【高中数学优质课件】函数模型的应用实例(一)

（ln2 0.693)
当堂检测
1.客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，
在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1 小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地， 然后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的图像中，正 确的是（ ）
当堂检测
2、（1)已知1970年世界人口为36亿，当时人口的年增 长率为2.1%；用马尔萨斯人口模型计算，什么时 候世界人口是1970年的2倍？
2 3
75t 3 220 , 3 t 4 65t 4 295 , 4 t 5
t(h)
问题4、假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段
路程前的读数为2004 km，试建立行驶这
段路程时汽车里程表读与时间t(h)的函数
解析式，并作出相应的图象.
50t,
S1
9800tt
1 50, 2 130
1):如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一 时期的人口增长率(精确到0.0001)那么1951～ 1959年期间我国人口的年平均增长率是多少？
2):如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的 人口将达到13亿？
问题(1)、请求出1951～1959年的人口年增长率？将计算 r5式子列出来。 60266(1+r5)=61450
,
0t 1
2004
1t 2 2t3 S
50t2004 0t1
80(t1)20541t2 90(t2)21342t3
75t 3 220 , 3 t 4
65
t
s(k4m)
295 ,
4
t
5
75(t3)22243t4
65(t4)22994t5
360
295

分析、探究 分析、 我来说 我提问
(1). 本例中所涉及的数量有哪些 本例中所涉及的数量有哪些?
经过t年后的人口数 人口年平均增长率r; 经过 年后的人口数 y , y0 ;人口年平均增长率 人口年平均增长率 经过的时间t以及 以及1950~1959年我国的人口数据。 年我国的人口数据。 经过的时间 以及 年我国的人口数据
请阅读教材P102页的解答过程 页的解答过程 请阅读教材
还要看个例子
探究:函数模型问题 探究 函数模型问题 例2：人口问题是当今世界各国普遍关 注的问题，认识人口数量的变化规律， 注的问题，认识人口数量的变化规律，可以 为有效控制人口增长提供依据.早在1798 1798年 为有效控制人口增长提供依据.早在1798年， 英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下 rt 的人口增长模型： 其中t 的人口增长模型：y = y 0 e ，其中t表示经过 的时间， 表示t=0时的人口数， t=0时的人口数 的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口 的年平均增长率.下表是我国1950 1959年 1950～ 的年平均增长率.下表是我国1950～1959年 的人口数据资料： 的人口数据资料：
我们一起来分析
我提问
1、你能写出速度v关于时间 的函数解析式吗 试 、你能写出速度 关于时间 的函数解析式吗?试 关于时间t的函数解析式吗 试看！ 试看！ 2、你能写出汽车行驶路程 关于时间 的函数解析 关于时间t的函数解析 、你能写出汽车行驶路程s关于时间 式吗?试试看 试试看！ 式吗 试试看！
分析、 分析、探究
我提问
(2).描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是 描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是 确定的,确定这种函数模型需要几个因素 确定这种函数模型需要几个因素? 确定的 确定这种函数模型需要几个因素 两个,即 是;两个 即: y0 和 r 两个 我来说 (3).根据表中数据如何确定函数模型 根据表中数据如何确定函数模型? 根据表中数据如何确定函数模型 我再问 先求1951~1959年各年的人口增长率 再求年平 年各年的人口增长率,再求年平 先求 年各年的人口增长率 均增长率r,确定 的值,从而确定人口增长模型 从而确定人口增长模型. 均增长率 确定 y0的值 从而确定人口增长模型 (4).对所确定的函数模型怎样进行检验 根据检 对所确定的函数模型怎样进行检验?根据检 对所确定的函数模型怎样进行检验 验结果对函数模型又应作出如何评价? 验结果对函数模型又应作出如何评价 作出人口增长函数的图象,再在同一直角坐 答:作出人口增长函数的图象 再在同一直角坐 作出人口增长函数的图象 标系上根据表中数据作出散点图,观察散点是否 标系上根据表中数据作出散点图 观察散点是否 在图象上. 在图象上

