上海市进才中学高三月考三暨期中考试(理科)数学试题

上海市2020年〖人教版〗高考复习试卷 创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会 创作单位： 明德智语学校第三次月考试卷数学理科一.选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.集合A={x|220x x ->}，集合B 是函数y=lg （2﹣x ）的定义域，则A ∩B=( )A ．（﹣∞，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，+∞） 2.曲线x y e =在点A （0，1）处的切线斜率为( )A ．2B ．1C ．eD ．3.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．1y x =+B ．()21y x =-C ．2x y -=D ．()0.5log 1y x =+ 4.函数()()2ln 1f x x =+的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．5.已知，那么cos α=( ) A ． B ． C ． D ．6.平行四边形ABCD 中，()1,0AB =,()1,2AD =，则AC BD 等于（ ）()23,x f x x =+- A ． -4 B ． 4 C ． 2 D ． ﹣27.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，则f(x)的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若c 2＝(a －b)2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.332 C.932 D ．3 39.给出如下四个命题： ①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若a ＞b ，则2a ＞2b﹣1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b ﹣1”；③“∀x ∈R ，x 2+1≥1”的否定是“∃x ∈R ，x 2+1≤1；④在△ABC 中，“A ＞B ”是“sinA ＞sinB ”的充要条件．其中不正确的命题的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 10.函数f （x ）=sin （ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sin ωx 的图象，只需把y=f （x ）的图象上所有点( )个单位长度．A ．向右平移B ．向右平移C ．向左平移D ．向左平移11.已知向量=(3，4)，=5，|﹣|=2，则||=( ) A ．5 B ．25 C ．2 D ．12. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x2＋1，x>0，cos x ， x≤0，则下列结论正确的是( )A ．f(x)是偶函数B ．f(x)是增函数C ．f(x)是周期函数D ．f(x)的值域为[－1，＋∞)二.填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.若函数()()sin x θ=+f x （ ）的图象关于直线6x π=对称，则θ= 14.若函数在(]0,1上单调递增，那么实数的取值范围是 15. 设向量=（4，1），=（1，﹣cos θ），若∥，则cos θ=．16.已知函数f （x ）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f （x ）的导函数y=f ′（x ）的图象如图所示．下列四个命题： ①函数f （x ）的极大值点为2； ②函数f （x ）在[2，4]上是减函数；③如果当[],5x m ∈时，f （x ）的最小值是﹣2，那么m 的最大值为4；④函数y=f （x ）﹣a （a ∈R ）的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤） x ﹣1 0 4 5 f （x ） ﹣1 ﹣2 ﹣2 ﹣117．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a>c.已知BA →·BC →＝2，cosB ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值；(2)cos(B －C)的值． 18.（本小题满分12分）已知函数,. (Ⅰ)求函数的最小正周期; (Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值. 19.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)当k ＝－115时，求(AB →－k OC →)·OC →的值． 20.（本小题满分12分）已知△ABC 中，角A 为锐角，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.设向量m ＝(cos A ，sin A)，n ＝(cos A ，－sin A)，且m 与n 的夹角为π3. (1)计算m n 的值并求角A 的大小；(2)若a ＝7，c ＝3，求△ABC 的面积S.21．（本小题满分12分） 已知函数()ln (0).a f x x a x =+>(1)求()f x 的单调区间；(2)如果P( x 0，y 0)是曲线y=()f x 上的点，且x 0∈(0，3)，若以P( x 0，y 0)为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的最小值．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示, PA 为圆O 的切线, A 为切点,两点，于交圆C B O PO ,20PA =，10,PB =BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .（I ） 求证AB PC PA AC ⋅=⋅（II ） 求AD AE ⋅的值.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是2sin()333πρθ+=，射线:3OM πθ=（ρ≥0）与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲已知函数()|21|,()||f x x g x x a =+=+（I ）当a=0时，解不等式()()f x g x ≥；（II ）若存在x ∈R ，使得f （x ）≤g （x ）成立，求实数a 的取值范围．答案一.选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）ABAAC BCBCA DD二.填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.3πθ= 14.[)1,-+∞ 15.14-16.①②③④ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）17.解 (1)由BA →·BC →＝2，得c·acos B ＝2.又cosB ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2accosB. 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ ac ＝6，a2＋c2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.