上海市进才中学2020-2021学年第一学期期中考试高三数学试卷(word版,含答案)

2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.下列命题正确的是()A. 若ac>bc，则a>bB. 若a>b，c>d，则ac>bdC. 若a>b，则1a <1bD. 若ac2>bc2，则a>b2.已知函数f(x)=cos(2ωx)(ω>0)，若f(x)的最小正周期为π，则f(x)的一条对称轴是()A. x=π8B. x=π4C. x=π2D. x=3π43.函数f(x)=lg(x−2)+1x−3的定义域是()A. (2,3)B. (3,+∞)C. [2,3)∪(3,+∞)D. (2,3)∪(3,+∞)4.下列命题中的真命题是()A. 互余的两个角不相等B. 相等的两个角是同位角C. 若a2=b2，则|a|=|b|D. 三角形的一个外角等于和它不相等的一个内角二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知全集集合则．6.已知点A(2,−1)在角α的终边上，则sinα=______．7.函数f(x)=lgx−sinx在定义域(0,+∞)上的零点有个．8.(1−x2)8的二项展开式中含x2项的系数是______ ．9.设数列{a n}的前n项和为S n，如果a1=−5，a n+1=a n+2，n∈N∗，那么S1，S2，S3，S4中最小的为______．10.在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2sinAcosC=sinB，则ac的值为______ ．11.定义新运算为：，例如，则函数的值域为12.若a>0，b>0，且2a+b=1，则ba2+1b2的最小值为______13. 已知sinα−sinβ=−12，cosα−cosβ=12，且α、β均为锐角，则cos(α−β)= ______ ．14. 已知偶函数f(x)满足f(x +2)=f(x)，当x ∈(0,1)时，f(x)=2x ，则f(−52)= ______ ．15. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列，若a 1=1，则S 10=______．16. 已知定义在R 上的函数f(x)周期为2，且∀x ∈R ，f(x)−f(−x)=0恒成立，当x ∈[−1,0]时，f(x)=x 2，若g(x)=f(x)−log 2020x 在(0,m]上恰有2019个零点，则整数m 的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥CD ，PA =1，PD =√2．(Ⅰ)求证：PA ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求四棱锥P −ABCD 的体积．18. 设函数f(x)=3⋅log 2(4x)，14≤x ≤4；(1)若t =log 2x ，求t 取值范围；(2)求f(x)的最值，并给出最值时对应的x 的值．19. 已知锐角△ABC 的三个内角A 、B 、C 对边分别是 a 、b 、c ，a+b cosA+cosB =ccosC ．(1)求证：角A 、C 、B 成等差数列；(2)若角A 是△的最大内角，求cos(B +C)+√3sinA 的范围(3)若△ABC 的面积S △ABC =√3，求△ABC 周长的最小值．20. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n 2+2n ．(1)求数列的通项a n；(n∈N+)，求数列的前n项和为T n．(1)令b n=1a n2+4n−121. 设函数f(x)=4x+a，ℎ(x)=2f(x)−ax−b．2x+1(Ⅰ)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(Ⅱ)若f(x)为奇函数，且ℎ(x)在[−1,1]有零点，求实数b的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：对于A，若ac>bc，c≤0，则a>b不成立，不正确；对于B，若a>b>0，c>d>0，则ac>bd，不正确；对于C，若a>b>0，则1a <1b，不正确；对于D，若ac2>bc2，则a>b，正确．故选D．利用不等式的性质，对4个选项分别进行判断，即可得出结论．本题考查不等式的性质，考查学生的计算能力，比较基础．2.答案：C解析：解：函数f(x)=cos(2ωx)(ω>0)，若f(x)的最小正周期为π，则：π=2π2ω．所以：ω=1．故f(x)=cos2x．令：2x=kπ(k∈Z)，解得：x=kπ2(k∈Z)，当k=1时，x=π2．故选：C．直接利用余弦型函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：余弦型函数的性质的应用．3.答案：D解析：解：要使函数有意义，需满足{x−2>0x−3≠0解得x>2且x≠3故选D令对数的真数x−2大于0；分母x−3非0，列出不等式组，求出函数的定义域．求函数的定义域：常需考虑开偶次方根的被开方数大于等于0；对数的真数大于0底数大于0且不等于1；分母不为0等．注意函数的定义域一定以集合形式或区间形式表示．4.答案：C解析：解：A.互余的两角可相等，比如都为45°，故A错；B.相等的两个角可以是对顶角，故B错；C.若a2=b2，则a2−b2=0，(a+b)(a−b)=0，即a=b或a=−b，则不管a，b是实数还是复数，均有|a|=|b|，故C正确；D.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，故D错．故选：C．由两角互余的概念可判断A；可举对顶角相等来判断B；运用平方差公式，得到a=b或a=−b，从而|a|=|b|可判断C；运用三角形的外角的性质即可判断D．本题以命题的真假判断为载体，考查三角形的外角与内角的关系，两角互余的概念，同位角的概念以及复数范围内模与平方的关系，是一道基础题．5.答案：解析：本题主要考查集合的应用，熟悉交并补的运算法则是解答本题的关键，属于基础题．解：由题意得，∴，故答案为．6.答案：−√55解析：解：设O为坐标原点，因为A(2,−1)．由已知得|OA|=√22+(−1)2=√5，∴sinα=−1|OA|=−√55．故答案为：−√55．根据三角函数的坐标法定义，直接计算即可．本题考查三角函数的坐标法定义，以及学生的运算能力，属于基础题．7.答案：3解析：。

2020-2021上海进才中学北校高中必修三数学上期中试题附答案一、选择题1．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均数为m B ．这组新数据的平均数为a m + C ．这组新数据的方差为anD ．这组新数据的标准差为a n2．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数是偶数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，则概率()P A B =U （ ） A ．12B ．13C ．23D ．563．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数为60；④分数在区间[)120,140的人数占大半．则说法正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④4．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．155．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．166．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门. 7．执行如图的程序框图，则输出x 的值是 ( )A ．2018B ．2019C ．12D ．28．已知0,0,2,a b a b >>+=则14y a b=+的最小值是 ( ) A ．72B ．4C ．92D ．5 9．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k 的值可以为A ．6B ．10C ．8D ．410．某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程y bx a =+$$$，其中ˆ 2.4b=，$a y bx =-$，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（ ） 广告费用x （万元） 2 3 4 5 6 销售轿车y （台数）3461012A ．17B ．18C ．19D ．2011．已知平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，直线2y mx m =+和曲线24y x =-有两个不的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ．若01m ≤≤，则()P M 的取值范围为（ ）A ．202,π-⎛⎤⎥π⎝⎦B ．202,π+⎛⎤⎥π⎝⎦C ．212,π+⎡⎤⎢⎥π⎣⎦D ．212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦12．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元二、填空题13．有一批产品，其中有2件次品和4件正品，从中任取2件，至少有1件次品的概率为______．14．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为_________15．从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为________；16．连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和不超过9的概率为______． 17．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得11x +≥成立的概率为______．18．用秦九韶算法计算多项式f(x)=2x 4-x 3+3x 2+7,在求x=2时对应的值时,v 3的值为___.19．集合{|64,1,2,3,4,5,6}A y y n n ==-=，集合1{|2,1,2,3,4,5,6}n B y y n -===，若任意A∪B 中的元素a ，则a ∈A∩B 的概率是________。

上海2020-2021学年进才中学高三上学期期中仿真密卷数学学科（满分150分，考试时间120分钟）一.填空题（本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共 54 分）1. (,0)(3,)-∞+∞ 2. [1,1)- 3.154. 335. 326. {|2,}x x k k ππ=+∈Z7. 1x =8. 79.7 10.642+ 11.①③ 12. 13537二.选择题（本大题共有4题，每题5分，共 24 分）13. C 14. D 15. B 16. C三.解答题（本大题共5小题，共76分）17. （本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）【解析】（1）∵PD ⊥底面ABCD ，A D 底面ABCD ，∴PD AD ⊥．又底面ABCD 是正方形，∴AD DC ⊥，∵PDDC D =，∴AD ⊥平面PDC ，∵AD BC ∥，A D ⊄平面PBC ，∴AD ∥平面PBC ， ∵A D平面PAD ，平面PAD平面PBC l =，∴l AD ∥，∴l ⊥平面PDC ．（2）以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，(0,0,1)P ，(0,1,0)DC =，(1,1,1)PB =-，由（1）可设(,0,1)Q a ，则(,0,1)DQ a =，设(,,)n x y z =是平面QCD 的法向量，则0,0,n DQ n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0ax z y +=⎧⎨=⎩．可取(1,0,)n a =-，∴2cos ,||||31n PB n PB n PB a⋅<>==⋅⋅+，设PB 与平面QCD 所成角为θ，则22332sin 1311aa aθ=⋅=+++， ∵2326131a a ++≤，当且仅当1a =时等号成立， ∴PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为6．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）【解析】（1）证明：()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ 由正弦定理可得：cos cos c a B b A =+()()()11cos cos cos cos cos cos 3z z a bi A i B a A b B a B b A i i ⋅=++=-++=所以cos cos 3a B b A c +==（2）由（1）可得：cos cos 0,sin cos sin cos ,sin2sin2a A b B A A B B A B -=== 所以22,22A B A B π=+=，所以A B =或2C π=当A B =时，6A π=；当2C π=时，A =.19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【解析】（1）联结BD ，则在BCD △中200,45BD BDC =∠=︒， 由sin sin BD BCBCD BDC=∠∠，得：200sin 45163sin120BC ︒==≈︒， ∴BC 的长约为163米.（2）方法一：设(0)3CBD πθθ∠=<<，则3BDC πθ∠=-，在BCD △中，由sin sin sin BD BC CDBCD BDC CBD ==∠∠∠，得：sin(),3BC CD πθθ-=，∴)sin ])33BC CD ππθθθ+=-++，∴当6πθ=时，BC CD +400+千米，约为631米方法二：设BC x =千米，CD y =千米（,x y +∈R ），在BCD △中，由222cos 2BC CD BD BCD BC CD +-∠=⋅，得22400000x y xy ++-=，∴2()40000x y xy +-=，又由x y +≥21()4xy x y +≤，当且仅当x y =时等号成立，∴221()40000()4x y x y +-+≤，∴x y +，∴围成该施工区域所需的板材长度最长为4003+千米，约为631米.20. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）22.（1）133x -<；（2）21,[0,1]()23,[1,0]xxx h x x -⎧--∈⎪=⎨-∈-⎪⎩；（3）[4,20]-；已知函数2()log ()f x x a =+；（1）当1a =时，若10(12)()2f x f x <--<，求x 的取值范围； （2）若定义在R 上奇函数()g x 满足(2)()g x g x +=-，且当01x ≤≤时，()()g x f x =， 求()g x 在[3,1]--上的反函数()h x ；（3）对于（2）中的()g x ，若关于x 的不等式232()1log 382xx t g +-≥-+在R 上恒成立，求实数t 的取值范围； 【解析】（1）原不等式可化为()()2210log 22log 12x x <--+<， 221122010xx x x -⎧<<⎪+⎪∴->⎨⎪+>⎪⎩，得133x -<（2）()g x 是奇函数，()00g ∴=，得1a =当[]3,2x ∈--时，[]20,1x --∈，()()()()222log 1g x g x g x x =-+=--=-- 此时()[]()()[]()0,1,21,210,1g x x g x x h x x ∈=--=--∈当(]2,1x ∈--时，[)21,0x --∈-，()()()22log 3g x g x x =-+=-+ 此时()[)()()[)()1,0,23,231,0g x xg x x h x x --∈-=-=-∈-()[][)21,0,123,1,0xx x h x x -⎧--∈⎪∴∈⎨-∈-⎪⎩ （3）2323111log 3log 82222x x t g g g +⎛⎫-⎛⎫⎛⎫≥-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭在R 上恒成立 3321182882x x x t t u ++-+==-+++ 当10t +≥时，115,,8822t u ⎛⎫⎡⎤∈-⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]1,20t ∈- 当10t +<时，115,,8822tu ⎛⎫⎡⎤∈-⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[)4,1t ∈-- 所以[]4,20t ∈-21. