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第四章 态和力学量的表象1.2

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量子力学 第四章

量子力学 第四章


∫
∫
* * * ˆ ˆ Fnm == （Fu n）u m dx = u m Fu n dx = Fmn
= a1 t） + a2 t） + L + an t） + L （ （ （
2 2 2
例题3、 中运动的粒子， 例题 、在一维无限深势阱 0 < x < a 中运动的粒子，所 处的状态是归一化波函数 Ψ = 1 sin π x + sin 3π x）所描写 （ 的状态，求它在能量表象中的表示。 的状态，求它在能量表象中的表示。
i Pa h
)
表象中的表示式， 已知一个状态在 x 表象中的表示式，就可以求出这个状态在 动量表象中的表示式。 动量表象中的表示式。 具体做法是： 表象中的表示式（波函数） 具体做法是：把状态在状态在 x 表象中的表示式（波函数） r 按 P 的本征函数（在 x 表象中的表示式）展开， 的本征函数（ 表象中的表示式）展开， Ψ （ x， t） 展开式的系数就是Ψ（x，t） 表示的状态在动量表象中的波函数 例题2、描写一个粒子状态的波函数是 例题 、
∫
数列
a1 t）、a2 t）、 L a（t）、a（t） （ （ L n q
Ψ
+ * * * * = a（t） a（t） L a（t） a（t） 1 2 n q
（ a1 t） a（t） 2 Ψ = M a（t） n a（t） q
(
)
a
π 2 nπ 2 3π 1 2 nπ 2 sin xdx + ∫ sin x• sin xdx ] = [∫ sin x• a a a a a 2 a a a 0
= 1 (δ n1 + δ n 3 ) 2
第四章-表象—态和力学量的表达方式

第四章-表象—态和力学量的表达方式

c1 (t ) c2 (t ) Ψ (t ) = M cn (t ) M 来自行矢量()
归一化条件
Ψ (t )Ψ (t ) = ∑ cn (t ) = 1
+ 2 n
* * Φ + (t ) = b1* (t ) b2 (t ) L bn (t ) L
+ * n *
∞ r r Ψ (r , t ) = ∑ c n (t )ψ n (r ) n= 0
编号有时是从零开始的， 注： 编号有时是从零开始的，例如谐振子情况 r 连续谱情况
r 有时需要重新编号， 有时需要重新编号，例如氢原子情况 Ψ (r , t ) = ∑ cnlm (t )ψ nlm (r )
n
∑ c (t )
n n
2
r 2 = ∫ Ψ (r , t ) dV
r Ψ (r , t )描述状态 ⇔ {cn (t ), n = 1,2, L}描述状态
* * * Ψ + (t ) = c1 (t ) c2 (t ) L cn (t ) L
状态可由矢量描述——态矢量 态矢量 状态可由矢量描述 列矢量
矩阵元
厄米共扼——转置+共扼(F 转置+ 厄米共扼 转置
+
)
nm
* = Fmn
r ˆ r r ˆ r * ˆ 是厄米算符时 F = φ * (r )Fφ (r )dV = φ (r ) Fφ (r ) dV = F * F nm m n mn ∫ n ∫ m
(
)
(F )
+
nm
= Fnm , 即，F + = F
描述状态 前面——波函数 波函数 前面 ——算符 算符 描述力学量 r r ˆ F (r ,− ih∇ )Ψ (r , t ) 这种描述方式(坐标表象 坐标表象)不是描述态和力学量的唯一方式 这种描述方式 坐标表象 不是描述态和力学量的唯一方式 态和力学量的具体表达(描述) 态和力学量的具体表达(描述) 方式称为表象 下面从坐标表象出发讨论其它表象——表象理论 坐标表象出发讨论其它表象 下面从坐标表象出发讨论其它表象 表象理论 第1节 态的表象
周世勋量子力学习题答案(七章全)

周世勋量子力学习题答案(七章全)

第一章 绪论1.1 由黑体辐射公式导出维思位移定律，能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即b T m =λ （常数），并近似计算b 的数值，准确到二位有效值。