因为a>c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sinB ＝1－cos2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223， 由正弦定理，得sinC ＝c b sinB ＝23×223＝429. 因为a ＝b>c ，所以C 为锐角．因此cosC ＝1－sin2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4292＝79. 于是cos(B －C)＝cosBcosC ＋sinBsinC ＝13×79＋223×429＝2327 18.解 (Ⅰ)()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=42sin 22cos 2sin πx x x x f , 所以,()f x 的最小正周期22T ππ==. (Ⅱ)因为()f x 在区间[,]48ππ-上是增函数,在区间[,]84ππ上是减函数,又28,14=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf f ,14=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf , 故函数()f x 在区间[,]44ππ-最小值为1-. 19．解：(1)由题意，得AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4)．故所求两条对角线的长分别为4 2，2 10.(2)∵OC →＝(－2，－1)，AB →－k OC →＝(3＋2k ，5＋k)，∴(AB →－k OC →)·OC →＝(3＋2k ，5＋k)·(－2，－1)＝－11－5k.∵k ＝－115，∴(AB →－k OC →)·OC →＝－11－5k ＝0. 20．解：(1)∵|m|＝cos2A ＋sin2A ＝1，|n|＝cos2A ＋（－sin A ）2＝1，∴m·n ＝|m|·|n|·cos π3＝12. ∵m ·n ＝cos 2A －sin 2A ＝cos 2A ，∴cos 2A ＝12. ∵0<A<π2，∴0<2A<π， ∴2A ＝π3，∴A ＝π6. (2)方法一：∵a ＝7，c ＝3，A ＝π6，且a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，∴7＝b 2＋3－3b ，解得b ＝－1(舍去)或b ＝4，故S ＝12bcsin A ＝3. 方法二：∵a ＝7，c ＝3，A ＝π6，且a sin A ＝c sin C， ∴sin C ＝csin A a ＝32 7. ∵a>c ， ∴0<C<π6，∴cos C ＝1－sin2C ＝52 7. ∵sin B ＝sin(π－A －C)＝sin π6＋C ＝12cos C ＋32sin C ＝27， ∴b ＝asin B sin A ＝4，故S ＝12bcsin A ＝3. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲（1）∵PA 为圆O 的切线,,PAB ACP ∴∠=∠又P ∠为公共角, PCA PAB ∆∆∽AB PA AC PC ∴=. ……………………4分（2）∵PA 为圆O 的切线,BC 是过点O 的割线,2,PA PB PC ∴=⋅ 40,30PC BC ∴== 又∵022290,900CAB AC AB BC ∠=∴+== 又由（1）知12AB PA AC AB AC PC ==∴==,连接EC ,则,CAE EAB ∠=∠ADB ACE ∆∆∽，则AC AD AE AB =，∴AD AE AB AC 65125360⋅=⋅=⨯=. ------10分23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲故min 11()()22h x h =-=-，从而所求实数a 的范围为21-≥a --------10分创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会 创作单位： 明德智语学校。

进才中学2018-2019学年度第二学期高三年级3月月考数学试题一、填空题1.若集合{}{}，＜，2|31|x x B x x A =≤≤=则=B A _________. 2.方程23log log 3=+x x 的解是=x ________.4.若圆锥的侧面积为2π,底面积为π,则该圆锥的体积为_________.5.若关于y x 、的方程组⎩⎨⎧=-+=-+02401ay x y ax 有无数多组解,则实数=a ________.6.若()*1N n x x n ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式中各项系数的和等于64,则展开式中3x 的系数是________. 7.设n m 、分别为连续两次娜骰子得到的点数,且向量()()，，，，11-==b n m a 则a 与b 的夹角为锐角的概率是_______.8.已知函数()，x xx f --=2019若对任意的R x ∈都有()()，＜02ax f a x f ++则实数a 的取值范围是________. 9.已知实数，＞1m 实数y x 、满足不等式，⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥12y x x y x y 若有目标函数my x z +=的最大值等于3，则m 的值是_________.10.在△4BC 中,()，02=⋅-则角A 的最大值为_______(结果用反三角形式表示). 1l.已知数列{}n a 是首项为1,公差为m 2的等差数列,其前n 项和为，n S 设 ()，*2N n n S b n n n ∈⋅=若数列{}n b 是递减数列,则m 的取值范围是__________.12.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤+--++=03012x ax x x x a x x f ，＞，的最小值为，1+a 则实数a 的取值范围是_____. 二、选择题13.若，，R b a ∈则“22b a ＞”是“b a ＞”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.设n m l 、、表示三条直线,γβα、、表示是三个平面,给出下列四个命题：①若，，αα⊥⊥m l 则；∥m l②若n m ，β⊂是l 在β内的射影,，l m ⊥则；n m ⊥③若，∥，n m m β⊂则；∥αn④若，，γβγα⊥⊥则.βα∥其中真命题为A.①②B.①②③C.②③④D.①③④15.已知双曲O y x C ，13:22=-为坐标点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N,若△OMN 为直角三角形,则MN 的值为 A.23 B.3 C.32 D.4 16.已知集合(){}，，1|≤+=y x y x M 若实数对()μλ，满足:对任意的()，，M y x ∈都有 ()，，M y x ∈μλ则称()μλ，是集合M 的“嵌入实数对”，则以下集合中,不存在集合M 的 “嵌入实数对”的是A.(){}2|=-μλμλ，B.(){}232|22=+μλμλ，C.(){}2|22=-μλμλ，D.(){}2|22=+μλμλ， 三、解答题17.如图,PA ⊥平面ABCD,四边形ABCD 为矩形,PA=AB=1,AD=2,点F 是PE 的中点,点E 在边BC 上移动.(1)求三棱锥PAD E -的体积；(2)证明:无论点E 在边BC 的何处,都有AF⊥PE .18.