【全国市级联考word】湖南省永州市2018届高考第二次模拟考试理数试题

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题二数学（理科）本试卷共5页，23 小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污.损2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A 2,1,0,1,2, B {x|R x 1x 20}，则A BA.1,0,1B.1,0C.2,1,0D.0,1,22.已知,是相异两平面，m,n是相异两直线，则下列命题中错误的是A.若m//n,m ，则n B．若m ,m ，则//C.若m ,m//，则D．若m//,n，则m//n3.变量X服从正态分布X定点N 10,2,P X 12a，P 8X10b，则直线ax by 1过A．(1,1)B．(1,2)C．(2,1)D．(2,2)4.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“aMODb”表示a除以b的余数），若输入的a,b分别为675,125，．．则输出的 a（）A. 0B . 25C. 50D. 755.记不等式组x y 2 2 x y 2 y 2 0表示的平面区域为 ，点 M 的坐标为 x,y．已知命题 p：M ， xy的最小值为 6；A.命题p q q： M ， p qB ． 45x 2 y 220 qC.；则下列命题中的真命题是 pq 、p q 、q D ．都是假命题6.设F , F 为椭圆 C : x 122my 21的两个焦点，若点 F 在圆 F : x122( y1 2m )2 n上， 则椭圆 C 的方程为A ． x2y 2 x 2 1 B ．x 2 2 y 2 1C.22y21D ．2 x2y217.若a20 c o s x d x ，则 ( xa x2 6) 的展开式中含 x 5 项的系数为8. 12 A ．A ．24已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 fx 满足 fC ．12x 2f x， 当 D ． 24x0,1时 ，f x 2x1，则A.f6f7f11 2B.f112f 7f 6C.f7f1111f 79.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何 图f 6D . f 6f22顶点的多边形为正五边形，且PT51AT2.下列关系中正确的是A．BP TS 5151RS B．C Q TP22TSC．ES AP 5151 BQ D．AT BQ22CR10.已知函数f(x)2sin(2x6)在[a4,a](a R)上的最大值为y1，最小值为y，则2y y12的取值范围是A．[22,2]B．[2,22]C．[ 2,2]D．[22,22]11.对于任一实数序列A a,a,a, ，定义A为序列a a,a a,a a, ，它的123213243第n项是an 1an，假定序列(A)的所有项都是1，且a a1820170，则a2018A．0B．1000 C. 1009D．201812.已知M {|f ()0}，N {|g()0}，若存在M ，N，使得||1，则称函数f(x)与g(x)互为“和谐函数”.若f(x)2x 2x 3与g(x)x2ax a 3互为“和谐函数”则实数a的取值范围为A.(2,)B.[2,)C.(2,3)D.(3,)二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分.把答案填在题中的横线上.13.设复数z22 i（其中i为虚数单位），则复数z的实部为_____，虚部为_____．14.点F为双曲线E:x2y21(a 0,b 0)a2b2的右焦点，点P为双曲线上位于第二象限的点，点P关于原点的对称点为Q，且PF 2FQ，OP 5a，则双曲线E的离心率为_____．15.在数列an 中，如果存在非零常数T，使得an Ta对于任意的正整数n均成立，那么就n称数列an 为周期数列，其中T叫数列a的周期．已知数列b满n n足:b b b (n N*)，若b 1，b a(a R,a 0)当数列b的周期最小时，该数列的前2018项的和是，_____． 1 2 n16.一个正八面体的外接球的体积与其内切球的体积之比的比值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.(本小题满分12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，M为A C的中点，且4a 4b cos C 3c s in B.(Ⅰ)求cos B的大小；B(Ⅱ)若ABM 450,a 52,求ABC的面积．A M C18.(本小题满分12分）为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“整治散落污染企业”等．下表是该市2016年11月份和2017年11月份的空气质量指数（AQI）（AQI指数越小，空气质量越好）统计表．根据表中数据回答下列问题：（1）将2017年11月的空气质量指数AQI数据用该天的对应日期作为样本编号，再用系统抽样方法从中抽取6个AQI数据，若在2017年11月16日到11月20日这五天中用简单随机抽样抽取到的样本的编号是19号，写出抽出的样本数据；（2）根据《环境空气质量指数（A QI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0~50（含50）时，空气质量级别为一级，用从（1）中抽出的样本数据中随机抽取三天的数据，空气质量级别为一级的天数为，求的分布列及数学期望；（3）求出这两年11月空气质量指数为一级的概率，你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效？19.(本小题满分12分）C如图，底面为直角三角形的三棱柱ABC A B C中，AB AC AA1111，A BA AB A AC 60 110，点D在棱BC上，且AC //1平面ADB.1（Ⅰ）求二面角A-B C-D11的余弦值；C（Ⅱ）求AB1与平面ABC所成角的正弦值.A DB20.(本小题满分12分）已知点A（0，1）,B为y轴上的动点，以AB为边作菱形ABCD，使其对角线的交点恰好落在x轴上.（Ⅰ）求动点D的轨迹E的方程；（Ⅱ）过点A的直线l交轨迹E于M、N两点，分别过点M、N作轨迹E的切线l、l12，且l1与l2交于点P.（ⅰ）证明：点P在定直线上，并写出定直线的方程；（ⅱ）求OMN的面积的最小值.21.(本小题满分12分）111已知函数f x l n xa Rx 1（Ⅰ）讨论函数f x的单调性；.（Ⅱ）若fx 有两个极值点x,x12，证明:fx x122fx f x122.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C:x y 41，曲线C:2x 1cosy sin(为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（I）求曲线C,C12的极坐标方程；（II）若射线(0)与曲线C,C12的公共点分别为A,B，求OBOA的最大值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知a 0，b 0，c 0，函数f x c a x x b．（I）当a b c1时，求不等式fx3的解集；（II）当 fx 的最小值为3时，求a b c的值，并求111a b c的最小值．2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（二）参考答案一、选择题：题号123456789101112ax二、填空题：13.31,2214.515. 134616.33三、解答题17. (Ⅰ) 由题设知：4sin( B C ) 4sin A 4sin B c os C 3sin C sin BB4cos B 3sin B 0 93c os 2 B , 即 cos B 25 5.………………4 分N AMC（II ）取 AB 的中点 N ，连 MN ，则 MN / / B C 且 MN5 22s in BNM sin B4 5，……………7 分由 BM MN MNsin BNM sin NBM sin ABM知： 4 5 2 1BM 4 5 2 sin 450……………9 分2 4 3S 2S BM BC sin( B 450 ) 4 5 2 ( ) 4 ABC MBC ………………12 分18.解：（1）系统抽样，分段间隔k 30 65， 抽出的样本的编号依次是 4 号、9 号、14 号、 19 号、24 号、29 号， 对应的样本数据依次是 分28 、56、94、48、40、221． (3)C k C 3k（2）随机变量 所有可能的取值为 0，1，2,3，且 P ( k ) 3 3 (k 0,1,2,3)C 3 61 9 9 1P ( 0) ， P (1) ， P( 2) ， P ( 3) ，20 20 20 20随机变量的分布列为：0 1 2 3P1209 20 9 20 1 20所以E () 01 9 9 11 2 31.5 20 20 20 20．……………9 分（3）2016 年 11 月AQI指数为一级的概率P 17 30，2017 年 11 月 AQI 指数为一级的概率P 217 30，PP ，说明这些措施是有效的．……………12 分2119. (Ⅰ)解：连 A B ，得 A B ABO , 连 OD ；111ZC'则 O D 平面 ADB1∵ AC / / 平面ADB11平面 A C B ,且 O 为 A B 的中点11A'B'2 5 5CDA BxY∴ A C / /O D ，且 D 为 BC 的中点……………2 分1AB AC AA 1， A ABA AC 60 11∴ A BAC A A , A D B C , AD B C1111设 BC2a ，又底面为直角三角形得 A D AD a , AB AC AA112a∴ A DA 90 10 ，即 A DA D 1，得 A D 1平面 ABC ……………4 分以 D 为原点， DA , DB , DA 分别为 x , y , z 1轴建立空间直角坐标系， 则由 A (a ,0,0) , B (0, a ,0) , C (0,a ,0) , A (0,0, a ) ，1AA / / B B / /C C 知： AABB CC (a ,0, a ) 111111，得B (a, a , a ) 1，C (a, a, a ) 1；∴BC(0, 2a ,0) , AB (2a , a , a ) , DB (a, a , a ) , DA (0,0, a ) 1 1111，………6 分设n( x , y , z ) 且 n平面 AB C 1 11 1，则n B C2ay 01 1n AB 2ax ay az 01 取 x1 得 n(1,0,2) ；设 n平面 DB C ，同理：且 n(1,0,1) 121 12 (8)分∴cos n , n123 3 105 2 10，故二面角A -BC -D 1 1的余弦值为3 10 10；…10 分又 DA 为平面 1ABC的法向量，且cos DA , AB111 666，∴ AB 与平面 ABC 所成角的正弦值 1 6 6.……………12 分20. 解：(Ⅰ)设 D ( x , y ) ，则由题设知：B (0, y ) ， 由 AB A D 知 x 2 ( y 1)2( y 1)2 ，得 x24 y ( y 0) 为动点 D 的轨迹 E 的方程；……………4 分x x 2 x 2(Ⅱ) （ⅰ）由(Ⅰ)知： y ' ，设 M ( x ,y )、N ( x ,y ) ，则 y 1 , y 2 2 4 4;AM ( x , 1 x 2 x 2 x 2 x 2 1 1)、AN ( x , 2 1) 由题设知： x ( 2 1) x ( 1 4 4 4 41)，得x x4 12；1 21 12 2 2 12切线xl : y y 1 ( x x ) 2的方程为x x 2 y 1 x 1 ; 2 4切线 l 2的方程为x x 2 y2 x 2 ; 2 4两者联立得： xx +x x x1 2 ,y 1 21；即点 P 在定直线 2 4y1上； (9)分（ⅱ）由(Ⅰ)及（ⅰ）知：S OMN 1 1 1OA x x ( x x ) 2 4 x x ( x x ) 2 2 22 16 2; 即点 P (0, 1) 时， (S) OMN min2 .……………12 分21. 解 ： （ Ⅰ ）1 a ( x 1) ax x f '(x ) x ( x 1)22 (2 a ) x 1 x ( x 1)2 ( x 0)，(a 2) 2 4 a (a 4) ；当 a 4 时， f '(x ) 0 ， f ( x ) 在 (0, )上单调递增；当a 4时 ，f ( x )在(0,a 2 a (a 4) 2)上 单 调 递 增 ， 在( a 2 a (a 4) a 2 a (a 4) a 2 a (a 4) , ) 上单调递减，在 (2 2 2, )上 单调递增；……………6 分（Ⅱ）由（Ⅰ）知： a 4 且 x xa 2 , x x1 121 2ax ( x 1) ax ( x 1)f ( x ) f ( x ) ln x x 1 2 2 1 a ，(x 1)(x 1) 1 2a 2 a x x a 2 a 2 a 2而 f ( 1 2 ) f ( ) ln ln (a 2) 2 2 2 a 2 22 1x x f ( x ) f ( x ) a 2 a f ( 1 2 ) 1 2 ln 2 h (a )2 2 2 2，2 1 4 ah '(a ) ( 1) 0 a 2 2 2(a 2)，得 h (a ) 在 (4,) 上为减函数，又 h (4) 0 ，即 h (a ) 0 ；则 f ( x x f (x ) f ( x ) 1 2 ) 1 2 2 2……………12 分22．解：（I ）曲线 C 的极坐标方程为 (cos sin ) 4 ，1曲 线 C 的 普 通 方 程 为 ( x 1) 2 y 2 1 ， 所 以 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 2 22cos . …………4 分（II ）设设A ( , ) ，B ( , ) ，因为 A , B 是射线与曲线 124，则 ，2 cos ，42 cossinC , C 12的公共点，所以不妨1 1 1 12 1 2 1 2 1 2 ， ，1 2 1 2 21 . 1 2| OB | 12 2cos | OA | 41(cossin)1 1(cos 2sin 21) 2 cos(2 ) 1 4 4 4，所以当| OB | 时， 8| OA | 2 1取得最大值 . ……………10 分4 23．解：（I ） fxx 1x 11x11x 1{ 或 { 1 2 x 3 3 3或{x 1 2x 1 3， 解 得{x | x 1或x 1}（II ） ．……………5 分fxc a x x b a x x b c a b c a b c 31 1 1 1 1 1 1 1 b a c a c ba b c 3a b c 3 a b c 3 a b a c b c，13 2 2 2 3 3．当且仅当a b c 1时取得最小值 3．……………10 分19．如图，在三棱柱ABC A B C 体，平面 A B C平面 AAC C , BAC90 1 1 11 11 1．（I ）证明：ACCA 1；（II ）若A B C 1 1是正三角形，AB 2 A C 2，求二面角A ABC 1的大小．3BB1CC1AA1。

