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浅谈泰勒公式及其应用摘要：大学泰勒公式在数学分析中是极其重要的公式，并且在经济领域中也占有一席之地。
泰勒公式是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，在近似计算上有着独特的优势，在微积分的各个方面有着重要的应用。
本文主要对泰勒公式在求极限、估计误差、证明求解积分、经济学计算等几个方面的应用给予举例说明进行研究。
关键词：泰勒公式 求极限 不等式 行列式泰勒公式的应用1、利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具。
利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项。
当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限。
例1 求2240cos limx x x e x -→-分析：此题分母为4x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单。
解： 因为2211()2!x e x x o x =+++ 将x 换成22x -有222222211()()(())22!22x x x x eo -=+-+-+-又244cos 1()2!4!x x x o x =-++所以 24442111cos ()()()2484x x ex o x o x --=-+-441()12x o x =-+ 故2442441()cos 112limlim 12x x x x o x x e x x -→∞→∞-+-==- 例2 求极限2240cos limsin x x x ex-→-解： 因为分母的次数为4，所以只要把cos x ，22x e -展开到x 的4次幂即可。
24411cos 1()2!4!x x x o x =-++ 22224211()()22!2x x x eo x -=-+-+故 2240cos limsin x x x e x-→-444011()()4!8lim x x o x x →-+=112=-带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单。
泰勒公式与函数极值——极值判定的充分条件泰勒公式是利用多项式函数在某一点处的极限，展开它(函数)成无穷多个加和，使得函数值在这一点变得更加精确，或让这一点附近的计算更加容易，从而计算出更接近函数真实值的近似值。
泰勒公式是在多项式函数中提出来的极大极小值判定的一种常用充分条件。
一、泰勒公式泰勒公式通常用来计算多项式函数在某一特定点处的极限值，也可以用来估计函数的值。
它由物理学家、数学家泰勒提出，展开它一般有两种形式，即展开到第n项，前n项和后n项各自构成一种展开形式。
1. 展开到第n项：f(x)=f(a)+[f'(a)](x-a)+[f”(a)]/2!(x-a)2+……+[f(n)(a)]/n!(x-a)n。
2. 前n项展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f"/2!(x-a)2+……+f(n)(a)(x-a)n-o(x-a)n+1。
二、极值判定的充分条件极值判定的充分条件是当函数的一阶导数或二阶导数等于零时，函数就可能有极值。
根据极值的定义，可以得出三类极值判定充要条件:1. 一阶导数判定：f′(x)=0或无限大无限小，则此点可能是极大值点，或者极小值点。
2. 二阶导数判定：当二阶导数f″(x)存在，若此点是极大值点，则f″(x)<0，反之，若此点是极小值点，则f″(x)>0。
3. 三阶导数判定：当函数的三阶导数f‴(x)存在，若此点是极大值点，则f‴(x)>0；反之，若此点是极小值点，则f‴(x)<0。
总结：1. 泰勒公式是一种可以解决多项式函数某一特定点处极限值的计算方法，展开形式有展开到第n项和前n项展开两种形式。
2. 极值判定的充分条件是函数的一阶导数或双阶导数等于零时，函数就可能有极值，根据此定义，可以得出判定极值的一阶，二阶及三阶导数判定条件。
泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及其应用１ 引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()000()()(())!n n n f x x x o x x n +-+-（1）这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ ,（2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(1112n n x o x x x x+++++=- +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m . 定理2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .3 泰勒公式的应用 3.1 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例3.1 求极限2240cos lim x x x e x -→-.分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和22x e -分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解 由244cos 1()2!4!x x x o x =-++,222242()21()22x x x e o x --=-++得 2444422111cos ()()()4!22!12x x ex o x x O x --=-+=-+⋅, 于是244244001()cos 112limlim 12x x x x O x x e x x -→→-+-==-. 例3.2极限1sin 2lim sin cos xx xx x x x xe →0---- .分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sinx,xe分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由1sin 2xx x x e---=233331()())2626x x o o x x x x x ++++-1-x-(x-+=34333()()6126o o x xxx x ++=+,3233sin cos ()(1())62x x x o x o x x x x -x =-+--+33()3o xx =+于是1sin 2lim sin cos x x x x x x x x e →0----3333()162()3o o x x x x +==+例3.3利用泰勒展开式再求极限 。
第三节 泰勒定理，函数极值判定§3.1 泰勒定理当一个函数给出了具体表达式后，有的函数值并不是很容易计算，例如f(x)＝e x，f(0.312)＝e0^312，若用十进制表示，如果不借助计算器或查表是很难计算出来的。
如何解决这一难题，多项式函数是各类函数中最简单的一种，因为它只需用到四则运算，从而使我们想到能否用多项式近似表达一般函数，实际上这是近似计算与理论分析的一个重要内容。
若函数为n 次多项式f(x)＝a ０+a 1（x-x ０）＋a ２（x-x０）２＋……＋a n (x-x ０)n (1) 逐次求它在x=x ０处的各阶导数，有f(x ０)＝a ０，f ′（x ０）＝a １，f ″（x ０）＝2!，a２，……，f(n) (x ０)＝n!a n即 a ０＝f(x ０)，a １＝f ′（x ０），a ２＝!2)x ("f 0……，a n ＝!n )x (f 0)n ( 因而(1)式可写为f(x)=f(x ０)+f ′（x ０）（x －x ０）＋!2)x ("f 0 (x －x ０)２＋……＋!n )x (f 0)n ( (x －x ０)n(2)所以多项式f(x)的各项系数由其各阶导数值唯一确定对一般函数f(x)，若存在直到n 阶导数，则按(2)式右端也可以相应地写出一个多项式，记作P n (x)，则P n (x)＝f(x ０)＋!1)x ('f 0 (x-x ０)＋!2)x ("f 0 (x-x ０)２＋……＋!n )x (f 0)n ( (x-x ０)n那么f(x)与P n (x)之间有什么关系呢， 由拉格朗日定理知，若f(x)在x ０的邻域内存在一阶导数，则f(x)－f(x ０)＝f ′(ζ)(x －x ０) 即 f(x)＝f(x ０)＋f ′（ζ）(x －x ０) 若f(x)在x ０的邻域内存在n+1阶导数，则 f(x)=P n (x)＋Ｋ（x －x ０）n ＋１ k 与f（n+1）（ζ）有关，因此，我们猜想f(x)=P n (x)＋)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x-x ０)n+1因此，有定理(泰勒( Taloyr )定理) 设函数f(x)在区间X 上存在n ＋1阶导数，对每一个x ０∈X ，则任给x ∈X,有f(x)＝P n (x)＋)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x －x ０)n＝f(x ０)＋f ′（x ０）（x －x ０）＋!2)x ("f 0 (x －x０)２＋……＋!n )x (f 0)n ( (x －x ０)n ＋)!1n ()(f )1n (+ξ+ (x-x ０)n (1)ζ介与x ０，x 之间的某一点。