已知函数()()0sin 3＞ωωx x f =的部分图像如图所示,P 、Q 分别是图像上相邻的一个最高点和最低点，R 为图像与x 轴的交点,且四边形OQPR 为矩形.(1)求点P 的坐标并求()x f 解析式；(2)将()x f y =的图像向右平移21个单位长度后,得到函数()x g y =图像,已知: ()，，，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=252333ααg 求()αf 的值.19.某通讯公式生产某款手机的年固定成本为40万美元,每生产1只还需另投入16美元,设通讯公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完,每万只的销售收入为()x R 万美元，且().4040000740040064002⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=＞，＜，x x xx x x R (1)写出年利润w (万美元)关于年产量x (万只)的函数解析式；(2)当年产里为多少万只时,该通讯公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.20.如图，由半圆()00222＞，r y r y x ≥=+和部分抛物线()()0012＞，a y x a y ≥-=合成的曲线C 称为“羽毛球开线”,曲线C 与x 轴有A 、B 两个焦点,且经过点().32，(1)求r a 、的值；(2)设()，，20N M 为曲线C 上的动点，求MN 的最小值；(3)过A 且斜率为k 的直线l 与“羽毛球形线”相交于点P 、A 、Q 三点,问是否存在实数，k 使得∠QBA=∠PBA?若存在,求出k 的值；若不存在,请说明理由。

上海市进才中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．函数()log 1xa f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A ．()1,10B ．()1,+∞C ．()0,1D ．()10,+∞ 2． 两个随机变量x ，y 的取值表为x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7若x ，y 具有线性相关关系，且y ^＝bx ＋2.6，则下列四个结论错误的是（ ）A ．x 与y 是正相关B ．当y 的估计值为8.3时，x ＝6C ．随机误差e 的均值为0D ．样本点（3，4.8）的残差为0.653． 如图是某几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．32D ．334． 设集合3|01x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,集合(){}2|220B x x a x a =+++>,若 A B ⊆,则的取值范围 （ ）A ．1a ≥B ．12a ≤≤ C.a 2≥ D ．12a ≤< 5． 设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若633S S =，则96SS =（ ） A ．2 B ．73 C.83D ．3 6． 若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自然数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 7． 已知函数f （x ）=sin 2（ωx ）﹣（ω＞0）的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为（ ）A ．πB ．C ．D ．8． 给出下列结论：①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行； ③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9． 已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 10．已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2，则()=2016f （ ）A 、-12B 、-16C 、-20D 、0 11．若等边三角形ABC 的边长为2，N 为AB 的中点，且AB 上一点M 满足CM xCA yCB =+， 则当14x y+取最小值时，CM CN ⋅=（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 12．已知抛物线C ：y x 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FQ PF 2=，则=QF （ ） A ．6B ．3C ．38D ．34 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．设x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2x ﹣3y 的最小值是 ．14．在正方形ABCD 中，2==AD AB ,N M ,分别是边CD BC ,上的动点，当4AM AN ⋅=时，则MN 的取值范围为 ．【命题意图】本题考查平面向量数量积、点到直线距离公式等基础知识，意在考查坐标法思想、数形结合思想和基本运算能力．15．已知过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 的直线交双曲线于,A B 两点，连结11,AF BF ，若1||||AB BF =，且190ABF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）A ．5-BC ．6- D【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．16．抛物线24x y =的焦点为F ，经过其准线与y 轴的交点Q 的直线与抛物线切于点P ，则FPQ ∆ 外接圆的标准方程为_________.三、解答题（本大共6小题，共70分。

上海市进才中学2023-2024学年高三下学期3月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、单选题13．已知a b g ，，是三个不同的平面，m n a g b g ==I I ，，则“//m n ”是“//a b ”的（ ）条件.A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既非充分又非必要14．垃圾分类是保护环境，改善人居环境促进城市精细化管理保障可持续发展的重､､要举措.某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾x （千克）所需的费用y （角）的情况作了调研，并统计得到下表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为0.70.4y x =+，则下列说法错误的是（ ）因为()()f m g m =，所以e ln m m m m -=-，即l e 2n 0m m m -+=，令()()f x b f m ==得e ln e x m x m m m -=-=-，解得x m =或ln x m =，由01m <<，得ln 0m m <<，令()()g x b f m ==得ln e ln m x x m m m -=-=-，解得x m =或e m x =，由01m <<，得1e m m <<，所以当直线y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为ln m ，m ，e m ，因为l e 2n 0m m m -+=，所以ln 2e m m m +=，所以ln m ，m ，e m 成等差数列．\存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【点睛】关键点点睛：本题第三问关键点是找到两函数的交点对应的相关等式，才能求出3个交点时的横坐标.。