[解]：由黑体辐射公式，频率在ν与ννd +之间的辐射能量密度为 ννπνρννd e ch d kTh 11833-=由此可以求出波长在λ与λλd +之间的能量密度λλρd )( 由于 λν/c =,λλνd cd 2+=因而有：λλπλλρλd ehcd kT hc 118)(5-=令kT hc x =所以有：11)(5-=xe Ax λρ （44558c h T k A π=常数） 由 0)(=λλρd d 有0)1(115)(254=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=λλλρd dxe e x e x A d d x x x于是，得： 1)51(=-x e x该方程的根为 965.4=x因此，可以给出，k hcxk hc T m 2014.0==λ即b T m =λ （常数）其中 k hcb 2014.0=2383410380546.110997925.21062559.62014.0--⨯⨯⨯⨯⨯=k m ⋅⨯=-310898.2[注]根据1183-=kTe ch νννπρ 可求能量密度最大值的频率：令kT h x ν=113-=xe Ax νρ （23338h c T k A π=） 0]11[3=-=ννρνd dx e Ax dx d d d x因而可得 131=⎪⎭⎫ ⎝⎛-xe x此方程的解 821.2=xh kTh kTx 821.2max ==νb T Tb '=⇒'=-1max max νν其中231062559.610380546.1821.2821.2-⨯⨯=='h k b 1910878.5-⋅︒⨯=s k这里求得max ν与前面求得的max λ换算成的m ν的表示不一致。

1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布罗意波长。

8第四章 态的表象

8第四章 态的表象

n
5
第二节 算符的矩阵表示(Matrix representation of Operator)
ˆ x,i u x dx bn t am t u x F m x m
n
5
6 Fnm矩阵元
引入
记号：
Fnm
ˆ x,i u x dx u x F m x
8
ˆ x,i x, t 在Q表象中的形式！ 是 x, t F x
F11 F21 F Fn1 F 12 F22 Fn 2 Fnm F1m F2 m 矩阵元由下式确定： ˆ x,i u x dx m Fnm un x F x
i
1 e dx e 2 i i P P x EPt 1 e dx e 2

i Px EP t i Px
P Pe
P Pe
i EP t
i EPt
f x x a f a x a
dx
1 C P, t 2
2

a
0
2 sin xe a a
i i E1t Px
e
dx
i Pa i a 1 e e E1t 2 P 2a 2 2
推广： x, t 在任一力学量Q表象中的形式

a t , a t , a t ,
1 2 n


1

例3：求一维无限深势阱中基态粒子的定态波函数在它的能量 表象中的形式。 解：设
ˆ H 在x表象中的本征函数为 n x
第4章态和力学量的表象

第4章态和力学量的表象



三维氢原子
( r , , ) R ( r ) Y ( , )
nlm nl lm
2.态在表象中的矩阵表示
①坐标表象 r ,t可按按坐标的本征函数 任意波函数 展开 r ' r
r , t a r ' , t r ' r d ' 成立的条件 r , t a r , t
( r ,t )和 un(r)都是归一化的 设
* a ( t ) ( r , t ) u ( r ) d n n


2 * | ( r , t ) | d 1 a ( t ) a ( t ) 1 n n
n

| an (t) |
2
a ( t ), a ( t ), a ( t ), , a ( t ), 1 2 3 n
ˆ rr ( ) rr ( ) ( r )( r r ) r r r


即坐标算符在坐标表象中的对应于确定值 的本征函数，是以坐标为变量的δ函数
②动量和能量算符

一维
三维
x 1 ip x p ( x ) p ( x ) ( x ) e x p x p x p x x 2
n

*矩阵表示
*归一化条件 1 *由无限多个本征函数构成了无限维函数空间 ——Hilbert空间

a1(t) a 2 (t) , a n (t) a q ( t )
*Hermite矩阵
* * * * ( a ( t ), a ( t ), , a ( t ), a ( t )) 1 2 n q
第四章 表象理论1