3.(一次函数模型)据调查,苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量
为4 000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.3元,普通车存车费是每辆一
次0.2元,若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关
系式是( D )
(A)y=0.1x+800(0≤x≤4 000)
(B)y=0.1x+1 200(0≤x≤4 000)
解:(1)y=200(1+1%)x. (2)令y=210,即200(1+1%)x=210, 解得x=log1.011.05≈5. 答:至少需要经过5年该城市人口总数到达210万.
方法技能
此类增长率问题,在实际问题中常可以用指数型函数模型
y=N(1+p)x(其中N是基础数,p为增长率,x为时间)和幂函数型模型y=
所以③处应填 4.6;
因为 4.0=5.0+lg V,所以 lg V=-1.所以 V=0.1.所以④处应填 0.1.
对照表补充完整如下 :
V
1.5
1.0
0.4
0.1
L
5.2同学检查视力,其中甲的对数视力值为4.5,乙的小数视力值是甲的2倍, 求乙的对数视力值. (所求值均精确到小数点后面一位数字,参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
【备用例2】 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时, 可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租 出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元. (1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车?
解:(1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时, 未租出的车辆数为 3600 3000 =12,所以这时租出了 88 辆车.

【答案】 B
【分析】 可用待定系数法求出a，b，c的值，确定函数 后，再研究x＝4时，哪个函数值更接近1.37.
【解】 当f(x(a≠0)，
则 ff12＝ ＝11， .2， f3＝1.3，
即 a4＋ a＋b＋ 2bc＋＝c1＝，1.2， 9a＋3b＋c＝1.3，
规律技巧 (1)认真阅读，理解应用问题的实际背景，将 实际问题转化为纯数学问题．
(2)在解决数学问题时，要注意自变量取值应有实际意 义．
二 自建函数模型的应用题
【例2】 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规 律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检 测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表，已知该种病 毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但 注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%.
【正解】 不妨设去年1月份的产值为b， 则2月份的产值为b(1＋a)， 3月份的产值为b(1＋a)(1＋a)＝b(1＋a)2，以此类推，到今 年1月份是去年1月份的第12个月． 故今年1月份的产值是b(1＋a)12.
由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一 年相应月的增长率为b1＋ab12－b＝(1＋a)12－1.
函数模型的应用实例
常用的函数模型 1．直线型：y＝kx＋b(k≠0)； 2．抛物线型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 3．指数函数型：y＝a·bx＋c(a≠0)； 4．对数函数型：y＝mlogax＋n(m≠0，a>0，且 a≠1)； 5．幂函数型：y＝a·xn(a≠0)；
6．分段函数型：y＝fx gx
天数t 1 2 3 4 5 6 7 … 病毒细胞
1 2 4 8 16 32 64 … 总数y (1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在 何时注射该种药物？(精确到天) (2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠 的生命？(精确到天)(已知：lg2＝0.3010)

解得 a＝ 1 3 425 ，b＝－ ，c＝ ， 200 2 2
1 2 3 425 故 Q＝ t － t＋ . 200 2 2 1 ②Q＝ (t－150) 2＋100， 200
∴当 t＝150 天时，西红柿种植成本最低为 100 元/102kg.
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1．通过建立实际问题的数学模型来解决问题的方法称为数学 模型方法，简称数学建模．在函数模型中，二次函数模型占有重要的 地位，根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、
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3．2.2 函数模型的应用实例
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目标要求
1.进一步感受函数与现实世界的联系，强化用数学解决实际问
题的意识． 2．进一步尝试用函数描述实际问题，通过研究函数的性质解 决实际问题． 3．了解数学建模的过程.
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0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
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该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入 A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方 案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月 可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)． 思路分析：只给数据，没明确函数关系，这样就需要准确地画 出散点图．然后根据图形状态，选择合适的函数模型来解决实际问 题．
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温馨提示：根据题中给出的数据，画出散点图，然后观察散点 图，选择合适的函数模型，并求解析式的问题，这是本节新的解题思 路．请同学们在用待定系数法求解析式时，选择其他的数据点，观察 结果的差异．
对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解 决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就