2023学年第一学期期中教学评估高三数学试卷（答案在最后）考试时间：120分钟试卷满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一．填空题（共54分，1-6题4分，7-12题5分）1.已知集合{}0,1,2,3A =，(){}40B x x x =-<，则A B ⋃=______.2.若1i 1i ()z -=+，则||z =__________．3.已知平面向量a ，b 的夹角为π4，若1,2a a b =-= ，则b 的值为____________.4.若α是第三象限角，且()()5sin cos sin cos 13αβββαβ+-+=-，则tan α等于_____.5.已知向量()()()1,0,1,1,1,2a b c ===-，且c a b λμ=+，则λμ+=__________.6.在一条直行道路上的十字路口，每次亮绿灯的时长一般为15s ，那么，每次绿灯亮时，请问:会有_________，________等因素会影响在该段时间内，车辆通过的数量.7.若直线()1y k x =-与曲线e xy =相切，则k 的值为___________.8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34114,14S a a =-=，则5a=__________.9.设圆222220x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B两点，若AB =，则直线l 的方程为___________.10.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O的表面上，若12π3AB AC AA BAC ∠====，则球O 的体积为__________.11.已知曲线C：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为.12.已知函数ln xf x x （）=，若关于x 的方程2[()()10f x af x a ]++-=，有且仅有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是______．二．选择题（共18分，13.14每题4分，15.16题每题5分）13.已知23,38xy==，则（）A.32x >B.32y <C.3xy =D.x y +>14.某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下：上市时间x 天41036市场价y 元905190根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系（）A.y ax b =+B.2y ax bx c =++C.log b y a x=⋅ D.x y k a =⋅；15.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在区间[]12，上是减函数，令12121ln2log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则()()()f a f b f c ，，的大小关系为（）A.()()()f b f c f a <<B.()()()f a f c f b <<C.()()()f c f b f a << D.()()()f c f a f b <<16.如图，己知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，4=AD ，90ABC ∠= ，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB BC ===，下列说法正确的是（）A.PB 与CD 所成的角是30B.平面PCD 与平面PBA 所成的锐二面角余弦值是63C.PB 与平面PCD 所成的角的正弦值是36D.M 是线段PC 上动点，N 为AD 中点，则点P 到平面BMN 距离最大值为433三．简答题（共78分，14+14+14+18+18）17.在数列{}n a 中，4m a =，32m a +=-，其中m 为给定的正整数，{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等比数列，1m =，求13a ；（2）若{}n a 为等差数列，是否存在正整数m ，使得130S =？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.18.如图，三棱锥P ﹣ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，PA ＝PB ＝PC ，且M ，N 分别为线段AB ，PC 的中点．（1）若点K 是线段PM 的中点，求证：直线//NK 平面ABC ；（2）求证：平面P C M ⊥平面ABC ．19.在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且sin(2)sin sin A B B A +=-.（1）求C 的大小；（2）若CD 平分ACB ∠交AB 于D 且3CD =ABC 面积的最小值.20.在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆22145:204C x y x ++-=内切，且与圆2223:204C x y x +-+=外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E ．（1）求轨迹E 的方程；（2）不过圆心2C 且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于A ，M 两个不同的点，连接2AC 交轨迹E 于点B （i ）若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；（ii ）若过圆心1C 的直线交轨迹E 于D ，G 两个不同的点，且AB DG ⊥，求四边形ADBG 面积的最小值．21.已知函数()e 1xf x x =-，()()lng x a x x =+．（1）若2a =，证明：()42g x x ≤-；（2）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求正实数a 的值；（3）证明：()2e 2ln 2sin xxx x x >++．2023学年第一学期期中教学评估高三数学试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一．填空题（共54分，1-6题4分，7-12题5分）1.已知集合{}0,1,2,3A =，(){}40B x x x =-<，则A B ⋃=______.【答案】{}04x x ≤<【解析】【分析】对集合(){}40B x x x =-<解一元二次不等式，取并集即可.【详解】∵(){}{}4004B x x x x x =-<=<<，∴{}04A B x x ⋃=≤<.2.若1i 1i ()z -=+，则||z =__________．【答案】1【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简复数z ，再求出其模.