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费马定理极值必要条件1.引言1.1 概述费马定理是数学中的一个重要定理，它关于极值问题给出了一个必要条件。
极值问题是数学中研究函数在一定区间上取得最大值或最小值的问题，它在经济学、物理学、工程学等领域中都有着广泛的应用。
费马定理通过对函数的导数进行分析，给出了一个在极值点附近的特殊性质。
本文将首先介绍费马定理的背景和相关概念，然后从数学推导的角度解释极值必要条件，并最终利用费马定理推导出极值必要条件的表达式。
通过本文的阐述，读者将能够更加深入地理解极值问题以及费马定理的作用。
1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分包括概述、文章结构和目的三个小节。
概述部分将简要介绍费马定理的极值问题及其重要性。
文章结构部分将详细说明本文按照怎样的顺序和方式来讨论费马定理的极值必要条件。
目的部分将阐明本文的写作目的，即通过对费马定理的极值必要条件的推导和讨论，帮助读者更好地理解和运用该定理。
正文部分主要分为费马定理的介绍与极值问题的背景两个小节。
费马定理的介绍将回顾费马定理的基本定义和主要内容，介绍其在求解极值问题中的重要作用。
极值问题的背景将探讨极值问题的起源和应用领域，并举例说明极值问题在实际生活和科学研究中的重要性。
结论部分主要包括极值必要条件的推导和费马定理的极值必要条件两个小节。
极值必要条件的推导将详细推导出费马定理的极值必要条件，通过对导数的分析和运用，解释为什么该定理能够有效地帮助我们找到极值点。
费马定理的极值必要条件将阐述该定理在实际问题中的应用，并列举一些实例进行说明。
综上所述，本文将通过分析费马定理的极值必要条件，帮助读者更好地理解和运用该定理，并展示该定理在求解极值问题中的重要性和应用价值。
1.3 目的本文旨在探讨费马定理在极值问题中的应用，并推导出极值条件的必要性。
通过深入研究费马定理的原理和极值问题的背景，我们将阐述费马定理的极值必要条件，帮助读者更好地理解极值问题的求解过程。
极值问题的极值存在定理及其简要证明数学中的极值问题是研究一个函数在某一区间内的最大值或最小值。
极值问题是数学分析中的一个重要问题，在数学的各个领域都有涉及。
极大值和极小值的存在性是极值问题的一个基本问题，下面简要介绍极值存在定理及其证明。
极值存在定理：设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，那么$f(x)$在区间$[a,b]$上一定有极大值和极小值。
证明：假设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上没有极大值，则$f(x)$在区间$[a,b]$上不断增加，即$f(x_1)<f(x_2)<\cdots<f(x_n)$，其中$x_1<x_2<\cdots<x_n$为区间$[a,b]$上的任意$n$个不同的点。
由于$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，因此根据介值定理，对于任意$k\in\mathbb{N^{+}}$，都存在一个$x_k\in(a,b)$，使得$f(x_k)=k$，所以$f(x)$在区间$[a,b]$上无上界，矛盾。
同理可证$f(x)$在区间$[a,b]$上一定有极小值。
从证明中可以看出，极值存在定理的证明过程依赖于介值定理。
介值定理是数学分析中一个重要的定理，它表明了连续函数在区间中取到介于$f(a)$与$f(b)$之间的任意值。
介值定理的表述：设$f(x)$为区间$[a,b]$上的连续函数，$u$和$v$分别为$f(x)$在区间$[a,b]$上的任意两个值，其中$u<v$。
则对于任意$w\in(u,v)$，总存在一个$x_0\in[a,b]$，使得$f(x_0)=w$。
介值定理的证明：对于任意$\epsilon>0$，由于$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，所以存在$\delta>0$，使得对于任意$x_1,x_2\in[a,b]$，当$|x_1-x_2|<\delta$时，有$|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$。
![§4[1].3.2函数的极值及其求法](https://uimg.taocdn.com/4df853777fd5360cba1adb65.webp)
求极值的方法与技巧极值一般分为无条件极值和条件极值两类。
无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件限制的极值问题。
一、求解无条件极值的常用方法1．利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型定理1(充分条件) 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0, 令f xx (x 0, y 0)=A , f xy (x 0, y 0)=B , f yy (x 0, y 0)=C ,则f (x , y )在(x 0, y 0)处是否取得极值的条件如下：(1) AC -B 2>0时具有极值, 且当A <0时有极大值, 当A >0时有极小值； (2) AC -B 2<0时没有极值；(3) AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值。
