函数模型的应用实例(Ⅲ)

《函数模型的应用实例》教案第一章：引言1.1 课程背景本节课将引导学生了解函数模型在实际生活中的应用，通过具体的实例让学生感受函数模型的重要性。

1.2 教学目标（1）了解函数模型的概念及其在实际问题中的应用。

（2）通过实例分析，学会建立函数模型解决实际问题。

1.3 教学内容（1）函数模型的定义及其特点。

（2）函数模型在实际问题中的应用实例。

第二章：线性函数模型2.1 课程背景本节课将引导学生了解线性函数模型，并通过实例让学生学会如何建立线性函数模型解决实际问题。

2.2 教学目标（1）了解线性函数模型的定义及其特点。

（2）学会建立线性函数模型解决实际问题。

2.3 教学内容（1）线性函数模型的定义及其特点。

（2）线性函数模型在实际问题中的应用实例。

第三章：二次函数模型3.1 课程背景本节课将引导学生了解二次函数模型，并通过实例让学生学会如何建立二次函数模型解决实际问题。

3.2 教学目标（1）了解二次函数模型的定义及其特点。

（2）学会建立二次函数模型解决实际问题。

3.3 教学内容（1）二次函数模型的定义及其特点。

（2）二次函数模型在实际问题中的应用实例。

第四章：指数函数模型4.1 课程背景本节课将引导学生了解指数函数模型，并通过实例让学生学会如何建立指数函数模型解决实际问题。

4.2 教学目标（1）了解指数函数模型的定义及其特点。

（2）学会建立指数函数模型解决实际问题。

4.3 教学内容（1）指数函数模型的定义及其特点。

（2）指数函数模型在实际问题中的应用实例。

第五章：总结与拓展5.1 课程背景本节课将对前面所学的函数模型进行总结，并通过拓展实例让学生进一步感受函数模型在实际生活中的应用。

5.2 教学目标（1）总结本节课所学的内容，巩固所学知识。

（2）通过拓展实例，进一步感受函数模型在实际问题中的应用。

5.3 教学内容（1）对前面所学的函数模型进行总结。

（2）通过拓展实例，感受函数模型在实际问题中的应用。

函数模型在实际生活中的应用函数应用题涉及的题型比较多，下面谈谈函数模型在实际生活中的应用：一、一次函数模型例1 假如你计划买一部手机，而你的朋友给你推荐手机消费有三种可供选择，如下表：从经济角度考虑，哪一种手机卡更为合适？分析：这道题目的背景是消费问题，用表格的形式给出了已知条件，其中存在的数学等量关系为：月消费金额=月租费+每分钟通话费×月通话时间，从而建立月通话时间与月消费金额之间的一次函数关系式．解：设月通话总时间为x 分钟，则三种手机卡的月消费金额分别:连通卡：36.012+=y （)0≥x神州卡：x y 6.0=)0(≥x都市卡：x y 2.024+=)0(≥x 由 ⎩⎨⎧=+=x y x y 6.036.012 解得： ⎩⎨⎧==3050y x 由 ⎩⎨⎧+==x y x y 2.0246.0 解得： ⎩⎨⎧==3660y x 由 ⎩⎨⎧+=+=x y x y 36.0122.024 解得：⎩⎨⎧==3975y x 由图可知：①当500<≤x 时，选用神州行卡；② 当50=x 时，选用神州行卡或连通卡更为经济合适；③ 当7550<<x 时，选用连通卡更为经济合适；④ 当75=x 时，选用都市卡或连通卡；⑤ 当75>x 时选用都市卡更为经济合适．评注：在求解该问题时要注意找出其中数学量之间的关系，从而建立一定的函数关系式来求解．二、分段函数模型例2：某旅行社组团去风景旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到每张降为450元为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．（1）写出飞机票的价格关于人数的函数；（2）每团人数为多少时，旅行设可获得最大利润？分析：注意价格与人数之间的关系，从而确定函数的解析式．解：（1）设旅行团人数为x 人，由题得075x <≤飞机票价格为y 元，则90090010(30)y x ⎧=⎨--⎩0303075x x <≤<≤即900120010y x ⎧=⎨-⎩0303075x x <≤<≤ （2）设旅行社获利S 元则90015000(120010)15000x S x x -⎧=⎨--⎩0303075x x <≤<≤ 即29001500010(60)21000x S x -⎧=⎨--+⎩0303075x x <≤<≤故当60x =时，旅行设可获得最大利润． 评注：在对分段函数进行求最值时，一定要注意分析自变量的范围．