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 【解析】（1）()()(){}(),0,|,,00,P f P y y x x =-∞∴==∈-∞=+∞[]()[]{}[]20,4,|2,0,48,1M f M y y x x x =∴==-+∈=-()()[)8,f P f M =-+∞（2）若3M -∈则()[]3153,23f a -=-∉--，不合题意3P ∴-∈，()[]333,23f a -=∈--233,3a a ∴-≥≥若3a >，则()22233112a x x x->>--+=-+,23P M a =∅∴-的原像0x P ∈且03x a <≤ 023,3x a a a ∴=-≤≤，矛盾所以3a =（3）因为()f x 是单调递增函数，所以对任意()()0,00x f x f <<= 所以(),,0x M M ∈-∞⊆，同理，()1,P +∞⊆若存在001x <<，使得0x M ∈，则()2000012f x x x x >=-+>于是2000,2x x x M ⎡⎤-+⊆⎣⎦，记()2210021120,1,2,x x x x x x =-+∈=-+所以[]01,x x M ⊆同理，[]12,,x x M ⊆，由212n n n x x x +=-+得()()()12421101=111n n n n x x x x ++---=-==-对任意[)0,1x x ∈，取()()()()002211log log 11,log log 1x x x x --⎡⎤---⎣⎦中的自然数n ，则[][)10,,,1n n x x x M x M +∈⊆⊆综上[)()1,,,1P M =+∞=-∞或()(]0,,,0P M =+∞=-∞或()[)(][)0,1,,,0,1P t M t =+∞=-∞，其中01t <<或(][)(]()0,1,,,0,1P t M t =+∞=-∞，其中01t <<。

2020-2021上海上海中学高三数学上期中一模试题带答案一、选择题1．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102002．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则 1a ＜1b3．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-4．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．165．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．6．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2B ．4C ．16D ．87．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2BCD ．48．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( )A ．256B ．25C ．253D ．59．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<10．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．511．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．13712．已知正项数列{}n a 中，*12(1)()2n n n a a a n N ++++=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 15．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．16．在无穷等比数列{}n a 中，123,1a a ==，则()1321lim n n a a a -→∞++⋯+=______． 17．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________18．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？19．在△ABC 中，2BC =，7AC =，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．20．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．三、解答题21．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{nS n}的前10项和． 22．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且222,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；（2）若22sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积． 23．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值. 24．设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.25．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且3b =（1）当4A π=时，求ABC ∆的面积S ；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值．26．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2223,33A b c a π=+-=． （1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.2．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．D解析：D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．解析：A 【解析】 【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABC V ），变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．5．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得42c =． 由余弦定理可得：()222222142214252b ac accosB =+-=+-⨯⨯⨯=． 6．D解析：D 【解析】 【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可．等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．7．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.8．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。

2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．（4分）集合U＝R，集合A＝{x|x﹣3＞0}，B＝{x|x+1＞0}，则B∩∁U A＝．2．（4分）已知角α的终边过点（3，﹣4），则sinα＝．3．（4分）函数f（x）＝的定义域是．4．（4分）（2x﹣1）6的展开式中含x3的项的系数为．5．（4分）设等差数列{a n}的前n项之和S n满足S10﹣S5＝40，那么a8＝．6．（4分）在△ABC中，已知tan A＝1，tan B＝2，则tan C＝．7．（5分）方程cos（3x+）＝0在[0，π]上的解的个数为．8．（5分）若实数x，y满足x2+y2＝1，则xy的取值范围是．9．（5分）已知定义在[﹣a，a]上的函数f（x）＝cos x﹣sin x是减函数，其中a＞0，则当a 取最大值时，f（x）的值域是．10．（5分）设a、b∈R，且a≠2、b＞0，若定义在区间（﹣b，b）上的函数f（x）＝lg 是奇函数，则a+b的值可以是.（写出一个值即可）11．（5分）已知等比数列{a n}的首项为2，公比为﹣，其前n项和记为S n．若对任意的n∈N*，均有A≤3S n﹣≤B恒成立，则B﹣A的最小值为．12．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个不同的零点，则k的取值范围是．二、选择题（共4小题）.13．（5分）对于任意实数a，b，c，d，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若ac2＞bc2，则a＞bC．若a＞b，则D．若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd 14．（5分）关于函数f（x）＝sin x+，下列观点正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x＝0对称B．f（x）的图象关于直线对称C．f（x）的图象关于直线对称D．f（x）的图象关于直线x＝π对称15．（5分）设函数y＝f（x）存在反函数y＝f﹣1（x），且函数y＝x﹣f（x）的图象过点（1，3），则函数y＝f﹣1（x）+3的图象一定经过定点（）A．（1，1）B．（3，1）C．（﹣2，4）D．（﹣2，1）16．（5分）已知a1，a2，a3，a4均为正数，且a1+a2+a3+a4＝10，以下有两个命题：命题一：a1，a2，a3，a4中至少有一个数小于3；命题二：若a1a2a3a4＝7，则a1，a2，a3，a4中至少有一个数不大于1．关于这两个命题正误的判断正确的是（）A．命题一错误、命题二错误B．命题一错误、命题二正确C．命题一正确、命题二错误D．命题一正确、命题二正确三、解答题（满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，PA＝4，设E为侧棱PC的中点．（1）求正四棱锥E﹣ABCD的体积V；（2）求直线BE与平面PCD所成角θ的大小．18．（14分）已知f（x）＝ax2﹣（a+1）x，g（x）＝﹣a+13x，其中a∈R．（1）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）＜0；（2）若f（x）＜g（x）在x∈[2，3]时恒成立，求实数a的取值范围．19．（14分）在△ABC中，已知tan A＝．（1）若△ABC外接圆的直径长为，求BC的值；（2）若△ABC为锐角三角形，其面积为6，求BC的取值范围．20．（16分）已知{a n}为等差数列，前n项和为，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3＝12，b3＝a4+a1，S16＝16b4．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a n•b n}的前n项和；（3）设集合，，将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{c n}，记U n为数列{c n}的前n项和，求|U n﹣2020|的最小值．21．（18分）设f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两数x1、x2，恒有f（αx1+（1﹣α）x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2），则称f（x）为定义在D上的C函数．（1）判断函数f（x）＝x2是否是定义域上的C函数，说明理由；（2）若f（x）是R上的C函数，设a n＝f（n），n＝0，1，2，…，m，其中m是给定的正整数，a0＝0，a m＝2m，记S f＝a1+a2+…+a m，对满足条件的函数f（x），试求S f的最大值；（3）若f（x）是定义域为R的函数，最小正周期为T，试证明f（x）不是R上的C函数．参考答案一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分.1．（4分）集合U＝R，集合A＝{x|x﹣3＞0}，B＝{x|x+1＞0}，则B∩∁U A＝（﹣1，3]．解：∵集合U＝R，集合A＝{x|x﹣3＞0}＝{x|x＞3}，B＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，∴∁U A＝{x|x≤3}，∴B∩∁U A＝{x|﹣1＜x≤3}＝（﹣1，3]．故答案为：（﹣1，3]．2．（4分）已知角α的终边过点（3，﹣4），则sinα＝．解：∵角α的终边过点（3，﹣4），∴x＝3，y＝﹣4，r＝5，∴sinα＝＝﹣，故答案为：．3．（4分）函数f（x）＝的定义域是[﹣1，2]．解：由题意得：3﹣|1﹣2x|≥0，即|2x﹣1|≤3，故﹣3≤2x﹣1≤3，解得：﹣1≤x≤2，故函数的定义域是[﹣1，2]，故答案为：[﹣1，2]．4．（4分）（2x﹣1）6的展开式中含x3的项的系数为﹣160．解：（2x﹣1）6的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•（2x）6﹣r，令6﹣r＝3，可得r＝3，故展开式中含x3的项的系数为﹣•23＝﹣160，故答案为：﹣160．5．（4分）设等差数列{a n}的前n项之和S n满足S10﹣S5＝40，那么a8＝8．解：由S10﹣S5＝a6+a7+…+a10＝（a6+a10）+（a7+a9）+a8＝5a8＝40，所以a8＝8．故答案为：86．（4分）在△ABC中，已知tan A＝1，tan B＝2，则tan C＝3．解：在△ABC中，∵已知tan A＝1，tan B＝2，∴tan C＝tan[π﹣（A+B）]＝﹣tan（A+B）＝﹣＝﹣＝3，故答案为：3．7．（5分）方程cos（3x+）＝0在[0，π]上的解的个数为3．解：由cos（3x+）＝0，可得3x+＝kπ+，k∈Z，解得x＝+，k∈Z，可得在[0，π]上的解为，，，共3个解．故答案为：3．8．（5分）若实数x，y满足x2+y2＝1，则xy的取值范围是[﹣，]．【解答】因为x2+y2＝1，所以可设x＝cosθ，y＝sinθ，则xy＝cosθsinθ＝sin2θ∈[﹣，]故答案为[﹣，]9．（5分）已知定义在[﹣a，a]上的函数f（x）＝cos x﹣sin x是减函数，其中a＞0，则当a 取最大值时，f（x）的值域是[0，]．解：∵定义在[﹣a，a]上的函数f（x）＝cos x﹣sin x＝cos（x+）是减函数，其中a ＞0，∴x+∈[﹣a+，a+]，∴﹣a+≥0，且a+≤π，求得0＜a≤，故a的最大值为，则当a取最大值时，x+∈[0，]，f（x）＝cos（x+）的值域为[0，]，故答案为：[0，]．10．（5分）设a、b∈R，且a≠2、b＞0，若定义在区间（﹣b，b）上的函数f（x）＝lg是奇函数，则a+b的值可以是﹣2.（写出一个值即可）解：根据题意，函数f（x）＝lg是奇函数，则有f（﹣x）+f（x）＝0，即lg+lg＝lg＝0，则有a2＝4，解可得a＝±2，又由a≠2，则a＝﹣2，则f（x）＝lg，有＞0，解可得：﹣＜x＜，即函数的定义域为（﹣，），即0＜b≤，故有﹣2≤a+b≤﹣，故答案为：﹣2，（答案不唯一）11．（5分）已知等比数列{a n}的首项为2，公比为﹣，其前n项和记为S n．若对任意的n∈N*，均有A≤3S n﹣≤B恒成立，则B﹣A的最小值为．解：S n＝＝﹣•（﹣）n，①n为奇数时，S n＝+•（）n，可知：S n单调递减，且S n＝，∴＜S n≤S1＝2；②n为偶数时，S n＝﹣•（）n，可知：S n单调递增，且S n＝，∴＝S2≤S n＜，∴S n的最大值与最小值分别为：2，，考虑到函数y＝3t﹣在（0，+∞）上单调递增，∴A≤（3S n﹣）min＝3×﹣＝，B≥（3S n﹣）max＝3×2﹣＝，∴B﹣A的最小值＝﹣＝，故答案为：．12．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个不同的零点，则k的取值范围是（﹣∞，0）∪（2，+∞）．解：若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，则f（x）＝|kx2﹣2x|有四个根，即y＝f（x）与y＝h（x）＝|kx2﹣2x|有四个交点，当k＝0时，y＝f（x）与y＝|﹣2x|＝2|x|图象如下：两图象只有两个交点，不符合题意；当k＜0时，y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x1＝0，x2＝（x2＜x1），图象如图所示：当x＝时，函数y＝|kx2﹣2x|的函数值为﹣，函数y＝﹣x的函数值为﹣，∴两图象有4个交点，符合题意；当k＞0时，y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x1＝0，x2＝（x2＞x1），在[0，）内两函数图象有两个交点，则若有四个交点，只需y＝x3与y＝kx2﹣2x在（，+∞）内有两个交点即可，即x3＝kx2﹣2x在（，+∞）还有两个根，也就是k＝x+在（，+∞）内有两个根，函数y＝x+≥2，（当且仅当x＝时，取等号），∴0＜＜，且k＞2，得k＞2，综上所述，k的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，0）∪（2，+∞）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确。