P64 【示例】如图所示，圆弧型声波 DFE 从坐标原点 O 向外传播. 若 D 是 DFE 与 x 轴的交点，设 OD＝t(0≤t≤a)，圆弧型声波 DFE 在 传播过程中扫过菱形 OABC 的面积为 S(图中阴影部分)，则函数 S＝f(t) 的图象大致是( )
【正解】从题目所给的背景图形中不难发现：在声波未传到 A，C 点 之前，扫过图形的面积不断增大，而且增长得越来越快；当离开 A， C 点之后，扫过图形的面积会增长得越来越慢.所以函数图象刚开始应 是下凹的，然后是上凸的.故选 A． 【警示】函数图象的凸凹性是函数的一个重要性质，其一般规律是： 上凸函数图象若减，则从左到右减得越来越快；若增，则从左到右增 得越来越慢.下凹函数图象正好相反.
当 x 4 0 0 时 ， 有 y m a x 0 . 5 4 0 0 6 2 5 8 2 5 ( 元 ) 答 ： 每 天 进 4 0 0 份 报 纸 ， 可 使 得 每 月 利 润 最 大 为 8 2 5 元 .
➢分段函数模型 例3 一辆汽车在某段路程中 的行驶速率与时间关系如图 所示 (1)求图中阴影部分的面积， 说明所求面积的实际含义；
3kb3.6
5kb6
解
得
k 1.2 b0
O
3
5 t / 分钟
y1.2t (t3)
人教版高中数学《函数模型的应用实 例》ppt 课件1
➢二次函数模型 人教版高中数学《函数模型的应用实例》ppt课件1
例 2 将 进 货 单 价 为 8 元 的 商 品 按 1 0 元 一 个 出 售 ， 则 每 天 可 出 售 1 0 0 个 ， 若 每 个 涨 价 1 元 ， 则 日 销 售 量 减 少 1 0 个 ， 为 获 得 最 大 利 润 ， 应 将 单 价 定 为 _______元 。

解：由题意，知将产量随时间变化的离散量分别抽 象为 A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)这 4 个 数据．
(1)设模拟函数为 y＝ax＋b 时，将 B，C 两点的坐标 代入函数式，得32aa＋ ＋bb＝ ＝11..32， ，解得ab＝＝01..1，
所以有关系式 y＝0.1x＋1. 由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下， 产量会每月上升 1 000 双，这是不太可能的．
过筛选，以指数函数模型为最佳，一是误差小，二是由于 厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间 内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设 备，产量必然趋于稳定，而该指数函数模拟恰好反映了这 种趋势．因此选用指数函数 y＝－0.8×0.5x＋1.4 比较接近 客观实际．
类型 3 建立拟合函数解决实际问题(规范解答) [典例 3] (本小题满分 12 分)某个体经营者把开始六 个月试销 A、B 两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列 成下表：
(3)设模拟函数为 y＝abx＋c 时，
将 A，B，C 三点的坐标代入函数式，
得aabb2＋＋cc＝＝11，.2，
① ②
ab3＋c＝1.3. ③
由①，得 ab＝1－c，代入②③，
得bb2（（11－－cc））＋＋cc＝＝11.2.3，.
则cc＝＝1111..32－ －－－bbbb22，，解得bc＝＝10..45.， 则 a＝1－b c＝－0.8. 所以有关系式 y＝－0.8×0.5x＋1.4. 结论为：当把 x＝4 代入得 y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35. 比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最 小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经
设 y＝kx＋b，取点(1，0.30)和(4，1.20)代入， 得01..32＝ ＝k4＋ k＋b， b，解得kb＝＝00..3，所以 y＝0.3x.(8 分) 设第 7 个月投入 A，B 两种商品的资金分别为 x 万元、 (12－x)万元，总利润为 W 万元， 那么 W＝yA＋yB＝－0.15(x－4)2＋2＋0.3(12－x)． 所以 W＝－0.15(x－3)2＋0.15×9＋3.2.(10 分) 当 x＝3 时，W 取最大值，约为 4.55 万元，此时 B 商品的投资为 9 万元．(11 分)

