2019高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例导学案(2) 新人教A版必修1精品教育.doc

优质资料---欢迎下载3.2 函数模型及其应用3.2.2 函数模型的应用实例 【使用说明及预习指导】1. 认真阅读教材106101-P ，再思考完成课本第P104的练习题；2. 限时40分钟，规范完成探究案，适当总结。

【重点难点】重点：选择适当的函数模型解决问题；难点：建立确定性函数模型和拟合函数模型解决实际问题。

【学习目标】1.能选择适当的函数模型解决问题;2.通过函数模型的应用实例的学习，熟悉解决问题的过程和方法，总结规律，提炼解题步骤。

探 究 案 探究一 给出函数模型的问题例1 某电子公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数R(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x>400.其中x 是仪器的月产量．(1)将利润f(x)表示为月产量x 的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)思考题1 (1)某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y ＝5x ＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( ) A ．200副 B ．400副 C ．600副D ．800副(2)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p 与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c(a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 ( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟探究二 根据条件建立函数模型例2 某市原来民用电价为0.52 元/kwh.换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55 元/kwh ，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35 元/kwh.对于一个平均每月用电量为200 kwh 的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少kwh?思考题2 为了预防甲流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y＝(116)t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．探究三 已知图象或表格的应用问题例3 甲，乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如图所示．甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第6年2万只． 乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减少到第6年10个，请你根据提供的信息说明： (1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由． (3)哪一年的规模最大？说明理由．思考题 3 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检验，病毒细胞的总数与天数的数据记录如下表：已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过10的时候，小白鼠将会死亡，如注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(2)第二次最迟应在何时注射该种药物,才能维持小白鼠的生命?(答案精确到天，已知lg2＝0.301 0) 小结：。

高一数学3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅱ）教案【课型】新授课【教学目标】能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.【教学重点】利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题.【教学难点】将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价.【学法与教学用具】1. 学法：自主学习和尝试，互动式讨论.2. 教学用具：多媒体【教学设想】（一）创设情景，揭示课题.现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立.对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度.3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅱ）（二）实例尝试，探求新知例1. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.1）写出速度关于时间的函数解析式；2）写出汽车行驶路程关于时间的函数关系式，并作图象；3）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；4）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数与时间的函数解析式，并作出相应的图象.本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题.教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征.注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式.例2. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年均增长率.下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）年份19501951195219531954人数5519656300574825879660266年份19551956195719581959人数61456628286456365994672073.2.2 函数模型的应用实例（Ⅱ）1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？探索以下问题：1）本例中所涉及的数量有哪些？2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？3）根据表中数据如何确定函数模型？4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应做出如何评价？如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数，用的是何种计算方法？本例的题型是利用给定的指数函数模型解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数与.完成数学模型的确定之后，因为计算较繁，可以借助计算器.在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度，并使学生认识到表格也是描述函数关系的一种形式.引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测，实质上是通过求一个对数值来确定的近似值.课堂练习：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.探索以下问题：1）本例给出两种函数模型，如何根据已知数据确定它们？2）如何对所确定的函数模型进行评价？本例是不同函数的比较问题，要引导学生利用待定系数法确定具体函数模型.引导学生认识到比较函数模型优劣的标准是4月份产量的吻合程度，这也是对函数模评价的依据.本例渗透了数学思想方法，要培养学生有意识地运用.3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅱ）（三）. 归纳小结，发展思维.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法；1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；2）利用待定系数法，确定具体函数模型；3）对所确定的函数模型进行适当的评价；4）根据实际问题对模型进行适当的修正.2.提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？二、讲授新课：1.教学指数函数模型思想及指数函数概念：①探究两个实例：A．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？B．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？想.五、作业布置P59 习题2.1 A组第5、7、8题。