2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.对于任意实数a，b，c，d，下列命题正确的是()A. 若a>b，则ac2>bc2B. 若ac2>bc2，则a>bC. 若a>b，则1a <1bD. 若a>b>0，c>d，则ac>bd2.关于函数f(x)=sinx+1sinx，下列观点正确的是()A. f(x)的图象关于直线x=0对称B. f(x)的图象关于直线x=π4对称C. f(x)的图象关于直线x=π2对称 D. f(x)的图象关于直线x=π对称3.设函数y=f(x)存在反函数y=f−1(x)，且函数y=x−f(x)的图象过点(1,3)，则函数y=f−1(x)+3的图象一定经过定点()A. (1,1)B. (3,1)C. (−2,4)D. (−2,1)4.已知a1，a2，a3，a4均为正数，且a1+a2+a3+a4=10，以下有两个命题：命题一：a1，a2，a3，a4中至少有一个数小于3；命题二：若a1a2a3a4=7，则a1，a2，a3，a4中至少有一个数不大于1．关于这两个命题正误的判断正确的是()A. 命题一错误、命题二错误B. 命题一错误、命题二正确C. 命题一正确、命题二错误D. 命题一正确、命题二正确二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.集合U=R，集合A={x|x−3>0}，B={x|x+1>0}，则B∩∁U A=______．6.已知角α的终边过点(3,−4)，则sinα=．7.函数f(x)=√3−|1−2x|的定义域是______．8.(2x−1)6的展开式中含x3的项的系数为______．9.设等差数列{a n}的前n项之和S n满足S10−S5=40，那么a8=______．10.在△ABC中，已知tanA=1，tanB=2，则tanC=______ ．11.方程cos(3x+π6)=0在[0,π]上的解的个数为______．12.若实数x，y满足x2+y2=1，则xy的取值范围是______．13.已知定义在[−a,a]上的函数f(x)=cosx−sinx是减函数，其中a>0，则当a取最大值时，f(x)的值域是______．14. 设a 、b ∈R ，且a ≠2、b >0，若定义在区间(−b,b)上的函数f(x)=lg 1+ax1+2x 是奇函数，则a +b 的值可以是______.(写出一个值即可)15. 已知等比数列{a n }的首项为2，公比为−13，其前n 项和记为S n .若对任意的n ∈N ∗，均有A ≤3S n −1S n≤B 恒成立，则B −A 的最小值为______．16. 已知函数f(x)={x 3(x ≥0)−x(x <0)，若函数g(x)=f(x)−|kx 2−2x|(k ∈R)恰有4个不同的零点，则k 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，PA =4，设E 为侧棱PC 的中点． (1)求正四棱锥E −ABCD 的体积V ； (2)求直线BE 与平面PCD 所成角θ的大小．18. 已知f(x)=ax 2−(a +1)x ，g(x)=−a +13x ，其中a ∈R ．(1)当a <0时，解关于x 的不等式f(x)<0；(2)若f(x)<g(x)在x ∈[2,3]时恒成立，求实数a 的取值范围．19.在△ABC中，已知tanA=12．5(1)若△ABC外接圆的直径长为13，求BC的值；2(2)若△ABC为锐角三角形，其面积为6，求BC的取值范围．20.已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N∗)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4+a1，S16=16b4．(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{a n⋅b n}的前n项和T n(n∈N∗)；(3)设集合A={x|x=a n,n∈N∗}，B={x|x=b n,n∈N∗}，将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{c n}，记U n为数列{c n}的前n项和，求|U n−2020|的最小值．21.设f(x)是定义在D上的函数，若对任何实数α∈(0,1)以及D中的任意两数x1、x2，恒有f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)，则称f(x)为定义在D上的C函数．(1)判断函数f(x)=x2是否是定义域上的C函数，说明理由；(2)若f(x)是R上的C函数，设a n=f(n)，n=0，1，2，…，m，其中m是给定的正整数，a0=0，a m=2m，记S f=a1+a2+⋯+a m，对满足条件的函数f(x)，试求S f的最大值；(3)若f(x)是定义域为R的函数，最小正周期为T，试证明f(x)不是R上的C函数．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A.当c=0时，ac2>bc2不成立，故A错误；B.根据ac2>bc2，由不等式的基本性质知a>b，故B正确；C.由a>b，取a=0，b=−1，则1a <1b不成立，故C错误；D.由a>b>0，c>d，取c=−1，d=−2，则ac>bd不成立，故D错误．故选：B．根据各选项的条件取特殊值，即可判断ACD；由不等式的基本性质，即可判断B．本题考查了不等式的基本性质，属基础题．2.【答案】C【解析】解：函数的定义域为：{x|x≠kπ,k∈Z}关于原点对称，f(−x)=sin(−x)+1sin(−x)=−sinx−1sinx=−f(x)，所以函数关于原点对称，A错误，选项B：因为f(π2+x)=sin(π2+x)+1sin(π2+x)=cosx+1cosx≠f(−x)，所以B错误，选项C：因为f(π+x)=sin(π+x)+1sin(π+x)=−sinx−1sinx=f(−x)，所以C正确，选项D：因为f(2π+x)=sin(2π+x)+1sin(2π+x)=sinx+1sinx≠f(−x)，所以D错误，故选：C．对于各个选项根据f(2a+x)=f(−x)关于x=a对称即可验证选项是否正确．本题考查了函数的对称性以及奇偶性，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵y=x−f(x)的图象过点(1,3)，∴3=1−f(1)，即f(1)=−2，即函数y=f(x)的图象过点(1,−2)，则函数y=f(x)的反函数y=f−1(x)过(−2,1)点，∴函数y=f−1(x)+3的图象一定过点(−2,4)，故选：C．由函数y=f(x)的反函数为y=f−1(x)，且函数y=x−f(x)的图象过点(1,3)，则函数y=f(x)的图象过(1,−2)点，根据原函数与反函数图象的关系，我们易得函数y=f(x)的反函数y=f−1(x)过(−2,1)点，进而得到函数y=f−1(x)+3的图象过的定点．本题考查的知识点是函数的图象及图象的变化，处理本题的核心是：互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称，具体为：函数y=f(x)的图象过(a,b)点，则函数y=f(x)存在反函数y=f−1(x)的图象过(b,a)点．4.【答案】D【解析】解：∵a1，a2，a3，a4均为正数，且a1+a2+a3+a4=10，若a1，a2，a3，a4均大于等于3，则a1+a2+a3+a4≥12这与已知矛盾，所以命题一正确．AB错误，反证法：假设a1，a2，a3，a4均大于1，设b i=a i−1>0(i=1,2，3，4)，代入a1a2a3a4=7可得：7=(b1+1)(b2+1)(b3+1)(b4+1)=1+(b1+b2+b3+ b4)+⋯>1+(b1+b2+b3+b4)>7矛盾，所以假设错误，所以命题二正确，故选：D．利用反证法，即可解决问题．本题考查了命题的真假判断与应用，涉及到反证法的证明，属于基础题．5.【答案】(−1,3]【解析】解：∵集合U=R，集合A={x|x−3>0}={x|x>3}，B={x|x+1>0}={x|x>−1}，∴C U A={x|x≤3}，∴B∩∁U A={x|−1<x≤3}=(−1,3]．故答案为：(−1,3]．分别求出集合A，B=，从而求出C U A，由此能求出B∩∁U A.本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】−45【解析】【分析】本题考查任意角的三角函数的定义，属于容易题．由于角α的终边过点(3,−4)，可得x=3，y=−4，r=5，由sinα=yr求得结果．【解答】解：∵角α的终边过点(3,−4)，∴x=3，y=−4，r=5，∴sinα=yr =−45，故答案为：−45．7.【答案】[−1,2]【解析】解：由题意得：3−|1−2x|≥0，即|2x−1|≤3，故−3≤2x−1≤3，解得：−1≤x≤2，故函数的定义域是[−1,2]，故答案为：[−1,2]．根据二次根式以及绝对值不等式求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．8.【答案】−160【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中含x3的项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．【解答】解：(2x−1)6的展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(−1)r⋅(2x)6−r，令6−r=3，可得r=3，故展开式中含x3的项的系数为−C63⋅23=−160，故答案为：−160．9.【答案】8【解析】解：由S10−S5=a6+a7+⋯+a10=(a6+a10)+(a7+a9)+a8=5a8=40，所以a8=8．故答案为：8根据前10项的和减去前5项的和等于第6项加到第10项，然后把5项中的项数之和为14的两项结合后，利用等差数列的性质得到第6项加到第10项的和等于第8项的5倍，由S10−S5=40列出关于第8项的方程，求出方程的解即可得到a8的值．此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道中档题．10.【答案】3【解析】【解答】在△ABC中，∵已知tanA=1，tanB=2，∴tanC=tan[π−(A+B)]=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanAtanB =−1+21−1×2=3，故答案为：3．【分析】由条件可得tanC=tan[π−(A+B)]=−tan(A+B)，再利用两角和的正切公式计算求得结果．本题主要考查两角和的正切公式，诱导公式的应用，属于基础题．11.【答案】3【解析】解：由cos(3x+π6)=0，可得3x+π6=kπ+π2，k∈Z，解得x=kπ3+π9，k∈Z，可得在[0,π]上的解为π9，4π9，7π9，共3个解．故答案为：3．由题意可得3x+π6=kπ+π2，k∈Z，求得x，由x的范围，通过k的取值，可得解的个数．本题考查三角方程的解法，考查方程思想和运算能力，是一道基础题．12.【答案】[−12,1 2 ]【解析】因为x2+y2=1，所以可设x=cosθ，y=sinθ，则xy=cosθsinθ=12sin2θ∈[−12,12]故答案为[−12,1 2 ]三角换元后，利用二倍角正弦公式和正弦函数的值域可得．本题考查了三角换元以及正弦函数的值域．属基础题．13.【答案】[0,√2]【解析】解：∵定义在[−a,a]上的函数f(x)=cosx−sinx=√2cos(x+π4)是减函数，其中a>0，∴x+π4∈[−a+π4,a+π4]，∴−a+π4≥0，且a+π4≤π，求得0<a≤π4，故a的最大值为π4，则当a取最大值π4时，x+π4∈[0,π2]，f(x)=√2cos(x+π4)的值域为[0,√2]，故答案为：[0,√2].由题意利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，利用余弦函数单调性求得a的值，再利用余弦函数的定义域和值域，得出结论．本题主要考查两角和差的三角公式，余弦函数单调性、余弦函数的定义域和值域，属于中档题．14.【答案】−2【解析】解：根据题意，函数f(x)=lg1+ax1+2x是奇函数，则有f(−x)+f(x)=0，即lg1+ax1+2x +lg1−ax1−2x=lg1−a2x21−4x2=0，则有a2=4，解可得a=±2，又由a ≠2，则a =−2，则f(x)=lg 1−2x1+2x ，有1−2x1+2x >0，解可得：−12<x <12，即函数的定义域为(−12,12)， 即0<b ≤12，故有−2≤a +b ≤−32， 故答案为：−2，(答案不唯一)根据题意，由奇函数的性质可得f(−x)+f(x)=0，即lg1+ax 1+2x+lg1−ax 1−2x=lg1−a 2x 21−4x 2=0，解可得a 的值，即可得函数的定义域，求出函数的定义域，可得b 的取值范围，即可得a +b 的取值范围，写出取值范围中的一个值即可，本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数定义域的求法，属于基础题．15.【答案】94【解析】解：S n =2[1−(−13)n ]1−(−13)=32−32⋅(−13)n ，①n 为奇数时，S n =32+32⋅(13)n ， 可知：S n 单调递减，且n →∞limS n =32，∴32<S n ≤S 1=2；②n 为偶数时，S n =32−32⋅(13)n ， 可知：S n 单调递增，且n →∞limS n =43，∴43=S 2≤S n <32， ∴S n 的最大值与最小值分别为：2，43， 考虑到函数y =3t −1t 在(0,+∞)上单调递增， ∴A ≤(3S n −1S n)min =3×43−143=134，B ≥(3S n −1S n)max =3×2−12=112，∴B −A 的最小值=112−134=94，故答案为：94．S n =32−32⋅(−13)n ，①n 为奇数时，S n =32+32⋅(13)n ，根据单调性可得：32<S n ≤S 1=2；②n 为偶数时，S n =32−32⋅(13)n ，根据单调性可得：43=S 2≤S n <32，可得S n 的最大值与最小值分别为：2，43，考虑到函数y =3t −1t 在(0,+∞)上单调递增，即可得出． 