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在Q表象下，由 ( x .t ) 描述的状态被表示为 a ta ,2 t ,a t ,a t 1 n q 我们仍可以用一个列矩阵表示： † * * * * a ta , t , , a ta , t 1 2 n q a1 t a1 t 归一化仍可表为： a2 t a2 t † a* t , a* t , , a* t , a* t 1 2 n q an t an t a t q a t * * q
则任意波函数按Q的本征函数展开为
(x,t) aq (t)uq (x)dq,
展开系数
aq (t) uq (x) (x,t)dx
同样若 ( x , t ) , u q ( x ) 都是归一化的，则 a q t 也是归一化的。 关于这个结论的证明见上一章的讲义。
* ( x , t ) ( x . t ) d x a ( t )( a t ) d x 即 1 q q
* 1 x t (,) x td x (,)
C (, p t ) ( x ) d p C ( p , t ) ( x ) d p d x p p
* C ( p , tC ) * ( p , t ) d p d p ( x )( x ) d x p ' p
我们将提出问题 那末，在任一力学量Q表象中， Ψ(x,t) 所描写的态又如何表 示呢？ 其实这个问题，自上一章讨论波函数展开系数的物理意义时已 经有所提及。
我们将分两种情况回答这个问题 （1）具有分立本征值的情况 （2）含有连续本征值情况
（1）分立谱情况
设算符Q的本征值为：Q1，Q2, ..., Q，...，相应本征函数为： u1(x),u2(x),...,un(x),...。
x x x (x )x (x ) x x ) (x ) ( x
根据量子力学基本假定，当粒子处于状态 ( x x) 时，坐 标位置确定，为 x （二）力学量表象
推广上述讨论： x, p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象， 因此可以对任何力学量Q都建立一种表象，称为力学量 Q 表象。
波函数也可以选用其它变量的函数，力学量则相应的表示为作 用于这种函数上的算符。 表象：量子力学中态函数（波函数）和力学量算符的具体表示 方式称为表象。以前采用的是坐标表象，下面我们要介绍其他 表象。
（一）动量表象
在坐标表象中，体系的状态用波函数Ψ(x,t)描写，这样一个态 如何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。
n
这时展开系数为：
* a ( t ) u (x,t)d x n n (x) * a ( t ) u (x,t)d x q (x) q
例如氢原子能量就是这样一种力学量，既有分立也有连续本征值。 同样若 ( x , t ) , un (x), uq (x) 都是归一化的，则展开系数 a n t, a q t 也是归一化的。
（三）讨论
同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同，波函数的形 式也不同，但是它们描写同一状态。 坐标表象 动量本征函数 动量本征函数 动量本征方程
x ) p '(
1
12
动量表象
i E ' t / c p , t pp ' e
2
i ' Et ' / px e
a1(t), a2(t), ..., an(t), ...
a1(t) a 2(t) a n(t)
†
an (t ) a n (t ) 1 n
状态 分 立 谱 和 连 续 谱 函数（数 列形式） a1(t), a2(t), ..., an(t), ... aq(t)
将Ψ(x,t)按Q的本征函数展开：
( xt , ) a () tu ( x ) n n
n
* at ( ) ux () (.) x td x n n
若Ψ, un都是归一化的，则 an(t) 也是归一化的。
证：
* 1 x t (.) x td x (,)
a () tu ( x ) atu () n ( x ) d x m m n m n
* * ata ( ) ( t ) ux () ux () d x m n m n mn
* a () ta () t m n m n m n
*
* a t)an(t) n( n
由此可知，|an|2表示在Ψ(x,t)所描述的状态中测量Q得到本征 值Qn的几率。 a1(t), a2(t), ..., an(t), ...就是Ψ(x,t)所描写状态在Q表象中的表示。
a q t
注意：这里 a q t 被视为列矩阵中的一个元素。只不过因为q是连续 的，因此我们不能把每一项元素分开写成一个明显的列矩阵形式 此时转置共轭矩阵为
† a t q
这是个元素不能分开的行矩阵 此时归一化式也可以写成为矩阵相乘的形式
† a ta t a ( t ) a ( t ) d q 1 q q q q
a a a a
1
归一化
Q
表 象
t 2 t
n
†
矩阵形式
q
t t
n
a n* ( t ) a n ( t )
a q* ( t ) a q ( t ) d q 1
这些列矩阵一般来说都是无限行的。本章我们统一使用列矩阵形 式的波函数。
第四章 态和力学量表象
§1
态的表象
到目前为止，体系的状态基本上都用坐标(x,y,z)的函数表示， 也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于 坐标函数的算符表示。但是这种描述方式在量子力学中并不是 唯一的，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系 有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写 是完全是等价的。
*
* C (, p tC )( p , t ) ( p p ) d p d p
* C ( p ,) t C ( p ,) td p
C(p,t) 物理意义 |Ψ(x,t)| 2dx 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位 置所得结果在 x → x + d x 范围内的几率。 |C(p,t)| 2 d p 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的 动量所得结果在 p → p + d p 范围内的几率。
（3）既包含连续谱，又包含分立谱情况 即本征值谱中既包含了分立部分，又包含有连续部分
设力学量 Q 的本征值和本征函数分别为：
Q1,
Q2,
...,
Qn, ...,
q
对应本征函数可记为 u1(x), u2(x), ..., un(x), ..., uq(x)
( x , t ) a ( t )( u x ) a ( t )( u x ) d q n n q q
* * * 1 ( x , t ) ( x . t ) d x a ( t ) a ( t ) a ( t ) a ( t ) d q n n q q n
|an(t)|2 是在Ψ(x,t) 态中测量力学量Q所得 结果为Qn 的几率；
|aq(t)|2dq 是在Ψ(x,t) 态中 测量力学量Q所得结果在q→q+dq 之间的几率。
p' (x )
1
2
ip'x/ e 12
cp t p ' , p
ˆ p x ) p ' x ) p '( p '(
ˆ p cp t p 'cp t , ,
由该表还可以看到在两种表象中动量本征方程的形式完全类似， 在本章第二三节我们将看到前面章节中所提及的所有方程 公式 （包括薛定谔方程和各种力学量算符的本征方程）的形式在不 同表象中都是类似的。区别在于方程里面的波函数要写成各自 表象下的波函数，算符要写成各自表象下的算符。关于这一点 将在下面两节阐明。
根据上一章量子力学基本假定，|aq(t)|2dq 是在Ψ(x,t)描述的 态中测量力学量Q所得结果在q→q+dq之间的概率。
在Q表象中，由 ( x , t ) 描述的状态被表示为 a q t 例如动量表象下的波函数c(p,t)就是这类表示，其实我们最常 使用的坐标表象下的波函数 ( x , t ) 也属于这类表示 我们也可以同刚才一样把状态写成是列矩阵的形式，即
n
a1 ( t ) a ( t ) 2 a n (t )
a n (t )* a n (t ) 1
注意：这里的 是列矩阵，不是函数
（2）只含有连续本征值情况 假如力学量Q的本征值谱只包含连续谱，本征值为q，对应本征 函数为 u q ( x )
a ( t ) a ( t ) a ( t ) a ( t ) d q 1 n n q q
n
注意在连续 谱部分使用 了积分
状态 坐标表象 函数形式
( x, t )
†
归一化
(x,t) (x,t)dx 1
† * C (p,t)C (p,t)d q 1
Ψ(x,t) 与 C(p,t) 一 一 对应，描述同一状态。 Ψ(x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数； 而 C(p,t)就是该状态 在动量表象中的波函数。