【详解】因为1i 1i ()z -=+，所以()()()221i 1i 12i i i 1i 1i 1i 2z ++++====--+，所以||1z =.故答案为：13.已知平面向量a ，b 的夹角为π4，若1,2a a b =-= ，则b 的值为____________.【答案】【解析】【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算律，代入计算，即可得到结果.【详解】由2a b -=r r ()2210a b-= ，222π44441cos 104a ab b b b -⋅+=-⨯⨯⋅+= ，(260,0b b b b --=-=，解得b =故答案为：4.若α是第三象限角，且()()5sin cos sin cos 13αβββαβ+-+=-，则tan α等于_____.【答案】512【解析】【分析】利用差角的正弦公式将已知条件化简后求出sin α，再利用平方关系求出cos α，进而求出tan α.【详解】 ()()5sin cos sin cos 13αβββαβ+-+=-，∴()5sin sin 13αββα+-==-⎡⎤⎣⎦，α是第三象限角，∴12cos 13α==-，∴sin 5tan cos 12ααα==.故答案为：512.5.已知向量()()()1,0,1,1,1,2a b c ===- ，且c a b λμ=+，则λμ+=__________.【答案】1-【解析】【分析】先求得c a b λμ=+的坐标，再利用向量相等求解.【详解】解：因为()()1,0,1,1a b==，所以()c a b λμλμμ=+=+，，又因为()1,2c =-，所以1,2,λμμ+=-⎧⎨=⎩解得3,1λλμ=-∴+=-．故答案为：1-6.在一条直行道路上的十字路口，每次亮绿灯的时长一般为15s ，那么，每次绿灯亮时，请问:会有_________，________等因素会影响在该段时间内，车辆通过的数量.【答案】①.车长②.车速【解析】【分析】由题意求出一辆车通过该路段所需时间表达式，看表达式主要与哪些量有关即可.【详解】设式子路口的宽度、车长、车速为m,m,m /s d l v ，则若车辆在15s 内能够通过该式子路段，需要满足215d lt v+=≤，因此在该段时间内，车辆通过的数量可能会受到车长、车速等因素的影响.故答案为：车长，车速.7.若直线()1y k x =-与曲线e x y =相切，则k 的值为___________.【答案】2e 【解析】【分析】设切点为()00,x y ，利用导数的几何意义结合条件即得.【详解】设切点为()00,x y ，则00e xy =，()001y k x =-，e x y '= ，0e x k ∴=，()000e e 1x x x ∴=-，所以02x =，2e k =.故答案为：2e .8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34114,14S a a =-=，则5a =__________.【答案】32【解析】【分析】利用等比数列通项公式11n n a a q -=⋅将4114a a -=化简，再利用等比数列前n 项和的性质将3S 化为123a a a ++，两式联立解方程即可.【详解】设该数列的公比为q ，则()()()()23123132411111411114S a a a a q q a a a q a q q q ⎧=++=++=⎪⎨-=-=++-=⎪⎩，解得12,2q a ==，则45132a a q =⋅=.故答案为：32.9.设圆222220x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B两点，若AB =，则直线l 的方程为___________.【答案】0x =或34120x y +-=【解析】【分析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，求出A ，B两点的坐标，再判断AB =是否成立，当直线l 的斜率存在时，设直线:3l y kx =+，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，弦和半径的关系列方程可求出k ，从而可求出直线方程【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，由2202220x x y x y =⎧⎨+---=⎩，得01x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或01x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，此时AB =.当直线l 的斜率存在时，设直线:3l y kx =+，因为圆222220x y x y +---=的圆心(1,1)C ，半径2r =，所以圆心C 到直线l的距离d ==.因为2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以222341k k ++=+，解得34k =-，所以直线l 的方程为334y x =-+，即34120x y +-=.综上，直线l 的方程为0x =或34120x y +-=.故答案为：0x =或34120x y +-=10.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O的表面上，若12π3AB AC AA BAC ∠====，则球O 的体积为__________.【答案】3【解析】【分析】根据正余弦定理可得ABC 的外接圆半径，然后根据球的性质结合条件可得球的半径，再利用球的体积公式即得.【详解】因为2π3AB AC BAC ∠===，所以2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠133232⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，即3BC =，所以ABC 的外接圆半径为12sin BCr BAC∠=⋅=，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA =，设球O 的半径为R ，则R ==因此球O 的体积为34205ππ33V R ==．故答案为：205π3.11.已知曲线C ：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为.【答案】[2,3]【解析】【详解】故答案为[2,3].12.已知函数ln xf x x（）=，若关于x 的方程2[()()10f x af x a ]++-=，有且仅有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是______．【答案】(,1e)-∞-【解析】【分析】首先利用导函数求f x （）的单调性，作出函数的大致图象，将方程解得问题转换成交点问题即可求解出答案．【详解】解：因为()ln x f x x=，则'2ln 1()(ln )x f x x -=，当01x <<或1e x <<时，()0f x '<，当e x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在()0,1和(1,e)上单调递减，在(e,)+∞上单调递增，且当0x →时，()0f x →，(e)e f =，故f x （）的大致图像如图所示：关于x 的方程2[()()10f x af x a ]++-=等价于[()1()1]0f x f x a ][++-=，即()1f x =-或()1f x a =-，由图可得，方程()1f x =-有且仅有一解，则()1f x a =-有两解，所以1e a ->，解得1a e <-，故答案为：(,1e)-∞-二．选择题（共18分，13.14每题4分，15.16题每题5分）13.