本题考查了等比数列的求和公式、单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】(−∞,0)∪(2√2,+∞)【解析】解：若函数g(x)=f(x)−|kx 2−2x|(k ∈R)恰有4个零点， 则f(x)=|kx 2−2x|有四个根，即y =f(x)与y =ℎ(x)=|kx 2−2x|有四个交点， 当k =0时，y =f(x)与y =|−2x|=2|x|图象如下：两图象只有两个交点，不符合题意；当k <0时，y =|kx 2−2x|与x 轴交于两点x 1=0，x 2=2k (x 2<x 1)， 图象如图所示：当x =1k 时，函数y =|kx 2−2x|的函数值为−1k ，函数y =−x 的函数值为−1k ， ∴两图象有4个交点，符合题意；当k >0时，y =|kx 2−2x|与x 轴交于两点x 1=0，x 2=2k (x 2>x 1)，在[0,2k )内两函数图象有两个交点，则若有四个交点，只需y =x 3与y =kx 2−2x 在(2k ,+∞)内有两个交点即可，即x 3=kx 2−2x 在(2k ,+∞)还有两个根，也就是k =x +2x 在(2k ,+∞)内有两个根， 函数y =x +2x ≥2√2，(当且仅当x =√2时，取等号)， ∴0<2k <√2，且k >2√2，得k >2√2，综上所述，k 的取值范围为(−∞,0)∪(2√2,+∞)． 故答案为：(−∞,0)∪(2√2,+∞)．问题转化为f(x)=|kx 2−2x|有四个根，即y =f(x)与y =ℎ(x)=|kx 2−2x|有四个交点，再分k =0，k <0，k >0讨论两个函数是否能有4个交点，进而得出k 的取值范围． 本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，PA =4，设E 为侧棱PC 的中点．∴点E 到平面ABCD 的距离ℎ=12PA =12×4=2， S 正方形ABCD =2×2=4， ∴正四棱锥E −ABCD 的体积：V =13×ℎ×S 正方形ABCD =13×2×4=83．(2)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，则B(2,0，0)，C(2,2，0)，P(0,0，4)，E(1,1，2)，D(0,2，0)， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，2)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,4)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)， 设平面PCD 的法向量n⃗ =(x,y ，z)，则{n⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2y +4z =0n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x =0，取y =2，得n⃗ =(0,2，1)， ∵直线BE 与平面PCD 所成角θ， ∴sinθ=|BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√4⋅√5=2√55， ∴θ=arcsin2√55． ∴直线BE 与平面PCD 所成角θ为arcsin 2√55．【解析】(1)求出点E 到平面ABCD 的距离ℎ=12PA =12×4=2，S 正方形ABCD =2×2=4，由此能求出正四棱锥E −ABCD 的体积．(2)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与平面PCD 所成角．本题考查正四棱锥的体积的求法，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．18.【答案】解：(1)由f(x)=ax 2−(a +1)x ，a <0，f(x)<0，即x(x −a+1a)>0，当a =−1时，a+1a=0，即x 2>0，可得x ≠0； 当a <−1时，a+1a>0，可得x <0或x >a+1a；当−1<a <0时，a+1a<0，可得x >0或x <a+1a；综上可得，a =−1时，解集为{x|x ≠0}；a <−1时，解集为{x|x <0或x >a+1a}；−1<a <0时，解集为{x|x >0或x <a+1a}；(2)若f(x)<g(x)在x ∈[2,3]时恒成立， 即为a(x 2−x +1)<14x 对2≤x ≤3时恒成立， 即有a <(14xx 2−x+1)min ， 设ℎ(x)=14x x 2−x+1=14x+1x−1，由y =x +1x −1在[2,3]递增，可得y =x +1x −1∈[2,73]， 可得ℎ(x)的最小值为6，则a <7，即a 的取值范围是(−∞,6)．【解析】(1)讨论a =−1，−1<a <0，a <−1，由二次不等式的解法可得所求解集； (2)由题意可得a <(14xx 2−x+1)min ，设ℎ(x)=14xx 2−x+1，x ∈[2,3]，由对勾函数的单调性可得所求最小值，可得a 的范围．本题考查含参的不等式的解法，以及不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为tanA =sinAcosA =125，可得cosA =5sinA 12，∵sin 2A +cos 2A =1， ∴sin 2A +(5sinA 12)2=1，又A ∈(0,π)，解得：sinA =1213，因为△ABC 外接圆的直径2R =132，由正弦定理2R =BCsinA ，可得BC =2RsinA =132×1213=6．(2)由(1)可得sinA =1213，cosA =√1−sin 2A =513， 因为其面积为6=12bcsinA =12×bc ×1213，解得bc =13， 由正弦定理可得a sinA =√bc sinBsinC，可得：asinA =√13sinBsin(π−A−B)=√13sinBsin(A+B)=√13613sin2B+526(1−cos2B)=√1312sin(2B−φ)+526，其中φ+A =π2，sinφ=513，cosφ=1213， ∵△ABC 是锐角三角形， ∴{A +B >π20<B <π2， ∴B ∈(π2−A,π2)，∴π2−A <2B −φ<π2+A ，∴sin(π2−A)<sin(2B −φ)≤sin π2， ∴513<sin(2B −φ)≤1， ∴√1312+526≤a sinA <√13513=13√55，∴133≤asinA <13√55，∴4≤a <12√55，即BC 的取值范围是[4,12√55).【解析】(1)由tanA =125求得sin A ，再利用正弦定理求解BC ，(2)由三角函数的有界性求BC 取值范围．本题考查了正弦定理以及转化为利用三角函数的有界性求最值，综合性强，难度大．20.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由题设可得：{2(q +q 2)=122q 2=2a 1+3d 16a 1+16×15d2=32q 3q >0，解得：{q =d =2a 1=1， ∴a n =1+2(n −1)=2n −1，b n =2n ； (2)由(1)知：a n b n =(2n −1)⋅2n ，∴T n =1×21+3×22+5×23+⋯+(2n −1)⋅2n ，又2T n =1×22+3×23+⋯+(2n −3)⋅2n +(2n −1)⋅2n+1， 两式相减得：−T n =2+2(22+23+⋯+2n )−(2n −1)⋅2n+1=2+2×22(1−2n−1)1−2−(2n −1)⋅2n+1，整理得：T n =(2n −3)⋅2n+1+6；(3)由(1)知：A ={x|x =2n −1,n ∈N ∗}={1,3，5，7，9，…}， B ={x|x =2n ,n ∈N ∗}={2,4，8，16，…}， A ∪B ={1,2，3，4，5，7，8，…}，∴c 1=1，c 2=2，c 3=3，c 4=4，…，即数列{c n }中的项是正奇数与2的正整数次幂， 当c n =64时，U n =(2+22+23+⋯+26)+(1+3+5+7+⋯+63)=2(1−26)1−2+32×(1+63)2=1150=U 38，即c 38=64，U 38=1150，又U 43=U 38+c 39+c 40+⋯+c 49=1150+(65+67+⋯+85)=1150+11(65+85)2=1975，此时|U n −2020|min =45．【解析】(1)由题设求出等差数列{a n }的首项a 1与公差d 及等比数列{b n }的公比为q ，即可求得a n ，b n ；(2)先由(1)求得a n b n ，再利用错位相减法求得其前n 项和；(3)由(1)可先列举出集合A、B中的一些元素，然后根据这些元素的特征求出数列{c n}中的项，进而求得|U n−2020|的最小值．本题主要考查等差、等比数列基本量的计算、错位相减法在数列求和中的应用及由等差、等比数列的项合成的新数列的和的求法，属于中档题．21.【答案】解：(1)f(x)=x2是定义域R上的C函数．理由：对任意的实数x1，x2，α∈(0,1)，有f(αx1+(1−α)x2)−αf(x1)−(1−α)f(x2)=(αx1+(1−α)x2)2−αx12−(1−α)x22=α(1−α)x12−α(1−α)x22+2α(1−α)x1x2=−α(1−α)(x1−x2)2≤0，即f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)，所以f(x)=x2是定义域R上的C函数；∈[0,1]，(2)对任意的0≤n≤m，取x1=m，x2=0，α=nm因为f(x)是R上的C函数，且a n=f(n)，a0=0，a m=2m，⋅2m=2n，可得a n=f(n)=f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)=nm那么S f=a1+a2+⋯+a m≤2(1+2+3+⋯+m)=m2+m，可得f(x)=2x是C函数，且使得a n=2n，(n=0,1，2，…，m)都成立，此时S f=m2+m，综上可得S f的最大值为m2+m；(3)证明：假设f(x)是R上的C函数，若存在m<n，且m，n∈[0,T]，使得f(m)≠f(n)，，则0<α<1，且n=αx1+(1−若f(m)<f(n)，设x1=m，x2=m+T，α=1−n−mTα)x2，那么f(n)=f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)=αf(m)+(1−α)f(m)=f(m)，这与f(m)<f(n)矛盾；，也可得到矛盾．若f(m)>f(n)，设x1=n，x2=n−T，α=1−n−mT所以f(x)在[0,T]上为常数函数，又因为f(x)为周期T的函数，所以f(x)在R上为常数函数，这与f(x)的最小正周期为T矛盾，所以f(x)不是R上的C函数．【解析】(1)f(x)=x2是定义域R上的C函数．计算f(αx1+(1−α)x2)−αf(x1)−(1−α)f(x2)，推出其小于等于0，即可；(2)先根据新定义求得a n=f(n)的范围，再结合新定义即可求出S f的最大值；(3)假设f(x)是R上的C函数，若存在m<n，且m，n∈[0,T]，使得f(m)≠f(n)，分f(m)<f(n)，f(m)>f(n)，利用反证法，可以证明f(x)不是R上的C函数．本题函数的新定义的理解和运用，以及函数的周期性和函数恒成立问题解法，考查转化思想和反证法的运用、运算能力和推理能力，属于难题．。

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 上海市进才中学2020届高三数学上学期第一次月考试题（含解析）一、填空题1.函数⎪⎭⎫⎝⎛-=3sin πωx y （0>ω）的最小正周期是π，则=ω . 2.若集合{}21<-=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=042x x xB ，则=B A . 3.方程1)3(lg lg =++x x 的解=x .4.已知幂函数()x f y =存在反函数，若其反函数的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛9,31，则该幂函数的解析式()x f = .5.函数)2cos()(ϕ+=x x f 的图像向左平移3π单位后为奇函数，则ϕ的最小正值为 . 6.若集合C B A 、、满足AB BC =，则下列结论：①A C ⊆；②C A ⊆；③A C ≠；④A =∅中一定成立的有 .（填写你认为正确的命题序号）7.已知偶函数()x f 在区间[)+∞,0单调递增，若关于x 的不等式()⎪⎭⎫⎝⎛<-3112f x f 的x 的取值范围是 .8.当10≤≤x 时，如果关于x 的不等式2||<-a x x 恒成立，那么a 的取值范围是 . 9.若函数lg(1)1()sin 0x x f x xx ⎧->=⎨<⎩，则()x f y =图像上关于原点O 对称的点共有对．10.已知c b a ,,都是实数，若函数()⎪⎩⎪⎨⎧<<+≤=c x a b xa x x x f 12的反函数的定义域是()+∞∞-,，则c 的所有取值构成的集合是 .11.对于实数x ，定义x 〈〉为不小于实数x 的最小整数，如 2.83〈〉=，1=-，44〈〉=.若x R ∈，则方程13122x x 〈+〉=-的根为 . 12.已知集合[][]9,41,+++=t t t t A ，A ∉0，存在正数λ，使得对任意A a ∈，都有A a∈λ，则t 的值是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确.考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.13.函数()f x 的图像无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数()f x 的图像都不能与函数12log y x =的图像重合，则函数()f x 可以是 （ ）A ．x y )21(= B ． )2(log 2x y = C ． )1(log 2+=x y D ． 122-=x y14.ABC ∆中“cos sin cos sin A A B B +=+”是“其为等腰三角形”的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 15.已知实数0,0a b >>,对于定义在R 上的函数)(x f ,有下述命题：①“)(x f 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(,0)A a 对称”； ②“)(x f 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”； ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的x ∈R ,都有()()f x a f x -=-”； ④ “函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =” 其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 16.存在函数()x f 满足，对任意R x ∈都有（ ）A ．()x x f sin 2sin =B ．()x x x f +=22sinC ．()112+=+x x f D ．()122+=+x x x f三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数()b ax x x f --=232，其中R b a ∈,.（1）若不等式()0≤x f 的解集是[]6,0，求a 与b 的值； （2）若a b 3=，求同时满足下列条件的a 的取值范围.①对任意的R x ∈都有()0≥x f 恒成立；②存在实数x ，使得()a x f 322-≤成立.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数bx ax x f ++=1)(2的图像过点)2,1(，且函数图像又关于原点对称.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若关于x 的不等式)4()2()(-+->t x t x f x 在),0(∞+上恒成立，求实数t 的取值范围.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C ）上运动，23MCN ∠=π，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是,,a b c ．（1）若,,a b c 依次成等差数列，且公差为2．求c 的值；（2）若c =ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值．20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知()122+-=x m x x f 定义在实数集R上的函数，把方程()x x f 1=称为函数()x f 的特征方程，特征方程的两个实根βα,（βα<）称为()x f 的特征根. