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P 人教A版选修1-1教案
3.2 立体几何中的向量方法
§3.2.1直线的方向向量与平面的法向量
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,所以本节课是通过这些知
识理解空间的几个元素点、直线、平面的位置的向量表示，并且用向量及其运算表示线线、线面、面面间
的平行与垂直的位置关系,可以比较顺利地进行教学.
【教学目标】：
（1）知识与技能：理解直线的方向向量和平面的法向量；会用向量及其运算表示线线、线面、面面
间的位置关系.
（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。
（3）情感态度与价值观：开始体会把立方体几何几何转化为向量问题优势.
【教学重点】：
平面的法向量.
【教学难点】：
用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直关系.
【教学过程设计】：
教学环节 教学活动 设计意图
一、复习引
入
1． 两个非零向量共线的充要条件是什么？
2． 什么叫直线的方向向量？
3． 回顾平面向量基本定理。 为探索新知识做准
备.
二、探究新
知
一、点、直线、平面的位置的向量表示
1. 思考：如何确定一个点在空间的位置？
如图，在空间中，我们取一点O作为基点，那么空间中任意一点P
的位置就可以用向量OP
来表示．称向量OP
为点的位置向量。
2. 思考：在空间中给定一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直
线在空间的位置吗？
要求学生自己寻找
空间中的几何元素
点、直线、平面的
位置的向量表示方
法。
基点
)(RaAP=a
l
A
ml//
//如图，点A和a
不仅可以确定直线l
的位置，还可以具体表示出l
上的
任意一点P。
3. 思考：给定一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的
位置吗？
如图，点O和a
、b
不仅可以确定平面
的位置，还可以具体表示出
内的任意一点P.
4.思考：给定一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的
1
平面向量的概念及线性运算
知识点：
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小，又有方向的量统称为向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|
平行向量 如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线 0与任一向量平行
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算
交换律：
a＋b＝b＋a
结合律：
(a＋b)＋c
＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 (1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λaμa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb
2
3.向量共线的判定定理
a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
选择题：
给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等．则所有正确命题的序号是( )
A．① B．③ C．①③ D．①②
解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误．
已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM→；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→－CD→，其中结果为零向量的个数为( )
高二数学B3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程2
编号6 编制：孙国兴 滕雁霏 审核：李春焕 日期：2009-2-17
一．学习目标
掌握空间直线的向量参数方程，理解直线的方向向量，掌握运用向量方法证明线线、线面、面面垂直关系，用向量方法求两直线所成的角。
二．知识梳理
设两条直线所成角为（锐角），则直线方向向量的夹角与 ，设直线l1或l2的方向向量分别为21vv和，则l1⊥l2 ，cos= .
三．典例解析：
例 已知正方体ABCD—A′B′C′D′中，点M、N分别是棱BB′与对角线CA′的中点。
求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C
四．课堂练习：
1、设l1的方向向量为a=（1，2，-2），l2的方向向量为b=（-2，3，m），若l1⊥l2,则m=( )
A.1 B.2 C.21 D.3
2、已知A、B、C三点坐标分别为A（4，1，3）B（2，-5，1）C（3，7，）若AB与AC垂直，则等于（ ）
A、=28 B、=-28 C、=14 D、=-14
二、填空题
3、已知正四面体OABC，M，N分别是棱OA、BC的中点，则MN与OB所成的角为 。
4、长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，DD1=3，则AC与BD1所成角的余弦值为 。
三、解答题
5、在正方体OABC—O1A1B1C1中，P，Q分别是棱AB、B1C1的动点，且AP=B1Q，M，N，R分别是AB1，PQ，BC1的中点。 (1)求证： MR⊥OB1 (2)求证 ：点N恒在线段MR上
（3）当2APPB时，求11cos,PMAC的值
6、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，090,//,,BADADBCABBCa
18-19 第3章 3.2 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
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第 4 页 [解析] 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则 n·AB→＝z＝0，n·AC→＝－x＋y＋z＝0，
令x＝1，则y＝1，z＝0，
即n＝(1,1,0)，
则平面ABC的一个法向量为(1,1,0)．
[答案] (1,1,0)(答案不惟一)
[合 作 探 究·攻 重 难]
直线的方向向量及其应用
(1)已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.
(2)在空间直角坐标系中，已知点A(2,0,1)，B(2,6,3)，P是直线AB上一点，且满足AP∶PB＝3∶2，则直线AB的一个方向向量为________，点P的坐标为________.
【导学号：71392185】
[精彩点拨] (1)利用两直线的方向向量共线求解；
(2)AB→即是直线AB的一个方向向量，利用AP→＝35AB→求点P的坐标．
[解析] (1)由l1∥l2可知，向量(－7,3,4)和(x，y,8)共线，所以x－7＝y3＝84，解得x＝－14，y＝6.
(2)AB→＝(0,6,2)是直线AB的一个方向向量．
由AP∶PB＝3∶2，得AP→＝35AB→.
设P(x，y，z)，则(x－2，y，z－1)＝35(0,6,2)，
第 5 页 即x－2＝0，y＝185，z－1＝2·35，
解得x＝2，y＝185，z＝115，
所以直线AB的一个方向向量是(0,6,2)，点P的坐标为2，185，115.
[答案] (1)－14 6 (2)(0,6,2) 2，185，115
[名师指津]
1．应注意直线AB的方向向量有无数个，哪个易求求哪个．
2．利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置.