极值的求法：第一步 解方程组f x (x , y )=0, f y (x , y )=0, 求得一切实数解, 即可得一切驻点。
第二步 对于每一个驻点(x 0, y 0), 求出二阶偏导数的值A 、B 和C 。
第三步 定出AC -B 2的符号, 按定理1的结论判定f (x 0, y 0)是否是极值、是极大值 还是极小值。
应注意的几个问题：⑴对于二元函数z =f (x , y ),在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法, 但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用；⑵AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值，还需另作讨论；⑶如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点，讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑。
例1求函数2222()()xy z x y e -+=+的极值。
解 令222222()22()2(1)02(1)0x y x y z x x y e xz y x y e y -+-+∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩得驻点(0,0)及22 1.x y +=又由22222222()2[2(13)4(1)]x y zy x x x y e x-+∂=-----∂22222()4(2)x y zxy x y e x y-+∂=---∂∂22222222()2[2(13)4(1)]x y zx y y x y e y-+∂=-----∂22(0,0)2,z A x∂==∂ 2(0,0)0,zB x y∂==∂∂ 22(0,0)2zC y∂==∂240,0B AC A ∆=-=-<> 故(0,0)0f =为极小值。
二元函数极值概述说明以及解释1. 引言1.1 概述二元函数极值是数学中的一个重要概念，它涉及到在二元函数中找到其最大值或最小值的过程。
在实际生活和工作中，我们经常会遇到需要优化某个目标的问题，例如最大利润、最小成本等。
而掌握二元函数极值的寻找方法，可以帮助我们解决这些优化问题。
本文将对二元函数极值的基本概念进行阐述，并介绍常用的寻找二元函数极值的方法。
同时，通过具体的实例分析和解释，展示这些方法在实际问题中的应用情况。
最后，在结论部分对各种方法进行总结，并展望二元函数极值问题在未来的应用前景。
1.2 文章结构本文主要分为五个部分：引言、二元函数极值的基本概念、寻找二元函数极值的方法、实例分析和解释以及结论。
引言部分是文章开篇部分，主要对文章进行整体概述和结构说明。
第二部分将介绍二元函数极值的基本概念，包括函数极值定义、二元函数特点以及存在定理。
第三部分将详细介绍寻找二元函数极值的方法，包括偏导数法、梯度法和拉格朗日乘子法等。
第四部分将通过三个具体实例来分析和解释二元函数极值的应用，分别是最小化路径长度问题、最大化利润问题和最优装箱问题。
最后一部分是结论，对各种方法进行总结，并展望二元函数极值问题在未来的发展前景。
1.3 目的本文旨在介绍二元函数极值的基本概念和常用方法，并通过实例分析说明其在实际问题中的应用。
通过阅读本文，读者将能够了解如何寻找二元函数的极值，并掌握相应的计算技巧。
同时，本文也希望为读者提供一些思路，引发对二元函数极值问题更深层次的思考，并展望其在未来的发展前景。
2. 二元函数极值的基本概念2.1 函数的极值定义:极值是指函数在某个特定区间内, 在该区间两侧都不存在更大或更小的函数值。
在二元函数中，我们考虑的是函数关于两个变量的取值情况。
对于一个二元函数f(x, y)，当存在一对实数(a, b) 属于定义域D(f) 时，使得f(a, b) 大于等于任何(x, y) 属于D(f) 的其他点，那么称(a, b) 是函数f 的极大值点；同样地，如果存在一对实数(c, d) 属于D(f)，使得f(c, d) 小于等于任何(x, y) 属于D(f) 的其他点，则称(c, d) 是函数f 的极小值点。
极大值点的存在性极值是数学中的重要概念，指函数在某一点取得最大或最小值。
其中，极大值是指函数在该点附近的所有取值中最大的那个值，而极小值则是指函数在该点附近的所有取值中最小的那个值。
在数学和物理等许多领域中，研究极值点的性质和存在性非常重要。
本文将探讨极大值点的存在性以及相关的数学与物理理论。
一、对于有限区间内连续函数，必然存在极大值点对于一个有限区间内的连续函数，根据闭区间最值定理（若$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在该区间上必定有极值），该函数必然存在极大值点和极小值点。
换句话说，该函数在该区间内一定能够取到最大值和最小值，而且这些极值点都是在函数定义域内的。
证明：设函数 $f(x)$ 在有限区间 $[a,b]$ 内连续，则 $f(x)$ 在$[a,b]$ 内必定取到一个最大值和一个最小值。