湖南省永州市2018-2019学年高考模拟卷理科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设集合{}{}2|430,|,0xA x x xB y y e x =-+<==≤，则AB =A. (),1-∞B. ()0,3C.()1,3D.()3,+∞ 2.若复数()2z a i a R =+∈，且满足41i z z =-⋅-，则a 的值为A. 1±B. 1C. 2±D. 23.已知0,0a b c >><，下列不等关系中正确的是A. ac bc >B. cca b > C. ()()log log a b a c b c ->- D.a b a c b c>-- 4.函数()21cos 21x xf x x +=⋅-的大致图象是5.某个路口交通指示灯，红灯时间为40秒，黄灯时间为10秒，绿灯时间为30秒，绿灯和黄灯时间可以通行，当你到达路口时，等待时间不超过10秒就可以通行的概率为 A.34 B. 47 C. 57 D.586.等差数列{}n a 的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比数列，则该数列的前n 项和n S 取最小值时，n 的值等于A. 7B. 6C. 5D. 47.设,x y 满足约束条件2601010x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，若2z ax y =+仅在74,33⎛⎫⎪⎝⎭点处取得最大值，则a 的值可以为A. 7B. 6C. 5D. 48.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某一无盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于A. 39πB. 48πC. 57πD. 63π 9.已知函数()()2112sin 022f x x ωω⎛⎫=->⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移()0a a >个单位，所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为 A.4π B. 34π C. 2π D.8π10.运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有4次落在直线y x =上，则判断框中可填写的条件是A. 8i >B. 9i >C. 10i >D.11i >11.已知A,B,C 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥，且2BF CF =，则该双曲线的离心率是A.53 D. 94 12. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）契合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称.从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）.A. 42πB. 22πC. 41πD.21π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.()62111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 .（用数字填写答案）14.已知ABC ∆中，BA AC ⊥且60,2,ACB AC BE EC ∠===，若P 是边BC 上的动点，则AP AE ⋅的取值范围是 .15.已知圆C 的方程为()2231x y -+=，圆M 的方程为()()()2233cos 3sin 1x y R θθθ--+-=∈，过M上任意一点P 作圆C 的两条切线PA,PB ，切点分别为A,B ，则APB ∠的最大值为 . 16.若直线y kx b =+是曲线1y x=的切线，也是曲线2y x =-的切线，则直线的方程为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知在ABC ∆中，D 为BC 的中点，cos 510BAD CAD ∠=∠= （1）求BAC ∠的值； （2）求ACAD的值.18.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==,点E 是PC 的中点，作EF PB ⊥于点.F （1）求证：PB ⊥平面；（2）求直线DF 与平面BDE 所成角的正弦值.19.（本题满分12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基本保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆车该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）按照我国《机动车交通事故责任强制险条例》汽车交强险价格的规定，950.a =记X 为某同学家里的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X 的分布列与数学期望；（数学期望保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故亏损5000元，一辆非事故车盈利 10000万：①若该销售商购进三辆（车辆已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率； ②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获利的期望值.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，离心率为1.2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设12,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M,N ，记1FMN ∆的内切圆的面积为S ，求当S 取得最大值时，直线l 的方程，并求出最大值.21.（本题满分12分）设函数()()31,f x x ax b x R =---∈，其中,a b R ∈ （1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，求证：1023x x +=； （3）设0a >，函数()()g x f x =，求证：()g x 在区间[]0,2上的最大值不小于14.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

2018年湖南省永州市祁阳县高考数学二模试卷（理科）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合M＝{y|y＝2x，x＞0}，N＝{y|y＝}，则M∩N等于（）A．∅B．{1}C．{y|y＞1}D．{y|y≥1}2．（5分）设复数z＝1+（其中i为虚数单位），则等于（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣2i D．2i3．（5分）下列说法正确的是（）A．“f（0）＝0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若α＝，则sinα＝”的否命题是“若α≠，则sinα≠”4．（5分）在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a3+a4+a8＝25，则S9＝（）A．60B．75C．90D．1055．（5分）为了得到函数的图象，可以将函数y＝cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位6．（5分）已知非零向量，的夹角为60°，且||＝1，|2﹣|＝1，则||＝（）A．B．1C．D．27．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）已知，则＝（）A．B．C．D．9．（5分）已知偶函数，当时，，设a＝f（1），b＝f（2），c＝f（3），则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b 10．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）＝2018，对任意的x∈R，都有f′（x）＜2x 成立，则不等式f（x）＜x2+2014的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（2，2）C．（﹣∞，2）D．R11．（5分）过点P（﹣1，1）作圆C：（x﹣t）2+（y﹣t+2）2＝1（t∈R）的切线，切点分别为A，B，则•的最小值为（）A．B．C．D．2﹣3 12．（5分）已知数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n，T n，且a n＞0，6S n＝a n2+3a n，n∈N*，b n＝，若∀n∈N*，k＞T n恒成立，则k的最小值是（）A．B．49C．D．二．填空题（本题共4小题，共20分.把答案填写在答题卡相应的横线上）13．（5分）公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2，a5，a14成等比数列，，则a10＝．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝2sin B，且a+b＝c，则角C的大小为．15．（5分）已知函数f（x）＝若关于x的函数y＝f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是．16．（5分）已知函数f（x）＝﹣xlnx+ax在区间（0，e）内是增函数，函数g（x）＝|e x﹣a|+（其中e为自然对数的底数），当x∈[0，1n3]时，函数g（x）的最大值M与最小值m 的差为．则实数a＝．三、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）＝2x﹣k（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）求的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝sinωx cosωx﹣sin2ωx+1（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）如图，在锐角三角形ABC中有f（B）＝1，若在线段BC上存在一点D使得AD＝2，且AC＝，CD＝﹣1，求三角形ABC的面积．20．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2+S2＝10，a5﹣2b2＝a3．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令Cn＝设数列{c n}的前n项和T n，求T2n．21．