2020届全国大联考高三第三次联考数学试题(word无答案)

2020年普通高等学校招生全国统一考试（III 卷） 理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=(){}*,,,x y x y N y x ∈≥，B=(){},8x y x y +=，则A B 中元素个数为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2.复数113i-的虚部是 A. 310-B. 110-C. 110D. 3103.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 A. 14230.1,0.4p p p p ==== B ．14230.4,0.1p p p p ==== C ．14230.2,0.3p p p p ==== D ．14230.3,0.2p p p p ====4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531t K I t e--=+，其中K 为的最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln19≈3） A.60 B.63 C.66 D.695. 设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A. (14,0)B. (12,0)C. (1,0)D. (2,0)6. 已知向量a,b 满足5a =，6b =，·6a b =-，则cos(,)a a b +=A. 3135- B. 1935-C. 1735D. 19357. 在△ABC 中，2cos =3C ，4AC =，3BC =,则cos B =A. 19B. 13C. 12D. 238. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 442+ C. 623+ D. 423+9.已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=A. -2B. -1C. 1D. 210.若直线l 与曲线y x =和圆2215x y +=都相切，则l 的方程为 A. 21y x =+ B. 122y x =+ C. 112y x =+ D. 1122y x =+11. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ，离心率为5. P 是C 上一点，且12F P F P ⊥.若△12PF F 的面积为4，则a=A ．1B ．2C ．4D ．812. 已知5458<，45138<，设5a log 3=，8b=log 5，13c log 8=，则 A. a b c << B. b a c << C. b c a << D. c a b <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试（Ⅰ）理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}20M x x x =+>，(){}ln 10N x x =->，则（ ）A. M N ⊇B. M N ⊆C. ()1,M N ⋂=+∞D.()2,M N ⋃=+∞【答案】A 【解析】 【分析】解出集合M 、N ，利用集合的包含关系和交集、并集的定义可判断各选项的正误. 【详解】{}()()20,10,M x x x =+>=-∞-⋃+∞，(){}{}()ln 10112,N x x x x =->=->=+∞,所以，M N ⊇，()2,M N =+∞，()(),10,M N =-∞-+∞.故选：A.【点睛】本题考查集合包含关系的判断，同时也考查了集合的交集和并集运算、二次不等式与对数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2. 已知复数2(2)z i =+，则z 的虚部为（ ） A. 3 B. 3i C. 4D. 4i【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的代数形式的乘法法则计算即可得解； 【详解】解：2(2)34z i i =+=+，所以z 的虚部为4. 故选：C .【点睛】本题考查复数代数形式的乘法，复数的相关概念，属于基础题. 3. 以下统计表和分布图取自《清华大学2019年毕业生就业质量报告》.本科生硕士生博士生总体毕业去向人数比例人数比例人数比例人数比例深造2282 80.4％231 9.3％489 33.6％3002 44.2％国内1583 55.8％94 3.8％290 19.9％1967 29.0％出国（境）699 24.6％137 5.5％199 13.7％1035 15.3％就业490 17.3％2224 89.2％943 64.8％3657 53.9％签三方就业154 5.4％1656 66.4％864 59.4％2674 39.4％灵活就业336 11.8％568 22.8％79 5.4％983 14.5％未就业64 2.3％39 1.6％23 1.6％126 1.9％合计2836 100.0％2494 100.0％1455 100.0％6785 100.0％清华大学2019年毕业生去向分布情况统计表清华大学2019年毕业生签三方就业单位所在省（区、市）分布图则下列选项错误．．的是（）.A. 清华大学2019年毕业生中，大多数本科生选择继续深造，大多数硕士生选择就业B. 清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率比本科生高C. 清华大学2019年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散D. 清华大学2019年签三方就业毕业生中，留北京人数超过一半【答案】D【解析】 【分析】选项A 在表中找出本科生选择继续深造达80.4％，硕士生选择就业达89.2％，则判断选项A 正确；选项B 在表中找出硕士生的就业率达89.2％，本科生的就业率达17.3％，则判断选项B 正确；选项C 在表中分析出本科生的就业城市主要分散在北京、广东、上海，硕士生的就业城市主要集中在北京，则判断选项C 正确；选项D 在表中分析出留北京人数仅博士生达到了51.2%，本科生与硕士生都没有达到一半，判断选项D 错误即可.【详解】选项A ：清华大学2019年毕业生中，本科生选择继续深造达80.4％，硕士生选择就业达89.2％，故选项A 正确；选项B ：清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率达89.2％，本科生的就业率达17.3％，故选项B 正确；选项C ：清华大学2019年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市主要分散在北京、广东、上海，硕士生的就业城市主要集中在北京，故选项C 正确；选项D ：清华大学2019年签三方就业的毕业生中，留北京人数仅博士生达到了51.2%，本科生与硕士生都没有达到一半，故选项D 错误. 故选：D.【点睛】本题考查统计表与分布图，是基础题.4. 若圆22(2)(1)5x y -+-=关于直线10(0,0)ax by a b +-=>>对称，则21a b+的最小值为（ ）A. 4B.C. 9D.【答案】C 【解析】 【分析】由已知得，若圆关于直线对称，即直线必然经过圆心，故有圆心(2,1)在直线10ax by 上，则21a b +=，然后，利用基本不等式关于“1”的用法即可求解.【详解】由题意知圆心(2,1)在直线10ax by 上，则21a b +=.又因为0,0a b >>，所以212122(2)59b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =时，即13a b ==时取等号，此时，min219a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故选：C【点睛】本题考查基本不等式关于“1”的用法，属于基础题.5. 要使得满足约束条件42y x y x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩，的变量,x y 表示的平面区域为正方形，则可增加的一个约束条件为（ ） A. 4x y +≤ B. 4x y +C. 6x y +D. 6x y +【答案】C 【解析】 【分析】设新增加的约束条件为x y c +，根据正方形两组对边的距离相等，得到方程解得即可； 【详解】解：根据正方形的性质可设新增加的约束条件为x y c +，两组对边的距离相等，故2222d ===，所以6c =或2c =-(舍去). 如图所示故选:C .【点睛】本题考查二元不等式组表示的平面区域，两平行线间的距离公式的应用，属于基础题.6. 若{}n a 是公比为(0)q q ≠的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ）A. 若{}n a 是递增数列，则10,0a q <<B. 若{}n a 是递减数列，则10,01a q ><< C 若0q >，则4652S S S +> D. 若1n nb a =，则{}n b 是等比数列 【答案】D 【解析】 【分析】选项A ，B ，C 中，分别取特殊数列满足条件，但得不出相应的结论，说明选项A ，B ，C 都是错误的，选项D 中，利用等比数列的定义可以证明结论正确. 【详解】A 选项中，12,3a q ==，满足{}n a 单调递增，故A 错误； B 选项中，11,2a q =-=，满足{}n a 单调递减，故B 错误； C 选项中，若111,2a q ==，则656554,a a S S S S <-<-，故C 错误； D 选项中，111(0)n n n n b a q b a q++==≠，所以{}n b 是等比数列.故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查了等比数列的定义，考查了数列的单调性，考查了特值排除法，属于基础题.7. 为了得到函数()sin g x x =的图象，需将函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A. 向左平移6π个单位长度B. 向右平移6π个单位长度 C. 向左平移56π个单位长度 D. 向右平移56π个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】先将函数()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭用诱导公式变形为5()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合三角函数图象的平移变换规律，得到答案. 【详解】5()sin sin sin sin 6666f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 由5()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象得到函数()sin g x x =的图象， 向右56π个单位长度即可. 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移变换，要注意三角函数图象的平移变换是在“x ”的基础上进行的，解决此类题还需熟记口诀“左加右减”.8. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，1()sin 23f x x x =-.若2tan5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，32log cos5b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2cos 5c f π⎛⎫=⎪⎝⎭大小关系为（ ） A. a b c << B. b c a <<C. b a c <<D. c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据题意当0x 时2()1cos 203f x x '=->，()f x 是定义在R 上的奇函数,则()f x 在定义域上单调递增，2tantan 154ππ>=，20cos 15π<<，32log cos 05π<，由函数的单调性可得出答案.【详解】由题意知由当0x 时,2()1cos 203f x x '=->，所以()f x 在[)0+，∞上单调递增，且()00f =又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(]0-∞，上单调递增. 所以()f x 在定义域上单调递增. 又因为28tantan tan 15204πππ=>=，20cos 15π<<，所以32log cos 05π<， 由()f x 在定义域上单调递增，则3222tan cos log cos 555f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以b c a <<. 故选：B .【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，利用单调性比较大小，考查三角函数值大小的的比较，对数值大小的比较，属于中档题9. 如图是由等边△AIE 和等边△KGC 构成的六角星，图中的B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点，两个等边三角形的中心均为O .若OA mOC nOJ =+，则mn=（ ）A.12B.23C.34D. 1【答案】B 【解析】 【分析】以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为23，得出点,,A C J 的坐标，由向量的运算可求得,m n 的值，可得答案.【详解】由平行四边形法则，22()23OA OB OJ OC OJ OJ OC OJ =+=++=+，所以2m =，3n =，所以23m n = 以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设等边三角形的边长为3()()222333-=，由B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点， 则2323OA =⨯=,233OJ =所以())230,23,1，，A J C⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()0,2OA =,()3,1OC =,23OJ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭)23233,13,33n OA mOC nOJ mn m m ⎛⎫⎫=+=+-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以23302nm m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得32n m =⎧⎨=⎩所以23 mn=故选：B.【点睛】本题考查向量的线性运算，建立直角坐标系是解决本题的关键，也是解决的向量问题的常用方法，属于中档题.10. 区块链是数据存储､传输､加密算法等计算机技术的新型应用模式，图论是区块链技术的一个主要的数学模型,在一张图中有若干点，有的点与点之间有边相连，有的没有边相连，边可以是直线段，也可以是曲线段，我们规定图中无重边(即两个点之间最多只有一条边)且无孤立点(即对于每个点，都至少存在另外一个点与之相连)，现有A，B，C，D四个点，若图中恰有3条边，则满足上述条件的图的个数为（）A. 4B. 8C. 12D. 16【答案】D【解析】【分析】先求出A，B，C，D四点最可确定6条边，再由题得到满足条件的图的个数.【详解】如图，A，B，C，D四点最可确定AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条边.由题意知恰有3条边且无孤立点，所以满足条件的图有36416C-=(个).故选：D.【点睛】本题主要考查组合的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11. 地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积，某同学结合物理和地理知识得到以下结论：①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A点和B点；②已知地球公转轨道的长半轴长约为149600000千米，短半轴长约为149580000千米，则该椭圆的离心率约为1.