如果最大值和最小值都落在端点处，那么极大值点和极小值点就是函数定义域内的端点。
如果最大值或最小值在区间内部，那么这个值点就是函数的极大值点或极小值点。
二、对于无限区间内的函数，可能不存在极大值点对于一个无限区间的函数，在上述闭区间最值定理无法奏效，因为无限区间是无边界的，即不是闭区间。
因此，在无限区间内探讨极大值点的存在性更加复杂。
针对这个问题，有两个著名的定理提供了解答。
1. 狄利克雷(Dirichlet)定理狄利克雷定理是描述区间 $[a,b]$ 内非周期函数可能存在最大值或最小值的一种方法。
其依据为：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内单调增加（或单调递减），则 $f(x)$在该区间内具有最大值（或最小值）。
换句话说，只要函数在该区间内单调递增或者单调递减，就必然存在函数的极值点。
证明：假设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内单调递增。
从而$f(x)$ 在该区间内递增，因此对于任意$x\in[a,b]$，$f(x)\leq f(b)$。
因此，存在某个点 $x_0$，使得 $f(x_0)=\max_{x \in[a,b]} f(x)$ 即$f(x_0)$ 是该函数的最大值点。
极小点的判定条件（一） 内点为极小值点的判定条件（求)(min x f ，D x ∈）一、一般条件定理1（一阶必要条件）设1R R :→⊆n D f 具有一阶连续偏导数，*x 是D 的内点，若*x 是)(x f 的局部极小点，则0)(*=∇x f定理2（二阶必要条件）设1R R :→⊆n D f 具有二阶连续偏导数，若*x 是D 的内点且为)(x f 的局部极小点，则)(*2x f ∇是半正定的。
定理3（二阶充分条件）设1R R :→⊆n D f 具有二阶连续偏导数，*x 为D 的内点，且0)(*=∇x f ，若)(*2x f ∇正定，则*x 为)(x f 的严格局部极小点。
定理4（二阶充分条件）设1R R :→n f 具有二阶连续偏导数，n x R *∈且0)(*=∇x f ，若存在*x 的δ邻域),(*δx N 使对),(*δx N x ∈∀，都有)(2x f ∇半正定，则*x 为)(x f 的局部极小点。
二、凸规划极值判定条件凸规划问题：非空凸集D 上的凸函数的极小化问题。
定理5 设1R R :→⊆n D f 为凸集D 上的凸函数，则（1）)(x f 的任一局部极小点*x 为全局极小点；（2）若)(x f 可微，且存在D x ∈*，使0)(*=∇x f ，则*x 为)(x f 在D 上的全局极小点；（3）若)(x f 为严格凸函数，且全局极小点存在，则必唯一。
定理6 考虑如下特殊的凸规划问题：正定二次函数C x b Qx x x f ++=T T21)(，n x R ∈则b Q x 1*--=为唯一的全局极小点。
（二） 边界点为极小值点的判定条件考虑一般的非线性规划(NP)：)(min x f:D x ∈ ⎩⎨⎧===≥ ,,1 ,0)(,,1 ,0)(l j x h m i x s ji （1）一、一般条件定理1（K —T 条件）（或一阶必要条件）：设*x 是（NP ）的局部极小点，)(,),(),(,),(),(11x h x h x s x s x f l m 在点*x 处可微，且点*x处的全部起作用约束的梯度线性无关（即*x 是正则点），则存在实数l m λλμμ,,,,,11 ，使下述条件成立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥===∇-∇-∇∑∑==mi mi x s x h x s x f i i i lj j j m i i i ,,2,1 ,0,,2,1 ,0)(0)()()(*1*1** μμλμ （*）二、凸规划极值判定条件考虑凸规划问题：)(min x f. ⎩⎨⎧===≥ ,,1 ,0)(,,1 ,0)(l j x h m i x s ji （2）其中，)(x f 是可微凸函数，m i x s i ,,1 ),( =是可微凹函数，l j x h j ,,1 ),( =是线性函数。
极小点的判定条件
（一） 内点为极小值点的判定条件（求)(min x f ，D x ∈）
一、一般条件
定理1（一阶必要条件）设1
R R :→⊆n D f 具有一阶连续偏导数，*x 是D 的内点，若*x 是)(x f 的局部极小点，则 0)(*=∇x f
定理2（二阶必要条件）设1
R R :→⊆n D f 具有二阶连续偏导
数，若*x 是D 的内点且为)(x f 的局部极小点，则)(*2x f ∇是半正定的。
定理3（二阶充分条件）设1R R :→⊆n D f 具有二阶连续偏导
数，*x 为D 的内点，且0)(*=∇x f ，若)(*2x f ∇正定，则*x 为)
(x f 的严格局部极小点。
定理4（二阶充分条件）设1
R R :→n f 具有二阶连续偏导数，n x R *∈且0)(*=∇x f ，若存在*x 的δ邻域),(*δx N 使对),(*δx N x ∈∀，都有)(2x f ∇半正定，则*x 为)(x f 的局部极小点。
二、凸规划极值判定条件
凸规划问题：非空凸集D 上的凸函数的极小化问题。
定理5 设1
R R :→⊆n D f 为凸集D 上的凸函数，则
（1）)(x f 的任一局部极小点*x 为全局极小点；