第四章 表象理论1


(4.2-6)
因此算符 在Q表象中是一个矩阵, （4.2-6）式也可简写为:
称为矩阵元。
(4.2-7)
说明: 力学量算符 于表象基矢
在 表象中的矩阵元 依赖
2. 厄密矩阵 对其取复共轭得到 根据厄密算符的定义
故有:
(4.2-8)
(4.2-8)式表示算符在Q表象中的表示是一个厄密矩阵 。
补充： 1、转置矩阵：矩阵A的行列互换，所得的新矩阵称 为矩阵A的转置矩阵，用符号 表示。 即：如果,则由(43) 得到(4.1-5)
在动量表象中, 粒子具有确定动量p’ 的波函数是以动 量p为变量的函数: 同理可得: 在坐标表象中, 粒子具有确定坐标x’ 的波函数是以坐标x 为变量的函数: 坐标算符的本征值方程为:
(4.1-6)
2. 一般情况 在任意力学量Q 的表象中, 假设具有分立的本征值, 对应的本征函数是 :
体系的归一化条件 写成矩阵形式： 对表象的理解: (1) 状态ψ : 态矢量
(4.1-13)
(2) Q表象: 坐标系 (无限维希耳伯特空间)。
(3) 本征函数: (4) 基矢量的分量。
坐标系的基矢量。 是态矢量ψ 在表象中沿各
态矢 在 表象基矢上的分量
构成了 在 表象中的
表示 ，由于
构成的空间维数可以是无穷的，甚至是不
故有：
内容小节
1、表象：量子力学中状态和力学量的具体表示方式 2、ψ(x,t) 态在动量表象中的表示：
其中： 3、ψ(x,t) 态在Q表象中的波函数是：
4、力学量F在Q表象中的表示 力学量F在Q表象中的表示是一个矩阵：
其中矩阵元： 算符在自身表象中是一个对角矩阵。
§4.3 量子力学公式的矩阵表述
量子力学第四章 态和力学量表象

量子力学第四章 态和力学量表象


就是Ψ(x,t)所描写状态 在Q表象中的表示。
am * (t )an (t ) mn
mn
an * (t )an (t )
n
由此可知，| an| 2 表示 在Ψ(x,t)所描述的状态 中测量Q得Qn的几率。
写成 矩阵形式
a1(t )
共轭矩阵
a2(t)
a1(t)*
a2(t)* an(t)*
1 2
nlm,100
exp(
i
E1t
)
1 2
nlm,211
exp(
i
E2t)
Cnlm (t)
1 2
nlm,100
exp(
i
E1t
)
1 2
nlm,211
exp(
i
E2t)
C100(t)
C200 (t )
1 2
exp(
i
E1t )
0
C210 (t ) C211(t )
C211
（二）能量表象
选取能量算符的本征函数 n (x)作基底，则
(x,t) Cn (t) n (x)
n
其中
Cn (t)
n
(
x)
(x,
t
)dx
能量表象波函数
例如
在中心力场中，任意波函数
(r,,,t)
1 2
R10Y00
exp(
i
E1t)
1 2
R21Y11
exp(
i
E2t)
Cnlm (t) Rnl (r)Ylm ( ,) (r, ,,t)d
(t
)
0Leabharlann 1 2exp(i
E2t)
量子力学 第四章 态和力学量的表象

量子力学 第四章 态和力学量的表象


b 1 (t ) F11 F12 F1m a 1 (t ) a (t ) 2 b 2 (t ) F21 b n (t ) Fn1 Fn 2 Fnm a m (t )
矩阵 和 分别是 波函数 ( x, t ) 和 ( x, t ) 在Q 表象中 的形式。
F
an ( t )an ( t ) a ( t )a ( t )d 1 n
几种表象中态的表示的对比
坐标表象 描述态的变量 波函数 波函数模平方意 义 动量表象 Q表象
r
{ ( r , t ) }
表示粒子在某个 位置的概率
p { c(p, t ) }
q
{a n ( t ) }
px 1 p (x) e 2 i
(r , t ) 称为坐标表象中的状态波函数， C (P , t ) 称
c 动量表象中坐标算符的本征函数 坐标表象坐标算符的本征函数 (x, t ) x (x) (x x) 该处的x是变量，x‘为本征值
该本征函数在动量表象中的波函数
(r , t )
对于 (r , t ) 与 (q, t ) ，知道其一就可求得另一， 描述粒子同一状态。 因而 (q, t ) 与 (r , t ) (q, t ) 是以
力学量Q为变量的波函数，即粒子状态波函数在 Q 表象 2 中的表示，称为 Q 表象波函数， n (t ) 给出在 (r , t ) 态 a 中测量粒子的力学量qn(t) 取值的几率
1/ 2
e
1 ( x) C(p) p (x )dp