已知23,38x y ==，则（）A.32x >B.32y <C.3xy = D.x y +>【答案】ACD 【解析】【分析】根据指数与对数的互化，求出,x y ，再根据指数的运算，结合换底公式与基本不等式逐个选项判断即可.【详解】由题意，23log 3,log 8x y ==.对A ，222233log 32log 33log 9log 822x >⇔>⇔>⇔>，成立，故A 正确；对B ，333333log 82log 83log 64log 2722y <⇔<⇔<⇔<，不成立，故B 错误；对C ，232lg 3lg8lg8log 3log 8log 83lg 2lg 3lg 2xy ⨯=⨯====，成立，故C 正确；对D ，因为3xy =，故x y +≥=，当且仅当x y ==x y ≠，故x y +>，成立，故D 正确；故选：ACD14.某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下：上市时间x 天41036市场价y 元905190根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系（）A.y ax b =+B.2y ax bx c =++C.log b y a x =⋅D.x y k a =⋅；【答案】B 【解析】【分析】由题意观察出y 随x 的变化趋势，对比函数单调性即可得解.【详解】∵随着时间x 的增加，y 的值先减后增，而三个函数中y ax b =+、log b y a x =、x y k a =⋅显然都是单调函数，不满足题意，∴选择2y ax bx c =++．故选：B.15.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在区间[]12，上是减函数，令12121ln2log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则()()()f a f b f c ，，的大小关系为（）A.()()()f b f c f a <<B.()()()f a f c f b <<C.()()()f c f b f a <<D.()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】【分析】由已知得出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，这样得出函数在[1,2]上是减函数，再由奇函数得出在[1,1]-上是增函数，利用奇函数得(0)0f =，从而得出(2)0(0)f ==，确定,,a b c 的值或范围后利用单调性可比较大小．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数且满足()()2f x f x +=-，(2)()()f x f x f x +=-=-，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，()f x 在[1,2]上是减函数，则在[0,1]上是增函数，又()f x 是奇函数，所以()f x 在[1,0]-上是增函数，所以()f x 在[1,1]-上是增函数，()f x 在[1,3]上是减函数，结合奇函数得(0)0f =，所以(2)0f =，121(24b -==，12log 21c ==-，ln 2(0,1)a =∈，所以(1)(0)(ln 2)f f f -<<，即()()()f c f b f a <<，故选：C ．16.如图，己知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，4=AD ，90ABC ∠= ，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB BC ===，下列说法正确的是（）A.PB 与CD 所成的角是30B.平面PCD 与平面PBA 所成的锐二面角余弦值是63C.PB 与平面PCD 所成的角的正弦值是36D.M 是线段PC 上动点，N 为AD 中点，则点P 到平面BMN 距离最大值为433【答案】C 【解析】【分析】根据题设建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线线角、线面角、面面角以及点到面的距离问题.【详解】 90ABC ∠= ，//AD BC ，∴AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，∴以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,2)P ，∴(2,0,2)BP =- ，(2,2,0)CD =-，(2,2,2)PC =- ，对于A ， 41cos ,22222BP CD BP CD BP CD ⋅===⨯，且0,180BP CD ≤≤，∴,60BP CD =，∴PB 与CD 所成的角是60 ，故A 错误；对于B ，设平面PCD 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111112220,220,n PC x y z n CD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令11x =，则11y =，12z =，所以1(1,1,2)n = ，显然平面PAB 的法向量为(0,1,0)m =，∴111cos ,6m n m n m n ⋅===，∴平面PCD 与平面PBA 所成的锐二面角余弦值是66，故B 错误.对于C，111sin ,6BP n BP n BP n ⋅==，故C 正确；对于D ， M 是线段PC 上动点，∴设()()2,2,201PM PC λλλλλ==-≤≤，N 为AD 中点，∴()0,2,0N ，()2,2,0BN =-，∴()22,2,22BM BP PM λλλ=+=-+-，当1λ=时，M 位于C 点，此时点P 到平面BMN 距离为2PA =,当1λ≠时，设平面BMN 的法向量为()2222,,n x y z =，则()()2222222222220,220,n BM x y z n BN x y λλλ⎧⋅=-+++-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令21x =，则21y =，2121z λλ-=-，所以212(1,1,)1n λλ-=- ，∴点P 到平面BMN距离22BP n d n ⋅==，当143λ=，即34λ=时，2min 1123863λλ⎛⎫⋅-+= ⎪⎝⎭，此时maxd==2>，∴点P到平面BMN，故D错误.故选：C.三．简答题（共78分，14+14+14+18+18）17.在数列{}n a中，4ma=，32ma+=-，其中m为给定的正整数，{}n a的前n项和为n S.（1）若{}n a为等比数列，1m=，求13a；（2）若{}n a为等差数列，是否存在正整数m，使得130S=？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）14（2）存在，5m=【解析】【分析】(1)利用等比数列任意两项之间的关系求出公比，结合等比数列的通项公式即可得出结果.(2)利用等差数列任意两项之间的关系求出公差，进而求出首项，结合等差数列的求和公式即可.【小问1详解】由题意，14a=，42a=-，设等比数列的公比为q，则34112aqa==-.故41213111424a a q⎛⎫=⋅=⨯-=⎪⎝⎭.【小问2详解】设等差数列{}n a的公差为d，由题意，323m ma ad+-==-.由()11ma a m d=+-可知122a m=+.由()1311312131321002S a d m⨯=+=⨯-=，解得5m=.存在正整数5m=，使得130S=18.如图，三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC，且M，N分别为线段AB，PC的中点．