3.2.2 函数模型的应用实例自主学习1．掌握几种初等函数的应用．2．理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法． 3．了解应用实例的三个方面和数学建模的步骤．1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)________________________________________________； (2)________________________________________________； (3)________________________________________________． 2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：(1)________________；(2)________；(3)______________； (4)______________； (5)________；(6)______________．对点讲练已知函数模型的应用问题【例1】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x >400).其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)变式迁移1 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t的函数关系式为y ＝(116)t －a (a 为常数)如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．自建函数模型的应用问题【例2】某公司每年需购买某种元件8 000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货(不分进货量大小)费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？变式迁移2 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．函数模型的选择【例3】某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝ab x＋c(其中a，b，c为常数，a≠0)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．变式迁移3 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)(1)Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t ；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．1．解答应用题的基本步骤： (1)设：合理、恰当地设出变量；(2)写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题； (3)算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；(4)答：将数学问题的解还原到实际生活问题中，给出最终的答案． 2．在中学阶段，用函数拟合解决实际问题的基本过程是：课时作业一、选择题1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是( )A ．V ＝log 2tB ．V ＝log 12t C ．V ＝t 2－12D ．V ＝2t －22．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为( )A ．2 400元B ．900元C ．300元D ．3 600元3. 一个高为H ，盛水量为V 0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h 时水的体积为V ，则函数V ＝f (h )的图象大致是( )4．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡() A．3人B．4人C．5人D．6人二、填空题5．60年国庆，举国欢腾，某旅游胜地的客流量急速增加．某家客运公司为招揽游客，推出了客运定票的优惠政策：如果行程不超过100 km，票价是0.4元/km；如果超过100 km，则超过100 km的部分按0.3元/km定价．则客运票价y元与行程公里x km之间的函数关系是______________________________．6. 右图表示一位骑自行车和一位骑摩托车者在相距为80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用6 h(含途中休息的1 h)，骑摩托车者用了2 h．有人根据这个函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上骑自行车者．其中正确的序号是__________________________________________________．三、解答题7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不赔本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是多少．8．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，凡多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？3.2.2函数模型的应用实例答案自学导引1．(1)利用给定的函数模型解决实际问题 (2)建立确定性的函数模型解决问题 (3)建立拟合函数模型解决实际问题2．(1)收集数据 (2)描点 (3)选择函数模型 (4)求函数模型 (5)检验 (6)用函数模型解决实际问题对点讲练【例1】 解 (1)设每月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000 (0≤x ≤400)60 000－100x (x >400).(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，∴当x ＝300时，有最大值25 000；当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )<60 000－100×400<25 000. ∴当x ＝300时，f (x )取最大值．∴每月生产300台仪器时，利润最大， 最大利润为25 000元．变式迁移1 (1) y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110， t >110(2)0.6解析 (1)设y ＝kt (k ≠0)，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10， ∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)；由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)．∴y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110，t >110.(2)由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6， 故至少需经过0.6小时．【例2】 解 设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入， 设为c 元，则y ＝500n ＋2×8 000n ×12＋c＝500n ＋8 000n ＋c ＝500(n ＋16n )＋c＝500(n －4n )2＋4 000＋c ，当且仅当n ＝4n，即n ＝4时，y 取得最小值且y min ＝4 000＋c .所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．变式迁移2 解 (1)设污水处理池的长为x m ，则宽为200xm ，总造价为y .∴y ＝400(2x ＋2×200x )＋248×200x ×2＋80×200＝800(x ＋324x )＋16 000.∵⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<200x≤16，∴12.5≤x ≤16.故其定义域为[12.5,16]．(2)先讨论y ＝800(x ＋324x)＋16 000在[12.5,16]上的单调性．设x 1，x 2∈[12.5,16]且x 1<x 2，则y 1－y 2＝800[(x 1－x 2)＋324(1x 1－1x 2)]＝800(x 1－x 2)(1－324x 1x 2)．∵x 1，x 2∈[12.5,16]，x 1<x 2， ∴x 1·x 2<162<324.∴1－324x 1x 2<0，x 1－x 2<0.∴y 1－y 2>0.∴此函数在[12.5,16]上单调递减． ∴当x ＝16时，y min ＝45 000(元)，此时，宽为20016m ＝12.5 m.∴当池长为16 m ，宽为12.5 m 时， 总造价最低为45 000元．【例3】 解 设f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝p ＋q ＋r ＝1，f (2)＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f (3)＝9p ＋3q ＋r ＝1.3.解得p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7. ∴f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，∴f (4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3. 设g (x )＝ab x ＋c (a ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝ab ＋c ＝1，g (2)＝ab 2＋c ＝1.2，g (3)＝ab 3＋c ＝1.3.解得a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4. ∴g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4，∴g (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.经比较可知，用g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4作为模拟函数较好． 变式迁移3 解 (1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的， 故只能选取Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c 108＝a ×1102＋b ×110＋c 150＝a ×2502＋b ×250＋c， 解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100， ∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg. 课时作业 1．C 2.A3．D [考察相同的Δh 内ΔV 的大小比较．] 4．B [设最多用t 分钟，则水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝172时，y 有最小值，此时共放水34×172＝289(升)，可供4人洗澡．]5．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.4x ，0<x ≤100，40＋0.3(x －100)，x >1006．①②解析 ③错，骑摩托车者出发1.5 h 时走了60 km ，而从图中可看出骑自行车者走的距离大于60 km.7．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3 000＋20x －0.1x 2≤25x 0<x <240解得150≤x <240，x ∈N *∴生产者不赔本时的最低产量是150台．8．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550(个)．∴当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元． (2)当0<x ≤100时，P ＝60； 当100<x <550时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－0.02x ； 当x ≥550时，P ＝51.∴P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x <550，51， x ≥550(x ∈N ＋)．(3)设销售商一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为S 元，则 S ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x <550，11x ， x ≥550(x ∈N ＋)当x ＝500时，S ＝22×500－0.02×5002＝6 000(元)；当x ＝1 000时，S ＝11×1 000＝11 000(元)．∴当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果一次订购1 000个零件时，利润是11 000元．。