泰勒公式极限泰勒公式极限数学中，泰勒公式是一种重要的公式，在微积分和数学分析中被广泛地应用。
其本质是利用函数在某个点的各阶导数与函数在该点的极限值之间的关系，来近似表示函数在该点附近的值。
而泰勒公式的极限是一个有趣的话题。
泰勒公式的类型泰勒公式分为多项式型和幂级数型两种类型。
多项式型泰勒公式是指用n 阶多项式近似表示函数的值，具体表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n!。
当 n 取值较大时，该近似表示的精度越高。
而一阶泰勒公式时，相当于是对函数做一次线性近似。
幂级数型泰勒公式是指利用某个点的无限阶导数来表示函数的无限项幂级数。
在数学分析中，幂级数是一种连续的函数。
具体的幂级数公式为：f(x) = Σf⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n!。
泰勒公式的极限极限是微积分的一个关键概念，泰勒公式的极限即为函数在某个点处的极限值。
当在某个点a 处用多项式或幂级数来近似表示函数f(x) 时，通过取极限可以得到函数在该点a 的精确值。
对于多项式型泰勒公式，当 n 取无穷大时，其极限即为 f(a)。
而对于幂级数型泰勒公式，在无限项求和的情况下，如果幂级数在某个范围内收敛，那么极限即为函数在该点的值。
泰勒公式的应用泰勒公式是微积分和数学分析的重要工具，并且在理论和实际应用中都有广泛的用途，如：1. 极值问题：通过泰勒公式，可以求得函数在某个点的各阶导数，进而计算函数在该点处的极值。
2. 近似计算：利用泰勒公式，可以将函数在某个点处的值近似为一阶或多阶导数的线性组合。
3. 系数计算：幂级数型泰勒公式将函数展开成无限项幂级数，提供了一种求函数系数的重要方法。
4. 函数逼近：泰勒公式可以在不需要求解函数在某个点的极限值的情况下，通过对各项导数的计算，逼近函数在该点的值。
总结泰勒公式是微积分和数学分析的重要工具，其极限是近似表示函数在某个点的精确值。
§ 4泰勒公式与极值问题教学计划：6课时.教学目的：让学生掌握多元函数高阶偏导数的求法；二元函数的中值定理和泰勒公式；二 元函数取极值的必要和充分条件.教学重点：高阶偏导数、泰勒公式和极值的判定条件.教学难点：复合函数高阶偏导数的求法；二元函数的泰勒公式. 教学方法：讲授法. 教学步骤： 一 高阶偏导数由于z = f(x, y)的偏导函数f x (x, y), f y (x, y)仍然是自变量x 与y 的函数，如果它们 关于x 与y 的偏导数也存在，则说函数f 具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下四种情形：.:x : yfy ；：x但这个结论并不对任何函数都成立，例如函数22 x - y22xy 飞 2，x y - 0, x y0,x 2 +y 2 =0.它的一阶偏导数为y(x 4 +4x 2y 2 _y 4 )2 + 2」o (x 2+ y 2 2,x y ,. 0,x 2+y 2=0,,仪4 _4x 2y 2 _ y 4 ) 2 + 2* (x 2 + y 22 ,x 『2 2L 0,x +y =0, 进而求f 在(0, 0)处关于x 和y 的两个不同顺序的混合偏导数，得f x 0, y - f x 0,0y 4f xy O,o =啊— 厂 啊可=7以0,0)=慎 ------------ Zx ------------ 瓦"由此看到，这里的f x, y 在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么 条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？为此， 我们按定义先把f xy x 0, y 0与f yx x 0, y 0表成极限形式•由于；2Z.\jy ?z -：y ；：x -y 2 2创 l x +yx * +这些函数关于一 x 2 y 2 2,2 2x - y =~ (2 . 22 ,x y -2xy.:y : y注意 从上面两个例子看到， 种既有关于x 又有关于y 的高阶偏导数称为 已2z 2_ro 2 x 和y 的不同顺序的两个二阶偏导数都相等(这 混合偏导数),即-2 :zf x x, y =f y x, y =f x X o ,y ° L y - f x x o , y o也yf X o ：x, y ° ：y _ f （x o ,y o ：y ）△xf x o xy 。
一 f （x °,y °）Z一f （x 。