三、二次函数模型二次函数是出现的比较多的函数模型，求解此类问题常常通过对其单调区间的讨论来求解．例3：某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．（I ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)； （II ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天）分析：这是一个分段函数与二次函数相结合的应用题，可以根据函数图象写出解析式，从而利用二次函数来确定函数的最值问题．解：（1）由图可得市场售价与时间的函数关系为： f （t ）＝⎩⎨⎧≤<-≤≤-;300200,3002,2000,300t t t t 由图2可得种植成本与时间的函数关系为：g （t ）＝2001（t －150）2＋100，0≤t ≤300． （2）设t 时刻的纯收益为h （t ），则由题意得h （t ）＝f （t ）－g （t ），即h （t ）＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-.300200,21025272001,2000,217521200122t t t t t t当0≤t ≤200时，配方整理得h （t ）＝－2001（t －50）2＋100，所以，当t ＝50时，h （t ）取得区间［0，200］上的最大值100；当200＜t ≤300时，配方整理得h （t ）＝－2001（t －350）2＋100， 所以，当t ＝300时，h （t ）取得区间（200，300］上的最大值87.5．综上，由100＞87．5可知，h （t ）在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t ＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．评注：求本题的最值时一定要注意先求出每一定义域中每一段上的最值，然后来加以比较．四、函数()xb ax x f +=()0,>b a 模型 这类函数的模型常常是通过均值定理或者函数的单调性求最值，此时要注意等号能否取到．例4：甲、乙两地相距120千米，汽车从甲地以速度v （千米／时）匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米／时.已知汽车每小时的运输成本（单位:元）由可变部分和固定部分组成：固定部分为64元；可变部分与速度 v 的平方成正比，比例系数为0.01. (1)求汽车每小时的运输成本w(元)(2)把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米／时）的函数，并指出函数的定义域；(3)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：本题可以先根据题意写出全程的运输成本，观察函数式的特点可以知道结合基本不等式来求解． 解：（（1）分析可以得到6401.02+=v w ； (2)全程运输成本y （元）表示为速度v （千米／时）的函数关系式是：vv y 120)6401.0(2⋅+=，其中函数的定义域是]100,0(∈v ； (3)整理函数有)6401.0(120120)6401.0(2vv v v y +⋅=⋅+=, 根据基本不等式， 1926401.02120)6401.0(120=⋅⋅≥+⋅=v v v v y ， 当且仅当]100,0(806401.0∈==v vv 即时，取等号成立， 故汽车应以80千米／时的速度行驶，全程运输成本最小为192元．评注：对基本不等式的应用要注意“一正二定三相等”的特点．当然，涉及函数的应用问题还有很多，关键是确定用哪种类型的函数．。

函数模型在实际问题中的应用在我们的日常生活和工作中，数学的身影无处不在，而函数作为数学中的重要概念，更是有着广泛且实用的应用。

函数模型能够帮助我们理解和解决各种各样的实际问题，从经济领域的成本与收益分析，到物理世界中的运动规律描述，从环境科学中的资源分配，到工程技术中的优化设计，都离不开函数模型的助力。

先来说说经济领域中的成本与收益问题。

假设一家工厂生产某种产品，其生产成本 C 与产量 x 之间的关系可以用函数 C(x) ＝ ax ＋ b 来表示，其中 a 表示单位产品的变动成本，b 是固定成本。