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax+1，其中a∈R，且a≠0（Ⅰ）设h（x）＝（2x﹣3）f（x），若函数y＝h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；（Ⅱ）当a＞﹣2时，求函数y＝|f（x）|在[0，1]上最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a＝1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．2018年湖南省永州市祁阳县高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合M＝{y|y＝2x，x＞0}，N＝{y|y＝}，则M∩N等于（）A．∅B．{1}C．{y|y＞1}D．{y|y≥1}【解答】解：M＝{y|y＝2x，x＞0}＝{y|y＞1}，N＝{y|y＝}＝{y|y＝＝∈[0，1]}＝{y|0≤y≤1}，则M∩N＝∅，故选：A．2．（5分）设复数z＝1+（其中i为虚数单位），则等于（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣2i D．2i【解答】解：∵z＝1+＝，∴，故选：B．3．（5分）下列说法正确的是（）A．“f（0）＝0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若α＝，则sinα＝”的否命题是“若α≠，则sinα≠”【解答】解：对于A，f（0）＝0时，函数f（x）不一定是奇函数，如f（x）＝x2，x∈R；函数f（x）是奇函数时，f（0）不一定＝0，如f（x）＝，x≠0；是即不充分也不必要条件，A错误；对于B，命题p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，∴B错误；对于C，若p∧q为假命题，则p，q至少有一假命题，∴C错误；对于D，若α＝，则sinα＝的否命题是“若α≠，则sinα≠”，∴D正确．故选：D．4．（5分）在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a3+a4+a8＝25，则S9＝（）A．60B．75C．90D．105【解答】解：∵等差数列{a n}中，S n为其前n项和，a3+a4+a8＝25，∴3a1+12d＝25，∴，∴S9＝＝9a5＝9×＝75．故选：B．5．（5分）为了得到函数的图象，可以将函数y＝cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：由题意y＝cos2x＝sin（2x+），函数y＝sin（2x+）的图象经过向右平移，得到函数y＝sin[2（x﹣）+]＝sin （2x﹣）的图象，故选：B．6．（5分）已知非零向量，的夹角为60°，且||＝1，|2﹣|＝1，则||＝（）A．B．1C．D．2【解答】解：∵非零向量，的夹角为60°，且||＝1，∴＝||•1•＝，∵|2﹣|＝1，∴＝4﹣4+＝4﹣2||+1＝1，∴4﹣2||＝0，∴||＝，故选：A．7．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知当x＞1或x＜﹣1时，y＞0，故排除A、B；又当x→0时，函数的值也趋近于0，故排除C，故选：D．8．（5分）已知，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴＝＝＝＝＝＝，故选：B．9．（5分）已知偶函数，当时，，设a＝f（1），b＝f（2），c＝f（3），则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵当时，y＝sin x单调递增，y＝也为增函数，∴函数，也为增函数．∵函数为偶函数，∴，即函数的对称轴为x＝，即f（x）＝f（π﹣x）∴f（2）＝f（π﹣2），f（3）＝f（π﹣3），∵0＜π﹣3＜1＜π﹣2，∴f（π﹣3）＜f（1）＜f（π﹣2），即c＜a＜b，故选：D．10．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）＝2018，对任意的x∈R，都有f′（x）＜2x 成立，则不等式f（x）＜x2+2014的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（2，2）C．（﹣∞，2）D．R【解答】解：根据题意，令g（x）＝f（x）﹣x2﹣2014，则g′（x）＝f′（x）﹣2x＜0，∴函数g（x）在R上单调递减，而f（﹣2）＝2018，∴g（﹣2）＝f（﹣2）﹣（﹣2）2﹣2014＝0．∴不等式f（x）＜x2+2014，可化为g（x）＜g（﹣2），∴x＞﹣2．即不等式f（x）＞x2+2014的解集为（﹣2，+∞）；故选：A．11．（5分）过点P（﹣1，1）作圆C：（x﹣t）2+（y﹣t+2）2＝1（t∈R）的切线，切点分别为A，B，则•的最小值为（）A．B．C．D．2﹣3【解答】解：圆C：（x﹣t）2+（y﹣t+2）2＝1的圆心坐标为（t，t﹣2），半径为1，∴|PC|2＝（t+1）2+（t﹣3）2＝2t2﹣4t+10，∴|P A|2＝|PB|2＝|PC|2﹣1＝（t+1）2+（t﹣3）2﹣1＝2t2﹣4t+9，cos∠APC＝＝，∴cos∠P AB＝2cos2∠APC﹣1＝2×（）﹣1＝＝∴•＝||•||cos∠P AB＝（2t2﹣4t+9）•＝[（t2﹣2t+5）+（t2﹣2t+4）]•，设t2﹣2t+4＝x，则x≥3，则•＝f（x）＝（x+x+1）•＝，∴f′（x）＝＞0恒成立，∴f（x）在[3，+∞）单调递增，∴f（x）min＝f（3）＝，∴•的最小值为故选：C．12．（5分）已知数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n，T n，且a n＞0，6S n＝a n2+3a n，n∈N*，b n＝，若∀n∈N*，k＞T n恒成立，则k的最小值是（）A．B．49C．D．【解答】解：∵6S n＝a n2+3a n，∴6S n+1＝a n+12+3a n+1，∴6a n+1＝（a n+1+a n）（a n+1﹣a n）+3（a n+1﹣a n）∴（a n+1+a n）（a n+1﹣a n）＝3（a n+1+a n），∵a n＞0，∴a n+1+a n＞0，∴a n+1﹣a n＝3，又6a1＝a12+3a1，a1＞0，∴a1＝3．∴{a n}是以3为首项，以3为公差的等差数列，∴a n＝3n，∴b n＝＝（﹣）＝（﹣），∴T n＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＜＝．∴k≥．故选：C．二．填空题（本题共4小题，共20分.把答案填写在答题卡相应的横线上）13．（5分）公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2，a5，a14成等比数列，，则a10＝19．【解答】解：设数列的公差为d，（d≠0）∵S5＝a32，得：5a3＝a32，∴a3＝0或a3＝5；∵a2，a5，a14成等比数列，∴a52＝a2•a14，∴（a3+2d）2＝（a3﹣d）（a3+11d）若a3＝0，则可得4d2＝﹣11d2即d＝0不符合题意，若a3＝5，则可得（5+2d）2＝（5﹣d）（5+11d），解可得d＝0（舍）或d＝2，∴a10＝a3+7d＝5+7×2＝19，故答案为：19．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝2sin B，且a+b＝c，则角C的大小为60°．【解答】解：∴sin A＝2sin B，由正弦定理：可得a＝2b．即a2＝4b2．∵a+b＝c，即3b＝c，由余弦定理：2ab cos C＝a2+b2﹣c2．可得：cos C＝．∵0＜C＜π．∴C＝60°．故答案为：60°．15．（5分）已知函数f（x）＝若关于x的函数y＝f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是（2，]．【解答】解：作函数f（x）＝的图象如右图，∵关于x的函数y＝f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，∴方程x2﹣bx+1＝0有2个不同的正解，且在（0，4]上；∴，解得，2＜b≤；故答案为：（2，]．16．（5分）已知函数f（x）＝﹣xlnx+ax在区间（0，e）内是增函数，函数g（x）＝|e x﹣a|+（其中e为自然对数的底数），当x∈[0，1n3]时，函数g（x）的最大值M与最小值m的差为．则实数a＝．【解答】解：∵f（x）＝﹣xlnx+ax，∴f'（x）＝﹣lnx+a﹣1∵函数f（x）＝﹣xlnx+ax在（0，e）上是增函数∴f'（x）＝﹣lnx+a﹣1≥0在（0，e）恒成立∵y＝﹣lnx是（0，e）上的减函数∴f'（x）＝﹣lnx+a+1的最小值大于等于0即可，即﹣1+a﹣1≥0∴a≥2∵x∈[0，ln3]，∴e x∈[1，3]∴e x＝a时，函数取得最小值为∵x＝0时，；x＝ln3时，3＞a≥2时，函数g（x）的最大值M＝∵函数g（x）的最大值M与最小值m的差为∴3＞a≥2时，∴a＝a＞3时，x0＞ln3，此时x在[0，ln3]内单调递减，所以函数在f（0）处取最大值，在f（ln3）处取最小值，a＝不符合a大于3，所以舍去．故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）＝2x﹣k（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意得：（m﹣1）2＝1，⇒m＝0或m＝2，当m＝2时，f（x）＝x﹣2在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）＝x2，当x∈[1，2）时，f（x）∈[1，4），即A＝[1，4），当x∈[1，2）时，g（x）∈[2﹣k，4﹣k），即B＝[2﹣k，4﹣k），若命题p是q成立的必要条件，则B⊆A，则，即，解得：0≤k≤1．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵．∴由正弦定理，可得：，整理可得：a2+b2﹣c2＝ab，∴由余弦定理可得：cos C＝＝＝，∴C∈（0，π），∴C＝；（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：B＝﹣A，∴由正弦定理可得：＝＝＝＝＝2sin（A+），∵0＜A＜，＜A+＜，＜sin（A+）≤1，∴从而解得：＝2sin（A+）∈（1，2]．19．（12分）已知函数f（x）＝sinωx cosωx﹣sin2ωx+1（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）如图，在锐角三角形ABC中有f（B）＝1，若在线段BC上存在一点D使得AD＝2，且AC＝，CD＝﹣1，求三角形ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sinωx cosωx﹣sin2ωx+1＝sin2ωx﹣cos2ωx+1＝sin（2ωx）∵图象的相邻两条对称轴之间的距离为．∴，即T＝π那么：T＝，可得ω＝1那么f（x）＝sin（2x）由2x得：≤x≤．∴函数f（x）的单调递减区间为[：，]，k∈Z．（Ⅱ）由f（B）＝1，即f（B）＝sin（2B）＝1．∵，＜2B∴：2B＝解得：B＝．在△ADC中，AD＝2，且AC＝，CD＝﹣1，利余弦定理：cos C＝＝．∵，∴C＝．由A+B+C＝π，∴A＝＝由正弦定理：，可得AB＝2．那么三角形ABC的面积S＝AB•AC sin A＝．20．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2+S2＝10，a5﹣2b2＝a3．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）令Cn＝设数列{c n}的前n项和T n，求T2n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，由b2+S2＝10，a5﹣2b2＝a3．得，解得∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1，．（Ⅱ）由a1＝3，a n＝2n+1得S n＝n（n+2），则n为奇数，c n＝＝，n为偶数，c n＝2n﹣1．∴T2n＝（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）＝＝＝．21．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax+1，其中a∈R，且a≠0（Ⅰ）设h（x）＝（2x﹣3）f（x），若函数y＝h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；（Ⅱ）当a＞﹣2时，求函数y＝|f（x）|在[0，1]上最大值．【解答】解：（Ⅰ）若f（x）＝0恰有一解，且解不为，即a2﹣4＝0，解得a＝±2；若f（x）＝0有两个不同的解，且其中一个解为，代入得+a+1＝0，解得a＝﹣，检验满足△＞0；综上所述，a的取值集合为{﹣，﹣2，2}．（Ⅱ）（1）若﹣＜0，即a＞0时，函数y＝|f（x）|在[0，1]上单调递增，故y max＝f（1）＝2+a；（2）若0＜﹣＜1，即﹣2＜a＜0时，此时△＝a2﹣4＜0，且f（x）的图象的对称轴在（0，1）上，且开口向上；故y max＝max{f（0），f（1）}＝max{1，a+2}＝，综上所述，y max＝22．（12分）已知函数f（x）＝ax+xlnx（a∈R）（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（2）当a＝1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．