极值存在定理汇总

y
如, y 3 x2 , x 0 是极小值点.
y 3 x2
但 y 3 x2 在x 0不可导.
O•
x
怎样从驻点与导数不存在的点中判断一点
是不是极值点
几何上, 若 x0 是连续函数 f(x) 单增、 单减的分界点, 则 x0必为极值点.
5
函数的极值与最大值最大值
3. 极值的充分条件
极值的一阶充分条件
y
•
y
•
O
x0
x
O
x0
x
6
函数的极值与最大值最大值
y
•
y • 不是极值点
O
x0
xO
x0
x
一般求极值的步骤
(1) 求导数; (2) 求驻点与不可导点; (3) 求相应区间的导数符号,判别增减性; (4) 求极值.
7
函数的极值与最大值最大值
2
例 求 f ( x) ( x 1)3( x 1)3 的极值及单调区间.
定理2(第一充分条件) 设f ( x)在x0点连续,且在 o
x0的某去心邻域U ( x0, )内可导.
(1)若当x ( x0 , x0 )时, f ( x) 0( 0); 当x ( x0 , x0 )时, f ( x) 0 ( 0), 则
f ( x0 )为极大值 (极小值);
(2)若f ( x)在x0附近不变号,则 f ( x0 ) 不是极值.
解
令
y 1 1 0, 2 1 x
得
驻点x1
3 4
又可得点 x2 1 [5,1], 它也是区间的端点 .
由于
f (5) 5 6,fFra bibliotek3 ()
5 ,
f (1) 1,

在 (0,3) 点
AC − B2 = −9 < 0, 无极值;
在 (3,0) 点
AC − B2 = −9 < 0, 无极值;
在 (1,1) 点
AC − B2 = 3 > 0, 有极值.
故应选(D).
【例 2】设函数 f (x) ， g(x) 均有二阶连续导数，满足 f (0) > 0 ， g(0) < 0 ，且 f ′(0)
【解】
⎧ ⎨ ⎩
z z
x y
= =
y(3 x(3
− −
2x 2y
− −
y) x)
= =
0 0
(0,0), (0,3), (3,0), (1,1). 都满足上式.
zxx = −2 y, zyy = −2x, zxy = 3 − 2x − 2 y.
在 (0,0) 点
AC − B2 = −9 < 0, 无极值;
【例 3】 已知函数 z = f (x, y) 的全微分 dz = (ay − x2)dx + (ax − y2)dy, (a > 0) ，则函数
f (x, y)
(A)无极值点；
(B)点 (a, a) 为极小值点；
(C)点 (a, a) 为极大值点；
(D)是否有极值点与 a 的取值有关。
【解】由 dz = (ay − x2)dx + (ax − y2)dy 知， ∂z = ay − x2, ∂z = ax − y2
专题 14：多元函数的极值与最值
（一）无条件极值
定义 设函数 z = f (x, y) 在点 P(x0, y0 ) 的某邻域内有定义，若对该邻域内任 意的点 P(x, y) 均有
f (x, y) ≤ f (x0, y0 ) （或 f (x, y) ≥ f (x0, y0 ) ）， 则称 (x0, y0 ) 为 f (x, y) 的极大值点（或极小值点）；称 f (x0, y0 ) 为 f (x, y) 的极大

极值的概念及运用极值是数学中一个非常基础的概念，它指的是一个函数在给定区间内取得最大值或最小值的点。

这个概念在数学中被广泛运用，尤其是在优化、微积分和概率统计等领域。

下面我们将对极值的概念及运用进行简单介绍。

一、最大值和最小值在数学中，若函数f(x)在区间[a,b]内存在一点x0，且在x0的一个邻域内的任意一点x，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)在x0处取得极大值，称x0为f(x)的极大值点；若在x0的一个邻域内的任意一点x，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)在x0处取得极小值，称x0为f(x)的极小值点。

有些函数在区间[a,b]内并不一定存在最大值或最小值，例如函数f(x)=x^2在实数轴上并不存在最小值，因为x^2>=0，取遍所有实数。

但是，如果只考虑f(x)在[a,b]内的取值，则f(x)的最小值为0，取在x=0处；同时最大值为b^2，取在x=b处。

二、求解极值的方法一般情况下，我们可以通过求函数f(x)在极值点处的导数来判断函数的极值。

求导数的过程如下：1. 首先求出f(x)的导数f’(x)；2. 然后令f’(x)=0，得到方程f’(x)=0；3. 解出方程f’(x)=0的根，为f(x)的极值点。