第四章态和力学量的表象

第四章态和力学量的表象

.n n nc ψφ=∑第四章 态和力学量的表象量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。

在前面，我们采用的表象是坐标表象，还可以用其它表象表示体系状态。

在选定了一定的表象后，力学量算符用矩阵表示，算符的运算归结为矩阵的运算。

因此，引入表象理论后的量子力学也称为矩阵力学。

本章首先给出态、算符和量子力学公式的表象表示，以及它们在不同表象间的变换关系，并证明量子力学在幺正变换下的不变性。

之后介绍文献中常见的狄拉克（Dirac ）符号，最后在粒子数表象中重新讨论了线形谐振子问题。

§4.1态的表象表示由前两章讨论可知，任意波函数可按某力学量的本征函数做完全性展开例如，动量的本征函数表示组成完全系，任意波函数(,)x t ψ可以按 ()x p x ψ展开为(,)(,)()xx p x x t c p t x dp ψψ=⎰ ，展开系数(,)x c p t 由下式给出()(),(),x x p c p t x x t dx ψψ*=⎰. 设 (,)x t ψ已归一化，则容易证明(,)x c p t 也是归一化的，2(,)x t dx ψ代表体系处于(,)x t ψ所描写的态中，发现粒子位置在x x dx →+范围内的几率；2(,)x x c p t dp 代表在该态下发现粒子动量在 x x x p p dp →+范围内的几率。

(,)x c p t 和 (,)x t ψ描写同一状态。

我们称(,)x t ψ是这个状态在x -表象（坐标表象）中的波函数；(,)x c p t 是同一状态在p -表象（动量表象）中的波函数。

动量表象中的波函数(,)x c p t 以动量为自变量，它的获得是通过动量本征函数系的完全性展开取得展开系数得来的。

在量子力学中，选定一组本征函数系作为基失，就称为选定了一个表象。

这与三维空间中的坐标系类似。

表象中的基矢与坐标系中的单位矢量一样具有正交归一完全性。

所不同的是本征函数有多个，所以态矢量所在的空间是多维的函数空间。

4.态和力学量的表象

4.态和力学量的表象


例1：矢量 的性质(大小和方向)与所选的坐标系无关 直角坐标系： ，极坐标系： 例2：态Y描述的体系性质(能量、动量等)与所选的表象无关 A表象(un(x))：

B表象(vn(x)) ：


当描写态和力学量的时候，不用具体的表象，而用狄拉克引用的 一套与表象无关的符号，称为狄拉克符号(Dirac notation) 狄拉克符号中的态 普通情况：右矢(bra) 代表 ，左矢(ket) 代表 在坐标表象中： 在Q表象(un(x))中： 特殊情况：加入波函数符号或本征值或相应量子数，区别不 同的态，如
占有数表象

的本征值是n，对应的本征态是 ，该态表示n个能量为 的粒子，称 为粒子数算符 以 为基矢的表象称为占有数表象 占有数表象中的算符

占2/2
作业

4.1，4.2，4.3
作1/1

例：d势阱

普通的性方程

最适当的表象依赖于具体的问题
动2/2
算符的矩阵表示

Q的表象(只有分立本征值Qn，本征函数是un(x))下的算符

厄密算符在Q表象中的表示是厄密矩阵

算符Q在自身的表象中是对角矩阵——求解薛定谔方程
算1/2

Q的表象(只有连续本征值q，本征函数是uq(x))下的算符
态的表象

动量表象中，具有确定动量p'的波函数是以p为变量的d函数 例4：坐标表象中，位置固定的粒子(坐标x')波函数


坐标表象中，具有确定坐标x'的波函数是以x为变量的d函数 例5：动量表象中的坐标算符 动量表象中，动量算符就是自身 对易关系在不同的表象中都一样
量子力学4态和力学量的表象

