==∵2222cos b c A a bc ==+-，∴221sin 2cos 2bc A b c bc A ⋅=+-，即)222cos bc A A b c +=+，∴22πb c b c 4sin A 46bc c b +⎛⎫+==+= ⎪⎝⎭，得sin()16A π+=， ∵(0,)A π∈，∴7(,)666A πππ+∈，所以62A ππ+=，得3A π=．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18.函数23()log (28)f x x x =+-的定义域为A ，函数2()(1)g x x m x m =+++.（1）若4m =-时，()0g x ≤的解集为B ，求A B ；（2）若存在1[0,]2x ∈使得不等式()1g x ≤-成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(2,4]A B ⋂=；（2）1m ≤-. 【解析】 【分析】（1）求出集合A ，B ，由交集运算的定义，可得A ∩B ；（2）若存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式g （x ）≤﹣1成立，即存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式﹣m 211x x x ++≥+成立，得﹣m ≥（211x x x +++）min ，解得实数m 的取值范围．【详解】（1）由x 2+2x ﹣8＞0，解得：x ∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）， 故则函数f （x ）＝log 3（x 2+2x ﹣8）的定义域A ＝（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），若m ＝﹣4，g （x ）＝x 2﹣3x ﹣4，由x 2﹣3x ﹣4≤0，解得：x ∈[﹣1，4]，则B ＝[﹣1，4] 所以A ∩B ＝（2，4]； （2）存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式x 2+（m +1）x +m ≤﹣1成立，即存在102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式﹣m 211x x x ++≥+成立，所以﹣m ≥（211x x x +++）min因为211x x x ++=+x +111x +-+1≥1， 当且仅当x +1＝1，即x ＝0时取得等号 所以﹣m ≥1， 解得：m ≤﹣1．【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式，集合的交集，函数存在性问题，函数的最值，基本不等式的应用，难度中档．19.某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t (025)t <≤，GF 是圆的切线，且GF AD ⊥，曲线BC 是抛物线250y ax=-+(0)a>的一部分，CD AD⊥，且CD恰好等于圆E的半径.（1）若30CD=米，245AD=t与a 的值；（2）若体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围. 【答案】（1）20t=，149a=；（2）1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据抛物线方程求得()0,50B，从而可得半径，即50CD t=-，进而解得t；通过圆E 的方程求得A点坐标，从而得到C点坐标，代入抛物线方程求得a；（2）求解出C点坐标后，可知5075tDF ta=-+≤，可整理为162550att≥++，利用基本不等式可求得162550tt++的最大值，从而可得a的范围.【详解】（1）由抛物线方程得：()0,50B50BE t∴=-又BE，CD均为圆的半径50CD t∴=-，则503020t=-=∴圆E的方程为：()2222030x y+-=()105,0A∴245105145OD AD AO∴=-==，则()145,30C代入抛物线方程得：(230550a=-+，解得：149a=（2）由题意知，圆E半径为：50t-，即50CD t=-则C点纵坐标为50t-，代入抛物线方程可得：txa=tODa=5075DF t ∴=-≤，整理可得：()216252550t a t t t≥=+++ (]0,25t ∈62550t t∴+≥=（当且仅当25t =时取等号）1162510050t t ∴≤++ 1100a ∴≥即a 的取值范围为：1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数在实际生活中的应用问题，涉及到函数方程的求解、根据函数最值求解参数范围的问题，关键是能够通过分离变量的方式，得到所求变量和函数最值的关系，从而通过基本不等式求得最值，进而得到参数范围.20.已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,2M ，且右焦点为()2,0F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，交y 轴于点P ．若,PA mAF PB nBF ==，求证：m n +为定值；（3）在（2）的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值．【答案】（1）22184x y +=（2）见解析（3）163【解析】【详解】（1）由题意b=2，c=2，所以28a =，椭圆C 的方程为22184x y +=。