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）求()()αβf f -的表达式；（3）把函数()x f y =，[]βα,∈x 的最大值记作()x f m ax ，最小值记作()x f min . 令()()()x f x f m g m in m ax -=，若()12+≤m m g λ恒成立，求λ的取值范围.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 设n 为正整数，集合(){}{}n k t t t t A kn,...,2,1,1,0,,...,,21=∈==αα.对于集合A 中的任意元素()n x x x ,...,,21=α和()n y y y ,...,,21=β. 记()()()()[]n n n n y x y x y x y x y x y x M --+++--++--+=...21,22221111βα. （1）当3=n 时，若()0,1,1=α，()1,1,0=β，求()αα,M 和()βα,M 的值；（2）当4=n 时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素βα,，当βα,相同时，()βα,M 是奇数；当βα,不同时，()βα,M 是偶数.求集合B 中元素个数的最大值；（3）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素βα,，()0,=βαM .写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由.上海市进才中学2020届高三数学第一次月考试卷一、填空题 1.函数⎪⎭⎫⎝⎛-=3sin πωx y （0>ω）的最小正周期是π，则=ω 2 . 【解析】：2||T πω=2.若集合{}21<-=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=042x x x B ，则=B A ()2,1-.【解析】：(1,3)(4,2)A B =-=-3.方程1)3(lg lg =++x x 的解=x 2 .【解析】：0(3)10x x x >⎧⎨+=⎩4.已知幂函数()x f y =存在反函数，若其反函数的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛9,31，则该幂函数的解析式()x f =21-x.【解析】：11111()9(9)93332f f αα-=⇒=⇒=⇒=-5.函数)2cos()(ϕ+=x x f 的图像向左平移3π单位后为奇函数，则ϕ的最小正值为 56π.【解析】：min 52(21),,0326k k Z πππϕϕϕ⨯+=-∈>⇒=6.若集合C B A 、、满足A B B C =，则下列结论：①A C ⊆；②C A ⊆；③A C ≠；④A =∅中一定成立的有 ① .（填写你认为正确的命题序号） 【解析】：,A A B A B AA AB BC C A C⇒⊆⇒⊆⊆⊆⊆⊆7.已知偶函数()x f 在区间[)+∞,0单调递增，若关于x 的不等式()⎪⎭⎫ ⎝⎛<-3112f x f 的x 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛32,31. 【解析】：111|21|21333x x -<⇒-<-< 8.当10≤≤x 时，如果关于x 的不等式2||<-a x x 恒成立，那么a 的取值范围是)3,1(-. 【解析】：22222(1)01||x x a x a x a x x x x x x<≤⇒-<⇒-<-<⇒-<<+ max min 222201()11,()1311x x x x x <≤⇒-=-=-+=+=或图像法(2)0||2x x x a =⇒-<成立9.若函数lg(1)1()sin 0x x f x xx ⎧->=⎨<⎩，则()x f y =图像上关于原点O 对称的点共有 4对．10.已知c b a ,,都是实数，若函数()⎪⎩⎪⎨⎧<<+≤=c x a b xax x x f 12的反函数的定义域是()+∞∞-,，则c 的所有取值构成的集合是{}0. 【解析】：1b x+ 能取到-∞0c ⇒= 或图像法11.对于实数x ，定义x 〈〉为不小于实数x 的最小整数，如 2.83〈〉=，1=-，44〈〉=.若x R ∈，则方程13122x x 〈+〉=-的根为97,44--.【解析】：1123223131(1)224n n x n Z x n ++-=∈⇒+=⨯+=++ 117102331452142n n x n o n r +<+>=⇒+-<≤⇒-<≤-⇒=-- 179245244x or x or ⇒-=--⇒=-- 12.已知集合[][]9,41,+++=t t t t A ，A ∉0，存在正数λ，使得对任意A a ∈，都有A a∈λ，则t 的值是 3,1- .【解析】：(1)0[,1][4,9]t y x t t t t t xλ>⇒=∈++++ 递减941(1)(4)(9)1149t t t t t t t t t t t t t λλλλ⎧≤+⎪⎪⎪≥+⎪+⇒⇒++=+⇒=⎨⎪≤+⎪+⎪⎪≥+⎩11(2)104(1)(4)(9)39449t t t t t t t t t t t t t t t λλλλ⎧≤+⎪⎪⎪≥⎪++<<+⇒+=++⇒=-⎨⎪≤+⎪+⎪⎪≥++⎩(3)90t +<⇒同一，无解二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确.考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.13.函数()f x 的图像无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数()f x 的图像都不能与函数12log y x =的图像重合，则函数()f x 可以是 （ D ）A ．x y )21(= B ． )2(log 2x y = C ． )1(log 2+=x y D ． 122-=x y【解析】：21()22x D y x -=⇒压缩了14.ABC ∆中“cos sin cos sin A A B B +=+”是“其为等腰三角形”的 （ D ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【解析】：sin()sin()44A B A B or A B ππ+=+⇒=+=(2),,A B B C or A C ===15.已知实数0,0a b >>,对于定义在R 上的函数)(x f ,有下述命题：①“)(x f 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(,0)A a 对称”；②“)(x f 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”； ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的x ∈R ,都有()()f x a f x -=-”； ④ “函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =” 其中正确命题的序号是（ A ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 【解析】：(3)()3f x =(4)()sin (2)sin ,(4)sin f x x f x x f x x ππ=-=-=-16.存在函数()x f 满足，对任意R x ∈都有（ D ）A ．()x x f sin 2sin =B ．()x x x f +=22sinC ．()112+=+x x f D ．()122+=+x x x f 【解析】：()(0)(sin0)sin00(0)(sin )sin12A f f f f NO ππ======⇒2()(0)(sin0)000(0)(sin )()22B f f f f NO πππ==+===+⇒2()(2)(11)|11|2,(2)((1)1)|11|0C f f f f NO =+=+==-+=-+=⇒21221112221122()()(2)|1|()(2)|21||1|D f t f x x x f t f x x x x x x t x x =+=+=+=-+=⇒++==-+-三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数()b ax x x f --=232，其中R b a ∈,.（1）若不等式()0≤x f 的解集是[]6,0，求a 与b 的值； （2）若a b 3=，求同时满足下列条件的a 的取值范围.①对任意的R x ∈都有()0≥x f 恒成立； ②存在实数x ，使得()a x f 322-≤成立. 【解析】：（1）0,9==b a ；（2）[][]0,16,9---∈ a .18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数bx ax x f ++=1)(2的图像过点)2,1(，且函数图像又关于原点对称.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若关于x 的不等式)4()2()(-+->t x t x f x 在),0(∞+上恒成立，求实数t 的取值范围.【解析】：（1）依题意，函数)(x f 的图象过点)2,1(和)2,1(--.所以⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-=++=011212211)2(211)1(b a b a b a b a f b a f ，故x x x f 1)(2+=. （2）不等式)4()2()(-+->t x t x f x 可化为t x x x )1(522+>++.即1522+++<x x x t 对一切的),0(∞+∈x 恒成立.因为41411522≥+++=+++x x x x x ，当且仅当1=x 时等号成立，所以4<t .19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C ）上运动，23MCN ∠=π，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是,,a b c ．（1）若,,a b c 依次成等差数列，且公差为2．求c 的值；（2）若c =ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值． 【解析】：（1）,,a b c 成等差，且公差为2，∴a =1cos 2C =-， ∴()()()()2224212422c c c c c -+--=---， 恒等变形得 2914c c -+又∴7c =（2）在ABC ∆中，sin sin sin AC BC ABABC BAC ACB==∠∠∠，∴2sin sinsin 33ACBC πθθ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，2sin AC θ=，2sin BC =∴ABC ∆的周长()f θAC BC AB =++2sin 2sin 3πθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭12sin 2θθ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2sin 3πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2333πππθ<+<,∴当32ππθ+=即6πθ=时，()f θ取得最大值220.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知()122+-=x m x x f 定义在实数集R上的函数，把方程()x x f 1=称为函数()x f 的特征方程，特征方程的两个实根βα,（βα<）称为()x f 的特征根. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）求()()αβf f -的表达式；（3）把函数()x f y =，[]βα,∈x 的最大值记作()x f m ax ，最小值记作()x f min .令()()()x f x f m g m in m ax -=，若()12+≤m m g λ恒成立，求λ的取值范围. 【解析】：（1）0=m 时，()122+=x x x f 是奇函数；0≠m 时，()122+-=x mx x f 是非奇非偶函数.证明：当0=m 时，()()()x f x xx f -=+--=-12，故()x f 是奇函数； 当0≠m 时，举反例说明. （2）()0112=--⇒=mx x xx f ，由042>+=∆m ，所以方程必有两个不等实根. m =+βα，1-=αβ，()()()()[]()()112212122222+++-+-=+--+-=-βααββααβααββαβm m m f f ()44442222+=+++=m m m m .11()()f f αββαβαβααβ--=-==-=（3）首先证明函数()x f 在[]βα,∈x 上是单调递增函数. 设任意的21,x x 满足βα<<<21x x ，()()()()[]()()11221212212221211221122212+++-+-=+--+-=-x x x x x x m x x x m x x m x x f x f ，因为()02010121221222121<-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧<--<--x x m x x mx x mx x x ， 所以()()012>-x f x f ，故()x f 在[]βα,∈x 内单调递增，可得，()42+=m m g ，1422+≤+m m λ恒成立13114222++=++≥⇒m m m λ恒成立 所以，2≥λ【说明】单调性不证明，只是说明单调性不扣分.不说明单调性直接给出结论扣2分.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设n 为正整数，集合(){}{}n k t t t t A kn ,...,2,1,1,0,,...,,21=∈==αα.对于集合A 中的任意元素()n x x x ,...,,21=α和()n y y y ,...,,21=β.记()()()()[]n n n n y x y x y x y x y x y x M --+++--++--+= (2)1,22221111βα. （1）当3=n 时，若()0,1,1=α，()1,1,0=β，求()αα,M 和()βα,M 的值；（2）当4=n 时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素βα,，当βα,相同时，()βα,M 是奇数；当βα,不同时，()βα,M 是偶数.求集合B 中元素个数的最大值；（3）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素βα,，()0,=βαM .写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由.【解析】：（1）()0,1,1=α，()1,1,0=β，()2,=ααM ，()1,=βαM ；（2）设，()B x x x x ∈=4321,,,α，则()4321,x x x x M +++=αα，由题意知，{}1,0,,,4321∈x x x x ，且()αα,M 为奇数，所以，4321,,,x x x x 中1的个数为1或3，所以，()()()()()()()(){}0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1⊆B ， 将上述集合中的元素分成如下四组：()()0,1,1,1,0,0,0,1；()()1,0,1,1,0,0,1,0；()()1,1,0,1,0,1,0,0；()()1,1,1,0,1,0,0,0，经验证，对于每组中两个元素βα,，均有()1,=βαM ，所以每组中的两个元素不可能同时是集合是集合B 的元素，所以集合B 中元素的个数不超过4，又集合()()()(){}1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1满足条件，所以集合B 中元素个数的最大值为4.（3）设()(){}0...,1,,...,,,...,,1212121=====∈=-k k k k k x x x x A x x x x x x S ，n k ,...,2,1= (){}0...,...,,21211=====+n n n x x x x x x S ，则121...+=n S S S A ，对于()1,...,2,1-=n k S k 中的不同元素βα,，经验证，()1,≥βαM ，所以，()1,...,2,1-=n k S k 中的两个元素不可能同时是集合B 的元素，所以，B 中元素的个数不超过1+n ，取()k n k S x x x e ∈=,...,,21且0...1===+n k x x （1,...,2,1-=n k ）.令()1121,...,,+-=n n n S S e e e B ，则集合B 的元素个数为1+n ，且满足条件. 故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合.。

