18-19 第3章 3.2 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
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18-19 第3章 3.2 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
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第 4 页 [解析] 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则 n·AB→＝z＝0，n·AC→＝－x＋y＋z＝0，
令x＝1，则y＝1，z＝0，
即n＝(1,1,0)，
则平面ABC的一个法向量为(1,1,0)．
[答案] (1,1,0)(答案不惟一)
[合 作 探 究·攻 重 难]
直线的方向向量及其应用
(1)已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.
(2)在空间直角坐标系中，已知点A(2,0,1)，B(2,6,3)，P是直线AB上一点，且满足AP∶PB＝3∶2，则直线AB的一个方向向量为________，点P的坐标为________.
【导学号：71392185】
[精彩点拨] (1)利用两直线的方向向量共线求解；
(2)AB→即是直线AB的一个方向向量，利用AP→＝35AB→求点P的坐标．
[解析] (1)由l1∥l2可知，向量(－7,3,4)和(x，y,8)共线，所以x－7＝y3＝84，解得x＝－14，y＝6.
(2)AB→＝(0,6,2)是直线AB的一个方向向量．
由AP∶PB＝3∶2，得AP→＝35AB→.
设P(x，y，z)，则(x－2，y，z－1)＝35(0,6,2)，
第 5 页 即x－2＝0，y＝185，z－1＝2·35，
解得x＝2，y＝185，z＝115，
所以直线AB的一个方向向量是(0,6,2)，点P的坐标为2，185，115.
[答案] (1)－14 6 (2)(0,6,2) 2，185，115
[名师指津]
1．应注意直线AB的方向向量有无数个，哪个易求求哪个．
2．利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置.
求平面的法向量
如图3-2-1，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，求平面SBA与平面SCD的法向量．
图3-2-1
[精彩点拨] 因为与平面垂直的向量为平面的法向量，所以先观察图中有无垂直于平面的直线，若有，利用直接法求出；若没有，设出法向量n，再利用待定系数法求解．
[自主解答] ∵AD，AB，AS是三条两两垂直的线段，∴以A为原点，以AD→，AB→，AS→的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D12，0，0，C(1,1,0)，S(0,0,1)，AD→＝12，0，0是平面SBA的法向量，
设平面SCD的法向量n＝(1，λ，u)，有n⊥DC→，n⊥DS→，则n·DC→＝(1，λ，u)·12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12.
第 6 页 n·DS→＝(1，λ，u)·－12，0，1＝－12＋u＝0，∴u＝12，∴n＝1，－12，12.
[名师指津]
1．利用待定系数法求平面法向量的步骤
2．求平面法向量的三个注意点
(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．
(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个取特殊值，得另两个值，就是平面的一个法向量．
(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时，一定要注意这个坐标不为0.
[再练一题]
1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的一个法向量.
【导学号：71392186】
[解] 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示)．
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则A(1,0,0)，M1，1，12，N0，12，1.
∴AM→＝0，1，12，AN→＝－1，12，1.
设平面AMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，
∴ n·AM→＝y＋12z＝0，n·AN→＝－x＋12y＋z＝0，
令y＝2，∴x＝－3，z＝－4，∴n＝(－3,2，－4).
第 7 页 证明平面的法向量
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．
图3-2-2
求证：D1F→是平面ADE的法向量. 【导学号：71392187】
[精彩点拨] 要证明D1F→是平面ADE的法向量，只需证明D1F⊥平面ADE即可．
[自主解答] 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则
D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，E1，1，12，F0，12，0，
所以AD→＝(－1,0,0)，D1F→＝0，12，－1，AE→＝0，1，12，所以AD→·D1F→＝(－1,0,0)·0，12，－1＝0，
AE→·D1F→＝0，1，12·0，12，－1＝0，
所以AD→⊥D1F→，AE→⊥D1F→，又AD∩AE＝A，
所以D1F→⊥平面ADE，
从而D1F→是平面ADE的法向量．
[名师指津] 用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直.
[再练一题]
2．如图3-2-3所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥正方形ABCD所在的平面，
第 8 页 PA＝AD＝1，M，N分别是AB，PC的中点．
图3-2-3
(1)建立适当的空间直角坐标系，写出向量MN→的坐标；
(2)求证：MN→为平面PCD的一个法向量．
[解] (1)由PA⊥正方形ABCD所在平面知PA，AB，AD两两互相垂直，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．
图3-2-3
由PA＝AD＝1得P(0,0,1)，C(－1,1,0)，D(－1,0,0)，M0，12，0，N－12，12，12，
∴MN→＝－12，0，12.
(2)证明：由(1)MN→＝－12，0，12，PC→＝(－1,1，－1)，PD→＝(－1,0，－1)，
则MN→·PC→＝－12×(－1)＋0×1＋12×(－1)＝0，
MN→·PD→＝－12×(－1)＋0×0＋12×(－1)＝0，
∴MN⊥PC，MN⊥PD.
又∵PC∩PD＝P，PC⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，
∴MN⊥平面PCD.
∴MN→为平面PCD的一个法向量.
方向向量与法向量的特征
[探究问题]
1．如何正确地判断直线的方向向量？
[提示] (1)在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备以下两个方
第 9 页 面的限制：①不能为零向量；②与该直线平行或重合．
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
(3)给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定惟一一条过点A且平行于向量a的直线．
(4)表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反．
2．过空间任意一定点P，能否作出平面α的法向量？能作几条？
[提示] 由于过空间任意一点P，有且仅有一条直线PO垂直于平面α，因此，过空间任意一点都能作出平面α的法向量．
由于直线PO的方向向量有无数个，因此，过点P的平面α的法向量也有无数个．
3．求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？
[提示] 根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了．
4．依据待定系数法求出的平面法向量惟一吗？
[提示] 不惟一．利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组 n·a＝0，n·b＝0有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，利用赋值法，只要给x，y，z中的一个赋特殊值(常赋值－1,0,1)即可确定一个法向量，赋值不同，所得法向量不同，
第 10 页 但(0,0,0)不能作为法向量．
5．利用直线的方向向量和平面的法向量能够解决哪些位置关系？
[提示] (1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)．
(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．
(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)．
根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系．
(1)平面α，β的法向量分别是u＝(－1,1，－2)，ν＝3，2，－12；
(2)直线l的方向向量a＝(－6,8,4)，平面α的法向量u＝()2，2，－1.
【导学号：71392188】
[精彩点拨] 利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系．
[自主解答] (1)∵u＝(－1,1，－2)，ν＝3，2，－12，
∴u·ν＝(－1,1，－2)·3，2，－12＝－3＋2＋1＝0，
∴u⊥ν，故α⊥β.
(2)∵u＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)，
∴u·a＝(2,2，－1)·(－6,8,4)＝－12＋16－4＝0，
∴u⊥a，故l⊂α或l∥α.
[再练一题]
3．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系．
(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)；
(2)平面α，β的法向量分别是u＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9，0)．
[解] (1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)，