高三期中数学卷一.填空题1.已知角α的终边经过点(,6)P x -，且3tan 4α=-，则x 的值为_________【答案】8【解析】【分析】直接利用三角函数定义得到答案.【详解】角α的终边经过点(,6)P x -，63tan 84x x α-==-∴=故答案为：8【点睛】本题考查了三角函数的定义，属于简单题.2.函数y x=的定义域为_________【答案】[2,0)(0,2]- 【解析】【分析】定义域满足2400x x ⎧-≥⎨≠⎩，计算得答案.【详解】函数4x y x =的定义域满足2400x x ⎧-≥⎨≠⎩解得22x -≤≤且0x ≠故答案为：[2,0)(0,2]- 【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.3.已知幂函数()f x 存在反函数，且反函数1()f x -过点(2,4)，则()f x 的解析式是_________【答案】()f x =【解析】【分析】根据反函数性质得到函数()f x 过点(4,2)，代入幂函数得到答案.【详解】反函数1()f x -过点(2,4)，则函数()f x 过点(4,2)设幂函数()a f x x =代入点(4,2)得到12a =，解析式为()f x =故答案为：()f x =【点睛】本题考查了函数的解析式，待定系数法是常用的方法，需要熟练掌握.4.(1n -展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为_________【答案】56-【解析】【分析】通过二项式系数和计算得到8n =，再利用二项式定理展开得到答案.【详解】(1n 展开式的二项式系数之和为25682n n =∴=3188((1)r r rr rr T C C x+==-，当3r =时，3348(1)56T C x x=-=-故答案为：56-【点睛】本题考查了二项式定理，混淆二项式系数和系数是容易发生的错误.5.已知cos()63πα-=，则5cos()6πα+=_________【答案】【解析】试题分析：因为，cos()63πα-=，所以，5cos()cos[()]cos()666πππαπαα+=--=--=。

2020-2021上海川沙中学华夏西校高中必修三数学上期中第一次模拟试卷带答案一、选择题1．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +2．某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （C ︒）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表： 月平均气温x C ︒171382月销售量y （件）24334055由表中数据算出线性回归方程y bx a =+$$$中的2b =-$，气象部门预测下个月的平均气温为6C ︒，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）A ．58件B ．40件C ．38件D ．46件3．我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ( ) A ．45,75,15B ．45,45,45C ．45,60,30D ．30,90,154．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数为60；④分数在区间[)120,140的人数占大半．则说法正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④5．从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A．事件A与C互斥B．事件B与C互斥C．任何两个事件均互斥D．任何两个事件均不互斥6．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A．45B．35C．25D．157．执行如图的程序框图，则输出x的值是 ( )A．2018B．2019C．12D．28．A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生09之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：402978191925273842812479569683 231357394027506588730113537779则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为()A．14B．25C．710D．159．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．110B．35C．310D．2510．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k的值可以为A ．6B ．10C ．8D ．411．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到200住在第一营区，从201到500住在第二营区，从501到600住在第三营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）． A ．16，26，8B ．17，24，9C ．16，25，9D ．17，25，812．已知函数()cos3xf x π=，根据下列框图，输出S 的值为( )A ．670B ．16702C ．671D ．672二、填空题13．已知直线l 的极坐标方程为2sin()24πρθ-=A 的极坐标为7(22,)4π，则点A 到直线l 的距离为____．14．已知一组数据：87,,90,89,93x 的平均数为90，则该组数据的方差为______． 15．为了防止职业病，某企业采用系统抽样方法，从该企业全体1200名员工中抽80名员工做体检，现从1200名员工从1到1200进行编号，在115~中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从4660~这15个数中应抽取的数是__________．16．执行如图所示的程序框图,如果输入3n =，则输出的S 为 ________．17．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ．则点M 恰好取自阴影部分的概率是 ．18．如图，四边形ABCD 为矩形，3AB =，1BC =，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧»DE，在DAB ∠内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.19．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市的个数分别为4、12、8．若用分层抽样的方法抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市数为_________．20．甲、乙、丙三人进行传球练习，共传球三次，球首先从甲手中传出，则第3次球恰好传回给甲的概率是________．三、解答题21． 