因此该椭圆近似于圆形：③已知我国每逢春分（3月21日前后）和秋分（9月23日前后），地球会分别运行至图中C点和D点，则由此可知我国每年的夏半年（春分至秋分）比冬半年（当年秋分至次年春分）要少几天.以上结论正确的是（ ）A. ①B. ①②C. ②③D. ①③【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质可判断命题①的正误；利用椭圆的离心率公式可判断命题②的正误；根据开普勒行星运动第二定律可判断命题③的正误.综合可得出结论.【详解】由椭圆的几何性质可知，当地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A 点和B 点，命题①正确；1495800001149600000b a =≈，则该椭圆的离心率222210c a b b e a a a -⎛⎫===-≈ ⎪⎝⎭，命题②错误； 根据开普勒行星运动第二定律，地球从D 点到C 点运行的速度较快，因此经历的时间较短，因此夏半年比冬半年多几天，命题③错误. 故选：A.【点睛】本题考查与椭圆性质相关的命题真假的判断，涉及椭圆焦半径、离心率的应用，考查推理能力，属于中等题.12. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，在A ，B ，C ，D ，1C ，1D 这六个顶点中.选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥P ，在剩下的四个顶点中选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥Q ，M 表示P 与Q 的公共部分，则M 的体积为（ ）A.13B.24C.23D. 1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设平面11A BC 与平面11AB D 的交线为EF ，则M 为四面体11A B EF ，取11A B 的中点O ，连EO 接，可得EO ⊥平面11A B F ，然后，分别求出EO 与11A B F S △ 即可求出M 的体积1113A B F V EO S =⋅⋅△ 【详解】如图，由题意知，P 和Q 分别为三棱锥111B A BC -和三棱锥111A AB D -，设平面11A BC 与平面11AB D 的交线为EF ，则M 为四面体11A B EF ，取11A B 的中点O ，连接EO ，可得1EO =， 1112112A B F S =⨯⨯=△， 可得EO ⊥平面11A B F ，则M 的体积为1111111333A B F V EO S =⋅⋅=⨯⨯=△故选：A【点睛】本题考查空间几何体的体积问题，属于简单题.二、填空题：13. 62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为_________.(用数字作答)【答案】60 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项6216(2)rr rr T C x -+=-，再令622r -=即得解.【详解】由题得()6162166(2)(2)r r rr r r rr T C x x C x ---+=⋅-⋅=-.令622r -=，解得2r，所以2x 的系数为226(2)60C ⋅-=.故答案为：60【点睛】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14. 记n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和，若13471,a a a S =⋅=，则n S =_________. 【答案】23122n n - 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d ，根据已知求出3d =，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】设等差数列的公差为d ， 由题得173474772a a a a S a +⋅==⨯=， 所以37,a =所以1+27,3d d =∴=.所以2(1)313222n n n S n n n -=+⨯=-. 故答案为：23122n n -.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量计算，考查等差中项的应用和求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15. 若抛物线()220y px p =>的焦点到双曲线22222y x p -=则p 的值为_________.【答案】2 【解析】 【分析】求出双曲线的焦点坐标以及抛物线的焦点坐标，利用两点间的距离公式可得出关于p 的等式，由此可解得p 的值.【详解】抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，双曲线的方程可化为222212y x p p -=，所以223c p =，所以其一个焦点化为()1F ，所以1FF p ===2p =.故答案为：2.【点睛】本题考查利用双曲线和抛物线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题. 16. 已知函数()()21xf x kx k e x =+--，若()0f x <的解集中恰有三个整数，则实数k 的取值范围为______. 【答案】3243,54e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】把()0f x <转化为()12xx k x e ++<，设1()x x g x e +=，()()2h x k x =+，则若()0f x <的解集中恰有三个整数解等价于()g x 的图像在()h x 的图像上方所对应的x 的取值范围中恰好有三个整数解，利用数形结合找到满足题意的不等式，解不等式即可求得实数k 的取值范围. 【详解】解：()0f x <等价于()210xkx k e x +--<，即()12xx k x e ++<， 设1()x x g x e+=，()()2h x k x =+，则上面不等式转化为()()h x g x <， 直线()()2h x k x =+横过定点()2,0-，要使()0f x <的解集中恰有三个整数，只需()g x 的图像在()h x 的图像上方所对应的x 的取值范围中恰好有三个整数解. 因为()()2(1)1x xx x e x e g x e e -+⋅-'==,所以(),0x ∈-∞时，0g x ，()g x 单调递增；()0,x ∈+∞时，0g x ，()g x 单调递减；所以1x =时，()()max 01g x g ==，且()10g -=，x →-∞时，()g x →-∞；x →+∞时，()0g x →， 根据根据上述画出()g x 的图像图下图所示：当0k ≤时，画出()(),g x h x 的图像如图所示：从图中可以看出，[)1,x ∈-+∞时，()g x 的图像横在()h x 的图像上方，所以()()h x g x <所以的x 的取值范围中，整数解有无穷多个，不符合题意； 当0k >时，画出()(),g x h x 的图像如图所示：从图像可得：要使()g x 的图像在()h x 的图像上方所对应的x 的取值范围中恰好有三个整数解，只需满足：()()()()22{33g h g h >≤，所以233445k e ke ⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得：324354k e e ≤<. 综上，324354k e e ≤<. 故答案为：3243,54e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查不等式的解的问题，考查数形结合，利用导数求函数单调性和最值，属于难题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos c B b C =，BC 边上的高12AD =，4sin 5BAC ∠=. （1）求BC的长：（2）过点A 作AE AB ⊥，垂足为A ，且CAE ∠为锐角，AE =sin ACE ∠. 【答案】（1）12BC =（2）sin 5ACE ∠= 【解析】 【分析】(1)根据正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的式子，得到B C =，根据等腰三角形的性质，得2BAC BAD ∠=∠，利用二倍角公式求出BAD ∠的正弦、余弦，进而求出BAD ∠的正切值，即可出BC 的长(2)利用43cos cos sin ,sin 255EAC BAC BAC EAC π⎛⎫∠=-∠=∠=∠= ⎪⎝⎭，求出AC AB ===【详解】解：（1）由cos cos c B b C =及正弦定理得sinCcos sin cos B B C = 即sin()0B C -=. 因为,22B C ππ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，所以.B C =因为ABC 为锐角三角形，且4sin 5BAC ∠=， 所以3cos 5BAC ∠=. 又因为根据等腰三角形的性质， 可得，2BAC BAD ∠=∠， 所以232cos 15BAD ∠-=则25cos 5BAD ∠=所以51sin ,tan 2BAD BAD ∠=∠= 所以6BD =，所以12BC = （2）由题意得43cos cos sin ,sin 255EAC BAC BAC EAC π⎛⎫∠=-∠=∠=∠=⎪⎝⎭2265AC AB AD BD ==+=在ACE △，因为222cos 2AE AC CE CAE AE AC+-∠=⋅所以9CE =. 由sin sin CE AECAE ACE=∠∠得5sin 5ACE ∠=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式以及二倍角公式，属于中档题. 18. 如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，E 为棱AC 上的一点，且BE ⊥平面ACD .（1）证明：BC CD ⊥；（2）设1BC CD ==.BC 与平面ACD 所成的角为45︒.求二面角B AD C --的大小. 【答案】（1）见解析（2）60︒. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质，以及线面垂直的判定定理，先得到CD ⊥平面.ABE ，进而可得BC CD ⊥；（2）先由题意，得到45BCE BCA ︒∠=∠=，求得1BC AB ==，以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -，求出两平面ACD 和ABD 的法向量，根据向量夹角公式，即可求出结果.【详解】（1）证明：因为BE ⊥平面ACD ，CD ⊂平面ACD ， 所以BE CD ⊥.因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AB CD ⊥. 因为ABBE B =，所以CD ⊥平面.ABE因为BC ⊂平面ABE ，所以BC CD ⊥.（2）解：因为BE ⊥平面ACD ，BCE ∠即为BC 与平面ACD 所成的角， 所以45BCE BCA ︒∠=∠=，所以1BC AB ==，以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -则(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,1,1)C D B A(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(0,0,1)CD CA BD BA ===-=设平面ACD的一个法向量为()111,,n x y z=，平面ABD的一个法向量为()222,,m x y z=则CD nCA n⎧⋅=⎨⋅=⎩，BD mBA m⎧⋅=⎨⋅=⎩即111xy z=⎧⎨+=⎩，222x yz-=⎧⎨=⎩，令121,1y x==可得(0,1,1),(1,1,0)n m=-=所以1cos,2n mn mn m⋅<>==由图知，二面角B AD C--的平面角为锐角，所以二面角B AD C--的大小为60︒.【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求二面角的大小，熟记线面垂直的判定定理及性质，灵活运用空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.19. 2020年1月10日，中国工程院院士黄旭华和中国科学院院士曾庆存荣获2019年度国家最高科学技术奖.曾庆存院士是国际数值天气预报奠基人之一，他的算法是世界数值天气预报核心技术的基础，在气象预报中，过往的统计数据至关重要，如图是根据甲地过去50年的气象记录所绘制的每年高温天数(若某天气温达到35 ℃及以上，则称之为高温天)的频率分布直方图.若某年的高温天达到15天及以上，则称该年为高温年，假设每年是否为高温年相互独立，以这50年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率.（1）求今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率.（2）某同学在位于甲地的大学里勤工俭学，成为了校内奶茶店(消费区在户外)的店长，为了减少高温年带来的损失，该同学现在有两种方案选择：方案一：不购买遮阳伞，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会减少6000元；方案二：购买一些遮阳伞，费用为5000元，可使用4年，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会增加1000元.以4年为期，试分析该同学是否应该购买遮阳伞？【答案】（1）0.0272（2）应该购买遮阳伞 【解析】 【分析】（1）先求出某年为高温年的概率为0.2，再根据~(4,0.2)X B ，求出今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率；（2）求出两种方案损失的收入的期望，再决定是否应该购买遮阳伞. 【详解】解：（1）由题意知，某年为高温年的概率为(0.030.01)50.2+⨯=， 设今后4年中高温年出现X 年，则~(4,0.2)X B 故44()0.20.8,0,1,2,3,4kkkP X k C k -===3314(3)0.20.80.0256P X C ===， 4404(4)0.20.80.0016P X C ==⋅=，(3)(3)(4)0.02560.00160.0272P X P X P X ==+==+=.（2）若选择方案一，不购买遮阳伞，设今后4年共损失1Y 元， 则()1460000.24800E Y =⨯⨯=若选择方案二，购买遮阳伞，设今后4年共损失2Y 元， 则()25000410000.24200E Y =-⨯⨯=(元) 则()()12E Y E Y >，故该同学应该购买遮阳伞.【点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查二项分布的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，且12F F =过椭圆的右焦点2F 作长轴的垂线与椭圆，在第一象限交于点P ，且满足127PF PF =.（1）求椭圆的标准方程；（2）若矩形ABCD 的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）[]8,10【解析】 【分析】 （1）易知c =设2PF x =，17PF x =，根据勾股定理计算得到2a =，得到椭圆方程.（2）考虑矩形边与坐标轴平行和不平行两种情况，联立方程组根据0∆=得到,m n 和k 的关系，计算边长得到面积表达式，根据均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）由12F F =c =，设2PF x =，因为127PF PF =，所以17PF x =，在Rt △12PF F 中，2221212PF PF F F =+，即224912x x =+，所以12x =， 所以284a x ==，解得2222,1a b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =.