课件1：3.2.2平面的法向量与平面的向量表示

3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示

峡山中学 高二数学组 2010-12-23

【课标点击】

(一)学习目标：

1、掌握平面的法向量；2、利用平面的法向量判定平面的位置关系；

3、平面的向量表示； 4、线面垂直的判定定理； 5、三垂线定理.

(二)教学重、难点：平面的向量表示、线面垂直的判定，面面垂直的判定

【课前准备】

（一）知识连接：

1、 空间直线的向量参数方程：atOAOP或OBtOAtOP)1(

2、 设P为AB之中点则)(21OBOAOP

3、 直线1l与2l的方向向量为1v和2v，则2121////vvll，212121vvvvll=0

4、 两直线成的角，与两直线的方向向量成角的关系

5、 p与a，b共面（a，b不共线）Ryx,使byaxp

6、 点A、B、C不共线，则点A、B、C、P共面x、yR使ACyABxAP

（二）问题导引：

如何证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直？

【学习探究】

（一）自学引导：

自主学习课本102页至103页部分．

1、平面的法向量

2、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面（用向量方法证明）

3、平面的向量表示：

4、设1n、2n分别是平面、的法向量，那么：

//或与重合 21//nn 21nn

5、三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直

已知：,POPA分别是平面的垂线和斜线，OA是PA在平面内的射影，a，且aOA 求证：aPA；

证明：∵PO ∴POa，又∵,aOAPOOAO

∴a平面POA，∴aPA．

3.2.2平面的法向量与平面的向量表示

班级___姓名：__________时间2012.2.10

一、【教材知识梳理】

1.已知平面，如果向量n的基线与平面垂直，则向量n叫做____________________。

2.平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量，同时，一个平面的所有法向量____________。

3.如果一条直线和平面内的两条___________直线垂直，那么这条直线_______于这个平面。

4.设12nn、分别是平面、的法向量，则容易得到：∥或（、重合）_________，12nn_______________。

5.已知平面和一点A，过点A作的垂线l与相交于点'A，则'A就是点A在平面内的________，简称_________________。

6.如果一条直线AB和平面相交于点B，但不和垂直，那么直线AB叫做这个平面的____________，

斜线和平面的交点B叫做____________，斜线上一点A与斜足B之间的线段叫做_____________。

7.如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面的____________重直，则它也和这条_________垂直。

8.如果________________的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的______垂直。

二、【课前检测】

1.若平面、的法向量分别为1n（1，2，-2），2n（-3，-6，6），则（ ）

A.∥ B. C.，相交但不垂直 D.以上说法都不对

2.已知==ABAC（2，2，1），（4，5，3），则平面ABC的一个单位法向量为（ ）

A.122333（-，-，-） B.122333（-，，-） C.122333（-，，） D. 122333（，，）

高一数学备课组 新人教A必修4第2章《平面向量》导学案 2012年上学期

第 1 页 共 2 页 §2.3.1平面向量基本定理

§2.3.2平面向量正交分解及坐标表示

【学习目标】1. 掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理的意义；

2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

【学习过程】

一、自主学习

（一）知识链接：

复习1：向量b、0aa是共线的两个向量，则a、b之间的关系可以表示为 .

复习2：给定平面内任意两个向量1e、2e，请同学们作出向量1232ee、122ee.

（二）自主探究：（预习教材P93—P96）

探究：平面向量基本定理

问题1：复习2中，平面内的任一向量是否都可以用形如1122ee的向量表示呢？

1.平面向量的基本定理:如果1e,2e是同一平面内两个 的向量，a是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数,21,使 。其中，不共线的这两个向量,1e2e叫做表示这一平面内所有向量的基底。

问题2：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？

2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量,ab，作OA,aOBb，则

叫做向量a与b的夹角。如果,AOB则的取值范围是 。当

时，表示a与b同向；当 时，表示a与b反向；当 时，表示a与b垂直。记作：ab.在不共线的两个向量中，90，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为_____________，叫做把向量正交分解。

问题3：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示. 对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？

1 / 9

张喜林制

2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件

考点知识清单

1．设),,(),,(2121bbbaaa其中.0b那么当且仅当 时，向量)0(,bba共线．由于规定零向量与任何向量平行，则上述0b的条件可去掉，当021bb时，向量a，b共线的条件也可以写

作

2．设),,(),,(),,(332211yxCyxByxA只要证明____，便可证A、B、C三点共线．

3．P是直线21pp上的点，且P点不与21PP、重合，则PP1,2pp设1p坐标为211),,(Pyx坐标为Pyx),,(22

点的坐标为（x，y），则根据向量共线条件有

要点核心解读

1．两向量平行的条件

(1)设),,(),,(2121bbbaaa则.0//1221bababa

(2)设bbbbaaa),,(),,(2121不平行于坐标轴，即1b,0,02b则2211//bababa

用语言可以表述为：

两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．

2．两个向量平行的条件的推导

我们知道，如果),0(//bba则存在唯一实数A使;ba

反之，如果存在一个实数A，使),0(bba则.//ba

选择基底},,{21ee如果),,(),,(2121bbbaaa则条件ba可化为

),,(),(),(212121bbbbaa

2 / 9

即 ,11ba ①

22ba ②

①②两式的两边分别乘以,12bb、得

,2121bbba ③

,1212bbba ④

:④③得

.01221baba ⑤

⑤式就是两个向量平行的条件：

⑤式成立，可判断两个向量平行；反之两个向量平行，它们的坐标满足⑤式．⑤式表示的条件，是在假设0b的条件下推出的．事实上，如果在讨论平行问题时，规定零向量可以与任一向量平行，在⑤式中可以去掉0b的假设。