2021届上海市进才中学高三上学期12月月考数学试题2020．12一、填空题1．若集合{12}A x Z x =∈-<<∣，{}220B xx x =-=∣，则A B ⋃=__________ 2．若x 、y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3x y +的最小值为________3．已知向量(2,1),(2,1)a b k k ==-+，且a b ⊥，求实数k =_______4．直线1l ：(3)30a x y ++-=与直线2:5(3)40l x a y +-+=，若1l 的方向向量是2l 的法向量，则实数a =______5．5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 项的系数为______6．通过手机验证码登录共享单车APP ，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码()1234,,,a a a a 满足1234a a a a <<<，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为______7．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则()12231lim n n n a a a a a a +→+∞+++=______8．设函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0ω>，若函数()f x 在[0,2]π上恰有2个零点，则ω的取值范围为_____9．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列{}n a 的通项公式为cos sin (1,2,3,)20202020n n n a i n ππ=+=，则数列{}n a 前2020项的乘积为___________ 10．已知函数()1()(1)2xx f x a a a -=->的反函数为1()y f x -=，当[3,5]x ∈-时，函数1()(1)1F x f x -=-+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=____________11．已知实数λ同时满足：（1）(1)AD AB AC λλ=+-，其中D 是ABC 边BC 延长线上一点：（2）关于x 的方程22sin (1)sin 10x x λ-++=在[0,2)π上恰有两解，则实数λ的取值范围是___________ 12．已知{}n a 的首项为4，且满足()*12(1)0n n n a na n N ++-=∈，则下列命题：①n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；②{}n a 是递增数列；③设函数211()2x n n a f x x a -+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则存在某个区间()*(,1)n n n N +∈，使得()f x 在(,1)n n +上有唯一零点；则其中正确的命题序号为__________二、选择题13．直线3490x y --=与圆224x y +=的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相交且不过圆心 C ．相以 D ．相离14．已知函数()f x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经过如下变换得到：先将()g x 的图像向右平移3π个单位长度，再将其图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数()f x 的图像的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．712x π= 15．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c ，以下两个命题：①如果{}n n a b +、{}n n b c +、{}n n a c +都是递增数列，则{}n a 、{}n b 、{}n c 都是递增数列；②如果{}n n a b +、{}n n b c +、{}n n a c +是等差数列，则{}n a 、{}n b 、{}n c 都是等差数列；下列判断正确的是（ ）A ．①②都是真命题B ．①②都是假命题C ．①是真命题，②是假命题D ．①是假命题，②是真命题16．已知单位向量a 、b ，且0a b ⋅=，若[0,1]t ∈，则5|()|(1)()12t b a a b ta b -+++--的最小值为（） A B ．1312C D ．1 三．解答题17．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,2,4AB BC CC ===，M 为棱1CC 上一点．（1）若11C M =，求异面直线1A M 和11C D 所成的角； （2）若12C M =，求点B 到平面11A B M 的距离．18．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）若23,cos 3a cb B ===，求c 的值（2）若sin cos 2A B a b =，求sin 2B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．19．某油库的设计最大容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求量y （万吨）与x的函数关系为()*0,116,y p x x N =>≤≤∈，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x 个月油库满足区域内外需求后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式：（2）要使16个月内油库总能满足区域内和区域外的需求，且油库的石油剩余量不超过油库的最大容量，试确定m 的取值范围．20．已知数列{}n a 、{}n b 的各项均为正数，且对任意*n N ∈，都有n a 、n b 、1n a +成等差数列，n b 、1n a +、1n b +成等比数列，且1210,15a a ==．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （3）设12111n n S a a a =+++，如果对任意*n N ∈，不等式22n n nb a S a ⋅<-恒成立，求实数a 的取值范围．21．设对集合D 上的任意两相异实数1x 、2x ，若()()()()1212f x f x g xg x -≥-恒成立，则称()f x 在D 上优于()g x ，若()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，则称()f x 在D 上严格优于()g x ．（1）设()f x 在R 上优于()g x ，且()y f x =是偶函数，判断并证明()y g x =的奇偶性；（2）若()f x 在R 上严格优于()g x ，()()()h x f x g x =+，若()y f x =是R 上的增函数，求证：()()()h x f x g x =+在R 上也是增函数；（3）设函数()log 8,()log ()log ()a a a f x x g x a x a x ==+--，若01a <<，是否存在实数(0,)t a ∈使得()f x 在(0,]D t =上优于()g x ，若存在，求实数t 的最大值，若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题1．{0,1,2} 2．2- 3．5 4．2-5．80 6．72000 7．323 8．54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭9．i 10．2 11．4λ<-或1λ=--．②③二、选择题13．B 14．A 15．D 16．B三、解答题17．（1）或arctan 2arccos 3；（2）h =．解：（1）由题意，1111,2C M B C BC ===，111B C C M ⊥，得1B M =∵1111A B C D ∥，所以异面直线1A M 和11C D 所成角即为1A M 和11A B ，所成角长方体1111ABCD A B C D -，D 中，1111111,A B B C A B B B⊥⊥，∴11A B ⊥面11B BCC ，∴111A B B M ⊥，故可得11B A M ∠为锐角且11111tan 2B M B A M B A ∠==112arctanarcsin ,arccos 233B A M ∠=（2）设点B 到平面11A B M 的距离为h，11111,B A B M M A B B V V B M --==，11112242,3232h h ∴⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯∴= 18．（1）3c =；（2）5（1）由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c +-=⨯⨯ ，即213c =，所以3c =．（2）因为sin cos 2A B a b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B = 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =． 因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，cos 5B =．因此sin cos 2B B π⎛⎫+== ⎪⎝⎭ 19．（1）()*10116,M mx x x x N =--≤≤∈；（2）71924m ≤≤ （1）由条件得202100p ==，)*116,y x x N=≤≤∈ 2分()*10,116,M mx x x x N =--≤≤∈ 6分（2）因为030M ≤≤，所以()*100116,1030mx x x x N mx x ⎧+--⎪≤≤∈⎨+--⎪⎩恒成立． 8分()*101116,201m x x x N m x ⎧≥-⎪⎪⇒≤≤∈⎨⎪≤++⎪⎩恒成立 10分t =，则：221010111114420101m t t t t m t t ⎧≥-++⎛⎫≤≤⇒≤≤⎨ ⎪≤++⎝⎭⎩恒成立， 由2217110101101224m t t t t ⎛⎫⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立得72m ≥（4x =时取等号） 12分212010114m t t t ⎛⎫≤++≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得194m ≤（16x =时取等号）所以71924m ≤≤． 14分20．（1）证明略；（2）2(3)(4)(4),22n n n n n a b +++==；（3）1a ≤．解：（1）由已知．12n n n b a a +=+①，211n n n a b b ++=②．由②可得1n a +=③ 将③代入①，得对任意*2,n n N ≥∈，有2n b =，即所以，是等差数列 （2）设数列的公差为d ．由1210,15a a ==，得1225,18,2b b ====，2d ==2(4)(1)(1)4),2222n n n d n n b +=-⋅=+-=+=．由已知，当2n ≥时，(3)(4)2n n n a ++==，而110a =也满足此式．所以数列{}n a 、{}n b 的通项公式为：2(3)(4)(4),22n n n n n a b +++==．（3）由（2），得12112(3)(4)34n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， 则111111112245563444n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 不等式22n n n b aS a <-化为11442443n a n n +⎛⎫-<- ⎪++⎝⎭． 解法一：不等式化为2(1)(36)80a n a n -+--<，设2()(1)(36)8f n a n a n =-+--，则()0f n <对任意*n ∈N 恒成立． 当10a ->，即1a >时，不满足条件，当10a -=，即1a =时，满足条件． 当10a -<，即1a <时，函数()f n 图像的对称轴为直线3(2)02(1)a x a -=-<-，()f n 关于n 递减，只需(1)4150f a =-<，解得154a <，故1a <． 综上可得，a 的取值范围是(,1]-∞．解法二：不等式化为22683n n a n n ++<+对任意*n ∈N 恒成立，即23813n a n n+<++ 设238()3n f n n n+=+，任取1n 、*2n N ∈，且12n n <，则()()1212221122383833n n f n f n n n n n ++-=-++ ()()()()2112122211223824033n n n n n n nn n n -+++⎡⎤⎣⎦=>++，故()f n 关于n 递减．又()0f n >且lim ()0n f n →∞=，所以238113n n n++>+对任意*n ∈N 恒成立，所以1a ≤． 因此，实数a 的取值范围是(,1]-∞．21．（1）偶函数，证明略；（2）证明略；（3）max 1)t a =．解：（1）设 为任意实数，因为()y f x =是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()0f x f x --=， ∴|()()|0g x g x --≤，即()()g x g x -=，∴()y g x =为偶函数 4分 （2）对于任意1x ，2x ，且12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <， 即()()120f x f x -<， 5分 所以()()()()()()121221g x g x f x f x f x f x -<-=-()()()()()()()()()()1212211122f x f x g x g x f x f x f x g x f x g x -<-<-⇒+<+即()()12h x h x <，得证． 10分 （3）若存在实数(0,)t a ∈使得()f x 在(0,]D t =上优于()g x ，因为01a <<，()()()()1212f x f x g x g x -≥-，在12,(0,]x x t ∈时恒成立，不妨设120x x t <<≤，则1201x x <<，∴()()112122log 8log 8log a a ax f x f x x x x -=-=， ()()()()()()22122112211212221212211221log log log log a a a a a x x a x x a x x a x x a x a x g x g x a x a x a x x a x x a x x a x x ------++∴-=-==---+--+-()()212211221221a x x a x x x x a x x a x x ---∴≤-+-在12,(0,]x x t ∈时恒成立()()()()212121221120a x x x x x x a x x x x ⇔---+-+≤在12,(0,]x x t ∈时恒成立， ()212120a x x a x x ⇔--+≥在12,(0,]x x t ∈时恒成立．令2220a t at --=，取1)t a =当1201)x x a <<≤时，()222212121)]1)0a x x a x x a a a --+>--=，当121)a x x a ≤<<时，()222212121)]1)0a x x a x x a a a --+<--=不合题意．综上所述，实数t 的最大值为1)a ．。