当矩形的边与坐标轴不平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+， 则对边所在直线方程为y kx m =-， 另一边所在的直线方程为1y xn k =-+，则对边所在直线方程为1y x n k=--， 联立2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，由题意知()()222264161140k m m k∆=--+=，整理得2241km +=，矩形的一边长为1d =，同理2241n k+=，矩形的另一边长为2d =， 122|4|1mnk S d d k =⋅==+44==44==因为0k ≠，所以20k >，所以2212k k+≥(当且仅当21k =时等号成立)， 所以22990,142k k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++52,2⎛⎤⎥⎝⎦，所以(8,10]S ∈. 综上所述，该矩形面积的取值范围为[]8,10.【点睛】本题考查了求椭圆方程，椭圆外接矩形的面积范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21. 已知函数()2,()ln x f x e x g x x x =+-=+，若1x 是函数()f x 的零点，2x 是函数()g x 的零点.（1）比较1x 与2x 的大小； （2）证明：()()210f x g x +<.【答案】（1）12x x <，见解析（2）见解析 【解析】 【分析】方法一：利用()20=+-=xf x e x ，利用2=-x e x 对不等式进行放缩，可得()111111ln 2ln 12ln 10x x e x x x x -+-++=-+≤，进而利用()g x 单调递增，且()10g x <和()20g x =，即可比较1x 与2x 的大小方法二：设()11111ln ln 2xH x x x x e =+=-+，令函数()ln 2,0tH t t e t =-+>，从而判断出函数()g x 的单调性，即可利用函数的单调性即可比较1x 与2x 的大小 (2) 令函数()()()h x f x g x =-，则()()()()1122,h x g x h x f x =-=，要证()()210f x g x +<，即证()()21f x g x <-，只要证：()()21h x h x <，最后通过证明函数()h x 在区间[]12,x x 上的单调性进行证明即可. 【详解】（1）解:()11120xf x e x =+-=()11111ln ln 2x g x x x x e =+=-+方法一：()111111ln 2ln 12ln 10xx e x x x x -+-++=-+≤因为11x ≠，所以11ln 10x x -+<，所以()10g x <. 因为()20g x =，且()g x 单调递增，所以12x x < 方法二：设()11111ln ln 2xH x x x x e =+=-+，令函数()ln 2,0tH t t e t =-+>则1()tH t e t'=-，则()00010t H t e t '=-= 则函数()H t 在区间()00,t 上单调递增，()H t 在区间()0,t +∞上单调递减，所以()0max 00001()ln 220tH t H t t e t t ==-+=--+< 所以()10g x '<因为()20g x =，且()g x 单调递增，所以12x x < （2）证明：令函数()()()h x f x g x =-， 则()()()()1122,h x g x h x f x =-=.要证()()210f x g x +<，即证()()21f x g x <- 只要证：()()21h x h x <，只要证：函数()h x 在区间[]12,x x 上单调递减. 由题意得()()()ln 2xh x f x g x e x =-=--()22211(),x x h x e h x e x x ''=-=-因为()222ln 0g x x x =+= 所以2221ln lnx x x =-= 所以()2222211,0x x eh x e x x '==-=因为()h x '单调递增，所以在区间[]12,x x 上，()0h x '所以()h x 在区间[]12,x x 上单调递减. 所以原命题得证.【点睛】本题考查利用构造函数比较大小，主要通过求导判断函数的单调性进行判断大小，属于难题.22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222x t y t t=-⎧⎨=-⎩(t 为参数)，曲线C 上异于原点的两点M ，N 所对应的参数分别为12,t t .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2sin a ρθ=.（1）当121,3t t ==时，直线MN 平分曲线D ，求a 的值；（2）当1a =时，若122t t +=MN 被曲线D，求直线MN 的方程.【答案】（1）1a =（2）y =或2y =+【解析】 【分析】（1）求出直线MN 的方程和曲线D 的直角坐标方程，然后利用直线MN 过点()0,a 求出答案； （2）由122t t +=MN k =MN的方程为y m =+，然后根据直线MN 被曲线D. 【详解】（1）因为121,3t t ==，所以(1,1),(1,3)M N --. 所以直线MN 的方程为21y x =+. 曲线D 的方程可化为222()x y a a +-=因为直线MN 平分曲线D ，所以直线MN 过点()0,a ， 所以1a =.（2）由题意可知()()()()()()22112212121212121222222MNt t t t t t t t y y k x x t t t t ----+--====-----曲线D 的方程为22(1)1y x +-= 设直线MN的方程为y m =+，圆心D 到直线MN 的距离为.d因为22212d ⎛+= ⎝⎭，所以221122m ⎛-⎛⎫+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 所以0m =或2m =，所以直线MN的方程为y =或2y =+【点睛】设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，弦长为AB ，则有2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.23. 已知函数()|1|2|3|,()|1|f x x x g x a x =++-=-. （1）求()8f x 的解集；（2）当[1,3]x ∈-时，()()f x g x 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1313xx ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣（2）(,2]-∞ 【解析】 【分析】（1）利用分类讨论法解绝对值不等式得解； （2）对x 分三种情况1x =、[1,1)x 、(1,3]x ∈讨论，分别求出每一种情况下的实数a 的取值范围，最后综合即得解. 【详解】解：（1）由题意得35,1()|1|2|3|7,1335,3x x f x x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪->⎩当1x <-时，()8f x 得1x ≥-，所以此时无解；当13x -时，由()8f x ，即78x -+≤，解得13x -； 当3x >时，由()8f x ，即358x -≤，解得1333x< 综上，解集1313x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣.（2）①当1x =时，()()f x g x 显然恒成立. ②当[1,1)x时，()7,()(1)f x x g x a x =-=-因为()()f x g x 恒成立， 所以7(1)x a x --，即76111x ax x-=+--恒成立. 令6()1,[1,1)1F x x x=+∈--则min ()a F x 显然()F x 在区间[1,1)-上为增函数， 所以min ()(1)4F x F =-=，所以4a .③当(1,3]x ∈时，()7,()(1)f x x g x a x =-=-. 因为()()f x g x 恒成立， 所以7(1)x a x --，即76111x a x x -=-+--恒成立. 令6()1,(1,3]1G x x x =-+∈-，则min ()a G x 显然()G x 在区间(1,3]上为减函数， 所以min ()(3)2G x G ==， 所以2a .综上所述，实数a 的取值范围为(,2]-∞.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的恒成立问题，考查函数的单调性求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

绝密★启用前（在此卷上答题无效）姓名：________________准考证号：________________2020届全国示范性名校高三三联数学（理科）试题（150分，120分钟）一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7}，则满足S A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数为( ) A ． 57 B ． 56 C ． 49 D ． 82.一个样本a,3,5,7的平均数是b ，且a ，b 是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( )A ． 3B ． 4C ． 5D ． 63.在球O 内任取一点P ，使得点P 在球O 的内接正方体中的概率是( ) A ．π B ．π C ．π D ．π4.在某学校组织的数学竞赛中，学生的竞赛成绩ξ～N(95，σ2)，p(ξ＞120)＝a ，P(70＜ξ＜95)＝b ，则直线ax ＋by ＋＝0与圆x 2＋y 2＝2的位置关系是( ) A ． 相离 B ． 相交 C ． 相离或相切 D ． 相交或相切5.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足＝ (a ＋b ).曲线C ＝{P|＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ＜2π}，区域Ω＝{P|0＜r ≤| |≤R ，r ＜R}.若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A ． 1＜r ＜R ＜3B ． 1＜r ＜3≤RC ．r ≤1＜R ＜3D ． 1＜r ＜3＜R6.已知二次函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为( )A ． (－∞，－1)∪(0，＋∞)B ． (－∞，0)∪(1，＋∞)C ． (－1,0)D ． (0,1)7.如图所示，有三根柱子和套在一根柱子上的n 个盘子，按下列规则，把盘子从一根柱子上全部移到另一根柱子上.(1)每次只能移动一个盘子；(2)在每次移动过程中，每根柱子上较大的盘子不能放在较小的盘子上面.若将n 个盘子从1号柱子移到3号柱子最少需要移动的次数记为f(n)，则f(5)等于( )A ． 33B ． 31C ． 17D ． 15 8.已知z 1，z 2是复数，定义复数的一种运算“”为：z 1z 2＝若z 1＝2＋i 且z 1z 2＝3＋4i ，则复数z 2等于( )A ． 2＋iB ． 1＋3iC ． 2＋i 或1＋3iD ． 条件不够，无法求出9.已知函数f(x)＝ x 3＋ax 2－bx ＋1(a ，b ∈R ) 在区间[－1,3]上是减函数，则b 的最小值是( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 410.由9个互不 相 等 的 正 数 组 成 的 数 阵中，每 行 中 的 三 个 数 成 等 差 数 列，且、、成等比数列，下列四个判断正确的有（ ） ①第2列必成等比数列 ②第1列不一定成等比数列-1-（20-GSSL-QGYB ） -24-52GH-③④若9个数之和等于9，则A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个11.tan(π－θ)＋tan(π＋θ)＋tan(π－θ)tan(π＋θ)的值是( )A． B． C． 2 D．12.已知偶函数f(x)：Z Z，且f(x)满足：f(1)＝1，f(2 015)≠1，对任意整数a，b都有f(a＋b)≤max{f(a)，f(b)}，其中max(x，y)＝则f(2 016)的值为( )A． 0 B． 1 C． 2 015 D． 2 016二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.已知正数a，b，c满足3a－b＋2c＝0，则的最大值为________．14.已知平面区域C1：x2＋y2≤4(＋|y|)，则平面区域C1的面积是________．15.已知(x＋2)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为________．16.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4；第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25.按此规则一直取下去，得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，….则在这个子数列中，由1开始的第29个数是________；（2分）第2 014个数是________.（3分）三、解答题(共70分)（一）必考题（60分）17.（本小题满分12分）设f(x)＝cos2x＋asinx－－(0≤x≤π).(1)用a表示f(x)的最大值M(a)；(2)当M(a)＝2时，求a的值.18.（本小题满分12分）一种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第n(n∈Z，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为P n.(1)当n∈Z，n≥2时，用P n－1表示P n；(2)求P n关于n的表达式．19.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝e x－ln (x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求函数f(x)在[1,2]上的最值．(2)若对任意x1，x2∈[0,2]且x1>x2，都有>－1，求m的取值范围．(3)当m≤2时，证明f(x)>0.-2-（20-GSSL-QGYB） -24-52GH-20.（本小题满分12分）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成△MF1F2的面积为，又椭圆C的离心率为.(1)若直线l与椭圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且x1＋x2＝2，又直线l1：y＝k1x＋m是线段AB的垂直平分线，求实数m的取值范围；(2)椭圆C的下顶点为N，过点T(t,2)(t≠0)的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．21.（本小题满分12分）已知Q2＝称为x，y的二维平方平均数，A2＝称为x，y的二维算术平均数，G2＝称为x，y的二维几何平均数，H2＝称为x，y的二维调和平均数，其中x，y均为正数.(1)试判断G2与H2的大小，并证明你的猜想；(2)令M＝A2－G2，N＝G2－H2，试判断M与N的大小，并证明你的猜想；(3)令M＝A2－G2，N＝G2－H2，P＝Q2－A2，试判断M，N，P三者之间的大小关系，并证明你的猜想. （二）选考题（10分）（请从22，23题中任选一题作答，如果多做，按22题记分）-3-（20-GSSL-QGYB） -24-52GH-23.（选修4-5：不等式选讲）伯努利不等式，又称贝努利不等式，是分析不等式中最常见的一种不等式，由数学家伯努利提出。