量子力学4态和力学量的表象


(x,t) 2dx 1
C( p,t) 2dp 1
C( p,t) 2 dp 是 (x, t)所描写的态中测量粒子动量在 p dp
范围的几率.C( p, t)与 (x, t) 描述的是同样的态,C( p, t)
为在动量表象中的波函数。
2、推广到一般情况
在任意力学量 Q 的表象中，态的表示：(x,t)
的表象不同波函数形式也不同, 但它们描写同一态。
经典力学 矢量
( Ax , Ay , Az )
普通三维空间
特定坐标系 i , j,k
比较：
量子力学
态矢量
a1 (t) a2 (t)
an (t)
希尔伯特（Hilbert）空间
特定 Q 表象
本征函数 u1 (x), u2 (x), ,un (x),
A1 A2
R(
)
A1 A2
R(
)
cos sin
sin cos
R( ) 有什么性质？
det R 1
R~R RR~ 1 (真正交矩阵)
R R RR 1 幺正矩阵
同一矢量在不同坐标系中的表示通过一个幺正矩阵联系起来。
二. 态的表象与表象变换
表象: 态和力学量的具体表示方式。
量子力学中，量子态可看成Hilbert空间一矢量。
a
1
(t
)
a2 (t)
an (t)
a
1
(t)a1 (t)
a2
(t)a2
(t)
对于即有分立谱又有连续谱的情况：
(x,t) an (t)un (x) aq (t)uq (x)dx n
an (t) (un (x), (x,t))
aq (t) (uq (x), (x,t))

第四章 态和力学量的表象

量子力学中,态和力学量的具体表示方式称为表象. 量子力学中 态和力学量的具体表示方式称为表象 态和力学量的具体表示方式称为表象
如以坐标为变量来表示,称为坐标表象.这一章中,我们将详细讨 论波函数和算符在不同表象中的形式.
总结上述由已知坐标波函数求动量波函数的过程: 把坐标波函数 ψ ( x, t ) 用动量在坐标表象中的本征函数展开, 用动量在坐标表象中的本征函数展开, 就是动量波函数. 此时展开系数 C ( P, t ) 就是动量波函数
第四章 态和力学量的表象
前面表示微观粒子状态的波函数 ψ ( x, y , z , t ) 都表示成坐标 的函数,而力学量则用作用于这种坐标函数的算符来表示. 这种用坐标为变量来表示波函数和力学量的表示方式在量子力 学中并不是唯一的,也就是说,可用其它变量来表示:
波函数: 可以选用其它变量的函数, 力学量: 则相应地表示成作用在这种函数 上的算符
这就是从X 这就是从X到P表象的变换
(略) 略
ห้องสมุดไป่ตู้
§4.2 算符的矩阵表示
当选定具有分立谱的任意力学量为表象时,波函数在此表 象中是一个列矩阵,可以断定此时算符也将是一个矩阵,
例1。求 Lx 在 L2 , Lz 共同表象 l = 1 子空间中的矩阵表示 解：令： u1 = Y11 , u2 = Y10 , u3 = Y1−1 则 Lx的矩阵元可以如下计算：
ˆ ˆ ˆ L± = Lx ± iLy
0
2
作业: 习题4.5 作业 P130: 习题 阅读教材: 的内容. 阅读教材 P103-114的内容 的内容

态和力学量的表象


§4.1 态的表象表示
1．坐标表象
ˆ 本征方程 以坐标算符的本征态为基底构成的表象称为坐标表象。以一维的 x 坐标为例。算符 x
是
ˆδ ( x − x ′) = x ′δ ( x − x ′) x
本征函数是 δ ( x − x ′). 量子态ψ ( x ′, t ) 总可按 x 的本征函数系展开，得
它的共轭矩阵是
（4.1.10）
ψ + = (a1* (t ), a 2 * (t ), L a n * (t ), L)
归一化条件是
（4.1.11）
ψ +ψ = 1
(4.1.10)式是波函数ψ 在 Q 表象中的表示。 现在对上述态的表象表示作些说明：
（4.1.12）
① 对 希尔伯特空间，空间的维数等于完备、正交、归一的本征函数系中本征函数的个数，它可 以是有限维的，也可以是无穷维的，而且空间的基底既可以是个实向量也可以是个复函数。态矢量 是个复矢量。
§4.2
算符的表象表示
h ∂ ) 作用后变为另一波函数Φ ( x, t ) ， 即 i ∂x
ˆ 的本征态，满足 ②若ψ (r , t ) 刚好是 Q
r
ψ (r , t ) = a(t )u k (r )
由于 uk ( r ) 已归一，故有 a n (t ) = 1 ,代入(4 .1 .9)式，得
r
r
(4.1.13)
r
2
r * r a n (t ) = ∫ a (t )uk ( r )dr = a (t )δ nk
ˆ 表象中用相应的连续的列矩阵表示。 波函数ψ (r , t ) 在 Q
④ 总结上述 ，可以给出下述对应关系 量子态 ↔ 希尔伯特空间中的态矢量； 波函数 ↔ 态矢量在特定基底中的分量，可用列矩阵或用函数表示；