（1）若点K 是线段PM 的中点，求证：直线//NK 平面ABC ；（2）求证：平面P C M ⊥平面ABC ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意利用中位线定理知//NK CM ，利用线面平行的判定定理即可证明//NK 平面ABC ．（2）由PA ，PB ，PC 两两垂直，可证PC ⊥平面PAB ，进而可得PC AB ⊥，再证明AB ⊥平面PCM ,根据面面垂直判定定理即可证明平面PCM ⊥平面ABC ．【小问1详解】因为N 为线段PC 的中点，点K 是线段PM 的中点，所以由中位线定理知//NK CM ，又CM 在平面ABC 内，且NK 在平面ABC 外，因此根据线面平行判定定理得直线//NK 平面ABC ，得证．【小问2详解】因为PA ，PB ，PC 两两垂直，所以PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，,,PA PB P PA PB =⊂ 平面PAB ，所以PC ⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，所以PC AB ⊥，又PA ＝PB ，且M 为线段AB 的中点，所以PM AB ⊥，结合,,PM PC P PM PC =⊂ 平面PCM ,所以AB ⊥平面PCM ,因为AB ⊂平面ABC ，所以平面PCM ⊥平面ABC ，得证．.19.在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且sin(2)sin sin A B B A +=-.（1）求C 的大小；（2）若CD 平分ACB ∠交AB 于D且CD =ABC 面积的最小值.【答案】（1）π3C =；（2【解析】【分析】（1）结合三角形的内角和定理、诱导公式化简已知条件，由此求得C .（2）根据已知条件求得a b =或a b ab +=，结合基本不等式求得三角形ABC 面积的最小值.【小问1详解】依题意，sin(2)sin sin A B B A +=-，则()sin()sin sin A B A C A A ++=+-，故()sin(π)sin sin A C C A A +-=+-，则()sin()sin sin C A C A A -=+-，sin cos cos sin sin cos cos sin sin C A C A C A C A A -=+-，2cos sin sin C A A =，由于0,πA C <<，所以sin 0A >，所以1cos 2C =，则C 为锐角，且π3C =.【小问2详解】依题意CD 平分ACB ∠，在三角形ACD 中，由正弦定理得3πsin sin 6AD A =，在三角形BCD中，由正弦定理得πsin sin 6BD B =，所以sin sin AD A BD B ⋅=⋅，由正弦定理得AD bBD a=.在三角形ACD 中，由余弦定理得222π3cos336AD b b b =+-⋅=-+，在三角形BCD 中，由余弦定理得222π3cos336BD a a a =+-⋅=-+，所以2222223333AD b b b BD a a a -+==-+，整理得()()0a b ab a b +--=，所以a b =或a b ab +=.当a b =时，三角形ABC 是等边三角形，CD AB ⊥，1AD BD ==，2AB AC BC ===，所以1π22sin 23ABC S =⨯⨯⨯=当a b ab +=时，2,4ab a b ab =+≥≥，当且仅当2a b ==时等号成立，所以三角形113sin 4222ABC S ab C =≥⨯⨯= .综上所述，三角形ABC20.在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆22145:204C x y x ++-=内切，且与圆2223:204C x y x +-+=外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E ．（1）求轨迹E 的方程；（2）不过圆心2C 且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于A ，M 两个不同的点，连接2AC 交轨迹E 于点B （i ）若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；（ii ）若过圆心1C 的直线交轨迹E 于D ，G 两个不同的点，且AB DG ⊥，求四边形ADBG 面积的最小值．【答案】（1）22143x y +=（2）28849【解析】【分析】（1）设动圆P 的半径为R ，圆心为(,)x y ，根据题意列出1271||,||22PC R PC R =-=+，即可得12||||4PC PC +=，结合椭圆定义即可求得答案；（2）（i ）设直线AB 的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系，进而利用BM 方程，求出N 点坐标，结合根与系数关系式化简，可得结论；（ii ）求出弦长||AB 和||DG ，结合题意可求出四边形ADBG 面积的表达式，利用基本不等式即可求得其最小值.【小问1详解】设动圆P 的半径为R ，圆心为(,)x y ，22145:204C x y x ++-=即22149:(1)4C x y ++=，2223:204C x y x +-+=，即2221:(1)4C x y -+=，而动圆P 与圆22145:204C x y x ++-=内切，且与圆2223:204C x y x +-+=外切，故1271||,||22PC R PC R =-=+，则1212||||4||2PC PC C C +=>=，故动圆P 的圆心的轨迹是以12,C C 为焦点的椭圆，设其方程为()222210x y a b a b +=>>，则23,,24222,a c a b ∴====，故轨迹E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】（i ）由题意知AB 斜率存在，设其方程为()()10y k x k =-≠，()()1122,,,A x y B x y ，则()11,M x y -，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=，由于直线AB 过椭圆焦点，则必有0∆>，则221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，直线BM 的方程为()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =，可得()()()()2211212211112112121222N k x x x x x x x x x x y x x y y k x x x x ---+-=+=+=++-+-22222241282434348243k k k k k k -⨯-++==-+，即N 为一个定点(4,0)；（ii ）()222212112||1|14AB k x x k x x x x =+-=++-()22222222121841214.434343k k k k k k k +⎛⎫-=+-⨯ ⎪+++⎝⎭1,DGAB DG k k ⊥∴=- ，同理可得()22121||34k DG k +=+，AB DG ⊥ ，则()()222212112111||||224334ABDGk k SAB DG k k ++=⨯=⨯++四边形22222222272(1)72(1)2884334(43)(34)49()2k k k k k k ++=≥=+++++，当且仅当224334k k +=+，即1k =±时等号成立，即四边形ADBG 的面积的最小值为28849.21.