3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程(1)

- 1 - 《直线的方向向量与点向式方程》教学设计

授课教师 专业、班级

授课类型 新 授 课 时 第1课时

所在册 第二册 所在章节 第九章第1.1节

课题内容 直线的方向向量与点向式方程

一、教材及单元内容分析

1．使用教材 ： 中等职业教育规划教材《数学》第二册。

2．本章内容分析： 本章教材共分4单元：第1单元直线的方程.(第1节:直线的方向向量与点向式方程, 第2节:直线的斜率与点斜式方程,第3节:直线的法向量与点法式方程,第4节:直线的一般式方程.)第2单元两条直线的位置关系.(第1节,两条直线的平行,第2节,两条直线的交点与垂直,)第3单元点到直线距离.第4单元圆的方程.(第1节,圆的标准方程,第2节,圆的一般方程.)

3．地位和作用：直线是最简单的几何图形，是解析几何的入门。而如何运用直线方程研究有关直线在平面内的位置关系的方法，为下面学习曲线与方程的概念以及圆锥曲线打下基础。直线和圆的方程是解析几何的主要部分,直线和圆是基本的几何图形,研究图形的基本性质又是几何学习的主要内容,本章要学会领会数形结合的思想,向量是处理本章问题的重要工具.借助代数方程研究数学图形的几何性质.

二、学情分析

学生进入中职学校后，学生没了目标，也没有动力，既使有些家长希望孩子能学得一技之长，将来好找个合适的工作，但是学生自己可不这么认为，他们不知道为什么要学？学了有什么用？无求知、上进的愿望；缺乏自尊心、自信心，学习不好不觉得丢面子，考试不及格也无所谓，不想上课或上课不专心听讲，课后不肯花时间复习巩固所学的知识，做作业应付了事，一知半解；缺乏吃苦精神和学习毅力，遇到学习困难就放弃，把时间用到玩手机、看小说、打游戏、谈恋爱等上面。

三、教学目标

知识目标：( 1）了解直线的方向向量和点向式方程.

(2)理解直线的点向式方程的推导过程.

§3.2.1直线的方向向量与平面的法向量

【学情分析】：

教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,所以本节课是通过这些知识理解空间的几个元素点、直线、平面的位置的向量表示，并且用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直的位置关系,可以比较顺利地进行教学.

【教学目标】：

知识与技能：理解直线的方向向量和平面的法向量；会用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系.

过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。

情感态度与价值观：开始体会把立方体几何几何转化为向量问题优势.

【教学重点】：

平面的法向量.

【教学难点】：

用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直关系.

【教学过程设计】：

教学环节教学活动设计意图 一、复习引入

．两个非零向量共线的充要条件是什么？

．什么叫直线的方向向量？

．回顾平面向量基本定理。为探索新知识做准备.

二、探究新知

一、点、直线、平面的位置的向量表示

思考：如何确定一个点在空间的位置？

如图，在空间中，我们取一点o作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示．称向量为点的位置向量。

思考：在空间中给定一个定点A和一个定方向，能确定一条直线在空间的位置吗？如图，点A和不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出l上的任意一点P。

思考：给定一个定点和两个定方向，能确定一个平面在空间的位置吗？

如图，点o和、不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出内的任意一点P.

思考：给定一个定点和一个定方向，能确定一个平面在空间的位置吗？

法向量：若，则叫做平面的法向量。

如图，过点A，以为法向量的平面是完全确定的.

二、线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系

设直线l、的方向向量分别为、，平面的法向量分别为.

3.2 空间向量在立体几何中的应用

3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程

自主预习（预习抄写）

1、直线的方向向量与向量参数方程：

空间任一直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个方向确定。

向量a表示l上的方向向量，则对直线l上的任一点P，有______________，这里t是实数。那么该方程通常称作直线l为以t为参数的直线向量参数方程。

2、直线的向量参数方程的其他两种形式：

（1）___________________________. （2）______________________________.

3、直线与直线平行的条件：

设直线12,ll的方向向量分别为12,vv，则由向量的共线条件，可得12//ll或1l与2l重合_______________.

4、直线与平面平行的条件：

（1）已知两个不共线的向量12,vv与平面共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量的定理，可得//l或l在平面内_________________________________.

（2）如果,,ABC三点不共线，则点M在平面ABC内________________________.

5、平面与平面平行的条件：

已知两个不共线的向量12,vv与平面共面，则由两平面平行的判定与性质得，//或与重合_______________.

6、两直线垂直的条件：

设直线12,ll的方向向量分别为12,vv，则有12ll_________________________.

7、两条直线所成的角：

设直线12,ll的方向向量分别为12,vv，则有12coscos,vv______________.

能力拓展题

一、求点的坐标问题（重点）：

已知点(2,4,0),(1,3,3)AB，如图所示，以AB的方向为正方向，在直线AB上建立一条数轴，,PQ为轴上的两点，且满足(1):1:2;(2):2.APPBAQQB求点,PQ的坐标。

3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量

重点难点剖析

1．空间直线的方向向量：

如果一非零向量s平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量． 若),,(pnms，那么s的坐标pnm,,称作这条直线的方向数， 而s的方向余弦叫做该直线的方向余弦．显然一条直线的方向向量有无穷多个，它们互相平行，从方向上可以分成两组，直线上任一向量都平行于该直线的方向向量．

2．利用向量求距离的方法

(1) 利用|AB|=|AB|=ABAB可以求解有关距离问题；

求线段的长度：222ABABxyz222212121xxyyzz

(2) 设e是直线l上的一个单位方向向量，线段AB在l上的投影是A′B′，则有|''AB|=|AB·e|，由此可求点到线，点到面的距离问题。其中以法向量的应用最常用。

求P点到平面的距离：||||PMnPNn，（N为垂足，M为斜足，n为平面的法向量）。

3．平面与方程

平面方程为三元一次方程0AxByCzD；反之，一个这样的三元一方程也一定表示一个平面.这是因为，取方程的一组解000,,xyz，则有0000AxByCzD，从而有000()()()0AxxByyCzz.它表示过点0M000(,,)xyz且以{,,}nABC为法向量的一个平面方程，这个方程与0AxByCzD是同解的，故三元一次方程表示平面。

方程0AxByCzD为平面的一般式方程，其中,,xyz的系数就是平面的法向量的坐标，即平面法向量的法向量{,,}nABC.

平面与三元一次方程之间有一一对应关系.不同的法向量对应三元一次方程表示不同的平面，它们的位置关系由系数,,ABC和常数D来确定。当系数,,ABC或常数D[中某些个]为零时，平面有明显的位特征： 如0AxByCz确定的平面过坐标原点；0ByCzD的法向量为{0,,},nBC