第三章力学量的表示和表象变换

动量表象下的薛定谔方程(一维) 动量表象下的薛定谔方程(一维)
在动量表象中， 在动量表象中，动量算符就是动量自身 是势能算符， 是势能算符，即以坐标算符 对应于势能函数) 数(对应于势能函数) 为变量的算符函
√
动量表象(2/4) 动量表象(2/4)
谐振子势
坐标表象中的薛定谔方程
动量表象中的薛定谔方程
对于谐振子势，在动量表象中是二阶微分方程，求解类似于 对于谐振子势，在动量表象中是二阶微分方程，求解类似于 二阶微分方程 在坐标表象中的求解，不能简化求解过程 在坐标表象中的求解，不能简化求解过程
√
动量表象(3/4) 动量表象(3/4)
线性势
坐标表象、 坐标表象、动量表象中的薛定谔方程
对于线性势，在动量表象中的方程是简单的一阶微分方程 对于线性势，在动量表象中的方程是简单的一阶微分方程 与第二章“一维线性势阱”的结果一致) 求解 (与第二章“一维线性势阱”的结果一致)
算符 的表示的变换 表象中： 在 F 表象中：基矢为 表象中： 在 F' 表象中：基矢为
，算符 的矩阵元为 ，算符 的矩阵元为
√
线性谐振子与占有数表象(1/2) 线性谐振子与占有数表象(1/2)
线性谐振子的能级和波函数 湮灭算符 和产生算符
Microsoft Word 文档
为单位改变， 谐振子能量以 为单位改变，将这个 看作一个粒子 即粒子数减一， 使体系由 态变到 态，即粒子数减一，称湮灭算符 即粒子数加一， 使体系由 态变到 态，即粒子数加一，称产生算符
√
动量表象(1/4) 动量表象(1/4)
坐标表象和动量表象的对比
坐标表象的优点 容易写出边界条件，例如： 容易写出边界条件，例如：区分束缚态和散射态 容易表述常用的势，例如：方势、线性势、 容易表述常用的势，例如：方势、线性势、谐振子势 动量表象的优点 某些势场下的薛定谔方程比较简单， 某些势场下的薛定谔方程比较简单，容易求解

第三章 力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。

ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。

为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。

但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。

二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。

例如：动量算符ˆpi =-∇， 单位算符I 是线性算符。

2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。

3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。

ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。

一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。

5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。

若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。

若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。

例如：算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。

这是决定参数M的可能值(即本征值)的方程，通常称为久期方程。解这个 ˆ M 方程可以得到它的一系列的根： 1 , M 2 , , M n , ，它们就是算符 M 的全部 本征值。把其中一个根，例如 M ，代回原来的方程组，就可以求得相应 的解 C ni (n=1，2…)(附加一个脚标i指明它是与第i个根相对应的)即

* m
ˆ M
C
n
n
n dx
mn
C
m n
* m
C n
mn
* m
ˆ M n dx
C
m nn
* m
M
Cn
M
C
* 1
C2
*
… Cn …
*

M M M
11 21
M M
12 22

M M
1n 2n
n1
M
C n C n ( Fn )
因此，我们称数列{C n }为在力学量F表象中的波函数。这样式(3.1.2) 就是波函数从“F”表象到“x”表象的变换，而(3.1.3)就是其逆变换。 坐标x的取值几率分布为
W ( x ) | |
2
(3.1.4)
2
力学量F的取值几率分布为
W ( F ) | C n |
由于左矢和右矢是一一对应的，因此体系的一个状态可以用一个右
矢表示，也可以用一个左矢表示。
2. 线性算符和自轭算符
(1) 线性算符：
线性算子（算符） 作用于右矢
P
仍为右矢空间的一个矢量 Q
并服从下列线性规则
则 是线性算符。
可用下式来定义两个线性算子的相加和相乘：
(2) 共轭线性算符(亦称伴随算符)

ˆ ˆ ˆ BA ˆ BA ˆ B ˆA ˆ ˆ ˆC ˆ ˆC ˆC ABC
ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ ] ˆ ]C ˆ[ A [A
ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ] ˆ ]C ˆ[ A [A


任意
ˆ , BC ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ] ˆ ˆ] [A ˆ ]C ˆ[ A [A
ˆ x , x ] i [ p
i x x i i x x x ( 任意) x ˆ x p x
（7）逆算符
ˆ 设 A ˆ 之逆 能够唯一地解出, 则可定义算符 A 1 为: ˆ A
c1 、c2为常数
~ ˆ 的转置算符 A ˆ 定义为： A ˆ * dr * A
即
思考：常 数算符的 转置？
ˆ ) ( *, A ˆ *) ( , A
与是任意两波函数。 可以证明，
ˆ ˆ ) BA ˆˆ ( AB
(课外作业)
上面的第四式称为Jacobi 恒等式。
思考：
ˆ, A ˆ] ? ˆ C [B ˆ] ? ˆ ˆ, A [ BC
本节例题
ˆ , BC ˆ, B ˆ B ˆ,C ˆ] ˆ ˆ] [A ˆ ]C ˆ[ A 例题1：证明 [ A
证明:
ˆ , BC ˆ ˆ ˆ BCA ˆ ˆ ] ABC ˆ ˆ ˆ [A
（1）线性算符
满足如下运算规律的算符Â 称为线性算符: Â(c1ψ1+c2ψ2)= c1 Â ψ1+c2 Â ψ2
其中c1, c2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。 例如：
动量算符 单位算符
ˆ i p ˆ I
是线性算符。