+A x, y 。
+ 也y ）— f （X 。
，y 。
+A y ） — f （x 。
+A x,y °）+ f （x 。
, y 。
）=lim lim - .y 。
.x -p类似地有f yx X o , y 。
一 lim lim 心。
+&，y 。
+ 也y ）— f （x 。
+A x,y 。
）- f （x 。
，y 。
+3 ）+ f （x 。
, y 。
）.x _。
. y —o为使f xy X o , y o = f y X x °,y 。
成立，必须使（1）,（2）这两个累次极限相等，即以交换累次极 限的极限次序.下述定理给出了使极限（1）, （2）相等的一个充分条件. 定理17.7 若f xy . x, y 和f yx . x, y 都在点连续，则f xyX 。
，y 。
= f yx X 。
，y 。
3证令F （ ：x, ：y ） = f （x 。
x y 。
y ） - f （x 。
：x,y 。
）-f （X o ,y 。
y ） f （x o ’y 。
）,：x i ；= f （x, y 。
：y ） - f （x, y 。
）于是有F 3x, A y ） =®（x 。
+ A x ） — ®（x 。
）.（4）由于函数f 存在关于x 的偏导数，所以函数「可导。
应用一元函数的中值定理，有（X 。
L X ）_ （X 。
）= ' X t = X X二 f x X 。
十 x,y 。
y 一 f x x 。
齐：x, y 。
1x （0 ：耳::1）又由f x 存在关于y 的偏导数，故对以 y 为自变量的函数 f x （x 。
•二「x,y ）应用一元函数中值定理，又使上式化为®（x 。
+A x ） -®（x 。
）= f xy （x 。
+TQ x, y 。
+ 日23 紅X 心y.（。
艸2 "）•由4则有f （A x Q y ） = 口仪。
十日1也x, y 。
中日2也y 徑xAy.（。
£日1,日2＜：1）.（5）如果令 （y ） = f （x 。
： -X, y ） - f （x 。
，y ）,则有因此有f x. ：x, y - f x, y A xf xy X o ,y °lim 丄 lim .y 】0Ay Q lim.x _o• x ：yF（A x Q y）M（yo+A y）N（y。
）.用前面相同的方法，又可得到F（Ax, A y） = f yx（X。
十日3也x, y。
+W y）A x A y(0：：：屯门4 ::: 1)( 6)当Ax, Ay 不为零时，由(5)，(6)两式得到f xy (x oy..：x,y 。
r ：y) x ：y = f yx (x ° x y ° t y) x ：y(0 ：：：宀户2宀3宀4 ::: 1)( 7)由定理假设f xy x, y 与f yx x, y 在点(x o , y o )连续，故当 x > 0Jy 、0时，⑺式两边极限都存在而且相等，这就得到所要证明的 (3)式.这个定理的结论对 n 元函数的混合偏导数也成立。
如三元函数u = f (x, y, z)，若下述六个三阶混合偏导数f xyz(x,y,z),fyzx (x, y, z) ,fzxy (x,y,z),f xzy(x,y,z) ,fyxz (x, y,z) ,fzyx (x,y,z)在某一点都连续，则在这一点六个混合偏导数都相等；同样，若二元函数f (x,y)在点(x, y)存在直到n 阶的连续混合偏导数，则在这一点m (乞n)阶混合偏导数都与顺序无关.今后除特别指出外，都假设相应阶数的混合偏导数连续，从而混合偏导数与求导顺序无关.下面讨论复合函数的高阶偏导数•设z 是通过中间变量x, y 而成为s,t 的函数，即Z= f (x, y)其中X =「(s,t), y L ・(s,t)，若函数f, 都具有连续的二阶偏导数，则作为复合函数的 z 对s,t 同样存在二阶连续偏导数。
具体计算如下：同理可得:z：s：显然三与三仍是s,t 的复合函数，其中cs的函数。
继续求 ■tz 关于s,t 的二阶偏导数-2 -:z.-2.s:z ； x ；z jy= -------- + ------- LJ.x .s .y .s :z ； x ；z : y= --------+ ------- . :x ft ；:y ft.r,L 、.L, .r, .r, .r,:z :z x ：y ：y □丄l 、 \ f r-\ f r-\ \ :z :x :z x —— I ——4-—— I ——I+L 、 | .I -■, IL'\.1—■,L'\ IL 、\OS le x 丿 QS e x c s \c s J £z 怪+竺上（殳i .s :y :s .:s 5 '02c z e x c z cy ----- ---- 〒 -------------- r 2 d^c x cs -2 -:-z : xa q 2 e x c z c x ------- r -------------- ----------------- 十 o x o y cs 丿 c s e x c s一、+ o z ® c y +c z c y.