xx 届高三第三次联考数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150,考试时间120分钟,答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名、座位号填写在答题卷的密封线内.所有题目必须用黑色字迹的钢笔或签字笔答在答题卷上,否则答案无效.一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）．1、设集合{}1,2,3P =，集合{}23Q x R x =∈≤≤，那么下列结论正确的是： ( ) A ．P Q P ⋂= B. Q P Q ⊆⋂ C. P Q P ⋂⊆ D. P Q Q ⋂= 2、设(32()log f x x x =+，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的（ ）A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 3、方程2sin 2sin 0x x a ++=一定有解，则a 的取值范围是 （ ）A ．[3,1]-B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．4、如果执行下面的程序框图，那么输出的S = （ ）． Ａ．2450 Ｂ.2500 Ｃ．2550 Ｄ．26525、将函数sin(2)3y x π=-的图象先向左平移6π，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（ ）． A ．cos y x =- B ．sin 4y x = C ．sin y x =D ．sin()6y x π=-6、等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且3457-+=n n T S n n ，则使得nn b a为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．67、右图是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的（ ）A ．B ．C ．D ．8、 如图，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， AQ uuu r ＝23AB u u u r ＋14AC u u ur ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为( ) A ．15 B ． 45 C ． 14 D ．13第8题第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）．9、化简：2(1)i i+= ．10、 一物体在力F （x ）=4x+2（力的单位：N ）的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x =0处运动到x =5处（单位：m ），则力F （x ）所作的功___________11、已知点(,)P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，点O 为坐标原点，那么||PO 的最大值等于_______,最小值等于____________.12、从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球()0,,m n m n N <≤∈,共有1mn C +种取法。

2020年第二次全国大联考【福建卷】文科数学试卷考试时间：120分钟； 命题人：大联考命题中心 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{}280,U x x x x N *=-<∈，集合{}{}1,2,3,5,2,4,6A B ==，则()U C A B =I（ ）A ．{}2 B ．{}4,6 C ．{}1,3,5 D ．{}4,6,7,82．设z是z的共轭复数，若()4,2z z z z i +=-=，则2z =（ ）A ．54i -B ．34i -C ．34i +D ．54i + 3．执行下边的程序框图，输出的b 的值为 （ ）A ．9B ．5C ．113D ．2994．若p ⌝是假命题，q 是真命题，则 （ ） A ．p q ∨是真命题 B ．p q ∧是假命题 C ．()p q ⌝∧是真命题 D ．()p q ∨⌝是假命题5．已知()()2,1,,4a b x ==-r r．若2a b -r r 与a b +r r平行，则x = （ ） A ．4 B ．4- C ．8 D ．8- 6．三棱锥D ABC -及其三视图中的正 视图和侧视图如图所示，则异面直 线AC 与BD 所成角为（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．75︒第3题图正视图侧视图第6题图7．已知奇函数()f x 满足()()51f x f x -+=且()01f =，则()2015f =（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．403 8．设nS 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知2431,7a a S ==，则公比q = （ ）A ．13-B ．12C ．13或12-D ．13-或129．已知关于x y ,的方程y ax =的解满足约束条件240,10,1,x y x y x +-≤⎧--≤≥⎪⎨⎪⎩则a 的最大值为 （ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．310．已知函数()()sin 0,,02f x A x A πωϕϕω⎛⎫=+><> ⎪⎝⎭的一部分图象如图所示，且过()110,2,,012M N π⎛⎫⎪⎝⎭两点，则()f x 的图象的一条对称轴方程为 （ ）A ．12x π=B ．4x π=C ．12x π=-D ．6x π=-11．已知点M 与点()1,1N -关于原点O 对称，动点P 满足直线MP 与NP 的斜率之积等于13，则动点P 的轨迹方程为 （ ）A ．()22321x y x -=≠±B ．()22321x y x -=≠±C ．()22321y x x -=≠± D ．()22321y x x -=≠±12．已知函数()ln mf x x x =-，当2x =时，()f x 取极小值，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为（ ）A ．30x y ++=B ．30x y +-=C ．30x y -+=D ．30x y --= 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置． 13．在一次抽样调查中，得到一个样本：1,0,3,,1,a -且该样本的平均值为1，则其方差第10题图为_________．14．在锐角ABC ∆中，角,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,,a b c 若2sin b a B =，则A ∠= ．15．已知直线l 与圆229x y +=相切且与直线:20m x y -=垂直，则直线l 的方程为 ． 16．记123k k k kk S n =++++L ，当1,2,3,k =L 时，观察下列等式：211122S n n=+，322111326S n n n=++，4323111424S n n n =++，5434111152330S n n n n =++-，6532515212S An n n Bn =+++，…，可以推测A B -= ．三、解答题 ：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量()()2sin ,sin ,cos ,2sin ,m x x n x x =-=u r r函数()1f x m n =⋅+u r r．（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（II ）若在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3,2,a b c a b A ==为锐角，且282f A π⎛⎫+=-⎪⎝⎭，求错误!未找到引用源。

河北省衡水中学2020届高三下学期全国第三次联考数学（理）试题一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知复数，则的虚部为（）A．B．C．D．(★★) 3. 以下统计表和分布图取自《清华大学2019年毕业生就业质量报告》.毕业去向本科生硕士生博士生总体人数比例人数比例人数比例人数比例深造2282％231％489％3002％国内1583％94％290％1967％出国699％137％199％1035％（境）就业490％2224％943％3657％签三方就154％1656％864％2674％业灵活就业336％568％79％983％未就业64％39％23％126％合计2836％2494％1455％6785％清华大学2019年毕业生去向分布情况统计表清华大学2019年毕业生签三方就业单位所在省（区、市）分布图则下列选项错误的是（）.A ．清华大学2019年毕业生中，大多数本科生选择继续深造，大多数硕士生选择就业B ．清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率比本科生高C ．清华大学2019年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散D ．清华大学2019年签三方就业的毕业生中，留北京人数超过一半(★★) 4. 若圆关于直线 对称，则 的最小值为A ．4B ．C ．9D ．(★★) 5. 要使得满足约束条件，的变量 表示的平面区域为正方形，则可增加的一个约束条件为（）A ．B ．C ．D ．(★★) 6. 若 是公比为的等比数列，记 为的前 项和，则下列说法正确的是（）A ．若是递增数列，则B ．若是递减数列，则C．若，则D．若，则是等比数列(★) 7. 为了得到函数的图象，需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度(★★★)8. 设是定义在上的奇函数，且当时，.若，，大小关系为（）A．B．C．D．(★★★) 9. 如图是由等边△ 和等边△ 构成的六角星，图中的，，，，，均为三等分点，两个等边三角形的中心均为.若，则（）A．B．C．D．(★) 10. 区块链是数据存储､传输､加密算法等计算机技术的新型应用模式，图论是区块链技术的一个主要的数学模型,在一张图中有若干点，有的点与点之间有边相连，有的没有边相连，边可以是直线段，也可以是曲线段，我们规定图中无重边(即两个点之间最多只有一条边)且无孤立点(即对于每个点，都至少存在另外一个点与之相连)，现有，，，四个点，若图中恰有条边，则满足上述条件的图的个数为（）A．B．C．D．(★★★) 11. 地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积，某同学结合物理和地理知识得到以下结论：①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中点和点；②已知地球公转轨道的长半轴长约为千米，短半轴长约为千米，则该椭圆的离心率约为.因此该椭圆近似于圆形：③已知我国每逢春分（月日前后）和秋分（月日前后），地球会分别运行至图中点和点，则由此可知我国每年的夏半年（春分至秋分）比冬半年（当年秋分至次年春分）要少几天.以上结论正确的是（）A．①B．①②C．②③D．①③(★★) 12. 正方体的棱长为，在，，，，，这六个顶点中.选择两个点与，构成正三棱锥，在剩下的四个顶点中选择两个点与，构成正三棱锥，表示与的公共部分，则的体积为（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13. 的展开式中的系数为_________.(用数字作答)(★★★) 14. 记为正项等差数列的前项和，若，则_________.(★★) 15. 若抛物线的焦点到双曲线的一个焦点的距离为，则的值为_________.(★★★★) 16. 已知函数，若的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为______.三、解答题(★★★) 17. 在锐角△ 中，内角，，所对的边分别为，，，若，边上的高，.（1）求的长：（2）过点作，垂足为，且为锐角，，求.(★★★) 18. 如图，在三棱锥中，平面，为棱上的一点，且平面.（1）证明：；（2）设. 与平面所成的角为.求二面角的大小.(★★★) 19. 2020年1月10日，中国工程院院士黄旭华和中国科学院院士曾庆存荣获2019年度国家最高科学技术奖.曾庆存院士是国际数值天气预报奠基人之一，他的算法是世界数值天气预报核心技术的基础，在气象预报中，过往的统计数据至关重要，如图是根据甲地过去50年的气象记录所绘制的每年高温天数(若某天气温达到35 ℃及以上，则称之为高温天)的频率分布直方图.若某年的高温天达到15天及以上，则称该年为高温年，假设每年是否为高温年相互独立，以这50年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率.（1）求今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率.（2）某同学在位于甲地的大学里勤工俭学，成为了校内奶茶店(消费区在户外)的店长，为了减少高温年带来的损失，该同学现在有两种方案选择：方案一：不购买遮阳伞，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会减少6000元；方案二：购买一些遮阳伞，费用为5000元，可使用4年，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会增加1000元.以4年为期，试分析该同学是否应该购买遮阳伞？(★★★★) 20. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且.过椭圆的右焦点作长轴的垂线与椭圆，在第一象限交于点，且满足.（1）求椭圆的标准方程；（2）若矩形的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围.(★★★★) 21. 已知函数，若是函数的零点，是函数的零点.（1）比较与的大小；（2）证明：.(★★★) 22. 在直角坐标系中，曲线 C的参数方程为( 为参数)，曲线上异于原点的两点，所对应的参数分别为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）当时，直线平分曲线，求的值；（2）当时，若，直线被曲线截得的弦长为，求直线的方程.(★★★) 23. 已知函数.（1）求的解集；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试——全国Ⅲ理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案：C解析：由题意，A ∩B 中的元素满足⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋y ＝8，且x ，y ∈N *，由x ＋y ＝8≥2x ，得x ≤4．所以满足要求的元素有(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，故A ∩B 中元素的个数为4．2．复数11－3i的虚部是( )A ．－310B ．－110C ．110D ．310答案：D解析：因为z ＝11－3i ＝1＋3i (1－3i )(1＋3i )＝110＋310i ，所以复数z ＝11－3i 的虚部为310．3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p 1，p 2，p 3，p 4，且∑4i ＝1p i ＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )A ．p 1＝p 4＝0.1，p 2＝p 3＝0.4B ．p 1＝p 4＝0.4，p 2＝p 3＝0.1C ．p 1＝p 4＝0.2，p 2＝p 3＝0.3D ．p 1＝p 4＝0.3，p 2＝p 3＝0.2答案：B解析：易知四种情形中平均数均为x －＝∑4i ＝1x i p i ＝2.5．对于A ，方差s 2A ＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝0.65； 对于B ，方差s 2B ＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.85； 对于C ，方差s 2C ＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.05； 对于D ，方差s 2D ＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.45．