（2）若)(x f 可微，且存在D x ∈*，使0)(*=∇x f ，则*x 为)
(x f 在D 上的全局极小点；
（3）若)(x f 为严格凸函数，且全局极小点存在，则必唯一。
定理6 考虑如下特殊的凸规划问题：正定二次函数
C x b Qx x x f ++=T T 2
1)(，n x R ∈ 则b Q x 1
*--=为唯一的全局极小点。
（二） 边界点为极小值点的判定条件
考虑一般的非线性规划(NP)：
)(min x f
:D x ∈ ⎩⎨⎧===≥ ,,1 ,0)(
,,1 ,0)(l j x h m i x s j
i （1） 一、一般条件
定理1（K —T 条件）（或一阶必要条件）：设*x 是（NP ）的局部极小点，)(,),(),(,),(),(11x h x h x s x s x f l m 在点*x 处可微，且点*x
处的全部起作用约束的梯度线性无关（即*x 是正则点），则存在实数
l m λλμμ,,,,,11 ，使下述条件成立
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥===∇-∇-∇∑∑==m
i m i x s x h x s x f i i i l j j j m i i i ,,2,1 ,0,,2,1 ,0)(0)()()(*1*1** μμλμ （*）
二、凸规划极值判定条件
考虑凸规划问题：
)(min x f
s.t. ⎩⎨⎧===≥ ,,1 ,0)(
,,1 ,0)(l j x h m i x s j
i （2） 其中，)(x f 是可微凸函数，m i x s i ,,1 ),( =是可微凹函数，l j x h j ,,1 ),( =是线性函数。
定理2（凸规划的极值）：若*x 是凸规划（2）的K —T 点，则*
x 为全局极小点。
注：线性函数既可视为凸函数，又可视为凹函数。
三、等式约束极值判定条件
⎩
⎨⎧== ,,1 ,0)( ..)(min l j x h t s x f j （3） 定理3：（一阶必要条件）假设
（1）*
x 为等式约束(3)的局部极小点；
（2）1n :),,1(,R R l j h f j →= 在*x 的某邻域内连续可微； （3）)(,),(),(**2*1x h x h x h l
∇∇∇ 线性无关。
则存在R ,,,**2*1∈l λλλ 使得
0)()(*1*
*
=∇-∇∑=x h x f j l
j j λ （**） 定理4（二阶充分条件）假设
（1）1n :),,1(,R R l j h f j
→= 是二阶连续可微函数； （2）存在n x R *∈与l l R ],,,[T **2*1*∈=λλλλ 使得式（**）成立；
（3）关于x 的海色矩阵),(*
*2λx L x ∇在切子空间 },,1 ,0)({T l j v x h v T j ==∇=
上正定。
则点*
x 是问题(3)的严格局部极小点。
四、线性约束的（NP ）问题极值判定条件
考虑如下线性约束的（NP ）问题
⎪⎩⎪⎨⎧=≥
..)(min d Cx b Ax t s x f （4） 定理5：在约束问题（4）中，假设
i ）x 是容许点；
ii ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''=A A A ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡'''=b b b 使得b x A '='，b x A ''>''； iii ）A '和C 的行向量线性无关（即起作用约束的梯度线性无关）；
iv ）*
p 是如下线性规划的最优解： p x f z T )(min ∇=
s.t. ⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤=≥'e p e Cp p A -0 0 （***） 其中，[]1,,1,1 =e 。
则点x 为K —T 点的充要条件是0)(*T =∇p x f 。
五、几何最优性条件
考虑不等式约束问题
⎩
⎨⎧=≥ ,,1 ,0)( ..)
(min m i x s t s x f i （5） 定理6（几何最优性条件）：设*
x 是问题（2）的一个局部极小点，
目标函数)(x f 在*x 处可微，且 1°)(x s i （I i ∈）在*x 处可微；
2°)(x s i （I i ∉）在*
x 处连续。
则在*x 处不存在容许下降方向，即不存在方向p 满足
⎪⎩⎪⎨⎧∈>∇<∇I i p x s p x f i ,0)(0)(T *T * （****）
六、线性规划问题的极值条件
最优性检验
判别数j σ：用非基变量表示的目标函数式中，各非基变量的负系数，即称为各非基变量的判别数。
1º最优解判别定理：若在极小化问题中，对于某个基本容许解， 所有判别数0≤j σ，且人工变量为0，则该基本容许解是最优解。
2º无穷多最优解判别定理：若在极小化问题中，对于某个基本
容许解，所有判别数0≤j σ，又存在某个非基变量的判别数为0，且人工变量为0，则该线性规划问题有无穷多最优解。
3º无容许解判别定理：若在极小化问题中，对于某个基本容许解，所有判别数0≤j σ，但人工变量不为0，则该线性规划问题无容许解。
4º无有限最优解判别定理：若在极小化问题中，对于某个基本容许解，有一个非基变量的判别数0<k σ，但k p 列中没有正元素，且人工变量为0，则该线性规划问题无有限最优解。