【解答】解：（1）∵函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，∴f′（x）＝a+lnx+1≥0在区间[e，+∞）上恒成立，∴a≥（﹣lnx﹣1）max＝﹣2．∴a≥﹣2．∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．（2）a＝1时，f（x）＝x+lnx，k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，∴k＜，令g（x）＝，则g′（x）＝，令h（x）＝x﹣lnx﹣2（x＞1）．则h′（x）＝1﹣＝＞0，∴h（x）在（1，+∞）上单增，∵h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣2ln2＞0，存在x0∈（3，4），使h（x0）＝0．即当1＜x＜x0时h（x）＜0 即g′（x）＜0x＞x0时h（x）＞0 即g′（x）＞0g（x）在（1，x0）上单减，在（x0+∞）上单增．令h（x0）＝x0﹣lnx0﹣2＝0，即lnx0＝x0﹣2，g（x）min＝g（x0）＝＝＝x0∈（3，4）．k＜g（x）min＝x0∈（3，4），且k∈Z，∴k max＝3．。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题二数学（理科）本试卷共5页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则{}R 12,1,0,1,2,{|0}2x A B x x -=--=≥+ðA B ⋂=A. B. C . D. {}1,0,1-{}1,0-{}2,1,0--{}0,1,22.已知,αβ是相异两平面，,m n 是相异两直线，则下列命题中错误的是A.若//,m n m α⊥，则n α⊥ B ．若,m m αβ⊥⊥，则//αβC.若,//m m αβ⊥，则αβ⊥ D ．若//,m n ααβ= ，则//m n 3.变量服从正态分布，，则直线X ()()210,,12X N P X a σ>= ()810P X b ≤≤=过定点1ax by +=A ． B ． C ． D ．(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)4.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“”aMODb 表示除以的余数），若输入的分别为675,125，a b ,a b 则输出的（ ）a =A. 0 B . 25 C. 50 D. 755.记不等式组表示的平面区域为，点的坐标为．222 20x y x y y +≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩ΩM (),x y 已知命题： ， 的最小值为6；p M ∀∈Ωx y -命题： ，； 则下列命题中的真命题是q M ∀∈Ω224205x y ≤+≤A. B ． C. D ．都是假命p q ∨p q ∧q ⌝p q p q q ∨∧⌝、、题6.设为椭圆的两个焦点，若点在圆上，21,F F 22:1C x my +=1F 2221:(2F x y n m++=则椭圆的方程为C A ． B ．C. D ．2212y x +=2221x y +=2212x y +=2221x y +=7.若，则的展开式中含项的系数为20cos a xdx π=⎰6(2)ax x+-5x A ． B ． C ． D ．24-12-12248.已知定义在上的奇函数满足，当时，R ()f x ()()2f x f x +=-[]0,1x ∈，则()21x f x =-A. B. ()()11672f f f ⎛⎫<-<⎪⎝⎭()()11762f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭C. D . ()()11762f f f ⎛⎫-<<⎪⎝⎭()()11672f f f ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭9.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以，，，，为A B C D E顶点的多边形为正五边形，且.下列关系中正确的是512PT AT -=A ． B ．512BP TS RS +-= 512CQ TP ++= C ．D ． 512ES AP BQ --= 512AT BQ -+= 10.已知函数在上的最大值为，最小值为，则()2sin(26f x x π=+[,]()4a a a R π-∈1y 2y 的取值范围是1y 2y -A ．B ．C ．D ．[22][2,2][211.对于任一实数序列，定义为序列，它的{} ,,,321a a a A =A ∆{} ,,,342312a a a a a a ---第项是，假定序列的所有项都是，且，则n n n a a -+1)(A ∆∆10201718==a a =2018a A ． B ．1000C. 1009 D ．2018012.已知，，若存在，，使得}0)(|{==ααf M {|()0}N g ββ==M ∈αN ∈β，则称函数与互为“和谐函数”.若与1||<-βα)(x f )(x g 2()23x f x x -=+-互为“和谐函数”则实数的取值范围为3)(2+--=a ax x x g a A.B.C .D.),2(+∞),2[+∞)3,2(),3(+∞二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分.把答案填在题中的横线上.13.设复数（其中为虚数单位），则复数的实部为_____，虚部为_____．23z i=-i z 14.点为双曲线的右焦点，点为双曲线上位于第二象限的F 2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>P 点，点关于原点的对称点为，且，，则双曲线的离心P Q 2PF FQ =5OP a =E 率为_____．15.在数列中，如果存在非零常数，使得对于任意的正整数均成立，那么就{}n a T n T n a a +=n 称数列为周期数列，其中叫数列的周期．已知数列满足:{}n a T {}n a {}n b ，21(*)n n n b b b n N ++=-∈若，当数列的周期最小时，该数列的前2018项的和是11b =，2(,0)b a a R a =∈≠{}n b _____．16.一个正八面体的外接球的体积与其内切球的体积之比的比值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. (本小题满分12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，M 为AC 的中点，且.44cos 3sin a b C c B =+(Ⅰ)求的大小；cos B (Ⅱ)若求的面积．45,52ABM a ∠==ABC ∆18. (本小题满分12分）为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“整治散落污染企业”等．下表是该市2016年11月份和2017年11月份的空气质量指数（）AQI （指数越小，空气质量越好）统计表．根据表中数据回答下列问题：AQIB 1（1）将2017年11月的空气质量指数数据用该天的对应日期作为样本编号，再用系统AQI 抽样方法从中抽取6个数据，若在2017年11月16日到11月20日这五天中用简单随AQI 机抽样抽取到的样本的编号是19号，写出抽出的样本数据；（2）根据《环境空气质量指数（）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为AQI （含50）时，空气质量级别为一级，用从（1）中抽出的样本数据中随机抽取三天的0~50数据，空气质量级别为一级的天数为，求的分布列及数学期望；ξξ（3）求出这两年11月空气质量指数为一级的概率，你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效？19.(本小题满分12分）如图，底面为直角三角形的三棱柱中，111ABC A B C -AB AC =，点在棱上，且平面01160A AB A AC ∠=∠=D BC 1//A C 1ADB （Ⅰ）求二面角的余弦值；11--A B C D（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.1AB ABC 20.(本小题满分12分）已知点为轴上的动点，以为边作菱形，使其对角线的交点恰好落01,AB （，）y AB ABCD 在轴上.x （Ⅰ）求动点的轨迹的方程；D E （Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，分别过点作轨迹的切线，A l E M N 、M N 、E 12l l 、且与交于点.1l 2l P （ⅰ）证明：点在定直线上，并写出定直线的方程；P （ⅱ）求的面积的最小值.OMN ∆21.(本小题满分12分）已知函数.()()ln 1axf x x a R x =-∈+（Ⅰ）讨论函数的单调性；()f x （Ⅱ）若有两个极值点，证明: .()f x 12,x x ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线，曲线21cos :(sin x C y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数），以xOy 1:4C x y +=坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．O x （I ）求曲线的极坐标方程；12,C C （II ）若射线与曲线的公共点分别为，求OBOA的最大值．)0(≥=ραθ12,C C ,A B 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知， ， ，函数．0a >0b >0c >()f x c a x x b =+-++（I ）当时，求不等式的解集；1a b c ===()3f x >（II ）当的最小值为时，求的值，并求的最小值．()f x 3a b c ++111a b c++2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（二）参考答案一、选择题： 二、填空题：15.16. 1,21346三、解答题17. (Ⅰ) 由题设知：4sin()4sin 4sin cos 3sin sin B C A B C C B+==+题号123456789101112答案CDDBAABDADBC4cos 3sin 0B B ∴=>即.………………4分29cos ,25B ∴=3cos 5B =（II ）取的中点，连，则且AB N MN //MN BC MN =，……………7分4sin sin 5BNM B ∴∠==由知： sin sin sin BM MN MN BNM NBM ABM ==∠∠∠0452145sin 45BM =⨯⨯=……………9分 (120243)2sin(45)4524255ABC MBC S S BM BC B ∆∆∴==-=⨯-= 分18.解：（1）系统抽样，分段间隔， 抽出的样本的编号依次是4号、9号、143056k ==号、19号、24号、29号， 对应的样本数据依次是、2856、94、48、40、221．……………3分（2）随机变量所有可能的取值为0，1，2,3，且ξ33336()(0,1,2,3)k kC C P k k C ξ-===，，，，1(0)20P ξ∴==9(1)20P ξ==9(2)20P ξ==1(3)20P ξ==随机变量的分布列为：ξξ0123P120920920120所以．……………9分　1991()0123 1.520202020E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（3）2016年11月指数为一级的概率，2017年11月指数为一级的概率AQI 1730P =AQI ，21730P =，说明这些措施是有效的．……………12分21P P >19.(Ⅰ)解：连，得连；1A B 11,A B AB O = OD 则平面平面,且为的中点OD =1ADB 1A CB O 1A B ∵平面1//A C 1ADB ∴，且为的中点……………2分1//A C OD D BC ，1AB AC AA == 01160A AB A AC ∠=∠=∴111,A B AC A A ==1,A D BC AD BC ⊥⊥设，又底面为直角三角形得2BC a =11,2A D AD a AB AC AA a=====∴，即，得平面……………4分0190A DA ∠=1A D AD ⊥1A D ⊥ABC 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，D 1,,DA DB DA ,,x y z 则，1(,0,0),(0,,0),(0,,0),(0,0,)A a B a C a A a -由知：，得，111////AA BB CC 111(,0,)AA BB CC a a ===-1(,,)B a a a -；1(,,)C a a a --∴，……11111(0,2,0),(2,,),(,,),(0,0,)B C a AB a a a DB a a a DA a =-=-=-=…6分设且平面，则1(,,)n x y z =1n ⊥11AB C 1112020n B C ay n AB ax ay az ⎧=-=⎪⎨=-+-=⎪⎩取得；设平面，同理：1x =1(1,0,2)n =2n ⊥11DB C 且……………8分2(1,0,1)n =∴，故二面角；12cos ,n n ==11--A B C D …10分又为平面的法向量，且，1DA ABC 11cos ,DA AB ==∴与平面分1AB ABC 20.