2021年高三数学上学期期中试题（含解析）沪教版一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每题4分，请在相应的空格内填上正确的答案， 每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知集合，，则 . 解析：，.2. 函数的最小正周期为 .解析：()2sin cos sin 2cos2442f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以最小正周期.3. 已知的展开式中，的系数为，那么实数 .解析：，令.4. 已知集合，，若，则实数的所有可能取值组成的集合为 . 解析：分类讨论，不要忘了空集的情况：.5. 在中，角所对的边长分别为.若，则最大角为 .解析：由正弦定理可得，有余弦定理即可得最大角的余弦值，即.6. 已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中8个白球、8个黑球. 现从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为 .（结果精确到0.001） 解析：7. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，若直线的倾斜角为，则的值为 .解析：很明显，所以，即.8. 若函数在上单调递增，则的取值范围是 .解析：在上单调递增，内函数在上递增且函数值大于0，所以.9. 若一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 . 解析：轴截面是边长为，则底面半径，母线，所以侧面积为.10. 已知定义在上的函数与的图像相交与点，过点作轴于，直线与的图像交于点，则线段的长度为 . 解析：,.11. 已知函数满足，若是的反函数，则关于的不等式的解集是 . 解析：，所以， 即.12. 设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一的零点，则实数的取值范围是 . 解析：为偶函数，，结合图形可知. 13. 设函数的定义域为，其中. 若函数在区间上的最大值为6，最小值为3，则在区间上的最大值与最小值之和为 .解析：令，定义域为，则有在区间上的最大值为5，最小值为2，当为偶函数时，在区间上的最大值为5，最小值为2，此时在区间上的最大值与最小值之和为9；当为偶奇函数时，在区间上的最大值为-2，最小值为-5，此时在区间上的最大值与最小值之和为-5；综上，应填或14.已知命题“，，则集合”是假命题，则实数的取值范围是 .解析：原命题为假命题，即在上有解.显然.当时，结合函数图像可得，无解；当时，结合函数图像可得，所以，.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，请在括号内填上正确的选项，选对得5分，否则一律得0分.15. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A. B.C. D.解析：有各函数的基本性质即可知符合题意，选择.16.在钝角中，“”是“”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件解析：能得到，反之不一定成立，还可以为.17. 已知函数，其中，，则下列判断正确的是（）A.当时，的最小值为B.当时，的最小值为C.当时，的最小值为D.当时，的最小值为解析：，令，结合函数图像，可得到当时，取到最小值，所以选择C.18. 给定方程：，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在内有且仅有一个实数解；④若是该方程的实数解，则.其中正确的命题个数是（）A.1个B.2个C. 3个D.4个解析：，的解就等价于函数与的交点个数，作出图像即可判断只有①不对；所以选择C.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分） 如图，直三棱锥中，，.⑴求直三棱锥的体积；⑵若是的中点，求异面直线与所成的角. 解析：∵ 且，∴ . ⑴； ⑵如图，取中点，连接、，又是的中点， 所以，所以即为异面直线与所成的角.计算可得，， 在中，由余弦定理可得，即异面直线与所成的角为. 20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()sin 2sin 22,33f x x x x m x R ππ⎛⎫⎛⎫=++-+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且的最大值为1.⑴求的值，并求的单调递增区间；⑵在中，角的对边为，若，且.试判断的形状.解析：⑴∵ ()sin 2sin 22sin 22332sin 23f x x x x m x x mx mπππ⎛⎫⎛⎫=++-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∴即；令，得的单调递增区间为； ⑵，∴ ，又，∴21222a cb a bc c c ⇒-=⇒=， 即，故，所以为钝角三角形.21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．⑴该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ ⑵要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？C1B A 1CC1B 1C解析：⑴每吨的平均处理成本为22004000040000200400200200y x x x x x x-+==+-≥-= 当且仅当即每月处理量为吨时每吨的平均处理成本最低，最低为200元； ⑵设该单位每月获利为（元），则单位每月获利为处理二氧化碳得到可利用的化工产品价值减去月处理成本．()2230030020040000500400000S x y x x x x x =-=--+=-+-≥解之得：由题意可知，所以当时，该单位每月不亏损.小题满分6分.已知函数，其中常数. ⑴时，求的最小值. ⑵讨论函数的奇偶性.⑶若恒成立，求实数的取值范围. 解析： ⑴时，，当且仅当即时取最小值2. ⑵，，所以当时为偶函数，因为此时有恒成立； 当时为奇函数，因为此时有恒成立. 当时为非奇非偶函数. ⑶由得；()()1122122222x x x x f x f x a a +---+<⇒+⋅<+⋅，令，有，即， 所以.小题满分8分.设函数为定义在上的奇函数，. 当时，. ⑴当时，求的解析式；⑵记，为，求及其反函数的解析式；⑶定义其中，探究方程在区间上的解的个数.解析： ⑴当时，，，即；当时，，有. ⑵()()()()()242f x f x f x f x f x +=-⇒+=-+=，则的周期为； 当时，， ∴ ，， 即.⑶由可得的对称轴为，所以的图像如下：接下来求解在上的解析式：①当为偶数时，为其周期，.所以； ②当为奇数时，为其周期，.所以()()()()()()3322222f x f x k x k f x k x k =-=--=--=--综上，，，所以将向右移动个单位，再向上移动个单位即可得到的图像： 显然，是连续的递增函数，∴ 当时，方程在区间上有一解， 当时，方程在区间上无解.% 28337 6EB1 溱36290 8DC2 跂34057 8509 蔉34865 8831 蠱25489 6391 掑a38884 97E4 韤h,32718 7FCE 翎22810 591A 多F。

2020-2021学年上海市金山中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题4分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1．（4分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}（x+2）＜0}，则A∩B＝．2．（4分）复数的虚部为．3．（4分）若球主视图的面积为9π，则该球的体积等于4．（4分）《易经》是中国传统文化中的精髓．如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“─”表示一根阳线，“﹣﹣”表示一根阴线），从八卦中任取一卦．5．（4分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（2，0）y＝0垂直，则双曲线C的标准方程为．6．（4分）在△ABC中，若，则角B的大小为．7．（5分）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转（﹣1，），则sinα＝．8．（5分）展开式中x2的系数为．9．（5分）已知数列{a n}满足，则数列的前n项和S n为．10．（5分）在△ABC中，已知，sin B＝cos A•sin C，S△ABC＝6，P为线段AB上的点，且，则xy的最大值为．11．（5分）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德•黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，若函数f（x）是定义在R上的奇函数（2﹣x）+f（x）＝0，1]时，f（x）＝R（x），则＝．12．（5分）将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解（p≤q，p∈N*，q∈N*）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n），例如f（12）＝4﹣3＝1n）}的前2020项和为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）若样本平均数为，总体平均数为μ，则（）A．＝μB．≈μC．μ是的估计值D．是μ的估计值14．（5分）标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况361种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，即1000052，下列数据最接近的是（lg3≈0.477）（）A．10﹣37B．10﹣36C．10﹣35D．10﹣3415．（5分）设a，b∈R，命题p：a＞b，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）在直角坐标系xOy中，对于点（x，y），定义变换σ：将点（x，y）（a，b），使得其中1＝2x（x＞0），，，y4＝lnx（x＞1）在坐标系xOy内的图象，变换为坐标系aOb内的四条曲线（如图）（）A．②，③，①，④B．③，②，④，①C．②，③，④，①D．③，②，①，④三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，若∠DAB＝60°，AB＝2（1）求证：P A⊥BD；（2）若∠PCD＝45°，求点D到平面PBC的距离h．18．（14分）已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象过点（0，），且最小值为﹣1．（1）求函数f（x）的解析式．（2）若x∈[，m]，f（x）的值域是[﹣1，﹣]19．（14分）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足（k为常数），则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元（此处每件产品年平均成本按元来计算）（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？20．（16分）在平面直角坐标系xOy中已知A（﹣1，﹣1），B（2，﹣1），C（m，n）为三个不同的定点以原点O为圆心的圆与线段AB，AC（Ⅰ）求圆O的方程及m，n的值；（Ⅱ）若直线l：y＝﹣x+t（t∈R）与圆O相交于M，N两点，且，求t的值；（Ⅲ）在直线AO上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（λ为常数）？若存在，求出点Q的坐标及λ的值，请说明理由．21．（16分）已知数列{a n}，记集合T＝{S（i，j）|S（i，j）i+a i+1+…+a j，1≤i＜j．i，j∈N*}．（Ⅰ）对于数列{a n}：1，2，3，4，写出集合T；（Ⅱ）若a n＝2n，是否存在i，j∈N*，使得S（i，j）＝1024？若存在，求出一组符合条件的i，j，说明理由；（Ⅲ）若a n＝2n﹣2，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为B：b1，b2，…，b m，…．若b m≤2020，求m的最大值．2020-2021学年上海市金山中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题4分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1．（4分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}（x+2）＜0}，则A∩B＝{﹣1}．【分析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{﹣2，﹣1，3，B＝{x|﹣2＜x＜0}，∴A∩B＝{﹣4}．故答案为：{﹣1}．【点评】本题考查了列举法和描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（4分）复数的虚部为﹣．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数＝＝＝﹣i的虚部为﹣，故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（4分）若球主视图的面积为9π，则该球的体积等于36π【分析】由球主视图是圆得圆的半径，得球的体积．【解答】解：因为πR2＝9π，所以R＝3，所以体积公式为V＝＝36π．故答案为36π．【点评】本题考查球的体积公式，属于简单题．4．（4分）《易经》是中国传统文化中的精髓．如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“─”表示一根阳线，“﹣﹣”表示一根阴线），从八卦中任取一卦．【分析】从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m＝3，然后求出概率．【解答】解：从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，这一卦的三根线中恰有2根阳线和6根阴线包含的基本事件个数m＝3，∴这一卦的三根线中恰有2根阳线和3根阴线的概率为p＝＝．故答案为：．【点评】本题考查学生合情推理能力，涉及概率的求法，古典概率，考查运算求解能力，是基础题．5．（4分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（2，0）y＝0垂直，则双曲线C的标准方程为x2﹣＝1．【分析】先求出c＝2，再由它的一条渐近线与直线l：x+y＝0垂直可得b＝a，根据c2＝a2+b2，解得即可【解答】解：∵双曲线C：﹣＝1（a＞2，0），∴c＝2，∵它的一条渐近线与直线l：x+y＝0垂直，∴•（﹣，即b＝a，∵c2＝a4+b2，∴a＝1，b＝，∴双曲线C的标准方程为x2﹣＝1，故答案为：x2﹣＝1．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查两直线垂直的条件，考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．6．（4分）在△ABC中，若，则角B的大小为或．【分析】结合正弦定理即可直接求解sin B，进而可求B．【解答】解：∵，∴由正弦定理，可得sin B＝＝＝，∵b＞c，B＞C，∴B＝或．故答案为：或．【点评】本题主要考查了利用正弦定理求解三角形，属于基础试题．7．