2.5PM 的值表示空气中某种颗粒物的浓度，通常用来代表空气的污染情况，这个值越高，空气污染越严重，下表是某城市开展“绿色出行，健康生活”活动，居民每天采用“绿色出行”的人数与 2.5PM 值的一组数据：2.5PM 的值y90 70 50 40 30 20 “绿色出行”的人数x （单位：万人） 124689（1）已知“绿色出行”的人数x 和 2.5PM 值y 有线性相关性，求y 关于x 的线性回归方程；（计算结果保留两位小数）（2）若某日“绿色出行”的人数为10万人，请预测该市 2.5PM 的值.（计算结果保留一位小数） 参考公式：1221ˆˆ,ni ii nii x y nx yba y bxxnx ==-⋅==--∑∑ 22．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数， 得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求 线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验； （Ⅰ）求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出 y 关于x 的线性回归方程 ；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人， 则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？附：对于一组数据11(,)u v ，2,2)u v （ ，…，（,)n n u v ，其回归直线V u αβ=+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为i 1i i i 12i n()(?)u )ˆ(n u u v u β==∑-=∑-nn ，ˆ-ˆu ανβ= . 23．我省某校要进行一次月考，一般考生必须考5门学科，其中语、数、英、综合这四科是必考科目，另外一门在物理、化学、政治、历史、生物、地理、英语2中选择.为节省时间，决定每天上午考两门，下午考一门学科，三天半考完.（1）若语、数、英、综合四门学科安排在上午第一场考试，则“考试日程安排表”有多少种不同的安排方法；（2）如果各科考试顺序不受限制；求数学、化学在同一天考的概率是多少？24．某学习小组在研究性学习中,对昼夜温差大小与绿豆种子一天内出芽数之间的关系进行研究.该小组在4月份记录了1日至6日每天昼夜最高、最低温度(如图1),以及浸泡的100颗绿豆种子当天内的出芽数(如图2).根据上述数据作出散点图,可知绿豆种子出芽数y (颗)和温差x (0C )具有线性相关关系. (1)求绿豆种子出芽数y (颗)关于温差x (0C )的回归方程y bx a =+$$$；(2)假如4月1日至7日的日温差的平均值为110C ,估计4月7日浸泡的10000颗绿豆种子一天内的出芽数.附：121()()()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑$1221ni ii nii x y nxyxnx ==-=-∑∑，a y bx =-$$25．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(]195,210内，则为合格品，否则为不合格品．如图是甲流水线样本的频数分布表和乙流水线样本的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估计乙流水线生产的产品该质量指标值的中位数； （2）若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（3）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？甲流水线 乙流水线 合计合格品 不合格品 合计附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82826．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学所需时间的范围是[]0100，，样本数据分组为)020⎡⎣，，)2040⎡⎣，，)4060⎡⎣，，)6080⎡⎣，，)80100⎡⎣，．(1)求直方图中x 的值；(2)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若该学校有600名新生，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；(3)由频率分布直方图估计该校新生上学所需时间的平均值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210.........1101010y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数据1210,,,y y y L 的方差为2144⨯=，综上故选A. 考点：样本数据的方差和平均数．2．D解析：D 【解析】试题分析：由表格得(),x y 为：()10,38，因为(),x y 在回归方程y bx a =+$$$上且2b =-$，()38102a ∴=⨯-+，解得58a =∴2ˆ58y x =-+，当6x =时，26ˆ5846y=-⨯+=，故选D. 考点：1、线性回归方程的性质；2、回归方程的应用.3．C解析：C 【解析】因为共有学生2700，抽取135，所以抽样比为1352700，故各年级分别应抽取135900452700⨯=，1351200602700⨯=，135600302700⨯=，故选C. 4．B解析：B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，根据频率分布直方图的性质得10(0.0200.0160.0160.0110.006)1m +++++=，解得0.031m =.故①正确；因为不低于140分的频率为0.011100.11⨯=，所以11010000.11n ==，故②错误；由100分以下的频率为0.00610=0.06⨯，所以100分以下的人数为10000.06=60⨯， 故③正确；分数在区间[120,140)的人数占0.031100.016100.47⨯+⨯=，占小半.故④错误. 所以说法正确的是①③. 故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5．B解析：B 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义，逐个判断，即可得出正确选项． 