2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A 版选修1-1能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 重点：导数的四则运算法则及其运用． 难点：导数的四则运算法则的理解运用． 方 法：合作探究 一新知导学 思维导航我们已经会求幂函数、指数函数、对数函数及y ＝sinx ，y ＝cosx 的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？ 1．设函数f (x )、g (x )是可导函数，则：(f (x )±g (x ))′＝________________； (f (x )·g (x ))′＝______________________．2．设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫f (x )g (x )′＝____________________________.牛刀小试1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B ． 2 C ．－1 D ．0 2．函数y ＝x4＋sinx 的导数为( ) A ．y ′＝4x3 B ．y ′＝cosx C ．y ′＝4x3＋sinxD ．y ′＝4x3＋cosx3．下列运算中正确的是( )A ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′ B ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋bx ′ C ．(sin x x 2)′＝(sin x )′－(x 2)′x2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x 4．求下列函数的导数(1)y ＝2x2－3x ＋1，y ′＝__________. (2)y ＝(x ＋2)2，y ′＝__________.课堂随笔:(3)y ＝sinx ＋cosx ，y ′＝__________. (4)y ＝tanx ，y ′＝__________.(5)y ＝(x ＋2)(3x －1)，y ′＝__________. 二．例题分析例1函数的下列导数求： (1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝1x ＋2x 2＋3x3；(4)y ＝x tan x －2cos x .（5）y ＝sin2x练习：求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (2)y ＝x －sin x 2·cos x2.例2偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx ＋e 的图象过点P(0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f(x)的解析式．练习：已知抛物线y ＝ax2＋bx －7经过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x －y －3＝0，求a 、b 的值．例3已知直线l1为曲线y ＝x2＋x －2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x 轴所围成的三角形的面积．练习：已知函数f(x)＝2x3＋ax 与g(x)＝bx2＋c 的图象都过点P(2,0)，且在点P 处有公共切线，求f(x)，g(x)的表达式． 三．作业 基础题一、选择题1．曲线y ＝－x 2＋3x 在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x ＋3 C ．y ＝x ＋3 D ．y ＝2x 2．函数y ＝x ·ln x 的导数是( )A ．y ′＝xB ．y ′＝1xC ．y ′＝ln x ＋1D ．y ′＝ln x ＋x3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A ．193 B ．163 C ．133 D ．1034．曲线运动方程为s ＝1－t t2＋2t 2，则t ＝2时的速度为( )A ．4B ．8C ．10D ．12 5．函数y ＝cos xx的导数是( )A ．y ′＝－sin xx2B ．y ′＝－sin xC ．y ′＝－x sin x ＋cos xx 2D ．y ′＝－x cos x ＋cos xx 26．若函数f (x )＝f ′(1)x 3－2x 2＋3，则f ′(1)的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 二、填空题7．函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(x )＝________.8．若函数f (x )＝1－sin xx，则f ′(π)＝________________.9．(2015·天津文)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．三、解答题10．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图象上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB ．提高题一、选择题1．(2015·长安一中质检)设a ∈R ，函数f (x )＝e x＋a ·e －x的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．ln2B ．－ln2C ．ln22D ．－ln222．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A ．π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －24．(2015·山西六校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，则f ′(e )( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e 二、填空题后记与感悟:5．直线y ＝4x ＋b 是曲线y ＝13x 3＋2x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.6．设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________. 三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，求函数f (x )的解析式． 8.已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．答案基础题acdbcd 7.1－1x28.π－1π2 9.310.[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(a )＝－1 (0<a <1)， 即3a 2－2a －1＝－1， 解得a ＝23.提高题acac 5.－4236.y ＝－3x7.[解析] 由f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，所以f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2.f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .因为在M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，可知－6－f (－1)＋7＝0， 即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. 8.[解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为13x －y －32＝0. (2)解法一：设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16， 又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解之得，x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝－18.∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14.。