^2jQ y Q X cs Qy cs 丿 c s c y cs;：2- 2''z : x :y2 一e x e y c s cs2 .2:. : .2；z ； x : z ；一 y-2a 2ex <cs z cy : cy “s 丿.：2z ¥：2z ■y2 ;：2z .: s.:t -2 ;：2z-;:x2 皿丿.2 > x.2 2) c z ex cy ——I + 2 ---------- +丿£x£y ct ct2 2jz :: x :z y, i-.jnt〜r-. ji-.t Jx ；t -y .t厂z ；:x jx ：：2z 〔空型+空空］+；:x2 :s ；:t jx：y ； s ：：t ；:t . s2 2 z ；:y ；:y ；z :: x；:y2；:s ；:t；2z.:t .:s例3设z=f X,—［，求< y丿-2:z-2x;:X；：2z,r~-,r~-:xy解这里z是以x和y为自变量的复合函数,=f (u,v), U = X, v =—y :y；:s.: t它也可以改写成如下形式: 由复合函数求导公式有:z .:x f .：U jf jv f------- ~1~----- = ----- L、.L\.L\ L'、.u .x :v :x .u注意，这里■，一仍是以u,v为中间变量x, y为自变量的复合函数.所以.U : Vj2z… 2 L、L、&x£x 凹2 2E f £U +& f £v * 1 —- 2 .^■i L\ L\ L'、.u :x ：uv：xa2f :f 1汗-------- r- ------------ ---------:v-2 c f ；:uy l^v f u ex2::f : v -2 —.v : x1 ;:2f；：2z：x：y -2 2 - 2 u y uv y : v d (c f 1cf£y 逹u y 5v ；2 2 、 c f cu= ------------ ------ r2.u : y；：2f :y love cy2：：f r v 1u:v :y y2:v-2—；:vf ;:v2 -：yX ；：2f1 cfy ：u；v y : v y : v二中值定理和泰勒公式二元函数的中值公式和泰勒公式，与一元函数的拉格朗日公式和泰勒公式相仿，对于n 元函数（n • 2）也有同样的公式，只是形式上更复杂一些.在叙述有关定理之前，先介绍凸区域的概念.若区域D上任意两点的连线都含于D，则称D为凸区域（图17-6）.这就是说，若DS 17 - 6设二元函数f 在凸开域D - R 2上连续，在D 的所有点内都D 内任意两点 P(a,b),Q(a h,b - k) • int D,,存在某二(0 ， 1),，使得f(a h,b k) - f(a,b)二 f x (a 汕,b 永)h f y (a rh,b ^k)k.定理17.8 (中值定理) 可微，则对(8)录(t) = f (a th,b tk).0,1上的一元函数，由定理中的条件知 g t 在0,11上连续，在0,1内可微•于8(0 €日＜1)使得：.：」(1) _：.：」(0)=心'(旳.它是定义在是根据一元函数中值定理，存在 (9)由复合函数的求导法则：」'(刃二 f x (a rh,b 7k)h f y (a rh,b rk)k.( 10)由于D 为凸区域，所以(a +Th,b +日k) E D ，故由(9), (10)即得所要证明的(8)式.注意 若D 是闭凸域，且对 D 上任意两点R (X 1, yj F 2(X 2, y 2)及任意(0 —：：： 1), 都有■ (x 2 - xj, y 1 ■ (y 2 - y 1)) int D,则对D 上连续，intD 内可微的函数f ，只要P,Q • D ，也存在二(0,1)使(8)式成立. 例如 D 是圆域〈X, y) (x - 二)2 + (y-y)2 乞「2] 则必有(8)式成立，倘若D 是矩形区域a,b 丨C,d 1 都有(8)式成立(为什么？).公式(8)也称为二元函数(在凸区域上)的 中值公式•它与定理17.3中值公式(12)相 比较，差别在于这里的中值点 (a • Th,b • =k)是在P,Q 的连线上，而在定理17.3中二1与2可 以不相等.推论若函数f 在区域D 上存在偏导数，且,,f 在D 上连续，在int D 内可微， ，那就不能保证对D 上任意两点P,Q=0,则f 在区域D 上为常量函数.请同学们作为练习自行证明 (注意本推论与§ 定理17.9 (泰勒定理)若函数f 在点P 0(x 0, y 0)的某邻域U (P 。