【详解】A 为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，B 为三件产品全是次品，C 为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件由此知：A 与B 是互斥事件；A 与C 是包含关系，不是互斥事件；B 与C 是互斥事件，故选B ． 【点睛】本题主要考查互斥事件定义的应用． 6．C解析：C 【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项. 考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.7．D解析：D 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，当2019y = 时，不满足条件退出循环，输出x 的值即可得解．【详解】解：模拟执行程序框图，可得2,0x y ==.满足条件2019y <，执行循环体，1,1x y =-=；满足条件2019y <，执行循环体，1,22x y == ； 满足条件2019y <，执行循环体，2,3x y ==；满足条件2019y <，执行循环体，1,4x y =-= ； …观察规律可知，x 的取值周期为3，由于20196733⨯＝，可得： 满足条件2019y <，执行循环体，当2,2019x y == ,不满足条件2019y <，退出循环，输出x 的值为2． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x 的值是解题的关键．8．D解析：D 【解析】 【分析】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有可以通过列举得到共4组随机数，根据概率公式，得到结果． 【详解】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数， 在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有，可以通过列举得到共5组随机数：978，479、588、779，共4组随机数， 所求概率为41205=， 故选D ． 【点睛】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．9．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数n=5×5=25， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=102.255= 故答案为D ．10．C解析：C 【解析】 【分析】执行如图所示的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，根据选项即可得到答案. 【详解】由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知： 第一循环：134,2146n S =+==⨯+=； 第二循环：437,26719n S =+==⨯+=； 第三循环：7310,2191048n S =+==⨯+=， 要使的输出的结果为48，根据选项可知8k =，故选C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的计算与输出问题，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.11．D解析：D 【解析】 【分析】由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，从而求出三个营区被抽中的人数. 【详解】由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，记为{},n a n N +∈，其中13a =，公差12d =，则第n 个号()11129n a a n d n =+-=-.令200n a ≤，即5129200,1712n n -≤∴≤，所以第一营区抽17人； 令500n a ≤，即5129500,4212n n -≤∴≤，所以第二营区抽421725-=人； 三个营区共抽50人，所以第三营区抽5017258--=人.故选： D . 【点睛】本题考查系统抽样，属于基础题.12．C解析：C 【解析】 【分析】根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n 值，再根据余弦函数的周期性计算即可. 【详解】由程序框图知：第一次运行()11cos 32f π==，10.1122S n =+=+=； 第二次运行()212cos32f π==-，12S =，213n =+=， 第三次运行()3cos 1f π==-，12S =，314n =+=， 第四次运行()414cos 32f π==-，12S =，415n =+=， 第五次运行()515cos32f π==，1S =，6n =， 第六次运行()6cos21f π==，2S =，7n =， 直到2016n =时，程序运行终止，Q 函数cos3n y π=是以6为周期的周期函数，201563355=⨯+， 又()()2016cos336cos 21381f ππ==⨯=，∴若程序运行2016次时，输出2336672S =⨯=， ∴程序运行2015次时，输出33621671S =⨯-=．故选C ． 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．二、填空题13．【解析】直线的直角坐标方程为点的直角坐标为所以点到直线的距离为解析：2【解析】直线l 的直角坐标方程为1y x -= ，点A 的直角坐标为(2,2)- ，所以点A 到直线l 的距=. 14．【解析】该组数据的方差为 解析：4【解析】8790899390591x x ++++=⨯∴=该组数据的方差为222221[(8790)(9190)(9090)(8990)(9390)]45-+-+-+-+-=15．52【解析】由题意可知抽取的人数编号组成一个首项为7公差为15的等差数列则从这个数中应抽取的数是：故答案为52解析：52 【解析】由题意可知，抽取的人数编号组成一个首项为7，公差为15的等差数列， 则从4660~这15个数中应抽取的数是：715352+⨯=. 故答案为 52．16．【解析】【分析】根据框图可知该程序实现了对数列求和的功能输入时求【详解】根据框图可知执行该程序实现了对数列求和当时故填【点睛】本题主要考查了程序框图裂项相消法求和属于中档题解析：37【解析】 【分析】根据框图可知，该程序实现了对数列1(21)(21)n a n n =-+ 求和的功能，输入3n =时，求3S .