解：(Ⅰ)设，则由题设知：， 由知(,)D x y (0,)B y -AB AD =，222(1)(1)x y y +-=+得为动点的轨迹的方程；……………4分24(0)x y y =≠D E (Ⅱ) （ⅰ）由(Ⅰ)知：，设，则'2x y =1122()()M x y N x y ,、,221212,;44x x y y == 由题设知：，得221212(1)(1)44x x AM x AN x =-=- ,、,222112(1)(1)44x x x x -=-；124x x =-切线的方程为 切线的方程为∴1111:()2x l y y x x -=-211;24x x y x =-2l 222;24x x y x =-两者联立得：；即点在定直线上；1212124x x x x x y ===-+,P 1y =-……………9分 （ⅱ）由(Ⅰ)及（ⅰ）知：2212121212111()4()162;222OMN S OA x x x x x x x x ∆=-=+-=++≥即点时，.……………12分 (0,1)P -min ()2OMN S ∆=21.解：（Ⅰ），2221(1)(2)1'()(0)(1)(1)a x ax x a x f x x x x x x +-+-+=-=>++；2(2)4(4)a a a ∆=--=-当时，，在上单调递增；4a ≤'()0f x >()f x (0,)+∞当时，在上单调递增，在4a >()f x上单调递减，在上)+∞单调递增；……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，且，4a >12122,1x x a x x +=-=，1221121212(1)(1)()()ln (1)(1)ax x ax x f x f x x x a x x +++∴+=-=-++而，12122222()()ln ln (2)2222212a a x x a a a f f a a -+---==-=---+ 1212()()2()ln 2()2222x x f x f x a a f h a ++-∴-=-+=，得在上为减函数，又，214'()(1)0222(2)a h a a a -∴=-=<--()h a (4,)+∞(4)0h =即；则.……………12分()0h a <1212()()(22x x f x f x f ++<22．解：（I ）曲线的极坐标方程为，1C 4)sin (cos =+θθρ曲线的普通方程为，所以曲线的极坐标方程为. 2C 1)1(22=+-y x 2C θρcos 2=…………4分（II ）设，，因为是射线与曲线的公共点，所以不妨),(1αρA ),(2αρB ,A B αθ=12,C C 设，则，，24παπ≤<-ααρsin cos 41+=αρcos 22=21||12cos (cos sin )||4OB OA ραααρ∴==⨯+， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=++=1)42cos(241)12sin 2(cos 41πααα所以当时，取得最大值. ……………10分 8πα=||||OA OB 412+23．解：（I ）()111f x x x =-+++B1A1C C1A或或，解得1{ 123x x ≤-∴->11{ 33x -<<>1{ 213x x ≥+>或．……………5分{|1x x <-1}x >（II ）()3f x c a x x b a x x b c a b c a b c =+-++≥-+++=++=++=，()11111111333b a c a c b a b c a b c a b c a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．当且仅当时取得最小值．……………10分()1322233≥+++=1a b c ===319．如图，在三棱柱体，平面平面,．111ABC A B C -11A B C ⊥11AA C C 090BAC ∠=（I ）证明：；1AC CA ⊥（II ）若是正三角形，，求二面角的大小．11A B C 22AB AC ==1A AB C --3π。

2018年高考理数真题试卷（全国Ⅱ卷）一、选择题1.1+2i1−2i=( )A. −45−35i B. −45+35i C. −35−45i D. −35+45i2.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z}.则A中元素的个数为（）A. 9B. 8C. 5D. 43.函数f(x)=e x−e−xx2的图像大致为( )A. B.C. D.4.已知向量a→，b→满足|a→|=1, a→⋅b→=−1 ，则a→·(2a→-b→)=（）A. 4B. 3C. 2D. 05.双曲线x2a2−y2b2=1（a>0,b>0）的离心率为√3，则其渐近线方程为（）A. y=±√2xB. y=±√3xC. y=±√22x D. y=±√32x6.在ΔABC中，cos C2=√55,BC=1,AC=5则AB=（）A. 4√2B. √30C. √29D. 2√57.为计算S=1−12+13−14+⋅⋅⋅+199−1100,设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（）A. i=i+1B. i=i+2C. i=i+3D. i=i+48.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )A. 112 B. 114 C. 115 D. 1189.在长方形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1= √3 ,则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A. 15 B. √56C. √55D. √2210.若 f(x)=cosx −sinx 在 [−a,a] 是减函数，则a 的最大值是( ) A. π4 B. π2 C. 3π4 D. π11.已知 f(x) 是定义为 (−∞,+∞) 的奇函数，满足 f(1−x)=f(1+x) 。

湖南省永州市高考数学模拟试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高二下·长春月考) 若复数满足，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一上·金华期中) 已知集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2＜x≤5}，则A∪B=（）A . （ 2，3 ）B . [﹣1，5]C . （﹣1，5）D . （﹣1，5]3. （2分）(2017·池州模拟) 若（ +2x）6展开式的常数项为（）A . 120B . 160C . 200D . 2404. （2分） (2017高一下·哈尔滨期末) 已知圆的圆心位于直线上，且圆与直线和直线均相切，则圆的方程为（）A .B .C .D .5. （2分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图，则该样本的中位数、众数分别是（）A . 45，56B . 46，45C . 47，45D . 45，476. （2分）设是单位向量，则“”是“”的A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分） (2017高一下·乾安期末) 设点是函数的图像的一个对称中心，若点到图像的对称轴上的距离的最小值为，则的最小正周期是（）A .B .C .D .8. （2分）已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组，设与的夹角为θ，则tanθ的最大值为（）A .B .C .D .9. （2分）(2016·陕西模拟) 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（α）=1，α∈（0，），则cos（2 ）=（）A .B .C . ﹣D .10. （2分）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A . 3B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）(2017·烟台模拟) 执行如图所示的程序框图，输出的S的值是________．12. （1分） (2018高一下·大连期末) 使用如图所示算法对下面一组数据进行统计处理，则输出的结果为________．数据：，，，，，，，，13. （1分）(2017·山东模拟) 已知等腰直角三角形BCD中，斜边BD长为2 ，E为边CD上的点，F为边BC上的点，且满足：，，若 = ，则实数λ=________．14. （1分） (2018高一下·合肥期末) 如图，曲线把边长为4的正方形分成黑色部分和白色部分.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．15. （1分） (2016高一上·如皋期末) 已知函数f（x）= ，若关于x的方程f（x）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共60分)16. （10分）(2018高一下·宜宾期末) 如图，在四边形中，已知，, , .（1）求的大小；（2）若，求的面积.17. （5分）(2019·浙江模拟) 如图，在三棱锥中，是棱的中点，，且,（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值.18. （10分）(2017高一上·武邑月考) 已知和均为给定的大于1的自然数．设集合，集合．（1）当，时，用列举法表示集合；（2）设，，，其中证明：若，则．19. （15分）(2018·山东模拟) 为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“整治散落污染企业”等．下表是该市2016年11月份和2017年11月份的空气质量指数（）（指数越小，空气质量越好）统计表．根据表中数据回答下列问题：（1）将2017年11月的空气质量指数数据用该天的对应日期作为样本编号，再用系统抽样方法从中抽取6个数据，若在2017年11月16日到11月20日这五天中用简单随机抽样抽取到的样本的编号是19号，写出抽出的样本数据；（2）根据《环境空气质量指数（）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为（含50）时，空气质量级别为一级，用从（1）中抽出的样本数据中随机抽取三天的数据，空气质量级别为一级的天数为，求的分布列及数学期望；（3）求出这两年11月空气质量指数为一级的概率，你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效？20. （10分）(2017·北京) 已知函数f（x）=excosx﹣x．（13分）（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0， ]上的最大值和最小值．21. （10分）(2018·吉林模拟) 已知函数（1）求曲线在点处的切线方程;（2）令，讨论的单调性并判断有无极值，若有，求出极值.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共60分)16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、。

