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137第5章力学量的算符表示§5.1 算符及其运算规则在第二章中，已经引入了算符的概念，动量算符和哈密顿量算符分别为∇-= i ˆp(5.1.1) )(2ˆ22r V mH +∇-= (5.1.2) 在量子力学中，算符表示对它后面的波函数的一种运算或者操作，上述的动量算符与哈密顿算符皆表示对其后面的波函数的微商运算，本章的后面将引入的宇称算符πˆ则表示对其后面的波函数的一种操作，即把波函数中的坐标变量改变一个符号。
由算符化规则可知，物理上可观测的力学量（例如，坐标、动量、角动量和能量等）与相应的算符相对应，并要求相应的算符为线性厄米特算符，力学量的取值情况由相应算符满足的本征方程的解来决定。
§5.1.1 算符及其运算规则1、线性算符138满足下列运算规则22112211ˆˆ)(ˆψψψψA c A c c c A +=+ (5.1.3)的算符Aˆ，称之为线性算符，其中，21,c c 是两个任意复常数，21,ψψ是两个任意的波函数。
在量子力学中，可观测量对应的算符都是线性算符，这是状态叠加原理所要求的。
如无特殊声明，下面所涉及到的算符皆为线性算符。
2 、单位算符若对任意的波函数ψ，算符I ˆ满足ψψ=Iˆ (5.1.4)则称Iˆ为单位算符。
3、 算符之和若对任意的波函数ψ，下式ψψψB A B Aˆˆ)ˆˆ(+=+ (5.1.5) 总是成立，则称算符B Aˆˆ+为算符A ˆ与算符B ˆ之和。
算符的加法运算满足交换律和结合律，即A B B A ˆˆˆˆ+=+ (5.1.6) C B A C B Aˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆ++=++ (5.1.7) 4、 算符之积两个算符A ˆ和B ˆ之积记为)ˆˆ(B A ，对任意的波函数ψ，算符)ˆˆ(B A的作用定义为下列运算)ˆ(ˆ)ˆˆ(ψψB A B A= (5.1.8)139即算符之积)ˆˆ(B A 对任意波函数的运算过程是，先用算符B ˆ对ψ进行运算，得到一个新的波函数（ψB ˆ），然后，再用算符Aˆ对（ψB ˆ）进行运算。
第四章矩阵力学基础——表象理论部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑第四章矩阵力学基础(Ⅱ>——表象理论4.1态和算符的表象表示1．态的表象表示(1> 坐标表象以坐标算符的本征态为基底构成的表象称为坐标表象。
以一维的x 坐标为例。
算符本征方程是(4-1-1>本征函数是量子态总可按x的本征函数系展开，得<4.1.2）展开系数必就是该量子态在x表象的表示，即波函数。
(2> 动量表象以动量算符的本征态为基底构成的表象是动量表象。
选x为自变量，动量算符的本征函数是平面波。
以动量算符为例，其本征态为：b5E2RGbCAP(4 .1 .3>将量子态按展开(4 .1 .4>C(px>就是动量表象中的波函数。
这正是第二章中已熟知的结果。
动量表象也可以用动量为自变量表示。
在Px表象中，粒子具有确定动量分量Px的波函数是以Px为自变量的函数p1EanqFDPw<4.1.5）在动量表象中的波函数也可以用类似于(4. 1. 2>式的方式给出。
(3> 任意表象设有某一线性厄M算符。
为叙述方便起见，假定算符具有分立本征值谱。
它的本征方程为(4.1.6>将波函数按算符的正交归一本征函数系展开<4.1.7）展开系数{an(t>}就是波函数必在Q表象中的表示。
它可由的正交归一性推出。
将(4.1.7>式两边分别乘并对空间积分，得DXDiTa9E3d(4 .1 .8>an(t>的物理意义是：当体系处在以(r,t>所描述的状态时，力学量Q具有确定值Qn的概率是具有和波函数统计解释相同的概率解释。
因此我们可以用一组系数RTCrpUDGiT{(t>}代替户(,t>来描述该状态。
将数列 a 1(t>，a2(t>，…，an(t>，…写成一个列矩阵，则(r,t>在Q表象的表示为5PCzVD7HxA<4.1.9）它的共轭矩阵是<4.1.10）归一条件是<4.1.10）(4.1.9>式是波函数在Q表象中的表示。
第四章 力学量用算符表达与表象变换 4.1）设A 与B 为厄米算符，则()BA AB +21和()BA AB i-21也是厄米算符。
由此证明，任何一个算符F 均可分解为-++=iF F F ，+F 与-F 均为厄米算符，且()()+++-=+=F F iF F F F 21 ,21 证：ⅰ）()()()()BA AB AB BA B A A B BA AB +=+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++21212121()BA AB +∴21为厄米算符。
ⅱ）()()()()BA AB i AB BA i B A A B i BA AB i -=--=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++++21212121()BA AB i-∴21也为厄米算符。
ⅲ）令AB F =，则()BA A B AB F ===++++，且定义 ()()+++-=+=F F iF F F F 21 ,21 （1） 由ⅰ），ⅱ）得-+-+++==F F F F ,，即+F 和-F 皆为厄米算符。
则由（1）式，不难解得 -++=iF F F4.2）设),(p x F 是p x ,的整函数，证明[][]F ,F,,pi F x x i F p ∂∂=∂∂-=整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞==,),(n m n m mnp x Cp x F 。