而产品的销售收益 R 与产量 x 的关系可以用函数 R(x) ＝ px 来表示，其中 p 是单位产品的销售价格。

那么，工厂要想获得利润，就需要考虑收益大于成本，即R(x) ＞C(x)，通过这样的函数关系，我们可以确定最佳的产量，使得利润最大化。

再看物理中的运动问题。

比如一个物体做自由落体运动，其下落的距离 h 与时间 t 的关系可以用函数 h ＝ 1/2gt²来表示，其中 g 是重力加速度。

通过这个函数，我们可以计算出物体在不同时刻所处的位置，从而预测其运动轨迹。

在环境科学中，函数模型也发挥着重要作用。

例如，研究某个区域的水资源分配问题。

假设该区域的水资源总量是固定的，而不同部门的用水需求可以用函数表示。

通过建立这些函数关系，我们可以合理地规划水资源的分配，以满足各个部门的需求，同时保证水资源的可持续利用。

工程技术方面，以桥梁的设计为例。

桥梁的承重能力与桥梁的结构参数之间存在着函数关系。

工程师们需要通过建立准确的函数模型，来确定桥梁的最佳设计方案，既要保证桥梁的安全性，又要控制建设成本。

让我们通过一个具体的例子来更深入地理解函数模型的应用。

假设我们要设计一个矩形的花坛，花坛的周长为一定值 L。

我们知道矩形的周长 L ＝ 2(x ＋ y)，其中 x 和 y 分别是矩形的长和宽。

而花坛的面积 S ＝ xy。

§3.2.2函数模型的应用实例（Ⅲ）一、学习目标1、能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。

2、体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。

二、学习重点、难点：重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。

难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。

三、教学设想（一）创设情景，揭示课题2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。

这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。

这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。

本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。

（二）尝试实践探求新知例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表（身高：cm；体重：kg）身高60 70 80 90 100 110 体重6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 身高120 130 140 150 160 170 体重20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.051）根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。

函数模型的应用实例北京四中苗金利一、知识要点：1、审清题意：2、建立文字数量关系式：3、转化为数学模型：4、解决数学问题：5、返本还原：二、典型例题例题1、为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为( )A．4，6，1，7 B．7，6，1，4 C．6，4，1，7 D．1，6，4，7 解析：例题2、某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异).(1)当9列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,求内环线列车的最小平均速度;(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时,外环线列车平均速度为30千米/小时.现内、外环线共有18列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟,问:内、外环线应各投入几列列车运行?解析：例题3、在一条笔直的工艺流水线上有三个工作台，将工艺流水线用如 图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为123x ,x ,x ，每个工作台上 有若干名工人．现要在1x 与3x 之间修建一个零件供应站，使得各工作 台上的所有工人到供应站的距离之和最短．（1）若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；（2）设三个工作台从左到右的人数依次为2，1，3，试确定供应站的位 置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．解析：例题4、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在 一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成 堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为 60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的 一次函数．（Ⅰ）当0≤x ≤200时，求函数v （x ）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点 的车辆数，单位：辆/小时）f （x ）=xv （x ）可以达到最大，并求出最大 值．（精确到1辆/小时）解析：。

高三数学复习小专题几个常见函数模型的应用 一、函数x ex y =的性质应用1.（2014年天津理）已知函数()x f x x ae =-)(R a ∈，R x ∈.已知函数()y f x =有两个零点12,x x ，且12x x <.（Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：21x x 随着a 的减小而增大； （Ⅲ）证明：12x x +随着a 的减小而增大.二、函数xe y x=的性质应用2.（2014年山东理）设函数22()(ln )x e f x k x x x=-+（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）.（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围.三、函数x xe y =的性质应用3.已知函数x e x f x +=)(，2)(-=xa x g . (1)若0>x 时)()(x g x f >恒成立，求a 的取值范围；(2)讨论函数)()()(x g x f x F -=的零点的个数.四、函数xx y ln =的性质应用4.（2014年湖北理）π为圆周率，e=2.718 28…为自然对数的底数. （Ⅰ）求函数xx x f ln )(=的单调区间； （Ⅱ）求e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数中的最大数与最小数.（Ⅲ）将e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.5.(2013年北京理科)设L 为曲线C ：xx y ln =在点（1,0）处的切线. （1）求L 的方程；（2）证明：除切点（1,0）之外，曲线C 在直线L 的下方.6.求证：3≥n 时，).()1(1*+∈+>N n n n n n五、函数xx y ln =的性质应用5.已知函数xx x f ln )(=，1)(+=ax x g . (1)若)()()(x g x f x h +=在),1(+∞上为减函数，求实数a 的取值范围；(2)若存在],1(,221e x x ∈，使得)(')(')(221x g x f x f -≤成立，求实数a 的取值范围.六、函数x x y ln =的性质应用6.设函数1()ln -=+x xbe f x ae x x ，曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >.。