湖南省永州市高三数学二模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2018高二上·淮北月考) 设全集，集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）（i为虚数单位），则z=（）A . 1+iB . 1-iC . -1+iD . -1-i3. （2分） (2017高三上·朝阳期中) 袋子里有编号为2，3，4，5，6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球．教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分别推断这两个球的编号．甲说：“我无法确定．”乙说：“我也无法确定．”甲听完乙的回答以后，甲说：“我现在可以确定两个球的编号了．”根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中（）A . 一定有3号球B . 一定没有3号球C . 可能有5号球D . 可能有6号球4. （2分）如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（）A . （1, 0）B . （2, 0）C . （3, 0）D . （－1, 0）5. （2分）若的定义域为，恒成立，，则解集为（）A .B .C .D .6. （2分）看下面的四段话，其中是解决问题的算法的是（）A . 把高一5班的同学分成两组，高个子参加篮球赛，矮个子参加拔河比赛B . 把高一5班的同学分成两组，身高达到170cm的参加篮球赛，不足170cm的参加拔河比赛C . 做饭必须有米D . 从2开始写起，后一个数为前一个数与2的和，不断地写，写出所有偶数7. （2分）一个三棱锥的底面是等边三角形，各侧棱长均为，那么该三棱锥的体积最大时，它的高为（）A .B .C . 1D .8. （2分） (2017高一下·新余期末) 在△ABC中，∠ABC=120°，BA=2，BC=3，D，E是线段AC的三等分点，则• 的值为（）A .B .C .D . ﹣二、多选题 (共4题；共10分)9. （2分）(2020·平邑模拟) 我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤﹣比全球人均粮食产量高了约250斤．如图是中国国家统计局网站中2010﹣2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据如图可知在2010﹣2019年中（）A . 我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B . 2011年我国粮食年产量的年增长率最大C . 2015年﹣2019年我国粮食年产量相对稳定D . 2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰10. （3分） (2019高三上·临沂期中) 设函数，已知在有且仅有3个零点，对于下列4个说法正确的是（）A . 在上存在，满足B . 在有且仅有1个最大值点C . 在单调递增D . 的取值范围是11. （3分）(2020·淮北模拟) 关于函数，下列说法正确的是（）A . 函数以为周期且在处取得最大值B . 函数以为周期且在区间单调递增C . 函数是偶函数且在区间单调递减D . 将的图像向右平移1个单位得到12. （2分）(2020·海南模拟) 如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点，异面直与所成角的余弦值为，则（）A .B . 直线与直线共面C .D . 直线与直线异面三、填空题 (共3题；共4分)13. （1分） (2018高一下·瓦房店期末) 在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后得向量，则点的坐标是________．14. （1分）已知tanx=2，求的值________15. （2分）(2014·浙江理) 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种（用数字作答）．四、双空题 (共1题；共1分)16. （1分） (2016高一上·绍兴期中) 设函数g（x）=x2﹣2（x∈R），则f（x）的值域是________．五、解答题 (共6题；共57分)17. （10分） (2017高二上·延安期末) 在△ABC中，a=3 ，c=2，B=150°，求边b的长及S△ABC ．18. （10分） (2015高三上·大庆期末) 设数列{an}满足a1+a2+…+an+2n= （an+1+1），n∈N* ，且a1=1，求证：（1）数列{an+2n}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn．19. （2分） (2019高二上·杭州期中) 如图，已知直三棱柱，，E是棱上动点，F是AB中点，，．（1）求证：平面；（2）当是棱中点时，求与平面所成的角；（3）当时，求二面角的大小．20. （10分）(2020·随县模拟) 已知函数的导函数为 .（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）若函数的极值为正数，求实数的取值范围.21. （15分）(2012·全国卷理) 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（2）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．22. （10分） (2017高二下·故城期末) 已知椭圆的离心率为，其中左焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、多选题 (共4题；共10分)9-1、10-1、11-1、12-1、三、填空题 (共3题；共4分)13-1、14-1、15-1、四、双空题 (共1题；共1分) 16-1、五、解答题 (共6题；共57分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(二)本试卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 为虚数单位，复数()12ai a R i +∈-为纯虚数，则a 的值为 A ．2- B ．12- C ．2 D ．122．已知集合{}{}()22log 3,450,R A x x B x x x A C B =<=-->⋂=则 A ．[－1，8)B.(]05， C ．[－1，5) D ．(0，8)3．已知n S 是各项均为正数的等比数列{}n a 前n 项和，7153564,20a a a a S =+==，则A ．31B ．63C ．16D ．1274．设向量)()(,,3,1,//a b x c b c a b b ==-=-，若，则与的夹角为 A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°5．大约2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线，用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面再渐渐倾斜得到椭圆．若用周长为24的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆Γ，且Γ与矩形ABCD 的四边相切．设椭圆Γ在平面直角坐标系中的方程为()222210x y a b a b +=>>，测得Γ的离心率为2，则椭圆Γ的方程为 A ．221164x y += B ．2214x y +=C ．2216416x y += D ．22154x y += 6．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量()q x (单位：百件)关于每件衣服的利润x (单位：元)的函数解析式为()1260,020,190180,x x q x x ⎧<≤⎪+=⎨⎪-<≤⎩则当该服装厂所获效益最大时A ．20B ．60C ．80D ．407.已知,x y 满足不等式组240,20,130,x y x y z x y y +-≥⎧⎪--≤=+-⎨⎪-≤⎩则的最小值为A.2B.C. D.1 8．已知函数()2110sin 10sin ,,22f x x x x m π⎡⎤=---∈-⎢⎥⎣⎦的值域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取A ．,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 9．已知()2112n x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为42-，则n = A.10 B.8 C.12 D.1110.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．30π+B ．803π+ C. 923π+ D ．763π+ 11．已知双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线Γ右支上一点，且212PF F F ⊥，过点P 作1F P 的垂线交x 轴于点A ，且22PM MF = ，若PA的中点E 在1F M 的延长线上，则双曲线Γ的离心率是A ．3B ．2+C ．1D ．4+12．已知函数()()()222f x x x x mx n =+++，且对任意实数x ，均有()()33f x f x -+=--，若方程()f x a =有且只有4个实根，则实数a 的取值范围为A ．()16,9-B ．(]16,9-C ．(]16,0-D ．(]16,5--第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年湖南省十三校联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分）1．已知集合A={x|x2+2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣2，1] D．[1，2）2．若复数x满足（3+4i）x=|4+3i|，则x的虚部为（）A．B．﹣4 C．﹣D．43．为了了解长沙市居民月用电情况，抽查了该市100户居民用电量（单位：度），得到频率分布直方图如下：根据如图可得到这100户居民月用电量在[150，300]的用户数是（）A．70 B．64 C．48 D．304．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x5．已知命题“a≥b⇒c＞d”、“c＞d a≥b”和“a＜b⇔e≤f”都是真命题，那么“c≤d”是“e≤f”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A．4 B．5 C．6 D．77．已知sinα+cosα=，则tanα=（）A．B．C．﹣D．﹣8．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π9．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（）A．2枝玫瑰的价格高B．3枝康乃馨的价格高C．价格相同 D．不确定10．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．11．如图，O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则•的值为（）A．4 B．5 C．7 D．612．已知函数f（x）=x2﹣5x+3﹣，g（x）=﹣x+xlnx（k∈R），若对于∀x1∈（1，+∞），∃x2∈（0，+∞）都有f（x1）≥g（x2）成立，则k的取值范围（）A．B．（﹣∞，﹣e3]C．（﹣∞，﹣e]D．二、填空题（每小题5分）13．若的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为______．14．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+2，那么不等式2f （x）﹣1＜0的解集是______．15．设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点C，过点F作它的弦AB，若∠CBF=90°，则|AF|﹣|BF|=______．16．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为______．三、解答题（每小题12分）17．各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a+a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足bn=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．19．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为P0（0＜P0＜1），中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（Ⅰ）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，若X≤3的概率为，求P0；（Ⅱ）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？20．如图，已知椭圆C： +=1，F为该椭圆的右焦点，若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M（x0，y0）．（1）求证： +=1；（2）求△AMN面积的最大值．21．已知m∈R，函数f（x）=e mx﹣1﹣（e为自然对数的底数）（1）若m=1，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）的最小值为m，求m的最小值．[选修4-4：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）求函数y=f（x）的最小值；（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的取值范围．2018年湖南省十三校联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分）1．已知集合A={x|x2+2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣2，1] D．