第四章　态和力学量的表象

章 >> 第一节§4.1 态的表象一.矢量的表示矢量基矢是矢量在坐标系中的表示。

对另一坐标系,是矢量在坐标系中的表示，同一矢量在不同坐标系中表示有什么关系?有什么性质？(真正交矩阵)幺正矩阵同一矢量在不同坐标系中的表示通过一个幺正矩阵联系起来。

二.态的表象与表象变换表象: 态和力学量的具体表示方式。

量子力学中，量子态可看成Hilbert空间一矢量。

, 是波函数和力学量在坐标表象中的表示，这种表示方法并不是唯一的。

（一）.态的表象1．特例动量本征函数组成完全基任意态利用：是所描写的态中测量粒子动量在范围的几率. 与描述的是同样波函数。

2推广到一般情况在任意力学量的表象中,态的表示：分立本征值：本征函数：是态中测量力学量所得结果为的几率。

为态在表象中的表示。

用矩阵表示：同一态可以在不同表象中用波函数来描写，所取的表象不同波函数形式也不同, 但它们描写同一态。

经典力学量子力学矢量态矢量普通三维空间希尔伯特（Hilbert）空间特定坐标系特定表象本征函数（二）态的表象变换态矢量在力学量的完备基下,即在表象下表象:另一力学量的完备基下,表象:二表象之间的的关系：左乘取标积,对积分即：矩阵表示幺正矩阵同一个量子态在表象中的不同表示的关系通过一幺正矩阵S相联系。

[证明]即：。

§4.2 力学量算符的矩阵表示与表象变换一.力学量的矩阵表示设一力学量作用于态得到另一态在坐标表象中在任一表象下本征值:两边左乘对积分利用正交归一性是算符在表象中的表示力学量算符为厄密算符: 即厄密算符在表象中的矩阵特点：利用厄密算符性质即即: 力学量算符的矩阵表示为厄密矩阵。

算符在自身表象的矩阵：算符在其自身表象中是一对角矩阵。

如具有连续本征值，本征函数为在坐标表象中例:求一维谐振子的坐标,动量及Hamilton量在能量表象中的矩阵表示。

[解]线性谐振子的能级为对应的能量本征函数，利用公式(1)(2)(3)二．力学量的表象变换力学量算符在表象中: 算符的本征函数在表象中: 算符的本征函数§4.3 量子力学中一些关系式的矩阵表示态矢量和力学量算符已用矩阵表示出来，也就是说态矢量和力学量算符在一确定的表象下可用矩阵表示。