因此，B 选项这一组标准差最大．法二：样本数据距离平均数越大，且概率越大时，方差和标准差可能越大．4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K 1＋e －0.23(t －53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为( )(ln19≈3)A ．60B ．63C ．66D ．69答案：C解析：当I (t *)＝K 1＋e－0.23(t *－53)＝0.95K ，则e 0.23(t *－53)＝19，所以0.23(t *－53)＝ln19≈3，解得t *≈30.23＋53≈66．5．设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A ．(14，0)B ．(12，0)C ．(1，0)D ．(2，0)答案：B解析：因为直线x ＝2与抛物线y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，且OD ⊥OE ，所以∠DOx ＝∠EOx ＝π4，所以D (2，2)，代入抛物线方程得4＝4p ，即p ＝1，所以抛物线的焦点坐标为(12，0)．6．已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos ＜a ，a ＋b ＞＝( )A ．－3135B ．－1935C ．1735D ．1935答案：D解析：易得a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝52－6＝19，|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－2×6＋36＝7．因此，cos ＜a ，a ＋b ＞＝a ·(a ＋b )|a |·|a ＋b |＝195×7＝1935．7．在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝( )A ．19B ．13C ．12D ．23答案：A解析：由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，即AB ＝3．于是cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19．8．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A ．6＋42B ．4＋42C ．6＋23D ．4＋2 3 答案：C解析：根据三视图，在正方体中截取出符合题意的立体图形．在立体图形中，易得S △ABC ＝S △ADC ＝S △CDB ＝12×2×2＝2．易得AB ＝AD ＝DB ＝22，故S △ADB ＝12AB ·AD ·sin60º＝34(22)2＝23．所以，该几何体的表面积是3×2＋23＝6＋23．9．已知2tan θ－tan(θ＋π4)＝7，则tan θ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：D解析：因为2tan θ－tan(θ＋π4)＝7，所以2tan θ－tan θ＋11－tan θ＝7，解得tan θ＝2．10．若直线l 与曲线y ＝x 和x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x ＋12C ．y ＝12x ＋1D ．y ＝12x ＋12答案：D解析：设直线l 与曲线y ＝x 的切点为(x 0，x 0)，x 0＞0，因函数y ＝x 的导数为y'＝12x ，所以直线l 的方程为y －x 0＝12x 0(x －x 0)，即x －2x 0y ＋x 0＝0．由于直线l 与圆x 2＋y 2＝15相切，则d ＝x 01＋4x 0＝r ＝15，整理得5x 20－4x 0－1＝0，解得x 0＝1或x 0＝－15(舍)．所以，直线l 的方程为x －2y ＋1＝0，即y ＝12x ＋12．11．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案：A解析：因为离心率e ＝ca＝5，所以c ＝5a ．因为F 1P ⊥F 2P ，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2． S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝4，即|PF 1|·|PF 2|＝8．又由双曲线的定义可得||PF 1|－|PF 2||＝2a ．因为(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|，即4a 2＝4c 2－16，又c ＝5a ，所以16a 2＝16，解得a ＝1．12．已知55＜84，134＜85．设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b答案：A解析：由题意可知a ，b ，c ∈(0，1)．a b ＝log 53log 85＝lg3lg5·lg8lg5＜1(lg5)2·(lg3＋lg82)2＝(lg3＋lg82lg5)2＝(lg24lg25)2＜1，所以a ＜b ； 由b ＝log 85，得8b ＝5，因为55＜84，得85b ＜84，所以5b ＜4，得b ＜45；由c ＝log 138，得13c ＝8，因为134＜85，得134＜135c ，所以5c ＞4，得c ＞45．综上所述，a ＜b ＜c ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，2x －y ≥0，x ≤1，则z ＝3x ＋2y 的最大值为_________．答案：714．(x 2＋2x )6的展开式中常数项是__________(用数字作答)．答案：240解析：(x 2＋2x )6的二项展开式通项为T r ＋1＝C r 6·(x 2)6－r ·(2x )r ＝C r6(2)r ·x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4，所以(x 2＋2x )6的展开式中常数项是C 46·24＝240．15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________． 答案：23π 解析：法一：圆锥内半径最大的球应该是该圆锥的内切球，如图．由底面半径为1，母线长为3，易得高SC ＝22．不妨设该内切球与母线BS 切于点D ，令OD ＝OC ＝r ，由△SOD ∽△SBC ，可得ODOS ＝BC BS ，即r 22－r ＝13，解得r ＝22． 此时V ＝43πr 3＝23π．法二：易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中BC ＝2，AB ＝AC ＝3，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ．设内切圆半径为r ，则12×2×22＝S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △AOC ＝12×AB ×r ＋12×BC ×r ＋12×AC ×r ＝12×(3＋3＋2)×r ，解得r ＝22，故体积V ＝43πr 3＝23π．16．关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x有如下四个命题：①f (x )的图像关于y 轴对称．②f (x )的图像关于原点对称． ③f (x )的图像关于直线x ＝π2对称．④f (x )的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 答案：②③解析：函数f (x )的定义域为{x |x ≠kπ，k ∈Z }，定义域关于0对称，易得f (－x )＝sin(－x )＋1sin(－x )＝－sin x －1sin x ＝－(sin x ＋1sin x )＝－f (x )，所以f (x )是非零的奇函数，因此图象关于原点对称，故命题①错误，命题②正确；对于命题③，因为f (π2－x )＝sin(π2－x )＋1sin(π2－x )＝cos x ＋1cos x ，f (π2＋x )＝sin(π2＋x )＋1sin(π2＋x )＝cos x ＋1cos x ，则f (π2－x )＝f (π2＋x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，命题③正确；对于命题④，当－π＜x ＜0时，sin x ＜0，则f (x )＝sin x ＋1sin x＜0＜2，命题④错误．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分．17．设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n ．(1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； (2)求数列{2n a n }的前n 项和S n ．解析：(1)由题意，a 2＝3a 1－4＝9－4＝5，a 3＝3a 2－8＝3×5－8＝7．猜想数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列，故a n ＝2n ＋1． 证明：①当n ＝1时，a 1＝3＝2＋1；②假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即a k ＝2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝3a k －4k ＝3(2k ＋1)－4k ＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，命题也成立．综上，由数学归纳法知，对任意的n ∈N *，都有a n ＝2n ＋1． (2)由(1)可知，2n a n ＝(2n ＋1)·2n ，则S n ＝3×2＋5×22＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，① 2S n ＝3×22＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，② ①－②得，－S n＝6＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2×22×(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝(1－2n )·2n ＋1－2，所以S n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2．18．某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：(1)(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?人次≤400 人次＞400空气质量好 空气质量不好附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，P (K 2≥k ) 0.050 0.0100.001k3.841 6.635 10.828解析：(1)由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为2＋16＋25100＝0.43，等级为2的概率为5＋10＋12100＝0.27，等级为3的概率为6＋7＋8100＝0.21，等级为4的概率为7＋2＋0100＝0.09．(2)由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100×20＋300×35＋500×45100＝350．(3)2×2列联表如下：人次≤400 人次＞400空气质量不好 33 37 空气质量好228 K 2＝100×(33×8－37×22)55×45×70×30≈5.820＞3.841，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．19．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1．(1)证明：点C 1在平面AEF 内；(2)若AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，求二面角A －EF －A 1的正弦值．解析：(1)在棱CC 1上取点G ，使得CG ＝2C 1G ，连接DG 、FG 、C 1E 、C 1F ．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，易得CG ＝23CC 1＝23BB 1＝BF 且CG ∥BF ，所以四边形BCGF 为平行四边形，因此BC _∥FG ． 又BC _∥AD ，所以FG _∥AD ，因此四边形ADGF 为平行四边形，所以AF _∥DG ． 易得C 1G _∥DE ，所以四边形DEC 1G 为平行四边形，因此C 1E _∥DG ． 所以C 1E _∥AF ，则四边形AEC 1F 为平行四边形，因此点C 1在平面AEF 内．(2)以点C 1为坐标原点，C 1D 1、C 1B 1、C 1C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C 1－xyz ．易得A (2，1，3)，A 1(2，1，0)，E (2，0，2)，F (0，1，1)，故AE →＝(0，－1，－1)，AF →＝(－2，0，－2)，A 1E →＝(0，－1，2)，A 1F →＝(－2，0，1)．设平面AEF 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AF →＝0，得⎩⎨⎧－y 1－z 1＝0，－2x 1－2z 1＝0，取z 1＝－1，得x 1＝y 1＝1，则m ＝(1，1，－1)．设平面A 1EF 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1E →＝0，n ·A 1F →＝0，得⎩⎨⎧－y 2＋2z 2＝0，－2x 2＋z 2＝0，取z 2＝2，得x 2＝1，y 2＝4，则n ＝(1，4，2)．于是cos ＜m ，n ＞＝m ·n |m |·|n |＝33×21＝77．设二面角A －EF －A 1的平面角为θ，则|cos θ|＝77，所以sin θ＝1－cos 2θ＝427，因此，二面角A －EF －A 1的正弦值为427．20．已知椭圆C ：x 225＋y 2m 2＝1(0＜m ＜5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x ＝6上，且|BP |＝|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．解析：(1)因为椭圆C ：x 225＋y 2m2＝1(0＜m ＜5)，所以a ＝5，b ＝m ．e ＝c a＝1－(b a)2＝1－(m 5)2＝154，解得m ＝54，所以C ：x 225＋y 2(54)2＝1，即x 225＋16y 225＝1．(2)不妨设P ，Q 在x 轴上方，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设x ＝6与x 轴交点为N ．因为BP ⊥BQ ，所以∠PBM ＋∠QBN ＝90º，又∠BQN ＋∠QBN ＝90º，所以∠PBM ＝∠BQN ．又|BP |＝|BQ |，所以△PMB ≌△BNQ ．因为椭圆C ：x 225＋16y 225＝1，所以B (5，0)，所以|PM |＝|BN |＝6－5＝1，即y P ＝1，将其代入x 225＋16y 225＝1，可得x P ＝3或－3，所以P 点为(3，1)或(－3，1)．①当P 点为(3，1)时，|MB |＝5－3＝2＝|NQ |，故Q 点为(6，2)． 因为A (－5，0)，可求得直线AQ 的直线方程为2x －11y ＋10＝0，故点P 到直线AQ 的距离为d ＝|2×3－11×1＋10|22＋112＝|5|125＝55，又|AQ |＝(6＋5)2＋(2－0)2＝55，所以△APQ 面积为12×55×55＝52． ②当P 点为(－3，1)时，|MB |＝5＋3＝8＝|NQ |，故Q 点为(6，8)．