[1，2）【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x+3）≥0，解得：x≤﹣3或x≥1，即A=（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[1，2），故选：D．2．若复数x满足（3+4i）x=|4+3i|，则x的虚部为（）A．B．﹣4 C．﹣D．4【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的代数形式混合运算，以及复数的模的求法化简求解即可．【解答】解：复数x满足（3+4i）x=|4+3i|，可得（3+4i）（3﹣4i）x=（3﹣4i）=5（3﹣4i），可得25x=5（3﹣4i）．∴x=i．则x的虚部为：．故选：C．3．为了了解长沙市居民月用电情况，抽查了该市100户居民用电量（单位：度），得到频率分布直方图如下：根据如图可得到这100户居民月用电量在[150，300]的用户数是（）A．70 B．64 C．48 D．30【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系进行解答即可．【解答】解：根据频率分布直方图，得；这100户居民月用电量在[150，300]的频率为（0.0180+0.0184+0.0184）×50=0.64，∴这100户居民月用电量在[150，300]的用户数是100×0.64=64．故选：B．4．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的离心率公式可得c2=a2，由a，b，c的关系和双曲线的渐近线方程，计算即可得到所求方程．【解答】解：由题意可得e==，即为c2=a2，由c2=a2+b2，可得b2=a2，即a=2b，双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．故选：D．5．已知命题“a≥b⇒c＞d”、“c＞d a≥b”和“a＜b⇔e≤f”都是真命题，那么“c≤d”是“e≤f”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据逆否命题的等价性，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：命题“a≥b⇒c＞d”、“c＞d a≥b”的逆否命题是c≤d，⇒a＜b、“a＜b c≤d，即c≤d是a＜b成立的充分不必要条件，而“a＜b⇔e≤f”得a＜b是e≤f的充要条件，则“c≤d”是“e≤f”的充分不必要条件，故选：A6．执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】循环结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出k的值．【解答】解：第一次循环：n=3×5+1=16，k=0+1=1，继续循环；第二次循环：n==8，k=1+1=2，继续循环；第三次循环：n==4，k=2+1=3，继续循环；第四次循环：n==2，k=3+1=4，继续循环；第五次循环：n==1，k=4+1=5，结束循环．输出k=5．故选B．7．已知sinα+cosα=，则tanα=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】已知等式两边平方，利用完全平方公式变形，分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，即可求出tanα的值．【解答】解：已知等式两边平方得：（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+2cos2α=3，∴==3，整理得：（tanα﹣1）2=0，解得：tanα=．故选：A．8．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【考点】球的体积和表面积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中三棱锥的三视图，我们可以求出三棱棱的高，即顶点到底面的距离，及底面外接圆的半径，进而求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求出外接球的表面积．【解答】解：由已知中三棱锥的高为1底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等，所以底面直角三角形斜边中点就是外接球的球心；则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球表面积S=4πR2=4π故选：A9．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（）A．2枝玫瑰的价格高B．3枝康乃馨的价格高C．价格相同 D．不确定【考点】不等式比较大小．【分析】设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别x，y元，由题意可得：，化为，设2x﹣3y=m（2x+y）+n（﹣x﹣y）=（2m﹣n）x+（m﹣n）y，令，解得m，n，即可得出．【解答】解：设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别x，y元，由题意可得：，化为，设2x﹣3y=m（2x+y）+n（﹣x﹣y）=（2m﹣n）x+（m﹣n）y，令，解得m=5，n=8，∴2x﹣3y=5（2x+y）+8（﹣x﹣y）＞5×8﹣5×8=0，因此2x＞3y，∴2枝玫瑰的价格高．故选：A．10．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据当a=0时，y=1，可判断图象哪个符合，当a≠0时，f（x）周期为，振幅a，分类讨论a＞1时，T＜2π；0＜a≤1，T≥2π利用所给图象判断即可得出正确答案．【解答】解：∵函数f（x）=1+asinax（1）当a=0时，y=1，函数图象为：C故C正确（2）当a≠0时，f（x）=1+asinax 周期为T=，振幅为a若a＞1时，振幅为a＞1，T＜2π，当0＜a≤1，T≥2π．∵D选项的图象，振幅与周期的范围矛盾故D错误，故选：D11．如图，O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则•的值为（）A．4 B．5 C．7 D．6【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可延长AO交外接圆于点N，并连接BN，CN，从而可得到，而由M为BC中点即可得出，从而有，显然，从而便可得出的值．【解答】解：如图，延长AO交△ABC的外接圆于点N，连接BN，CN；∵M为边BC中点；∴，且；∴====5．故选B．12．已知函数f（x）=x2﹣5x+3﹣，g（x）=﹣x+xlnx（k∈R），若对于∀x1∈（1，+∞），∃x2∈（0，+∞）都有f（x1）≥g（x2）成立，则k的取值范围（）A．B．（﹣∞，﹣e3]C．（﹣∞，﹣e]D．【考点】二次函数的性质．【分析】若对于∀x1∈（1，+∞），∃x2∈（0，+∞）都有f（x1）≥g（x2）成立，即为：f （x1）≥g（x2）min在x＞1上恒成立，可先求出g（x）的最小值，再由在x＞1上恒成立．即为k≤（x﹣4）e x在x＞1上恒成立，令h（x）=（x﹣4）e x运用导数求极小值，也是最小值，只要k不大于最小值，即可求得k 的取值范围．【解答】解：对于∀x1∈（1，+∞），∃x2∈（0，+∞）都有f（x1）≥g（x2）成立，即为：f（x1）≥g（x2）min在x＞1上恒成立，对于g（x）=﹣x+xlnx则：g′（x）=﹣1+lnx﹣1=lnx令g′（x）＞0，则x＞1，g′（x）＜0，则0＜x＜1即在x=1为极小值且g（﹣1）=﹣1则有在x＞1上恒成立，即，即有k≤（x﹣4）e x令h（x）=（x﹣4）e x则：h′（x）=（x﹣3）e x当x＞3时，h′（x）＞0，当1＜x＜3时，h′（x）＜0在x=3时，h（x）取极小值，即为最小值．h（3）=﹣e3则有：k≤﹣e3故选：B二、填空题（每小题5分）13．若的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为15．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项展开式中，所有二项式系数和为2n，求出n=6，再利用二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项【解答】解：∵的二项展开式中，所有二项式系数和为64，∴2n=64⇒n=6，∵的二项展开式的通项T r+1=×x2（6﹣r）×x﹣r=，令12﹣3r=0⇒r=4，∴展开式中的常数项为==15．故答案是15．14．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）﹣1＜0的解集是．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】求出f（x）的解析式，带入不等式解出．【解答】解：当x＞0时，﹣x＜0，∴f（﹣x）=﹣x+2，∵y=f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x﹣2．∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0．∴f（x）=，（1）当x＞0时，2（x﹣2）﹣1＜0，解得0＜x＜．（2）当x=0时，﹣1＜0，恒成立．（3）当x＜0时，2（x+2）﹣1＜0，解得x＜﹣．综上所述：2f（x）﹣1＜0的解集是．故答案为．15．设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点C，过点F作它的弦AB，若∠CBF=90°，则|AF|﹣|BF|=2P．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先假设方程与抛物线方程联立，借助于求出点的坐标，从而求出线段长，进而求出|AF|﹣|BF|．【解答】解：设AB方程为：y=k（x﹣）（假设k存在），与抛物线y2=2px（p＞0）联立得k2（x2﹣px+）=2px，即k2x2﹣（k2+2）px+=0设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），∠CBF=90°即（x1﹣）（x1+）+y12=0，∴x12+y12=，∴x12+2px1﹣=0，即（x1+p）2=p2，解得x1=，∴B（，），|BC|=，|BF|=，∵x1x2=，x1=，∴x2=∴A（，﹣），|AF|=，∴|AF|﹣|BF|=2P，故答案为2P．16．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边，利用正弦定理化简已知的等式右边，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0，可得出cosA的值，然后利用余弦定理表示出cosA，根据cosA的值，得出bc=b2+c2﹣a2，再利用正弦定理表示出a，利用特殊角的三角函数值化简后，再利用基本不等式可得出bc的最大值，进而由sinA的值及bc的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．【解答】解：由r=1，利用正弦定理可得：c=2rsinC=2sinC ，b=2rsinB=2sinB ， ∵tanA=，tanB=，∴===，∴sinAcosB=cosA （2sinC ﹣sinB ）=2sinCcosA ﹣sinBcosA ， 即sinAcosB +cosAsinB=sin （A +B ）=sinC=2sinCcosA ，∵sinC ≠0，∴cosA=，即A=，∴cosA==，∴bc=b 2+c 2﹣a 2=b 2+c 2﹣（2rsinA ）2=b 2+c 2﹣3≥2bc ﹣3， ∴bc ≤3（当且仅当b=c 时，取等号），∴△ABC 面积为S=bcsinA ≤×3×=，则△ABC 面积的最大值为：．故答案为：．三、解答题（每小题12分）17．各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =a +a n （n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }满足bn=（n ∈N *），求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过2S n =a+a n 与当n ≥2时2S n ﹣1=+a n ﹣1作差，进而整理可知a n ﹣a n﹣1=1，求出首项、利用等差数列的通项公式计算即得结论；（2）通过（1）裂项可知b n =﹣，进而并项相加即得结论．【解答】解：（1）∵2S n =a +a n ， ∴当n ≥2时，2S n ﹣1=+a n ﹣1，两式相减得：2a n =+a n ﹣﹣a n ﹣1，整理得：（a n ﹣a n ﹣1）（a n +a n ﹣1）=a n +a n ﹣1，∵数列{a n }的各项均为正数， ∴a n ﹣a n ﹣1=1，又∵2S 1=+a 1，即a 1=1，∴数列{a n}的通项公式a n=n；（2）由（1）可知b n==﹣（n∈N*），∴T n=1﹣+﹣+…+﹣=．