【详解】根据框图可知，执行该程序，实现了对数列1(21)(21)n a n n =-+ 求和，当3n =时，3111111111=++=1)133557233557S -+-+-⨯⨯⨯（ 1131)277-=（， 故填37. 【点睛】本题主要考查了程序框图，裂项相消法求和，属于中档题.17．【解析】试题分析：根据题意正方形的面积为而阴影部分由函数与围成其面积为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为考点：定积分在求面积中的应用几何概型点评:本题考解析：【解析】试题分析：根据题意，正方形的面积为而阴影部分由函数与围成，其面积为，则正方形中任取一点,点取自阴影部分的概率为.则正方形中任取一点，点取自阴影部分的概率为考点：定积分在求面积中的应用几何概型点评:本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积.18．【解析】【分析】连接可求得满足条件的事件是直线AP与线段BC有公共点根据几何概型的概率公式可得【详解】连接如图所示所以满足条件的事件是直线AP在∠CAB内且AP与BC相交即直线AP与线段BC有公共点解析：1 3【解析】【分析】连接AC，可求得CAB∠，满足条件的事件是直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型的概率公式可得CAB PDAB∠=∠.【详解】连接AC，如图所示，3tanCBCABAB∠==，所以π6CAB∠=，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内且AP与BC相交，即直线AP与线段BC有公共点，所以所求事件的概率π16π32CABPDAB∠===∠.故答案为：1 3 .【点睛】本题考查几何概型的概率计算，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题.19．3【解析】分析：根据分层抽样的方法各组抽取数按比例分配详解：根据分层抽样的方法乙组中应抽取的城市数为点睛：本题考查分层抽样概念并会根据比例关系确定各组抽取数解析：3【解析】分析：根据分层抽样的方法，各组抽取数按比例分配.详解：根据分层抽样的方法，乙组中应抽取的城市数为126=34+12+8⨯.点睛：本题考查分层抽样概念，并会根据比例关系确定各组抽取数.20．【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；则共有8种传解析：1 4【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；则共有8种传球方法．记求第3次球恰好传回给甲的事件为A，可知共有两种情况，，而总的事件数是8，∴P(A)=28=14.故答案为1 4点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.三、解答题21．（1）^7.8889.42y x=-+；（2）10.6.【解析】 【分析】（1）根据题意，分别求出,x y ，利用参考公式，求出^b 和^a ，即可得出y 关于x 的回归方程；（2）根据回归方程，可预测出当10x =时，该市 2.5PM 的值. 【详解】 解：（1）1246899070504030205,5066x y ++++++++++====，^222222219027045064083092065504107.881246896552b ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==-≈-+++++-⨯，^41050()589.4252a =--⨯≈ ，所以线性回归方程为^7.8889.42y x =-+， （2）当10x =时，代入^7.8889.42y x =-+，^7.881089.4210.6y =-⨯+≈，所以某日“绿色出行”的人数为10万人时，该市 2.5PM 的估计值为10.6 . 【点睛】本题考查线性回归方程以及由线性回归方程估计其他值. 22．(1)1().3P A =(2)183077y x =-.(3)小组所得线性回归方程是理想的. 【解析】 【分析】 【详解】（Ⅰ）设抽到相邻两个月的数据为事件A ，因为从6组数据种选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以()51.153P A == （Ⅱ）由数据求得11,24x y ==由公式求得187b =，再由a y bx =-求得307a =所以y 关于x 的线性回归方程为183077y x =- （Ⅲ）当10x =时，1501504,222777y =-=< 同样，当6x =时，78786,122777y =-=< 所以，该小组所得线性回归方程是理想的.点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,n niiii i x y x x y==∑∑的值；③计算回归系数$,a b$；④写出回归直线方程为$ˆy bxa =+$； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势. 23．（1）120960；（2）211. 【解析】 【分析】（1）分布计算出语、数、英、综合四门学科安排在上午第一场和其余7门学科的安排方法，根据分步乘法计数原理计算可得结果；（2）分别计算出所有安排方法和数学、化学在同一天考的安排方法的种数，根据古典概型概率公式计算可得结果. 【详解】（1）语、数、英、综合四门学科安排在上午第一场，共有4424A =种排法； 其余7门学科共有775040A =种排法，∴“考试日程安排表”共有504024120960⨯=种不同的安排方法.（2）各科考试顺序不受限制时，共有1111A 种安排方法；数学和化学在同一天考共有：2912929339A A C A A +种安排方法，∴数学、化学在同一天考的概率291292933911112362111011A A C A A P A ++⨯===⨯. 【点睛】本题考查排列组合计数问题、古典概型概率问题的求解，涉及到分类加法和分步乘法计数原理的应用，考查学生的分析和解决问题的能力.24．(1) $11942y x =+ (2) 5125颗. 【解析】 【分析】（1）根据题中信息，作出温差()xC o与出芽数y （颗）之间数据表，计算出x 、y ，并将表格中的数据代入最小二乘法公式计算出b$和$a ，即可得出回归直线方程； （2）将4月1日至7日的日平均温差代入回归直线方程，可得出100颗绿豆种子的发芽数，于是可计算出10000颗绿豆种子在一天内的发芽数。