第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算
题组一 向量的基本概念
1.给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同．
②若|a|＝|b|，则a＝b.
③若AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形．
④在▱ABCD中，一定有AB＝DC.
⑤若m＝n，n＝p，则m＝p.
⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中不．正确的个数是 ( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②不正确．零向量与任一向量平行，故a∥b，b∥c时，若b＝0，则a与c不一定平行，故⑥不正确．正确的是③④⑤.
答案：B
2．判断下列命题是否正确，不正确的说明理由．
(1)若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意向量|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；
(4)由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行；
(5)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量．
解：(1)不正确．因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故(1)不正确．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能判断方向．
(3)正确．∵|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件可得a＝b.
(4)不正确．由零向量性质可得0与任一向量平行，可知(4)不正确．
(5)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的．
房山高级中学生态循环课堂教学案 高二数学（理科） 第6周02 总编号：7
主备人：沈如文
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
一、教学目标
1．理解直线的方向向量和平面的法向量；2．会用待定系数法求平面的法向量．
二、教学重难点
1.直线的方向向量和平面的法向量． 2.求平面的法向量．
三、教学方法建议
新授课、启发式一一引导发现、合作探究．
四、教学流程与教学设计
（A）类问题（自学通过）
1．直线的方向向量．
我们把直线l上的向量e（0e≠） 以及与e共线的非零向量叫做直线l的 ．
2．平面的法线．
与平面 的直线叫做平面的法线．
3．平面的法向量．
如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量n垂直于平面，记作n⊥．此时，我们把向量n叫做平面的法向量．
一个平面的法向量有 个，过一个定点作平面的法向量有 个．
（B）类问题（讨论探究）
4.在正方体1111ABCDABCD中，求证：1DB是平面1ACD的法向量．
房山高级中学生态循环课堂教学案 高二数学（理科） 第6周02 总编号：7
主备人：沈如文
（C）类问题（教师点拨）
5.在空间直角坐标系内，设平面经过点000()Pxyz，，，平面的法向量为()eabc＝，，，()Mxyz，，为平面内任意一点，求xyz，，满足的关系式．
五、问题解决情况检测
（A）类问题（自学通过）
1.若直线l垂直于平面，且l的方向向量为4,2,t，的法向量为2,1,21，则实数t的值为
.
（B）类问题检测
2.在正方体1111ABCDABCD中，求平面1ACD的一个法向量．
（C）类问题检测
3.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果(214)AB＝，－，，(420)AD＝，，，(121)AP＝－，，－．
高二数学B3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程2
编号6 编制：孙国兴 滕雁霏 审核：李春焕 日期：2009-2-17
一．学习目标
掌握空间直线的向量参数方程，理解直线的方向向量，掌握运用向量方法证明线线、线面、面面垂直关系，用向量方法求两直线所成的角。
二．知识梳理
设两条直线所成角为（锐角），则直线方向向量的夹角与 ，设直线l1或l2的方向向量分别为21vv和，则l1⊥l2 ，cos= .
三．典例解析：
例 已知正方体ABCD—A′B′C′D′中，点M、N分别是棱BB′与对角线CA′的中点。
求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C
四．课堂练习：
1、设l1的方向向量为a=（1，2，-2），l2的方向向量为b=（-2，3，m），若l1⊥l2,则m=( )
A.1 B.2 C.21 D.3
2、已知A、B、C三点坐标分别为A（4，1，3）B（2，-5，1）C（3，7，）若AB与AC垂直，则等于（ ）
A、=28 B、=-28 C、=14 D、=-14
二、填空题
3、已知正四面体OABC，M，N分别是棱OA、BC的中点，则MN与OB所成的角为 。
4、长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，DD1=3，则AC与BD1所成角的余弦值为 。
三、解答题
5、在正方体OABC—O1A1B1C1中，P，Q分别是棱AB、B1C1的动点，且AP=B1Q，M，N，R分别是AB1，PQ，BC1的中点。 (1)求证： MR⊥OB1 (2)求证 ：点N恒在线段MR上
（3）当2APPB时，求11cos,PMAC的值
6、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，090,//,,BADADBCABBCa
18-19 第3章 3.2 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
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第 4 页 [解析] 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则 n·AB→＝z＝0，n·AC→＝－x＋y＋z＝0，
令x＝1，则y＝1，z＝0，
即n＝(1,1,0)，
则平面ABC的一个法向量为(1,1,0)．
[答案] (1,1,0)(答案不惟一)
[合 作 探 究·攻 重 难]
直线的方向向量及其应用
(1)已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.
(2)在空间直角坐标系中，已知点A(2,0,1)，B(2,6,3)，P是直线AB上一点，且满足AP∶PB＝3∶2，则直线AB的一个方向向量为________，点P的坐标为________.
【导学号：71392185】
[精彩点拨] (1)利用两直线的方向向量共线求解；
(2)AB→即是直线AB的一个方向向量，利用AP→＝35AB→求点P的坐标．
[解析] (1)由l1∥l2可知，向量(－7,3,4)和(x，y,8)共线，所以x－7＝y3＝84，解得x＝－14，y＝6.
(2)AB→＝(0,6,2)是直线AB的一个方向向量．
由AP∶PB＝3∶2，得AP→＝35AB→.
设P(x，y，z)，则(x－2，y，z－1)＝35(0,6,2)，
第 5 页 即x－2＝0，y＝185，z－1＝2·35，
解得x＝2，y＝185，z＝115，
所以直线AB的一个方向向量是(0,6,2)，点P的坐标为2，185，115.
[答案] (1)－14 6 (2)(0,6,2) 2，185，115
[名师指津]
1．应注意直线AB的方向向量有无数个，哪个易求求哪个．
2．利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置.