§4 态和力学量的表象


1．平均值公式 将 Ψ ( x, t ) 按 Q 的本征函数展开，
Ψ ( x , t ) = ∑ a n (t )u n ( x)
n ∗ ∗ Ψ ∗ ( x, t ) = ∑ an ( t )u n (x ) n
(4.3.1a) (4.3.1b)
F = ∫ Ψ ∗ ( x, t ) F ( x,
h ∂ ) Ψ ( x, t ) dx i ∂x ∧ h ∂ ∗ = ∫ ∑ am (t ) u ∗ ( x ) F ( x, ) an (t ) u n ( x )dx m i ∂x mn
或简写为
F = Ψ + FΨ
(4.3.4)
2. 本征值方程
F ( x,
∧
h ∂ ) Ψ( x, t ) = λΨ ( x , t ) i ∂x
矩阵形式可由(4.2.7)式中令Φ = λΨ 得出
FΨ = λΨ
(4.3.5)
显示地写出为
F11 F21 M Fn1 M
F12 L F1n F22 L F2n M M Fn 2 L Fnn M L
(4.2.3)
引进记号
Fnm = ∫ u ∗ n ( x ) F (x ,
∧
h ∂ )u m ( x ) dx i ∂x
(4.2.4)
(4.2.3)可写为
bn ( t ) = ∑ Fnma m (t )
m
(4.2.5)
(4.2.5)就是(4.2.1)在 Q 表象中的表示，将它写为矩阵的形式
b1 ( t ) F11 b2 ( t ) F21 M =L bn ( t ) Fn1 M L F12 F22 L Fn2 L L F1m L F2m L L L Fnm L L L a1 ( t ) L a 2t ) L M L am ( t ) L M
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在Q表象下，由 ( x .t ) 描述的状态被表示为 a ta ,2 t ,a t ,a t 1 n q 我们仍可以用一个列矩阵表示： † * * * * a ta , t , , a ta , t 1 2 n q a1 t a1 t 归一化仍可表为： a2 t a2 t † a* t , a* t , , a* t , a* t 1 2 n q an t an t a t q a t * * q
则任意波函数按Q的本征函数展开为
(x,t) aq (t)uq (x)dq,
展开系数
aq (t) uq (x) (x,t)dx
同样若 ( x , t ) , u q ( x ) 都是归一化的，则 a q t 也是归一化的。 关于这个结论的证明见上一章的讲义。
* ( x , t ) ( x . t ) d x a ( t )( a t ) d x 即 1 q q
* 1 x t (,) x td x (,)
C (, p t ) ( x ) d p C ( p , t ) ( x ) d p d x p p
* C ( p , tC ) * ( p , t ) d p d p ( x )( x ) d x p ' p
我们将提出问题 那末，在任一力学量Q表象中， Ψ(x,t) 所描写的态又如何表 示呢？ 其实这个问题，自上一章讨论波函数展开系数的物理意义时已 经有所提及。
我们将分两种情况回答这个问题 （1）具有分立本征值的情况 （2）含有连续本征值情况
（1）分立谱情况
设算符Q的本征值为：Q1，Q2, ..., Q，...，相应本征函数为： u1(x),u2(x),...,un(x),...。
x x x (x )x (x ) x x ) (x ) ( x
根据量子力学基本假定，当粒子处于状态 ( x x) 时，坐 标位置确定，为 x （二）力学量表象
推广上述讨论： x, p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象， 因此可以对任何力学量Q都建立一种表象，称为力学量 Q 表象。
波函数也可以选用其它变量的函数，力学量则相应的表示为作 用于这种函数上的算符。 表象：量子力学中态函数（波函数）和力学量算符的具体表示 方式称为表象。以前采用的是坐标表象，下面我们要介绍其他 表象。
（一）动量表象
在坐标表象中，体系的状态用波函数Ψ(x,t)描写，这样一个态 如何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。
n
这时展开系数为：
* a ( t ) u (x,t)d x n n (x) * a ( t ) u (x,t)d x q (x) q
例如氢原子能量就是这样一种力学量，既有分立也有连续本征值。 同样若 ( x , t ) , un (x), uq (x) 都是归一化的，则展开系数 a n t, a q t 也是归一化的。
（三）讨论
同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同，波函数的形 式也不同，但是它们描写同一状态。 坐标表象 动量本征函数 动量本征函数 动量本征方程
x ) p '(
1
12
动量表象
i E ' t / c p , t pp ' e
2
i ' Et ' / px e
a1(t), a2(t), ..., an(t), ...
a1(t) a 2(t) a n(t)
†
an (t ) a n (t ) 1 n
状态 分 立 谱 和 连 续 谱 函数（数 列形式） a1(t), a2(t), ..., an(t), ... aq(t)
将Ψ(x,t)按Q的本征函数展开：
( xt , ) a () tu ( x ) n n
n
* at ( ) ux () (.) x td x n n
若Ψ, un都是归一化的，则 an(t) 也是归一化的。
证：
* 1 x t (.) x td x (,)
a () tu ( x ) atu () n ( x ) d x m m n m n
* * ata ( ) ( t ) ux () ux () d x m n m n mn
* a () ta () t m n m n m n
*
* a t)an(t) n( n
由此可知，|an|2表示在Ψ(x,t)所描述的状态中测量Q得到本征 值Qn的几率。 a1(t), a2(t), ..., an(t), ...就是Ψ(x,t)所描写状态在Q表象中的表示。
a q t
注意：这里 a q t 被视为列矩阵中的一个元素。只不过因为q是连续 的，因此我们不能把每一项元素分开写成一个明显的列矩阵形式 此时转置共轭矩阵为
† a t q


