直线的方向向量与平面的法向量

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【问题导思】

图3－2－1

1．如图3－2－1，直线l∥m，在直线l上取两点A、B，在直线m上取两点C、D，向量AB→与CD→有怎样的关系？

【提示】 AB→∥CD→.

2．如图直线l⊥平面α，直线l∥m，在直线m上取向量n，则向量n与平面α有怎样的关系？

【提示】 n⊥α.

直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．

直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.

空间中平行关系的向量表示

线线平行 设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇒a∥b⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)

线面平行 设l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0

面面平行 设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)

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精选资料，欢迎下载 求平面的法向量

图3－2－2

已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，试建立适当的坐标系．

(1)求平面ABCD与平面SAB的一个法向量．

(2)求平面SCD的一个法向量．

【自主解答】 以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(12，0,0)，S(0,0,1)．

(1)∵SA⊥平面ABCD，∴AS→＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量．

∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，

∴AD→＝(12，0,0)是平面SAB的一个法向量．

(2)在平面SCD中，DC→＝(12，1,0)，SC→＝(1,1，－1)．

设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，则n⊥DC→，n⊥SC→.

所以 n·DC→＝0n·SC→＝0，得方程组 12x＋y＝0x＋y－z＝0.∴ x＝－2yz＝－y，

令y＝－1得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．

1．若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量．

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精选资料，欢迎下载 2．一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：

(1)设出平面的法向量为n＝(x，y，z)．

(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量

a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．

(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组

 n·a＝0，n·b＝0.

(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量．

3．在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组 n·a＝0，n·b＝0有无数多个解，只需给x，y，z中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量．

正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图3－2－3所示的空间直角坐标系中，求：

图3－2－3

(1)平面BDD1B1的一个法向量．

(2)平面BDEF的一个法向量．

【解】 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)

(1)连AC，因为AC⊥平面BDD1B1，所以AC→＝(－2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量．

(2)DB→＝(2,2,0)，DE→＝(1,0,2)．

设平面BDEF的一个法向量为n＝(x，y，z)．

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精选资料，欢迎下载 ∴ n·DB→＝0n·DE→＝0， ∴ 2x＋2y＝0x＋2z＝0， ∴ y＝－xz＝－12x.

令x＝2得y＝－2，z＝－1.

∴n＝(2，－2,1)即为平面BDEF的一个法向量.

长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1.

【自主解答】 如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则得下列各点的坐标：A(a,0,0)，C1(0，b，c)，E(23a，23b，c)，F(a，b3，23c)．

∴FE→＝(－a3，b3，c3)，AC1→＝(－a，b，c)，

∴FE→＝13AC1→.

又FE与AC1不共线，

∴直线EF∥AC1.

利用向量法证明线线平行的方法与步骤：

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图3－2－4

如图3－2－4所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．

【证明】 以点D为坐标原点，分别以DA→，DC→，DD1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E(0,0，12)，C1(0,1,1)，F(1,1，12)，

∴AE→＝(－1,0，12)，FC1→＝(－1，0，12)，EC1→＝(0,1，12)，AF→＝(0,1，12)，∴AE→＝FC1→，EC1→＝AF→，

∴AE→∥FC1→，EC1→∥AF→，

又∵F∉AE，F∉EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，

∴四边形AEC1F是平行四边形.

利用空间向量证明线面平行

图3－2－5

如图3－2－5，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1.

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【自主解答】 以A为坐标原点建立空间直角坐标系．

设正三棱柱的底面边长为a(a>0)，侧棱长为b(b>0)，

则A(0,0,0)，B(32a，a2，0)，B1(32a，a2，b)，C1(0，a，b)，D(0，a2，0)，

∴AB1→＝(32a，a2，b)，BD→＝(－32a,0,0)，

DC1→＝(0，a2，b)．

设平面DBC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则 n·BD→＝－32ax＝0，n·DC1→＝a2y＋＝0，∴ x＝0，z＝－a2by.

不妨令y＝2b，则n＝(0,2b，－a)．

由于AB1→·n＝ab－ab＝0，因此AB1→⊥n.

又AB1⊄平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1.

利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：

方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．

方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．

方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直．

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．

求证：CE∥平面C1E1F.

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精选资料，欢迎下载 【证明】 以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图．

设BC＝1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1(1，12，2)．

设平面C1E1F的法向量为n＝(x，y，z)，

∵C1E1→＝(1，－12，0)，FC1→＝(－1,0,1)，

∴ n·C1E1→＝0，n·FC1→＝0，

即 x＝12y，x＝z，取n＝(1,2,1)．

∵CE→＝(1，－1,1)，n·CE→＝1－2＋1＝0，

∴CE→⊥n，且CE→⊄平面C1E1F.

∴CE∥平面C1E1F.

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向量法证明空间平行关系

图3－2－6

(12分)如图3－2－6，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．

求证：FH∥平面EDB.

【思路点拨】 先通过推理证明FH⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，再设证明HF→、BE→、BD→共面．

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【规范解答】 ∵四边形ABCD是正方形，

∴AB⊥BC，又EF∥AB，

∴EF⊥BC.

又EF⊥FB，

∴EF⊥平面BFC.

∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.2分

又BF＝FC，H为BC的中点，

∴FH⊥BC.

∴FH⊥平面ABC.4分

以H为坐标原点，HB→为x轴正方向，HF→为z轴正方向．

建立如图所示的空间直角坐标系．

设BH＝1，

则B(1,0,0)，D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(0,0,1).6分

∴HF→＝(0,0,1)，BE→＝(－1，－1,1)，BD→＝(－2，－2，0)，

设HF→＝λ·BE→＋μ·BD→＝λ·(－1，－1,1)＋μ(－2，－2,0)＝(－λ－2μ，－λ－2μ，λ)8分

∴(0,0,1)＝(－λ－2μ，－λ－2μ，λ)，

∴ －λ－2μ＝0λ＝1，解得 λ＝1μ＝－12，

∴HF→＝BE→－12BD→10分

∴向量HF→，BE→，BD→共面．

又HF不在平面EDB内，

∴HF∥平面EDB.12分