证： （1）先证[][]11, ,,--=-=n n m mp ni p x xmi xp 。
[][][][][][][][]()()[]()111111331332312221111,1,3,,2,,,,,------------------=---=+--==+-=++-=++-=+=m m m m m m m m m m m m m m m m m mx m i x i x i m xxp x i m x x p x i x x p x x p x x i x x p x x p x x i xx p x p x x p同理，[][][][][][]1221222111,2,,,,,--------==+=++=+=n n n n n n n n np ni ppx pi p p x p p x p p i pp x p x p p x现在，[][]()∑∑∑∞=-∞=∞=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0,1,0,,,,n m nm mnn m n m mn n m n m mn px m i C p x p C p x C p F p而 ()∑∞=--=∂∂-0,1n m n m mn p x mi C x Fi 。
.n n nc ψφ=∑第四章 态和力学量的表象量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。
在前面，我们采用的表象是坐标表象，还可以用其它表象表示体系状态。
在选定了一定的表象后，力学量算符用矩阵表示，算符的运算归结为矩阵的运算。
因此，引入表象理论后的量子力学也称为矩阵力学。
本章首先给出态、算符和量子力学公式的表象表示，以及它们在不同表象间的变换关系，并证明量子力学在幺正变换下的不变性。
之后介绍文献中常见的狄拉克（Dirac ）符号，最后在粒子数表象中重新讨论了线形谐振子问题。
§4.1态的表象表示由前两章讨论可知，任意波函数可按某力学量的本征函数做完全性展开例如，动量的本征函数表示组成完全系，任意波函数(,)x t ψ可以按 ()x p x ψ展开为(,)(,)()xx p x x t c p t x dp ψψ=⎰ ，展开系数(,)x c p t 由下式给出()(),(),x x p c p t x x t dx ψψ*=⎰. 设 (,)x t ψ已归一化，则容易证明(,)x c p t 也是归一化的，2(,)x t dx ψ代表体系处于(,)x t ψ所描写的态中，发现粒子位置在x x dx →+范围内的几率；2(,)x x c p t dp 代表在该态下发现粒子动量在 x x x p p dp →+范围内的几率。
(,)x c p t 和 (,)x t ψ描写同一状态。
我们称(,)x t ψ是这个状态在x -表象（坐标表象）中的波函数；(,)x c p t 是同一状态在p -表象（动量表象）中的波函数。
动量表象中的波函数(,)x c p t 以动量为自变量，它的获得是通过动量本征函数系的完全性展开取得展开系数得来的。
在量子力学中，选定一组本征函数系作为基失，就称为选定了一个表象。
这与三维空间中的坐标系类似。
表象中的基矢与坐标系中的单位矢量一样具有正交归一完全性。
所不同的是本征函数有多个，所以态矢量所在的空间是多维的函数空间。
§3.1 表示力学量的算符一、算符的定义：算符是指作用一个函数上得出另一个函数的运算符号。
v u F =表示F 把函数u 变成 v ，F就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
算符的本征值和本征函数：λψψ=F本征值方程，ψ叫本征值λ的本征函数。
二、算符的一般特性 1、算符相等若两个算符Â、ˆB 对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB相等记为ˆˆA B =。
2、单位算符：对波函数运算后保持不变的算符称为单位算符。
ψψ=I (4-2)式中ψ为任意波函数，简记为I3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆAB C += (4-3)称为算符之和。
ˆˆˆˆA B B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A B C A B C ++=++4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= (4-4) ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。
但算符之积的结合律仍然成立，即)()(C B A C B A =5、逆算符(1). 定义: 设Âψ=φ, 能够唯一的解出ψ， 则可定义算符Â之逆Â-1为: 1ˆAφψ-= 若算符Â之逆Â-1存在，则11ˆˆˆˆAAA A I --==, 1ˆˆ[,]0AA -= (4-8) 推论1： 若[]I B A=,（或[]I A B =,,则1-=A B推论2：若Â,ˆB均存在逆算符, 则)(B A的逆算符也存在，且 111ˆˆˆˆ()ABB A ---= (4-9) 证明：因为Â,ˆB均存在逆算符，则 I A A A I A A B B A A B B A====------111111)())((6、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ (4-1) 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