（5分）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转（﹣1，），则sinα＝1．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得α的值，可得sinα的值．【解答】解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合后经过点（﹣1，），∴tan（α+）＝，故α+．∴可令α+＝，此时，sinα＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．8．（5分）展开式中x2的系数为30．【分析】分析展开式中x2的项的两种可能的来由，结合二项式定理求系数．【解答】解：当（1+）选择1时6展开式选择x6的项为；当（1+时，（2+x）6展开式选择为，所以（1+）（1+x）6展开式＝30；故答案为：30．【点评】本题考查了二项式定理的运用；关键是明确展开式得到x2的两种情况．9．（5分）已知数列{a n}满足，则数列的前n项和S n为．【分析】利用已知条件求出数列的通项公式，化简所求数列的通项公式，然后利用裂项相消法1就数列的和即可．【解答】解：当n≥2时，由，得，两式相减，得，又，适合，所以，所以．故答案为：．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，是中档题．10．（5分）在△ABC中，已知，sin B＝cos A•sin C，S△ABC＝6，P为线段AB上的点，且，则xy的最大值为3．【分析】由条件求得bc cos A＝9，bc sin A＝6，tan A＝，可得c＝5，b＝3，a＝4，以AC 所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0），A（3，0），B（0，4）．设＝，＝，则＝（x，y），可得x＝3λ，y＝4﹣4λ则4x+3y＝12，利用基本不等式求解最大值．【解答】解：△ABC中，设AB＝c，AC＝b，sin（A+C）＝sin C cos nA，即sin A cos C+sin C cos A＝sin C cos A．∴sin A cos C＝0，∵sin A≠0，C＝90°．∵＝8，S△ABC＝6，∴bc cos A＝9，，∴tan A＝．根据直角三角形可得sin A＝，cos A＝，∴c＝5，a＝8．以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，A（3，B （8．P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得+（1﹣λ），4﹣2λ）（0≤λ≤1）．设＝，＝，则||＝1＝（7，＝（0．∴＝（x，y）＝（x，可得x＝4λ，12＝4x+3y≥3，解得xy≤3，故所求的xy最大值为：3．故答案为7．【点评】本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的是一个单位向量，从而可用x，y表示，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x＝3λ，y＝4﹣4λ发现4x+3y＝12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最大值，属于中档题．11．（5分）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德•黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，若函数f（x）是定义在R上的奇函数（2﹣x）+f（x）＝0，1]时，f（x）＝R（x），则＝．【分析】根据条件可得出f（x+2）＝f（x），即得出f（x）的周期为2，并且当x∈[0，1]时，f（x）＝R（x），从而可得出．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f（2﹣x）+f（x）＝0，∴f（6﹣x）＝f（﹣x），∴f（x+2）＝f（x），即f（x）的周期为2，∵当x∈[3，1]时，＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了奇函数的定义，周期函数的定义，对黎曼函数的理解，对数的运算性质，考查了计算能力，属于中档题．12．（5分）将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解（p≤q，p∈N*，q∈N*）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n），例如f（12）＝4﹣3＝1n）}的前2020项和为31010﹣1．【分析】求得n＝1，2，3，4，归纳得到f（32k﹣1）＝2×3k﹣1，f（32k）＝0，k∈N*，再由等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：由题意得f（3）＝3﹣1＝2，f（32）＝6﹣3＝0，f（53）＝34﹣3＝2×7＝6，f（35）＝32﹣22＝0，…，归纳得f（52k﹣1）＝7k﹣3k﹣1＝5×3k﹣1，f（52k）＝3k﹣2k＝0，k∈N*，则f（3）+f（33）+f（33）+…+f（82020）＝f（3）+f（33）+f（75）+…+f（32019）＝7×30+3×31+5×32+…+7×31009＝．故答案为：31010﹣3．【点评】本题考查新定义函数f（n）的理解和运用，以及数列的求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．（5分）若样本平均数为，总体平均数为μ，则（）A．＝μB．≈μC．μ是的估计值D．是μ的估计值【分析】统计学中利用样本数据估计总体数据，可知样本平均数是总体平均数的估计值．【解答】解：样本平均数为，总体平均数为μ，统计学中，利用样本数据估计总体数据，∴样本平均数是总体平均数μ的估计值．故选：D．【点评】本题考查了利用样本数据估计总体数据的应用问题，是基础题．14．（5分）标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况361种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，即1000052，下列数据最接近的是（lg3≈0.477）（）A．10﹣37B．10﹣36C．10﹣35D．10﹣34【分析】根据题意，对取对数可得lg＝lg3361﹣lg1000052＝361×lg3﹣52×4≈﹣35.8，即可得≈10﹣35.8，分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，对于＝lg7361﹣lg1000052＝361×lg3﹣52×4≈﹣35.2，则≈10﹣35.8，分析选项：B中10﹣36与其最接近，故选：B．【点评】本题考查对数的计算，关键是掌握对数的运算性质．15．（5分）设a，b∈R，命题p：a＞b，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分、必要条件的定义以及不等式的性质即可判断．【解答】解：若a＞b≥0，a2＞b8即有a|a|＞b|b|；若a≥0＞b，显然有a|a|＞b|b|；若0＞a＞b，则a8＜b2，而a|a|＝﹣a2，b|b|＝﹣b7，所以a|a|＞b|b|，故a＞b可以推出a|a|＞b|b|．若a|a|＞b|b|，当b＜0时，不等式显然成立；如果a＜0，则有﹣a2＞﹣b2，因而a＞b；当b≥0时，a＞62＞b2，因而a＞b，故a|a|＞b|b|可以推出a＞b．故选：C．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的判断，涉及到分类讨论思想的应用，属于中档题．16．（5分）在直角坐标系xOy中，对于点（x，y），定义变换σ：将点（x，y）（a，b），使得其中1＝2x（x＞0），，，y4＝lnx（x＞1）在坐标系xOy内的图象，变换为坐标系aOb内的四条曲线（如图）（）A．②，③，①，④B．③，②，④，①C．②，③，④，①D．③，②，①，④【分析】用x，y表示出a，b，根据反正切函数的单调性得出各自图象的a，b的范围及大小关系，从而得出答案．【解答】解：由可得，对于y3＝e x（x＞0），显然y5＞1，∴b＝arctan y3＞，∴y3对应的图象为①；对于y4＝lnx（x＞6），a＝arctan x＞arctan1＝4对应的图象为④；对于y1和y2，当8＜x＜2时，2x＞x2，∴arctan2x＞arctan x2，即当5＜a＜arctan2时，∴arctan y1＞arctan y2，∴y1对应的图象为②，y2对应的图象为③．故选：A．【点评】本题考查了反正切函数的性质，基本初等函数的性质，属于中档题．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，若∠DAB＝60°，AB＝2（1）求证：P A⊥BD；（2）若∠PCD＝45°，求点D到平面PBC的距离h．【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明AD⊥BD，结合BD⊥PD得出BD⊥平面P AD，故而P A⊥BD；（2）根据V P﹣BCD＝V D﹣BCP列方程解出h．【解答】（1）证明：∵AD＝1，AB＝2，∴BD3＝AB2+AD2﹣5AB•AD•cos60°＝3，∴AD2+BD7＝AB2，∴AD⊥BD，∵PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PD⊥BD，又AD∩PD＝D，∴BD⊥平面P AD，∵P A⊂平面P AD，∴BD⊥P A．（2）解：由（1）可知BC⊥BD，∴S△BCD＝＝，∵∠PCD＝45°，∴PD＝CD＝7，∴V P﹣BCD＝＝．∵PC＝CD＝7＝，BC＝1，∴BC4+PB2＝PC2，∴PB⊥BC，∴S△BCP＝＝，∴V D﹣BCP＝＝，又V P﹣BCD＝V D﹣BCP，∴＝，解得h＝．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．18．（14分）已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象过点（0，），且最小值为﹣1．（1）求函数f（x）的解析式．（2）若x∈[，m]，f（x）的值域是[﹣1，﹣]【分析】（1）依题意，易求A＝1，ω＝3，由函数的图象过点（0，），0＜φ＜，可求得φ＝，从而可得函数f（x）的解析式．（2）x∈[，m]⇒≤3x+≤3m+，依题意，利用余弦函数的性质可得π≤3m+≤，从而可求m的取值范围．【解答】解：（1）由函数的最小值为﹣1，A＞0，∵最小正周期为，∴ω＝＝3，∴f（x）＝cos（8x+φ），又函数的图象过点（0，），∴cosφ＝，而8＜φ＜，∴φ＝，∴f（x）＝cos（3x+），（2）由x∈[，m]≤3x+，∵f（）＝cos，且cosπ＝﹣1＝﹣，由余弦定理的性质得：π≤6m+≤，∴≤m≤，即m∈[，]．【点评】本题考查函数y＝A sin（ωx+φ）确定函数解析式，着重考查余弦函数的单调性，考查解不等式的能力，属于中档题．19．（14分）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足（k为常数），则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元（此处每件产品年平均成本按元来计算）（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【分析】（1）根据年利润＝年销售量×销售价格﹣成本﹣年促销费用即可列出y与m的函数关系；（2）结合（1）中所得的函数关系和均值不等式即可得解．【解答】解：（1）∵不搞促销活动，该产品的年销售量只能是2万件，x＝2，∴8＝4﹣，解得k＝2＞0，∴y＝×7.5x﹣（8+16x）﹣m＝36﹣．（2）y＝36﹣﹣m＝37﹣≤37﹣7＝29，当且仅当＝m+1，等号成立，故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．【点评】本题考查函数的实际应用，主要利用了均值不等式求函数的最值，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中已知A（﹣1，﹣1），B（2，﹣1），C（m，n）为三个不同的定点以原点O为圆心的圆与线段AB，AC（Ⅰ）求圆O的方程及m，n的值；（Ⅱ）若直线l：y＝﹣x+t（t∈R）与圆O相交于M，N两点，且，求t的值；（Ⅲ）在直线AO上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（λ为常数）？若存在，求出点Q的坐标及λ的值，请说明理由．【分析】（1）因为A、B已知，所以通过O与AB的距离求半径，再根据半径求C点坐标，注意到A点坐标的特殊性，AC这条直线是垂直于x轴的．（2）将M、N点坐标设出来，将直线方程与圆的方程联立，将向量关系转化为韦达定理代入即可求解．（3）事实上条件的意思是圆O是以A、Q为顶点λ为定比的阿波罗尼斯圆，所以这样的Q点是存在的．可以代入特殊点将Q点坐标求出来，再代入验证．【解答】（1）因为圆O与AB相切，所以半径等于O到AB的距离．直线AB：y＝﹣1，所以r＝16+y2＝1．圆O与AC相切，A（﹣3，所以直线AC：x＝﹣1．直线BC：⇔3（y+1）+（n+4）（x﹣2）＝0O到BC的距离为6，所以所以n＝3．（2）设＝（x7，y1），＝（x2，y5），因为M，所以y1＝﹣x1+t，y2＝﹣x2+t．联立得2x4﹣2tx+t2﹣8＝0，所以．则﹣＝＝x1x6+y1y2＝x2x2+（﹣x1+t）（﹣x4+t）＝2x1x7﹣t（x1+x2）+t7＝t2﹣1⇒t ＝．（3）直线AO：y＝x，假设存在这样的Q，a）．设P（x0，y4），则λ2＝＝．由P的任意性，令x0＝2，y0＝0和x7＝﹣1，y0＝7代入得⇒（1﹣a）2+a4＝5（﹣1﹣a）8+5a2⇒a＝﹣或a＝﹣1（舍）所以λ4＝＝2，所以λ＝．将a＝﹣，λ＝ 2＝，则⇔⇔恒成立．所以这样的Q是存在的，坐标为（﹣，﹣）．【点评】本题考查了直线与圆的方程、点到直线的距离等知识，运用了特殊值法、韦达定理等方法，属于难题．21．（16分）已知数列{a n}，记集合T＝{S（i，j）|S（i，j）i+a i+1+…+a j，1≤i＜j．i，j∈N*}．（Ⅰ）对于数列{a n}：1，2，3，4，写出集合T；（Ⅱ）若a n＝2n，是否存在i，j∈N*，使得S（i，j）＝1024？若存在，求出一组符合条件的i，j，说明理由；（Ⅲ）若a n＝2n﹣2，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为B：b1，b2，…，b m，…．若b m≤2020，求m的最大值．【分析】（Ⅰ）根据题意找到集合T中的元素，即可写出答案．（Ⅱ）设存在i，j∈N*，使得S（i，j）＝1024，则有1024＝a i+a i+1+…+a j＝2i+2（i+1）+…+2j＝（j﹣i+1）（i+j）．i+j与j﹣i+1奇偶性不同．又因为i+j≥3，j﹣i+1≥2，所以1024大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾，故不存在．（Ⅲ）b n＝，仅当j＝2，i＝1时，b n＝2，其中j+i﹣2与j﹣i+1一奇一偶且j+i﹣2≥2，j﹣i+1≥2，则b n能拆成奇数与偶数之乘积，在偶数中，只有2n无法拆成一个大于2的奇数与一个大于2的偶数之乘积，又T中的元素均为偶数，故T＝{2n|n∈N*，n≠2k，k∈N*}，故T中的元素为2至2020整数除去4，8，16，32，64，128，256，512，1024，故m＝．【解答】解：（Ⅰ）T＝{3，5，2，7，9，10}，（Ⅱ）假设存在i，j∈N*，使得S（i，j）＝10241024＝a i+a i+3+…+a j＝2i+2（i+6）+…+2j＝（j﹣i+1）（i+j），由于i+j与j﹣i奇偶性相同，所以i+j与j﹣i+5奇偶性不同，又因为i+j≥3，j﹣i+1≥4，所以1024大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾，故不存在i，j∈N*，使得S（i，j）＝1024．（Ⅲ）b n＝仅当j＝2，i＝6时，b n＝2，其中j+i﹣2与j﹣i+3一奇一偶，且j+i﹣2≥2，j﹣i+3≥2n能拆成奇数与偶数之乘积，在偶数中，只有2n无法拆成一个大于4的奇数与一个大于2的偶数之乘积，又T中的元素均为偶数，故T＝{2n|n∈N*，n≠2k，k∈N*}，故T中的元素为2至2020整数除去4，7，16，64，256，1024，故m＝．【点评】本题考查数列在集合中的应用，属于难题．。