已知函数()e 1xf x x =-，()()lng x a x x =+．（1）若2a =，证明：()42g x x ≤-；（2）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求正实数a 的值；（3）证明：()2e 2ln 2sin x x x x x >++．【答案】（1）证明详见解析（2）1a =（3）证明详见解析【解析】【分析】（1）将()42g x x ≤-转化为ln 10x x -+≤，然后利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.（2）利用换元法，将不等式()()f x g x ≥恒成立，转化为10t e at --≥恒成立，利用构造函数法，结合导数求得正实数a 的值.（3）结合（1）（2），将所要证明的不等式转化为证明222sin x x x -+>，结合二次函数的性质证得不等式成立.【小问1详解】2a =时，()42ln 10g x x x x ≤-⇔-+≤，设()ln 1t x x x =-+，11()1(0)x t x x x x'-=-=>，所以()t x 在区间()()()'0,1,0,t x t x >递增；在区间()()()'1,,0,t x t x +∞<递减.所以()()10t x t ≤=，即ln 10x x -+≤，所以2a =时，()42g x x ≤-.【小问2详解】依题意，ln e 1(ln )e (ln )10x x x x a x x a x x +-≥+⇔-+-≥，令ln t x x =+，ln y x x =+在()0,∞+上递增，且R t ∈，所以10t e at --≥对任意R t ∈恒成立.设()()()'e 10,e t t h t at a h t a =-->=-，所以函数()h t 在区间()()()',ln ,0,a h t h t -∞<递减；在区间()()()'ln ,,0,a h t h t +∞>递增.所以()()min ln ln 1h t h a a a a ==--，所以ln 10--≥a a a ，111ln 1,ln 1a a a a a+≥≥-，由（1）知ln 10x x -+≤，即ln 1≤-x x ，即11ln1a a≤-，所以11ln 1a a =-，当且仅当11a =，即1a =时成立.【小问3详解】由（2）得，当1a =时，()e (ln )1x f x x x x =-+≥对任意0x >恒成立.所以()0,x ∀∈+∞，e ln 1x x x x ≥++，则()22e ln 0x x x x x x x ≥++>，要证明()()2e 2ln 2sin 0x x x x x x >++>，只需证明2ln (2)ln 2sin (0)x x x x x x x x ++>++>，即证22ln 2sin (0)x x x x x +>+>，由（1）知()ln 10x x x ≤->，所以只需证()22(1)2sin 0xx x x x +>-+>，即证()222sin 0x x x x -+>>，①当1x >时，()221222sin x x x x x -+=-+>≥，不等式成立.②当01x <≤时，221772()244x x x -+=-+≥，π72sin 2sin12sin34x ≤<=<，不等式成立.所以()222sin 0x x x x -+>>成立，所以()()2e 2ln 2sin 0xx x x x x >++>成立.【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，可对不等式进行转化，然后利用构造函数法，结合导数求得所构造函数的单调性、极值、最值等，从而求得参数的取值范围.。

上海市进才中学2023届高三下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________10．已知四个函数：（1）(1f x 从中任选2个，则事件“所选为.11．在ABC 中，已2CD = ABC 的面积为3，ACB ∠12．已知函数()sin f x ax a =-A ．．C ．．已知圆()2229x y -+=的圆心为)2,0-且与x 轴不重合的直线两点，点A 在点M 与点B 之间．过点作直线AC 的平行线交直线BC 的轨迹为（）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前项和为n S ，满足(9n n a S n ==下列四个结论：}a 的第2项小于3；②{}n a 为等比数列；}n 为递减数列；④{}n a 中存在小于其中正确结论的个数是（）将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于50个的概率；用X 表示在未来3天里日销售量不低于100(X )及方差D (X )．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面BCC 2BC ==，,M N 分别为11A B ，AC 的中点(1)求证：MN //平面11BCC B ；(2)若AB MN ⊥，求证：1,,AB BC BB 两两垂直，并求直线值.20．已知双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为4，虚轴长为:(0)l y kx m m =+≠与曲线C 交于不同的两点A 、(1)求双曲线C 的方程及其离心率参考答案：【详解】如图所示，()1f x x =与()3tan f x x =，()2f x =tan x 与()4e x f x -=均有多个公共点，()()12sin f x f x x x =-=-，则()1g x ')00=，∴()()()112g x f x f x =-有唯一零点，x =与()2sin f x x =的图象有且仅有一个公共点；()()14e xf x f x x -=-=-，则()2g x '=运用正弦定理将化简变形将角用表示换元法求函数的值域即可.（2）因为侧面11BCC B 为正方形，故而CB ⊂平面11BCC B ，平面CBB 平面11CBB C ⋂平面11ABB A BB =因为AB ⊂平面11ABB A ，所以因为AB ⊂平面11ABB A ，故NK 而NK AB ⊥，NK MN N = ，而MK ⊂平面MNK ，故AB ⊥所以1AB BB ⊥，故BC ，AB ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则故(0,2,0)BA =，()1,1,0BN = ，设平面BNM 的法向量为(n = 从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =-，则设直线AB 与平面BNM 所成的角为则sin cos ,n BA n BA n BA θ⋅==.20．(1)2213x y -=，233(2)0y =或2y x =-或2y x =-+(3)存在，m 可取不等于0的一切实数【分析】（1）利用焦距和虚轴长直接求出（2）联立方程，韦达定理，利用弦长公式即可求出直线的斜率，从而求出直线方程；（3）把A B 、两点都在以(0,1)D -为圆心的圆上转化为分类讨论，当0k =时，m 可取不等于出AB 中点坐标，利用垂直关系建立方程求解即可【详解】（1）由题意得，24,2c b ==所以双曲线C 的方程为2213x y -=，其离心率为（2）设:(2)l y k x =-，联立23(x y y k ⎧-⎪⎨⎪=⎩设1122(,),(,)A x y B x y ，则22130Δ12+12>0k k ⎧-≠⎨=⎩所以2212111(AB k x x k x =+-=+⋅+222222121231()43131k k k k k +=+⋅-⨯=--0k =或1±，所以直线方程0y =或y （3）当0k =时，m 可取不等于0的一切实数；。