因为A (－5，0)，可求得直线AQ 的直线方程为8x －11y ＋40＝0，故点P 到直线AQ 的距离为d ＝|8×(－3)－11×1＋40|82＋112＝|5|185＝5185，又|AQ |＝(6＋5)2＋(8－0)2＝185，所以△APQ 面积为12×185×5185＝52． 综上所述，△APQ 的面积为52．21．设函数f (x )＝x 3＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．(1)求b ．(2)若f (x )有一个绝对值不大于1的零点，证明：f (x )所有零点的绝对值都不大于1．解：(1)因为f'(x )＝3x 2＋b ，由题意得f'(12)＝0，即3×(12)2＋b ＝0，则b ＝－34．(2)由(1)得f (x )＝x 3－34x ＋c ，故f'(x )＝3x 2－34＝3(x ＋12)(x －12)．令f'(x )＞0，得x ＞12或x ＜－12；令f'(x )＜0，得－12＜x ＜12．所以f (x )在(－12，12)上递减，在(－∞，－12)，(12，＋∞)上递增．且f (－1)＝f (12)＝c －14，f (－12)＝f (1)＝c ＋14．若f (x )有一个绝对值不大于1的零点，则f (x )在[－1，1]上有零点，则c －14≤0≤c ＋14，得－14≤c ≤14．当c ＝－14时，易知f (x )的零点为－12和1，满足所有零点的绝对值都不大于1．当c ＝14时，易知f (x )的零点为－1和12，满足所有零点的绝对值都不大于1．当－14＜c ＜14时，f (－1)＝f (12)＝c －14＜0，f (－12)＝f (1)＝c ＋14＞0，所以f (x )的零点x 1∈(－1，－12)，x 2∈(－12，12)，x 3∈(12，1)，满足所有零点的绝对值都不大于1．综上，f (x )所有零点的绝对值都不大于1．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4—4：坐标系与参数方程](10分)22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－t －t 2，y ＝2－3t ＋t 2(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A 、B 两点．(1)求|AB |；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．解析：(1)令x ＝0，则2－t －t 2＝0，解得t ＝－2或1(舍)，则y ＝2－3t ＋t 2＝12，故A (0，12)．令y ＝0，则2－3t ＋t 2＝0，解得t ＝2或1(舍)，则x ＝2－t －t 2＝－4，故B (－4，0)． |AB |＝42＋122＝410．(2)由(1)可知k AB ＝3，则直线AB 的方程为y ＝3(x ＋4)，即3x －y ＋12＝0．所以，直线AB 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ＋12＝0．[选修4—5：不等式选讲](10分)(2020全国Ⅲ理23文23)设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1．(1)证明：ab ＋bc ＋ca ＜0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥34．解析：(1)因为(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，所以ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)．因为abc ＝1，所以a ，b ，c 均不为0，所以ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)＜0．(2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ．由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0．易得a ＝－b －c ，a ＝1bc ，所以a 2＝(b ＋c )2≥4bc ＝4a ，即a 3≥4，所以a ≥34．即证得max{a ，b ，c }≥34．。

2020年普通高等学校招生全国统一考试（III 卷） 理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=(){}*,,,x y x y N y x ∈≥，B=(){},8x y x y +=，则A B 中元素个数为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2.复数113i-的虚部是 A. 310-B. 110-C. 110D. 3103.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 A. 14230.1,0.4p p p p ==== B ．14230.4,0.1p p p p ==== C ．14230.2,0.3p p p p ==== D ．14230.3,0.2p p p p ====4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531t K I t e--=+，其中K 为的最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln19≈3） A.60 B.63 C.66 D.695. 设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A. (14,0)B. (12,0)C. (1,0)D. (2,0)6. 已知向量a,b 满足5a =，6b =，·6a b =-，则cos(,)a a b +=A. 3135- B. 1935-C. 1735D. 19357. 在△ABC 中，2cos =3C ，4AC =，3BC =,则cos B =A. 19B. 13C. 12D. 238. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 442+ C. 623+ D. 423+9.已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ=A. -2B. -1C. 1D. 210.若直线l 与曲线y x =和圆2215x y +=都相切，则l 的方程为 A. 21y x =+ B. 122y x =+ C. 112y x =+ D. 1122y x =+11. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ，离心率为5. P 是C 上一点，且12F P F P ⊥.若△12PF F 的面积为4，则a=A ．1B ．2C ．4D ．812. 已知5458<，45138<，设5a log 3=，8b=log 5，13c log 8=，则 A. a b c << B. b a c << C. b c a << D. c a b <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

全国大联考2020届高三第三次联考·数学试卷考生注意：1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.请将试卷答案填在试卷后面的答题卷上.3.本试卷主要考试内容：前两次联考内容（30%），数列（35%），不等式（35%）.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合{|60},{|27}M x x N x x =-<=-<<，则M N ⋂=（ ） A.{|76}x x -<< B.{|72}x x -<< C.{|26}x x -<< D.{|27}x x -<<2.在等差数列{}na 中，28310,7aa a +==，则数列{}n a 的公差为（ ）A.1-B.2-C.1D.23.设0.40.831.2, 1.2,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.b c a >>B.b a c >>C.c b a >>D.a b c >>4.数列{}n a 满足12019a =，且对任意的*n N ∈，有32n n n a a +-=，则7a =（ ）A.2021B.2035C.2037D.20415.若0,0a b d c >><<，则一定有（ ）A.ac bcB.11a b b>- C.a c b d ->- D.ad bc <6.已知数列{}n a 为等比数列，21416,64a a a ==，数列的前n 项和为nS ，则6S 等于（ ）A.634B.6316C.638D.63327.若3log (2)1a b +=+，则42a b +的最小值为（ ）A.6B.83 C.163D.1738.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，即()*(1)(2)1,()(1)(2)3,F F F n F n F n n n N ===-+-∈，此数列在物理、化学等领域都有广泛的应用，若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2020项的和为（ ） A.1347B.1348C.1349D.13469.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()12n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.在ABC ∆中，5,6,7AB BC AC ===，点E 为BC 的中点，过点E 作EF BC ⊥交AC 所在的直线于点F ，则向量AF 在向量BC 方向上的投影为（ ）A.2B.32C.1D.311.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*125n n S S n n n N++=-+∈，则1213aa +等于（ ）A.2-B.0C.2D.412.已知函数()2sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象与直线y =相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为123,,,M M M ，则114M M =（ ）A.193πB.376πC.7πD.316π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中的横线上. 13.不等式40x x-≥的解集为________. 14.曲线(1ln )y x x =⋅+在点(1,1)处的切线方程为________.15.若下实数,,a b c ，满足1a b c ++=，则411a b c+++的最小值为_________. 16.已知数列{}n a 满足()()*115,(1)n n n a n a a a n n n N +=--=++∈，若对于任意的*n N ∈，不等式2217n a t -恒成立，则实数t 的取值范围为__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知关于x 的不等式()2(3)40ax x a --<的解集为M . （1）当1a =时，求集合； （2）当1N ∈且12M ∉时，求实数a 的取值范围. 18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2533,413nnn n n na S ab n +=⨯-=-. （1）证明：数列{}23n n a -⨯为常数列. （2）求数列{}n b 的前n 项和n T . 19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin 2sin cos()0A B C π+-=. （1）判断ABC ∆的形状；（2若7cos 9A =，ABC ∆的周长为16，求ABC ∆外接圆的面积. 20.（本小题满分12分） 已知,,a b c 都是正数，求证：（1）222a b c a b c b c a++++；（2）111111222a b c a c c a a b+++++++. 21.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*111,21n n a S S n N +=-=∈. （1）令1n n c S =+，求数列{}n c 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：11111,2n n n b b b a ++==+. ①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数n ，使得()1123252n n b b b b n -++++⋅=+成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由. 22.（本小题满分12分） 已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-. （1）若1a >，讨论函数()f x 的单调性；（2）()()(1)ln g x f x a x x =+--，是否存在实数a ，对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞≠，有()()12120g x g x a x x -+>-恒成立，若存在，求出a 的范围；若不存在，请说明理由.2020届高三第三次联考·数学试卷参考答案1.C 本题考查集合的交集运算.由题知，{|6},{|27}M x x N x x =<=-<<，所以{|26}M N x x ⋂=-<<.2.A 本题考查等差数列的公差.由题知，因为2810a a +=，所以5210a =，即55a =，所以数列{}n a 的公差为57153-=--. 3.B 本题考查比较数的大小.由 1.2xy =在区间(0,)+∞是单调增函数可知，0.80.401.2 1.2 1.21>>=，又因为33log 2log 31c =<=，所以b a c >>.4.C 本题考查数列指定项.∵32n n n a a +-=，∴4774411122a a a a a a a =-+-+=++，∵12019a =，∴72037a =.5.D 本题考查不等关系.由不等式的性质知，A 选项错误；令5,1,1,8a b c d ===-=-，有11,a c b d a b b<-<--，所以B ，C 选项错误；因为0,0a b d c >><<，所以,ad bd bd bc <<，所以ad bc <.6.A 本题考查等比数列的性质.设数列{}n a 的公比为q ，由题知，3164q =，解得2111,42a q a q =====，所以数列是以8为首项，12为公比的等比数列，所以661812631412S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-. 7.C 本题考查基本不等式.因为3log (2)1a b +=+23a b ab +=，且0a >，0b >，所以222(2)232a b a b ab +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为20a b +>，所以823a b +，当且仅当2a b =，即24,33a b ==时取等号，故42a b +的最小值为163. 8.A 本题考查数列的周期性.由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，各项除以2的余数，可得数列{}n a为1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，所以数列{}n a 是周期为3的周期数列，前三项和为1102++=，又因为202067331=⨯+，所以数列{}n a 的前2020项的和为673211347⨯+=.9.C 本题考查等差数列及充分必要条件.必要性显然成立，若()12n n n a a S +=，所以当2n 时，()111(1)2n n n a a S ---+=，所以()()1112(1)n n n a n a a n a a -=+--+，化简得11(1)(2)n n n a a n a --=+-，①，所以当3n 时，211(2)(3)n n n a a n a ---=+-，②，由①-②得()122(2)(2)n n n n a n a a ---=-+，所以122n n n a a a --=+，故“()12n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的充要条件. 