量子力学 第四章 态和力学量的表象

将 ( x, t ) 和 ( x, t ) 分别按函数系 { u n( x) }展开
ˆ ( x, i ) ( x, t ) ( x, t ) F x
（1）
( x, t) bm (t )um ( x)
m
代入坐标表象表达式（1）
ˆ ( x, i )u (t ) bm (t )um (t ) am (t )F m x m m
能量表象：
2 n n x sin x a a 1 x an E n x
本征函数
n
an E 1 x ( x)dx 1,n
* n
可见能量算符的本征函数在能量自身表象中取δ 符号形式。
基态的表示
n 能级态的表示
0 0 1 0
归一化条件

2 3 (r , t ) d r 1
a
n 1

nLeabharlann (t ) 12（归一化条件的矩阵 表述形式） 以上讨论可推广到 Q 有连续谱的情况。
(q, t ) (q, t ) 1
若本征值部分连续
a1 ( t ) a2 ( t ) an ( t ) a ( t )
1 0 A1 0
第n行
An
一般结论:具有分立本征值的力学量算符本征函数 在该力学量自身表象中为一δ符号, 其矩阵为单位元 矩阵。
Hilbert空间与态矢量
以上讨论与三维矢量空 间矢量的表示很类似。 在三维矢量空间选一组正交 归一完备基 e1 , e2 , e3
(r , t )
对于 (r , t ) 与 (q, t ) ，知道其一就可求得另一， 描述粒子同一状态。 因而 (q, t ) 与 (r , t ) (q, t ) 是以
力学量Q为变量的波函数，即粒子状态波函数在 Q 表象 2 中的表示，称为 Q 表象波函数， n (t ) 给出在 (r , t ) 态 a 中测量粒子的力学量qn(t) 取值的几率
由此，在本征值取连续谱的力学量表象中，自身算 符的本征函数为δ函数
cp (p) (p p)
2．Q 表象
ˆ 力学量算符 Q 的正交归一的本征函数完备系： un ( x)} {
本征方程：
ˆ Qun ( x) qnun ( x)
(r , t ) an (t )un ( x)
矩阵 和 分别是 波函数 ( x, t ) 和 ( x, t ) 在Q 表象中 的形式。
F
Hilbert空间：由力学量本征函数系作为基矢量所构 成的无限维空间称为希尔伯特空间 态矢量： Hilbert空间中的矢量，即体系的状态波 函数视为一个矢量称为态矢量（简称态矢） 注意：归一化波函数，态矢的大小一定，不同的态 矢只是方向不同。 ˆ 力学量算符 Q 的正交归一完备函数系 { un ( x) } 构成Hilbert空间中的一组正交归一完备基底。
1/ 2
e
1 ( x) C(p) p (x )dp


展开系数： C p
x x dx
1 p

1
2

1/ 2
2 0 sin a x.e a
a
i px
dx
a 1 e 2 p 2 a 2 / 2
i pa
n
ei e j ij
e1 , e2 , e3
x, t an t un x
a1 t 量子态矢量： an t
an t u x x, t dx
量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象
常 用 的 表 象
坐 标 表
动 量 表 象
能 量 表 象
象
角 动 量 表 象
§4.1 态的表象 1．态的动量表象
动量算符本征函数： P (r )
任一状态 可按其展开： i P r 1 3 (r , t ) C (P , t ) e d P (2 )3/ 2
表示粒子动量取 表示粒子Q力学 某个值的概率 量取某个值的概 率
Ex.1.
粒子处于一维无限深势阱的基态：
2 1 x sin x a a
Solve
选择动量表象:
0 x a
求该态在动量和能量表象中的表示形式。
i px
动量本征函数
p x
1
2
b 1 (t ) F11 F12 F1m a 1 (t ) a (t ) 2 b 2 (t ) F21 b n (t ) Fn1 Fn 2 Fnm a m (t )
u x u x dx
m n

mn
任一态矢
( x, t )
n 1
an (t )un ( x)