3.2.2函数模型的应用举例材料一：一次函数、二次函数的应用举例 例1．某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km ，火车出发10min 开出13km 后，以120km/h 匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S 与匀速行驶的时间t 之间的关系式，并求火车离开北京2h 内行驶的路程． 探索： 1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样； 2）所涉及的变量的关系如何？ 3）写出本例的解答过程． 例2．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店制定了两种优惠办法： 1） 买一只茶壶赠送一只茶杯； 2） 按总价的92%付款． 某顾客需买茶壶4只，茶杯若干（不少于4只），若购买茶杯（只）付款（元），试分别建立两种优惠办法中与之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪种更省钱？ x y y x图形与网络等．例3．某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？探索：1） 本例涉及到哪些数量关系？2） 应用如何选取变量，其取值范围又如何？ 3） 应当选取何种函数模型来描述所选变量的关系？4） “总收入最高”的数学含义如何理解？[略解：]设客房日租金每间提高个2元，则每天客房出租数为300-10，由>0，且300-10>0得：0<<30 设客房租金总收入元，则有：老派（0<<30）由二次函数性质可知当=10时，max =8000． 所以当每间客房日租金提高到20+10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元． 师：注意引导学生分析题目中所涉及的各数量关系，及其之间的关系．生：思考如何选取变量，建立不同的函数模型． 师：引导学生注意本例由于客房间数不太多，为了理解本应用题，可以选用列表法求解． 师：注意引导学生恰当选取变量，简化函数模型，如可设客房日租金每间提高个2元．生：仔细分析题意，根据老师的引导启发，选取适当的变量，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析．呈现教学材料师生互动设计x x x x x )10300)(220(x x y -+=8000)10(202+--=x x x y x尝试练习：1）某单位计划10月份组织员工到H地旅游，人数估计在10~25人之间．甲、乙两旅行社的服务质量相同，且组织到H地旅游的价格都是每人200元，甲旅行社表示可给予每位旅客七五折优惠；乙旅行社表示先免去一位旅客的旅游费用，其余游客八折优惠．问该单位怎样选择，使其支付的旅游费用较少？2）某商店如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可售100件，现在商店用提高出售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品涨价1元，其销售量就减少10件，问该商店将出售价定为多少才能使每天赚得的利润最大？并求出最大利润．3）要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价．小结与反思：共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤．呈现教学材料运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题，了解函数模型的广泛应用．。

二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用；2. 初步了解对统计数据表的分析与处理.104106，找出疑惑之处）阅读：2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件.这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人.这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测.二、新课导学※典型例题例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元. 销售?变式：某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？小结：找出实际问题中涉及的函数变量→根据变量间的关系建立函数模型→利用模型解决实际问题→小结：二次函数模型。

cm；体重：kg）性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式.（2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重78kg的在校男生的体重是否正常？小结：根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据→画散点图→选择函数模型→求函数模型→检验→符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.※动手试试请问(5)T是多少？求出()T h的解析式，并画出图象；（2）如果该同学在早晨8：00时开始工作，什么时候他未工作？练2. 有一批影碟（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售. 甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台售价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售. 某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较低？三、总结提升※学习小结1. 有关统计图表的数据分析处理；2. 实际问题中建立函数模型的过程；※知识拓展根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：①一次函数模型：()(0);f x kx b k=+≠②二次函数模型：2()(0);g x ax bx c a=++≠③幂函数模型：12()(0);h x ax b a=+≠④指数函数模型：()xl x ab c=+（0,a b≠＞0，1b≠）学习评价）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 向高为H的圆锥形漏斗内注入化学溶液（漏斗下口暂且关闭），注入溶液量V与溶液深度h的大概图象是（）.2. 某种生物增长的数量y 与时间t 的关系如下表： x 1 23 ．．． y 1 38 ．．．A ．21y x =-B ．21x y =-C ．21y x =-D ．21.5 2.52y x x =-+3. 某企业近几年的年产值如下图：则年增长率（增长率=增长值/原产值）最高的是（ ）.A. 97年B. 98年C. 99年D. 00年4. 某杂志能以每本1.20的价格发行12万本，设定价每提高0.1元，发行量就减少4万本. 则杂志的总销售收入y 万元与其定价x 的函数关系是 .5. 某新型电子产品2002年投产，计划2004年使其成本降低36℅. 则平均每年应降低成本 %.课后作业7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1 .2万件、1.3万件、1.37万件. 由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好. 为了在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，你能解决这一问题吗？0099989796(年）2004006008001000（万元）。