10.A 本题考查向量的综合应用.因为点E 为BC 的中点，所以1()2AF AE EF AB AC EF =+=++，又因为EF BC ⊥，所以()22111()()()12222AF BC AB AC BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅=+⋅-=-=，所以向量AF 在向量BC 方向上的投影为2||AF BCBC ⋅=.11.C 本题考查数列的最值.因为()2*125n n S S n n n N ++=-+∈，所以当2n 时，21(1)25(1)n n S S n n -+=--+-，两式相减得1262(2)n n a a n n ++=-，∴12132a a +=.12.B 本题考查三角函数的性质.由题意可知，()2sin cos sin 266f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为函数()2sin cos 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象与直线y =相交，所以sin 22x =，解得1237,,636M M M πππ⎛⎛⎛ ⎝⎝⎝，…，由此可知114113131437666M M M M M M πππ=+=+=.13.{|04}x x x <≥或 本题考查分式不等式.40x x -等价于(4)00x x x -⎧⎨≠⎩，解得0x <或4x ≥，所以不等式的解集为{|04}x x x <或.14.210x y --= 本题考查导数的几何意义.1(1ln )y x x x'=++⋅，∴1|2x y ='=，∴所求的切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=.15.92本题考查基本不等式的应用.由题知(1)2a b c +++=，∴4114114()119[1)()]41(54)1212122b c a ca b c a b c a b c a b c ++⎛⎫⎡⎤+=++++=++++= ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎣⎦. 16.[2,2]- 本题考查数列的综合应用.因为()()*1(1)n n n n a a a n n n N +-=++∈，整理得111n na a n n+-=+，因为15a =-，所以6n a n n=-，所以2(6)(3)99n a n n n =-=---，所以29217t --，解得22t -，故实数t 的取值范围[2,2]-.17.解：本题考查解不等式.（1）当1a =时，()2(3)40(3)(2)(2)0x x x x x --<⇔-+-<，所以{|223}M x x x =<-<<或.（2）因为1M ∈，所以(3)(14)0a a --<，所以14a <或3a >，又因为12M ∉，所以1134024a a ⎛⎫⎛⎫--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭不成立，即1134024a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得1616a ，综上可得，实数a 的取值范围11,(3,6]164⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭. 18.解：本题考查数列的通项公式及裂项求和.（1）当1n =时，11153312a a +=⨯-=，所以16a =.当2n 时，111533n n n S a ---+=⨯-，所以112103n n n a a ---=⨯.所以()11123232nn n n a a ---⨯=-⨯，因为16a =，所以11230a -⨯=，所以230n n a -⨯=，故数列{}23n na-⨯为常数列.（2）由（1）知，23nn a =⨯，所以()2223211412121413n n nb n n n n ⨯===---+-，所以12311111111335572121n n T b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212121n n n =-=++.19.解：本题考查解三角形.（1）因为sin 2sin cos()0A B C π+-=，所以sin()2sin cos 0B C B C +-=，所以sin cos cos sin 2sin cos 0B C B C B C +-=，所以cos sin sin cos 0B C B C -=，即sin()0C B -=，又因为,B C 为ABC ∆的内角，所以B C =，所以ABC ∆为等腰三角形.（2）由（1）知，22222227,cos 229b c a b a b c A bc b +--====，解得32a b =，又因为16a b c ++=，解得4,6a b c ===，因为7cos ,(0,)9A A π=∈，所以sin 9A = 设ABC ∆外接圆的半径为R，所以29R =R =，故ABC ∆外接圆的面积为818π. 20.解：本题考查基本不等式的应用.（1）∵0,0,0a b c >>>，∴2222a a b b a b b+⋅=，当且仅当a b =时等号成立，同理可得222,2b c c b a c c a++， ∴222222a b c b c a a b c b c a +++++++，即222a b c a b c b c a++++.（2）因为0,0,0a b c >>>，所以11112222a b a bab⎛⎫+⎪+⎝⎭，当且仅当a b =时等号成立，同理可得1111222b c b c ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，1111222c a c a⎛⎫+ ⎪+⎝⎭， ∴111111111111222222222a b b c c a a b b c c a⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即111111222a b c b c c a a b+++++++. 21.解：本题考查数列的综合应用.（1）因为121n n S S +-=，所以()1121n n S S ++=+，即12n n c c +=，又因为11a =，所以11S =，即12c =，所以数列{}n c 是以2为公比和首项的等比数列，所以2n n c =.（2）①由（1）知，21n n S =-，当2n 时，112n n n n a S S --=-=，又因为11a =也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为12n -，因为1112n n n b b a ++=+，所以1122n n n b b +=+，所以11221n n n n b b -+=+，即11221n n n n b b -+-=，因为11b =，所以数列{}12n n b -是以1为首项和公差的等差数列，所以12n n b n -=，故12n n nb -=. ②设123n n T b b b b =+++⋯+，则01211232222n n nT -=+++⋯+， 所以123112322222n n nT =+++⋯+，两式相减得， 0121111111122212222222212n n n n n n n n n T --+=+++⋯+-=-=--， 所以12424422n n n n n T -++=-=-，∵()1123252n n b b b b n -++++⋅=+，∴12(2)52n n n +-+=+，即：2270n n --=.令()227(1)x f x x x =--，()2ln 212ln 210x f x '=⋅-->，∴()227xf x x =--在[1,)+∞上单调递增，且(5)0f =，所以存在唯一正整数5n =，使得()1123252n n b b b b n -++++⋅=+成立.22.解：本题考查函数与导数的综合应用.（1）211(1)[(1)]()(1)x ax a x x a f x x a a x x x -+----'=-+-==，①若11a -=，则2(1)2,()0,()x a f x f x x-'==>在(0,)+∞上单调递增； ②若11a -<，则2a <，而1a >，∴12a <<，当(1,1)x a ∈-时()0f x '<；当(0,1)x a ∈-及(1,)+∞时()0f x '<，所以()f x 在(1,1)a -上单调递减，在(0,1)a -及(1,)+∞上单调递增；③若11a ->，则2a >，同理可得()f x 在(1,1)a -上单调递减，在(0,1)及(1,)a -+∞上单调递增.（2）21()(2)ln 2g x x x a x =-+-， 假设存在a ，对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞≠，有()()12120g x g x a x x -+>-恒成立，不妨设120x x <<，只要()()12120g x g x a x x -+>-，即()()2211g x ax g x ax +>+，令()()h x g x ax =+，只要()h x 在(0,)+∞上为增函数，21()(1)(2)ln 2h x x a x a x =+-+-， 22(1)2(1)(2)()(1)a x a x a x x a h x x a x x x-+-+-++-'=+-+==，只要()0h x '在(0,)+∞恒成立，只要20,2x a a +-，故存在[2,)a ∈+∞时，对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞≠，有()()12120g x g x a x x -+>-恒成立.。

2020年3月高三第三次在线大联考（新课标Ⅰ卷）文科数学 全解全析1．B【解析】因为12i (12i)(2i)2i 4i 2i 1111i 2i (2i)(2i)5z ++++++=+=+=+=+--+，所以1i z =-，故选B ． 2．D 【解析】因为2{|1}{|11}A x x x x =<=-<<，{|ln 1}{|0e}B x x x x =<=<<， 所以{|01}A B x x =<<I ，{|1e}A B x x =-<<U ，故选D ．3．B 【解析】双曲线C 的渐近线方程为b y x a =±，由题可知tan 3b a π=设点(,0)F c ，则点F 到直线y =2c =，所以222222344c a b a a a =+=+==，解得1a =，所以双曲线C 的实轴的长为22a =，故选B ． 4．C 【解析】由题可得0.00520.02020.040(1)10a ⨯++⨯+⨯=，解得0.010a =， 则(0.0050.0100.020)100.35++⨯=，0.350.040100.750.5+⨯=>， 所以这部分男生的身高的中位数的估计值为0.50.3517010173.75(cm)100.040-+⨯=⨯，故选C ．5．C 【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为2以该几何体的体积1122132V =⨯⨯⨯=，故选C ．6．B 【解析】作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示， 设23z x y =-，则2133y x z =-，易知当直线2133yx z =-经过点D 时，z 取得最小值， 由1220x x y =-⎧⎨-+=⎩，解得112x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1(1,)2D -，所以min 172(1)322z =⨯--⨯=-，故选B ．7．B 【解析】初始：1k =，2T =，第一次循环：2282 2.8133T =⨯⨯=<，2k =，继续循环；第二次循环：8441282.833545T =⨯⨯=>，3k =，此时 2.8T >，满足条件，结束循环， 所以判断框内填入的条件可以是3?k ≥，所以正整数m 的最小值是3，故选B ．8．A 【解析】因为5()2sin()52sin ()()3333x x x xx x x xf x f x ---+-+-===--，所以函数()f x 是偶函数，排除B 、D ，又5()033f π-πππ=>-，排除C ，故选A ． 9．B 【解析】根据题意可得BC ⊥平面ACD ，EF BC ∥，则CBG ∠即异面直线BG 与EF 所成的角，连接CG ，在Rt CBG △中，cos BCCBG BG∠=，易得BD AD AB ===，所以BG =，所以cos CBG ∠==，故选B ． 10．C 【解析】将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()2sin()33g x x ωωππ=+-的图象，因为函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，所以sin()1633ωωπππ+-=±，即,6332k k ωωππππ+-=+π∈Z ，所以52,3k k ω=+∈Z ，又0ω>，所以ω的最小值为53．故选C ． 11．C 【解析】根据抛物线定义，可得1||||AF AA =，1||||BF BB =，又11AA FK BB ∥∥，所以11||||2||||A K AF B K BF ==，所以1111||||2||||A K AAB K BB ==， 设1||(0)BB m m =>，则1||2AA m =，则111||||21cos cos ||23AA BB m m AFx BAA AB m m --∠=∠===+，所以sin 3AFx ∠=，所以直线l的斜率tan k AFx =∠=C ． 12．C 【解析】因为23C π=，1c =，所以根据正弦定理可得sin sin sin a b c A B C ===a A =，b B =，所以sin()])sin 32z b a B A B B B λλλπ=+==+--+])B B φ=+，其中tan φ=，03B π<<， 因为z b a λ=+存在最大值，所以由2,2B k k φπ+=+π∈Z ，可得22,62k k k φπππ+<<π+∈Z ，所以tan φ>>，解得122λ<<，所以正数λ的取值范围为1(,2)2，故选C ． 13．12-【解析】由题可得(1,1)m +=-+a b ，因为向量+a b 与向量a 平行，所以2(1)1(1)0m -⨯+-⨯-=，解得12m =-．14．(2,0]- 【解析】作出函数()y f x =的图象及直线y a =，如下图所示，因为函数()y f x a =-有3个不同的零点123123,,()x x x x x x <<，所以由图象可知122x x +=-，3102x <≤，233()4a f x x ==，所以123a x x x ++=324(2,0]x -+∈-．15．【解析】因为(0,)α∈π，所以7(,)666απππ+∈，又1sin()063απ+=-<，所以7(,)66αππ+∈π，则cos()6απ+==，所以cos cos[()]cos()cos sin()sin 666666ααααππππππ=+-=+++=11(()32+-⨯=． 16．【解析】设直线l 与函数()f x 及()g x 的图象分别相切于1(,)(0)A m m m <，2(,)B n n a +，因为21()f x x '=-，所以函数()f x 的图象在点A 处的切线方程为211()y x m m m -=--，即212y x m m=-+，因为()2g x x '=，所以函数()g x 的图象在点B 处的切线方程为22()y n a n x n --=-，即22y nx n a =-+，因为存在直线l 与函数()f x 及()g x 的图象都相切，所以22122n mn a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，所以4124a m m =+， 令1(0)t t m =<，设41()2(0)4h t t t t =+<，则3()2h t t '=+，当t <()0h t '<，函数()h t单调递减；当0t <时，()0h t '>，函数()h t 单调递增，所以min()(2h t h ==-，所以实数a的最小值为2- 17．（本小题满分12分）【解析】（1）补充完整的22⨯列联表如下：（2分）则2K 的观测值250(1261418)2254.327 3.8413020242652k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，（4分）所以有95%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关．