an t u x x, t dx
n
a1 (t ) ( q, t ) an (t )
n 1
任一状态 可按其展开：
展开系数：
an (t ) u ( x) ( x, t ) dx
* n
的相互变换关系，将 an (t ) 写成矩阵
由上述两式给出了 { ( x, t )} an (t ) 函数集之间 与
a1 (t ) ( q, t ) an (t )
表象与几何空间坐标系的比较
量子力学表象 某一表象本征态矢量
几何空间坐标系 某一坐标系的一组基矢 正交 归一 正交 归一 3 A Ae1 A2e2 A3e3 Aei 1 i
u1 x , u2 x ,un x ,
u
m
x un x dx mn
ˆ x i p x ˆ P p
x x
问题
力学量算符 F ˆ 在 Q 表象中如 何表示？
ˆ px T 2m
2
ˆ 在坐标表象中，力学量 F 用算符 F ( x, i ) 表 x 示，设 F 作用于 ( x, t ) 得到 ( x, t ) 。 ˆ
即
ˆ 选定力学量 Q 表象， Q 算符的正交归一的本征函 数完备系记为 { u n( x)}
以 un ( x) 乘该式，对
*
x全部范围积分
ˆ ( x, i )u ( x)dx bm (t ) u ( x)um ( x)(dx) am t u x F m x m m
* n * n
mn
bn (t ) Fnm am (t )
m
记为 Fmn Q表象的表 达方式 记为
px 1 p (x) e 2 i
(r , t ) 称为坐标表象中的状态波函数， C (P , t ) 称
c 动量表象中坐标算符的本征函数 坐标表象坐标算符的本征函数 (x, t ) x (x) (x x) 该处的x是变量，x‘为本征值
该本征函数在动量表象中的波函数
１．选定一个特定 Q 表象，就相当于在Hilbert空间 ˆ 中选定一个特定的坐标系,力学量算符 Q 的正交归一 完备函数系 { u n( x) } 构成Hilbert空间中的一组正交归 一完备基底。
4.2 算符的矩阵表示
力学量算符在坐标表象与动 量表象中的表示 坐 标 表 象 动 量 表 象
ˆ xx ˆ i Px x 2 2 ˆ T 2 2m x
n
Ai Aei
i 1
矢量:
A1 A A2 A 3
结
论
２.任意态矢量 x 在 Q 表象中的表示是一列矩阵， ˆ 矩阵元 an (t ) 是态矢量 x 在 Q 算符的本征矢 un ( x) 上的投影。 3．选取不同力学量表象，就是选取不同完备正交基 底，态矢的表述具有不同矩阵形式，这就是态的不同 表象波函数。
e3 A3 A
A2
. ee
i
A1 e1
A1 A A2 A 3
e2
j
ij
(i, j 1, 2,3) 正交归一条件
A Ae1 A2e2 A3e3 1
Ai ei
3 i 1
同样地，力学量算符本征函数系也有这种特性
C ( p, t ) * C ( p, t )dp （归一化条件）
所以 (r , t ) 与 C (P , t ) 是从不同的角度来描写粒子
的状态
若 (r , t ) 是归一化波函数，则 C (P , t ) 也归一。
为动量表象中的状态波函数。 2、坐标表象及动量表象中动量算符及位置算符的本征 函数 a 坐标表象中坐标算符的本征函数 坐标表象中，坐标x是一个算符，也是一个变量，设在 该表象中位置本征值取x′的本征函数为Ψ（x),则Ψ（x) 仅在x′处不为零，在其它位置波函数为零，又因为x的 本征谱是连续谱，该本征函数是一个δ函数 ˆ 即 x(x x) x(x x) b 坐标表象中动量算符的本征函数
an ( t )an ( t ) a ( t )a ( t )d 1 n
几种表象中态的表示的对比
坐标表象 描述态的变量 波函数 波函数模平方意 义 动量表象 Q表象
r
{ ( r , t ) }
表示粒子在某个 位置的概率
p { c(p, t ) }
q
{a n ( t ) }