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）证明AC⊥PC．AC⊥BC．通过直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面PBC．（Ⅱ）如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标以及面PAC的法向量．面EAC的法向量，通过二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求出直线PA的向量，利用向量的数量积求解直线PA与平面EAC所成角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC．∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=2．∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，2，0），B（2，﹣2，0）．设P（0，0，2a）（a＞0），则E（1，﹣1，a），=（2，2，0），=（0，0，2a），=（1，﹣1，a）．取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即，取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是n=（2，﹣2，﹣2），=（2，2，﹣4）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…19．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为P0（0＜P0＜1），中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（Ⅰ）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，若X≤3的概率为，求P0；（Ⅱ）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件是“X=5”，由题意知，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式，结合X≤3的概率为，即可求P0；（Ⅱ）设张三、李四两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，张三、李四两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）．根据题意知X1～B（2，），X2～B（2，P0），利用贝努利概率的期望公式计算，再分类讨论，从而得出答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，张三中奖的概率为，李四中奖的概率为P0，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X=5”，因为P（X=5）=×P0，所以P（A）=1﹣P（X=5）=1﹣×P0=，所以．（Ⅱ）设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）．由已知可得，X1～B（2，），X2～B（2，P0），所以E（X1）=2×=，E（X2）=2×P0，从而E（2X1）=2E（X1）=，E（3X2）=3E（X2）=6P0．若E（2X1）＞E（3X2），则＞6P0，所以0＜P0＜；若E（2X1）＜E（3X2），则＜6P0，所以＜P0＜1；若E（2X1）=E（3X2），则=6P0，所以P0=．20．如图，已知椭圆C： +=1，F为该椭圆的右焦点，若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M（x0，y0）．（1）求证： +=1；（2）求△AMN面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知得F（1，0），N（4，0），设A（m，n），则B（m，﹣n），n≠0，则，AF与BN的方程分别为：n（x﹣1）﹣（m﹣1）y=0，n（x﹣4）﹣（m﹣4）y=0，由此能证明=1．（2）设AM的方程为x=ty+1，代入，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出△AMN的面积的最大值．【解答】证明：（1）∵椭圆C： +=1，F为该椭圆的右焦点，AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，∴F（1，0），N（4，0），设A（m，n），则B（m，﹣n），n≠0，则，①AF与BN的方程分别为：n（x﹣1）﹣（m﹣1）y=0，n（x﹣4）﹣（m﹣4）y=0，∵直线AF与BN交于点M（x0，y0），∴有，由②③得，，∴=+===1．（2）由（1）知M在椭圆上，设AM的方程为x=ty+1，代入，得（3t2+4）y2+6ty ﹣9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，y1y2=，|y1﹣y2|==，令3t2+4=λ（λ≥4），则|y1﹣y2|==4=4，∵λ≥4，0＜，∴，即λ=4，t=0时，|y1﹣y2|有最大值3，∵AM过点F，∴△AMN的面积S△AMN=|FN|•|y2﹣y1|=|y1﹣y2|有最大值．21．已知m∈R，函数f（x）=e mx﹣1﹣（e为自然对数的底数）（1）若m=1，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）的最小值为m，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为xe mx﹣1﹣mx﹣lnx≥0恒成立且“=”可取，令g（x）=xe mx﹣1﹣mx﹣lnx即g （x）min=0，根据函数的单调性求出m的最小值即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），m=1时，f（x）=e x﹣1﹣，f′（x）=e x﹣1﹣，x＞1时，f′（x）＞1﹣=＞0，0＜x＜1时，f′（x）＜1﹣=＜0，∴f（x）在（0，1]递减，在（1，+∞）递增；（2）由题意得：e mx﹣1﹣≥m时对x＞0恒成立且“=”可取，即xe mx﹣1﹣mx﹣lnx≥0恒成立且“=”可取，令g（x）=xe mx﹣1﹣mx﹣lnx即g（x）min=0，g′（x）=（mx+1）（e mx﹣1﹣），由e mx﹣1﹣=0得：m=，设p（x）=，p′（x）=，x＞e2时，p′（x）＞0，0＜x＜e2时，p′（x）＜0，p（x）在（0，e2）递减，在（e2，+∞）递增，∴p（x）min=p（e2）=﹣，m≤﹣时，m≤，即e mx﹣1﹣≤0，在（0，﹣）上，mx+1＞0，g′（x）≤0，g（x）递减，在（﹣，+∞）上，mx+1＜0，g′（x）≥0，g（x）递增，∴g（x）min=g（﹣），令t=﹣∈（0，e2]，g（﹣）=h（t）=﹣lnt+1，h′（t）=﹣≤0，h（t）在（0，e2）递减，∴h（t）≥h（e2）=0，∴方程g（x）min=g（﹣）=0有唯一解e2=﹣，即m=﹣，综上，m≤﹣时，仅有m=﹣满足f（x）的最小值为m，∴m的最小值为﹣．[选修4-4：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD﹣AE•AC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠AFE=90°，则A，D，E，F四点共圆∴∠DEA=∠DFA（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，又△ABC∽△AEF∴，即AB•AF=AE•AC∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）求函数y=f（x）的最小值；（2）若不等式|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的意义，求函数y=f（x）的最小值；（2）由题意可得|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于的最小值，而的最小值等于2，故x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解，根据数轴上的、对应点到1和2对应点的距离之和等于2，可得不等式的解集．【解答】解：（1）x≥2，f（x）≥1；1＜x＜2，f（x）=1；x≤1，f（x）=3﹣2x≥1，∴函数y=f（x）的最小值为1；（2）解：由题知，|x﹣1|+|x﹣2|≤恒成立，故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于的最小值．∵|a+b|+|a﹣b|≥|a+b+a﹣b|=2|a|，当且仅当（a+b）（a﹣b）≥0 时取等号，∴的最小值等于2，∴x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解．由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，又由于数轴上的、对应点到1和2对应点的距离之和等于2，故不等式的解集为[，]．2018年9月14日。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（二）本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1z的共轭复数为（）AB C D2．若双曲线221yxm-=的一个焦点为()3,0-，则m=（）A．B．C．D．643．得到函数()f x的图像，）ABC D4．函数()12xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,x∈+∞的值域为D，在区间()1,2-上随机取一个数x，则x D∈的概率是（）A．12B．13C．14D．15．记()()()()72701272111x a a x a x a x-=+++++⋅⋅⋅++，则012a a a+++6a⋅⋅⋅+的值为（）A．1 B．2 C．129 D．21886．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．83B．163C．203D．87．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（）A ．一鹿、三分鹿之一B．一鹿C．三分鹿之二D．三分鹿之一8）A．B．C．D．9．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（）班级姓名准考证号考场号座位号A ．12B ．18C ．120D ．12510．当实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p ，而由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为（ ）A ．12B ．23C ．35D ．4311．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） AB1- C1D12．已知函数()e e x x f x -=+（其中是自然对数的底数），若当0x >时，()e 1x mf x m -+-≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第1页，总20页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………湖南省永州市2018-2019高三上学期理数第二次模拟考试试卷考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共12题)1. 已知复数 满足 （其中 为虚数单位），则复数 （ ）A .B .C .D .2. 已知集合 ，，则 （ ） A . B .C .D .3. 我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米谷约为（ ） A . 134石 B . 169石 C . 338石 D . 454石4. 设等比数列 的公比为 ，则下列结论正确的是（ ） A . 数列是公比为 的等比数列 B . 数列是公比为 的等比数列C . 数列 是公比为 的等比数列D . 数列 是公比为 的等比数列5. “远离毒品，珍爱生命”，某校为强化禁毒教育，掌握学生对禁毒宣传资料的了解程度，随机抽取30名学生参加禁毒知识测试，得分情况如图所示，若所有得分的中位数为 ，众数为 ，平均数为 ，则（ ）答案第2页，总20页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A .B .C .D .6. 为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）A . 向右平移 个单位B . 向右平移 个单位C . 向左平移 个单位D . 向左平移 个单位7. 若等差数列的前 项和 ，且 ， ，则 （ ）A . -16B . -18C . -20D . -228. 在平行四边形中，点分别为的中点，则（ ）A .B .C .D .9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）。