（6分） （2）抽取的5名学生中竞赛成绩合格的有530350⨯=名学生，记为,,a b c ， 竞赛成绩不合格的有520250⨯=名学生，记为,m n ，（8分） 从这5名学生中随机抽取2名学生的基本事件有：,,,,,,,,,ab ac bc am an bm bn cm cn mn ，共10种，（10分）这2名学生竞赛成绩都合格的基本事件有：,,ab ac bc ，共3种，（11分） 所以这2名学生竞赛成绩都合格的概率为310P =．（12分） 18．（本小题满分12分）【解析】（1）因为112(2)n n n n a a n a a +-+=≥，所以0n a ≠，所以11112n n na a a +-+=， 所以数列1{}na 是等差数列，（2分）设数列1{}na 的公差为d ，由12a a ≠可得0d ≠， 因为125,,a a a 成等比数列，所以2152a a a =，所以2152111a a a ⋅=，所以2333111(2)(2)()d d d a a a -+=-， 因为315a =，所以2(52)(52)(5)d d d -+=-，（4分） 解得0d =（舍去）或2d =，所以311(3)21n n d n a a =+-=-，所以121n a n =-．（6分） （2）由（1）知121n a n =-，2(121)2n n n S n +-==， 所以2+1111111()4(21)(21)44(21)(21)82121n n n n n b a a S n n n n n n =-=-==--+-+-+，（9分）所以11111111(1)(1)8335212182184n nT n n n n =⨯-+-++-=⨯-=-+++L ．（12分）19．（本小题满分12分）【解析】（1）因为正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，平面ABCD I 平面ABMN AB =，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABMN ，因为MN ⊂平面ABMN ，BN ⊂平面ABMN ，所以BC MN ⊥，BC BN ⊥，（2分）因为2,BC CN ==BN =， 因为2NA AB ==，所以222AB AN BN +=，所以AB AN ⊥， 因为在直角梯形ABMN 中，4BM =，所以MN =，（4分）所以222BN MN BM +=，所以BN MN ⊥，因为BC BN B =I ，所以MN ⊥平面BCN ．（6分） （2）如图，取BM 的中点E ，则BE AN =，又BM ∥AN ，所以四边形ABEN 是平行四边形，所以NE ∥AB ，又AB ∥CD ，所以NE ∥CD ，因为NE ⊄平面CDM ，CD ⊂平面CDM ，所以NE ∥平面CDM ， 所以点N 到平面CDM 的距离与点E 到平面CDM 的距离相等，（8分）设点N 到平面CDM 的距离为h ，由BE EM =可得点B 到平面CDM 的距离为2h ， 由题易得CD ⊥平面BCM ，所以CD CM ⊥，且CM =所以11112223232B CDMV CD CM h h-=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=，（10分）又1111822432323M BCDV BC CD BM-=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，所以由B CDM M BCDV V--=83=，解得h=，所以点N到平面CDM．（12分）20．（本小题满分12分）【解析】（1）因为椭圆Γ过点，所以222112a b+=①，（1分）设O为坐标原点，因为56AFBπ∠=，所以6BFOπ∠=，又||BF a=，所以12b a=②，（3分）将①②联立解得21ab=⎧⎨=⎩（负值舍去），所以椭圆Γ的标准方程为2214xy+=．（4分）（2）由（1）可知(0,1)B，设11(,)P x y，22(,)Q x y．将y kx n=+代入2214xy+=，消去y可得222(14)8440k x knx n+++-=，（5分）则22222(8)4(14)(44)16(41)0kn k n k n∆=-+-=-+>，122814knx xk-+=+，21224414nx xk-=+，（7分）所以12212121121212121211()()2(1)()BP BQy y x kx n x x kx n x kx x n x xk kx x x x x x--+-++-+-++=+==222224482(1)8(1)214141444(1)(1)114n knk nk n kk kn n n nk--⋅+-⋅-++====--+-++，（10分）所以21n k=--，此时2216[4(21)1]640k k k∆=---+=->，所以0k<，此时直线l的方程为21y kx k=--，即(2)1y k x=--，（11分）令2x=，可得1y=-，所以直线l过定点，该定点的坐标为(2,1)-．（12分）21．（本小题满分12分）【解析】（1）由题可得函数()f x的定义域为(0,)+∞，222211(1)1(1)(1)()(0)a ax a x x axf x a xx x x x+-++--'=-+==>，当0a≤时，10ax-<，令()0f x'<，可得1x>；令()0f x'>，可得01x<<，所以函数()f x在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；（2分）当01a <<时，令()0f x '<，可得11x a <<；令()0f x '>，可得01x <<或1x a>， 所以函数()f x 在(0,1)，1(,)a +∞上单调递增，在1(1,)a上单调递减；当1a =时，()0f x '≥恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．（5分）综上，当0a ≤时，函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；当01a <<时，函数()f x 在(0,1)，1(,)a +∞上单调递增，在1(1,)a上单调递减；当1a =时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．（6分） （2）方法一：当1a =时，2323412312()()2ln F x f x x x x x x x x x =++-=-++-，[1,2]x ∈， 设()2ln g x x x =-，[1,2]x ∈，则22()10x g x x x-'=-=≤， 所以函数()g x 在[1,2]上单调递减，所以()(2)22ln 2g x g ≥=-，当且仅当2x =时取等号．（8分） 当[1,2]x ∈时，设1t x=，则1[,1]2t ∈，所以232331232t t t x x x +-=+-，设23()32h t t t t =+-，1[,1]2t ∈，则22119()3266()66h t t t t '=+-=--+，所以函数()h t '在1[,1]2上单调递减，且15()022h '=>，(1)10h '=-<，所以存在01(,1)2t ∈，使得0()0h t '=，所以当012t t ≤<时，()0h t '>；当01t t <≤时，()0h t '<，（10分）所以函数()h t 在01(,)2t 上单调递增，在0(,1)t 上单调递减，因为13()22h =，(1)2h =，所以13()()22h t h ≥=，所以2331232x x x +-≥，当且仅当2x =时取等号．（11分）所以当2x =时，函数()F x 取得最小值，且min 37()22ln 22ln 222F x =-+=-， 故函数()F x 的最小值为72ln 22-．（12分）方法二：当1a =时，2323412312()()2ln F x f x x x x x x x x x=++-=-++-，[1,2]x ∈， 则3223442326(1)(46)()1x x x x F x x x x x x ----'=---+=，令32()46g x x x x =---，[1,2]x ∈，则22113()3243()33g x x x x '=--=--，所以函数()g x '在[1,2]上单调递增，（8分）又(1)3,(2)4g g ''=-=，所以存在0(1,2)x ∈，使得0()0g x '=， 所以函数()g x 在0[1,)x 上单调递减，在0[,2]x 上单调递增，（9分） 因为(1)100,(2)100g g =-<=-<，所以当[1,2]x ∈时，()0g x <恒成立，所以当[1,2]x ∈时，()0F x '≤恒成立，所以函数()F x 在[1,2]上单调递减，（11分）所以函数()F x 的最小值为233127(2)22ln 22ln 22222F =-++-=-．（12分） 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（1）由82x t=+可得0x ≠， 由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．（2分）由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．（5分） （2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠，将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠，（7分）当()04θρπ=>时，A ρ=B ρ=所以|||||A B AB ρρ=-==（10分） 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（1）当2a =时，12,211()|21||21|4,2212,2x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，（2分）当12x <-或12x >时，|()|2f x =，所以1()1f x -≤≤可转化为1124211x x -≤-≤≤⎧≤⎪⎨⎪⎩，解得1144x -≤≤，所以不等式1()1f x -≤≤的解集为11[,]44-．（5分）（2）因为1(,0)2x ∈-，所以|21|21x x +=+，所以()2f x x >，即21|1|2x ax x +-->，即|1|1ax -<．当0a ≥时，因为1(,0)2x ∈-，所以|1|1ax -≥，不符合题意．（7分）当0a <时，解|1|1ax -<可得20x a<<，（8分） 因为当1(,0)2x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，所以12(,0)(,0)2a-⊆，所以212a ≤-，解得40a -≤<，所以实数a 的取值范围为[4,0)-．（10分）。

【学易大联考】2020年第三次全国大联考【四川卷】理科数学试卷A.若 n ,n ，则〃 B 若 n ,nm,则 m//c 若,m//，则mD 若，m，则 m//6•将5个不同的球装入 3个不同的盒子中（每个盒子都不空） ，则不同的装法有（)A. 25 种B.60 种C. 125 种D. 150 种7•直线(m 3)x(2m 1)y m 2（ m 为任意实数） 2 2被圆x y16截得的弦长的最小值为（）f —_A. 0B. 2C. 2 2D .2心4是不同的平面，下列命题正确的是( )5.设n ,m 是不同的直线, 考试时间：120分钟; 第I 卷（共50分） 一•选择题：本大题共 项是符合题目要求的满分150分 10个小题，每小题 5分，共50分•在每小题给出的四个选项中，只有 1.已知集合{(x,y)|1}x集合B ｛（ x, y ）丨y 2 ｝，则A B 的子集的个数为A . 1 B. 2C. 3D. 4z2•设复数 其中a 是实数, i 是虚数单位，若 z 的实部为 1，则复数z 的虚部为（ ）A.2iB.2iC.D. 23. “2”是 直线 2x 3y与直线3x ay 1垂直”的(A.充分不必要条件C .充要条件B. D. 必要不充分条件 既不充分也不必要条件1，则下列各式中一定正确的是（aA.n n mC.a b n mD. a bx y 2 0 2y 18.已知实数x,y 满足约束条件2x y 2，则 Z 3x 4y 12的最大值为()i —65135A. 4中 5B. 20C. 4D. 49.已知函数 2f (x) lnx x，若对任意的实数 x恒有f(x)成立，则实数的取值范围为( )A. (0,)B. I 1, )C. [2e,)1D.N)10.已知ln aln 3 In c,bd23，则(a b)(d、2C)的最小值为()f -----3.10181612A. 5B. 5 C.5D. 5第n 卷(共100分)二•填空题(每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上)1cosx sin x3311.若 3，则 cos x sin xn*12.____________________________________________________ 在(1 3x) (n N )的展开式中，各项系数和为 _____________________________________________________ . 13. 三棱锥P ABC 中，PA 平面ABC , AC BC,AC BC 1,PA 暑，则该三棱锥 外接球的体积为2 2x y飞—1(a 0,b 0)匚匚14. 双曲线a b的两个焦点为F1,F2，若P 是双曲线上一点，且|PF1| 3|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为.1 |x 1|,x 0,2f x1-f x 2 ,x 2,15.函数 2给出以下命题：①函数y fx In x1有3个零点；k3f x②若x 0时, 函数x 恒成立，则实数 k 的取值范围是2③函数的极大值中一定存在最小值;*c④ f(x) 2kf(x 2k)(k N)，对一切 X 0,恒成立； ⑤ 任取X1 , X 2 0,，都有f (X l ) f (X 2)1恒成立.其中真命题的有三•解答题(本大题共6小题，共75分•解答应写出文字说明•证明过程或演算步骤.) 16. (本小题满分12分)有4个小盒子，编号为1，2，3，4，将3个小球随机的投入其中(每个盒子容纳小球的个 数没有限制)，求：(I )第一个盒子为空盒的概率； (n )小球最多的盒子中小球个数的概率分布和期望•17. (本小题满分12分)19.(本小题满分12分)1 * b n,n Na n a n 1, T n 为数列｛bn ｝的前n 项和.(I )求数列｛an ｝的通项公式；(n )若不等式 Tn n 8 ( 1)对任意的n N 恒成立，求实数的取值范围f(x)沁 4sinxcosx 已知 sin xm在区间(0,2］上的最大值为2,2(I )求f (x)的最小正周期; (n )在ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且J 6a c2 ，求 sinB18.(本小题满分 12分) 如图四棱锥 PABCD AB AD CD // AB PA 平面 ABCDPA CD AD 2AB 2 M 为PC 的中点.(I )求证: BM //平面PAD ； (n )在平面 PAD 上找一点N ,使得MN平面PBD ;(川)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦设正项数列｛an ｝的前n 项和为Sn ，且a 1 1 4S n (12 *an) (n N )，数列｛b n ｝满足1 2F i , l i 与x 轴的交点为M ,过点M 作斜率不为零的直线与椭圆于A 、B 两点，A 关于x 轴对称的点为C .(i )证明：C 、Fl 、B 三点共线； (ii )求MBC 的面积S 的最大值.21.(本小题满分14分)已知函数f (x ) $ ax(a R)(e 为自然对数的底数). (I )求函数f (X )的单调区间;2 '(n )若 a 1 , F(x) f(x) bx 1 的导数 F (x)在［°,已知椭圆2 E : x 1- - 2a 2 yb 2 1( a b °) 的右焦点 2 2a ax 1 xc 与直线 12: c 之间的距离为6 20.(本小题满分13分) (I )求椭圆E 方程;F2与抛物线 寸8x的焦点重合，直线l i :(川)求证:(n )设椭圆E 的左焦点为)上是增函数，求实数b 的最大值;1 21 1f(2) f(3)f(4)nn4(n 2)对一切正整数n均成立.。