24x－9.6 x>34.
(2)由于 y＝f(x)在各段区间上均单调递增， 所以当 x∈0，45时，y≤f45<26.40； 当 x∈45，43时，y≤f43<26.40； 当 x∈43，＋∞时，令 24x－9.6＝26.40， 得 x＝1.5.∴甲用户用水量为 5x＝7.5(吨)， 付费 y1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)． 乙用户用水量为 3x＝4.5(吨)， 付费 y2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．
(3)设该班每年购买纯净水的费用为 P 元，则 P＝xy＝x(－40x＋720)＝－40(x－9)2＋3 240， ∴当 x＝9 时，Pmax＝3 240. 要使饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买 饮料的年总费用少， 则 51a≥Pmax＋228，解得 a≥68，故 a 至少为 68 元时全班 饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年 总费用少．
图 3－2－7
(1)求 y 关于 x 的函数关系式； (2)当 a＝120 时，若该班每年需要纯净水 380 桶，请你根据 提供的信息比较，该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与 该班全体学生购买饮料的年总费用，哪一种更少？说明你的理 由； (3)当 a 至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水的年 总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少？ 【思路探究】 用待定系数法求(1)→分别计算全体学生饮 用纯净水的年总费用与购买饮料的总费用并比较大小→建立函 数模型→利用函数最值求解．
1．建立分段函数模型的关键是确定分段的各个边界点，即 明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出 函数的解析式．
2．本题在求解过程中，个别同学常因不理解“超过部分” 而导致运算出错．

析式为( )
A．y＝20－x,0<x<10
B．y＝20－2x,0<x<20
C．y＝40－x,0<x<10
D．y＝40－4x,0<x<20
答案：A
第3章 3.2 3.2.2函数模型的应用实例-2020秋人教 A版高 中数学 必修一 课件(共 56张PP T)
栏目 导引
第3章 3.2 3.2.2函数模型的应用实例-2020秋人教 A版高 中数学 必修一 课件(共 56张PP T)
‖自主导学‖ 知识点|Y3]几种常见函数模型及应用
阅读教材 P101～P106 的内容，完成下列问题． 1．几类常见函数模型
栏目 导引
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1．几类常见函数模型
名称
解析式
一次函数模型
y＝ 1 __k_x_＋__b____
反比例函数模型
y＝ 2 ___kx_＋_b_____
二次函数模型
第三章 函数的应用
2 课堂互动探究
剖析题型2函数模型的应用实例-2020秋人教 A版高 中数学 必修一 课件(共 56张PP T)
栏目 导引
第3章 3.2 3.2.2函数模型的应用实例-2020秋人教 A版高 中数学 必修一 课件(共 56张PP T)
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第三章 函数的应用
4．长为 4，宽为 3 的矩形，当长增加 x，且宽减少2x时面积最
数学 必修1 配人教 A版
名称 指数函数模型
对数函数模型 幂函数模型
解析式 y＝b·ax＋c
y＝mlogax＋n y＝axn＋b
第三章 函数的应用
条件 a>0 且 a≠1，
b≠0 a>0 且 a≠1，

fnx，x∈Dn
2.建立函数模型解决问题的框图表示
一次函数、二次函数模型的应用
商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标 价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效 价格为每件 300 元．现在这种羊毛衫的成本价是 100 元/件，商场以高于成本价的 价格(标价)出售．问：
分段函数模型的应用
经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与 价格(元)均为时间 t(天)的函数，且销售量近似满足 g(t)＝80－2t(件)，价格近似满
足于 f(t)＝2155－＋2121tt，，100≤<tt≤≤1200
(元)．
(1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式；
函数模型的应用实例
教材整理 函数模型的应用 1．常见的函数模型
函数模型 (1)正比例函数模型 (2)反比例函数模型 (3)一次函数模型 (4)二次函数模型
函数解析式 f(x)＝kx(k为常数，k≠0) f(x)＝(k为常数，k≠0) f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
[探究共研型] 拟合数据构建函数模型
探究1 画函数图象的一般步骤有哪些？ 【提示】 列表、描点、连线．
探究2 学校食堂要了解全校师生的午间就餐情况，以备饭菜，你能用数学 知识给予指导性说明吗？
【提示】 第一步：收集样本一周的数据，制成样本点．如(1，x1)，(2，x2)，…， (7，x7)．
第二步：描点，对上述数据用散点图的形式，给予直观展示． 第三步：数据拟合，选择一个合适的数学模型拟合上述样本点． 第四步：验证上述模型是否合理、有效，并做出适当的调整．