这是个元素不能分开的行矩阵 此时归一化式也可以写成为矩阵相乘的形式
† a ta t a ( t ) a ( t ) d q 1 q q q q
a a a a
1

归一化
Q
表 象
t 2 t
n
†
矩阵形式

q
t t

n
a n* ( t ) a n ( t )
a q* ( t ) a q ( t ) d q 1
这些列矩阵一般来说都是无限行的。本章我们统一使用列矩阵形 式的波函数。
第四章 态和力学量表象
§1
态的表象
到目前为止，体系的状态基本上都用坐标(x,y,z)的函数表示， 也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于 坐标函数的算符表示。但是这种描述方式在量子力学中并不是 唯一的，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系 有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写 是完全是等价的。

*


* C (, p tC )( p , t ) ( p p ) d p d p

* C ( p ,) t C ( p ,) td p
C(p,t) 物理意义 |Ψ(x,t)| 2dx 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位 置所得结果在 x → x + d x 范围内的几率。 |C(p,t)| 2 d p 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的 动量所得结果在 p → p + d p 范围内的几率。

（3）既包含连续谱，又包含分立谱情况 即本征值谱中既包含了分立部分，又包含有连续部分
设力学量 Q 的本征值和本征函数分别为：
Q1,
Q2,
...,
Qn, ...,
q
对应本征函数可记为 u1(x), u2(x), ..., un(x), ..., uq(x)
( x , t ) a ( t )( u x ) a ( t )( u x ) d q n n q q
* * * 1 ( x , t ) ( x . t ) d x a ( t ) a ( t ) a ( t ) a ( t ) d q n n q q n
|an(t)|2 是在Ψ(x,t) 态中测量力学量Q所得 结果为Qn 的几率；
|aq(t)|2dq 是在Ψ(x,t) 态中 测量力学量Q所得结果在q→q+dq 之间的几率。
p' (x )
1
2
ip'x/ e 12
cp t p ' , p
ˆ p x ) p ' x ) p '( p '(
ˆ p cp t p 'cp t , ,
由该表还可以看到在两种表象中动量本征方程的形式完全类似， 在本章第二三节我们将看到前面章节中所提及的所有方程 公式 （包括薛定谔方程和各种力学量算符的本征方程）的形式在不 同表象中都是类似的。区别在于方程里面的波函数要写成各自 表象下的波函数，算符要写成各自表象下的算符。关于这一点 将在下面两节阐明。
根据上一章量子力学基本假定，|aq(t)|2dq 是在Ψ(x,t)描述的 态中测量力学量Q所得结果在q→q+dq之间的概率。
在Q表象中，由 ( x , t ) 描述的状态被表示为 a q t 例如动量表象下的波函数c(p,t)就是这类表示，其实我们最常 使用的坐标表象下的波函数 ( x , t ) 也属于这类表示 我们也可以同刚才一样把状态写成是列矩阵的形式，即




n
a1 ( t ) a ( t ) 2 a n (t )
a n (t )* a n (t ) 1
注意：这里的 是列矩阵，不是函数
（2）只含有连续本征值情况 假如力学量Q的本征值谱只包含连续谱，本征值为q，对应本征 函数为 u q ( x )


a ( t ) a ( t ) a ( t ) a ( t ) d q 1 n n q q
n
注意在连续 谱部分使用 了积分
状态 坐标表象 函数形式
( x, t )
†
归一化
(x,t) (x,t)dx 1
† * C (p,t)C (p,t)d q 1
Ψ(x,t) 与 C(p,t) 一 一 对应，描述同一状态。 Ψ(x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数； 而 C(p,t)就是该状态 在动量表象中的波函数。