019-2020年高中数学324函数模型的应用实例（二）全册精品教案新（一）教学目标1 •知识与技能掌握应用指数型，拟合型函数模型解答实际应用问题的题型特征，提升学生解决简单的实际应用问题的能力•2. 过程与方法经历实际应用问题的求解过程，体验指数函数模型、拟合函数模型的题型特征，学会运用函数知识解决实际问题•3. 情感、态度与价值观了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣•（二）教学重点与难点重点：指数函数模型、拟合函数模型的应用难点：依据题设情境，建立函数模型•（三）教学方法师生合作探究解题方法，总结解题规律•老师启发诱导，学生动手尝试相结合•从而形式应用指数函数模型，似合函数模型解决实际问题的技能（四）教学过程教学环节教学内容例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表所示：师生互动设计意图复习引入请据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？师生合作回顾一元一次函数，一元二次函数•分段函数建模实际问题的求解思路“审、建、解、检”生：尝试解答例1解：根据表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶•设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量就为480 - 40（x - 1）=520 - 40x（桶）由于x> 0 且520- 40x> 0, 即0v x v 13,于是可得y=（520 —40x）x - 2002= -40x+520x- 200 , 0 v xv 13易知，当x=6.5时，y有最大值•所以，只需将销售单价定为以旧引新激发兴趣，再现应用技能•应用举例11.5元，就可获得最大的利润•4.指数型函数模型的应用例1人口问题是当今世界各国普遍关注的问题•认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据•早在1798 年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus,1766 —1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y o e rt，其中t表示经过的时间，y o表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是1950~1959年我国的人口数据资料：年份19501951195219531954人数/万人5519656300 !.)74825579660266年份19551956195719581959人数/万人6145662828(54563 6)99467207（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？例2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表身高/cm60708090100110体重/kg6.137.909.912.1515.0217.5身高/cm120130140150160170体重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05（1）根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm,体重为师：帮助课本剖析解答过程，回顾反思上节课的学习成果师：形如y=ba cx函数为指数型函数，生产生活中以此函数构建模型的实例很多（如例1）生：在老师的引导下审题、建模、求解、检验、尝试完成此例师生合作总结解答思路及题型特征师生：共同完成例1解答：（1）设1951~1959 年的人口增长率分别为「1,「2,…，「9. 由55196（1 + 「1）= 56300 ,可得1951年的人口增长率0.0200.同理可得，0.0210 , r3~ 0.0229 , r4 〜0.0250 ,0.0197 ,0.0223 ,0.0276 ,0.0222 ,0.0184. 于是，1951~1959年期间，我国人口的年均增长率为r （「1+「2+…+r 9）十9~ 0.0221. 令y0=55196 ,则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221 t, t €N 根据表中的数据作出散点图并作出函数由图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.（2）将y=130000 代入0.0221 ty=55196e ,由计算器可得t ~ 38.76.所以，如果按表的增长趋势，通过实例求解，提炼方法整合思路提升能力.78kg的在校男生的体重是否正常？例2解答：(1 )以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图•根据点的分布特征，可考虑以y=a • b x作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型•如果取其中的两组数据(70 , 7.90) , (160 , 47.25)，代入y=a • b x得：，用计算器算得a~ 2, b~ 1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y=2x1.02 x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系x(2)将x=175 代入y=2X 1.02 得y=2X由计算器算得y - 63.98. 由于78 - 63.98 ~ 1.22 > 1.2 , 所以，这个男生偏胖.归纳总结：通过建立函数模型，解决实际实际问题的基本过程：巩固练习练习1已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%; 1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为解答：(1 )已知人口模型为ny = y o e,其中y。