但是，还有一些特殊情况需要注意：1. 有些函数在极值点处导数不存在，例如函数f(x)=|x|在x=0处不存在导数。

此时需要通过其他方法进行求解。

2. 极值点有可能是非常值点，例如函数f(x)=x^3在x=0处取得极小值，但是f(x)在x=0处不是最小值。

三、极值在实际问题中的应用极值在实际问题中有广泛的应用，尤其是在优化问题中。

例如，在企业的生产中，需要确定最佳的生产方案，即在满足各项限制条件的前提下，最大化或最小化某个目标函数的值。

这个问题可以转化为求函数的极值问题，对应的极值点即为最佳的生产方案。

另外，在经济管理、社会科学等领域中，也有许多问题可以归结为极值问题。

例如，在投资组合中，需要确定最优的资产组合；在市场需求预测中，需要确定最佳的价格策略；在劳动力市场中，需要确定最合适的薪酬政策等。

极值问题的极值存在定理及其简要证明数学中的极值问题是研究一个函数在某一区间内的最大值或最小值。

极值问题是数学分析中的一个重要问题，在数学的各个领域都有涉及。

极大值和极小值的存在性是极值问题的一个基本问题，下面简要介绍极值存在定理及其证明。

极值存在定理：设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，那么$f(x)$在区间$[a,b]$上一定有极大值和极小值。

证明：假设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上没有极大值，则$f(x)$在区间$[a,b]$上不断增加，即$f(x_1)<f(x_2)<\cdots<f(x_n)$，其中$x_1<x_2<\cdots<x_n$为区间$[a,b]$上的任意$n$个不同的点。

由于$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，因此根据介值定理，对于任意$k\in\mathbb{N^{+}}$，都存在一个$x_k\in(a,b)$，使得$f(x_k)=k$，所以$f(x)$在区间$[a,b]$上无上界，矛盾。

同理可证$f(x)$在区间$[a,b]$上一定有极小值。

从证明中可以看出，极值存在定理的证明过程依赖于介值定理。

介值定理是数学分析中一个重要的定理，它表明了连续函数在区间中取到介于$f(a)$与$f(b)$之间的任意值。

介值定理的表述：设$f(x)$为区间$[a,b]$上的连续函数，$u$和$v$分别为$f(x)$在区间$[a,b]$上的任意两个值，其中$u<v$。

则对于任意$w\in(u,v)$，总存在一个$x_0\in[a,b]$，使得$f(x_0)=w$。

介值定理的证明：对于任意$\epsilon>0$，由于$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，所以存在$\delta>0$，使得对于任意$x_1,x_2\in[a,b]$，当$|x_1-x_2|<\delta$时，有$|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$。

极限存在定理
1 极限存在定理
极限存在定理是数学中独特而重要的定理，它可以帮助我们证明某些数学理论。

这一定理由18世纪英国数学家欧文提出，他认为当函数的值在某一范围内逐渐靠近某一值时，它的极限是这个值。

换句话说，当一个函数的值接近一个特定值但又无法达到它时，这个函数的极限就是这个特定值。

这就是极限存在定理，它主要用来证明实数的连续性以及多项式的截断，也常常用来证明某些数学理论的正确性。

2 应用
极限存在定理在数学中有很多应用。

首先，它可以帮助我们证明函数和实数的连续性。

比如对于函数f(x)，在其变量x逐渐变化时，可以由极限存在定理来证明，只要在一定范围内满足一定条件，f(x) 就能够渐近某一数值；从而证明实数的连续性。

其次，极限存在定理也可以应用在解析几何中。

特别的，极限存在定理也可以帮助我们证明多项式的截断。

假设给定多项式
f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+…+a_nx^n，那么极限存在定理说明，当x的值接近某一特定的数值时，多项式的值也将逐渐靠近另外一个特定数值，而这个特定数值就是多项式的极限值。

此外，极限存在定理也可以被用来证明某种数学理论的正确性。

它可以帮助我们证明令人困惑的数学概念，并可以估计函数的值。

3 总结
总的来说，极限存在定理是数学中的重要定理。

它主要用来证明函数的连续性、多项式的截断以及一些数学理论的正确性，它对数学理论的发展具有重要意义。

因此，极限存在定理在数学学习和数学实践中都是至关重要的。

证 由极值的定义和定理的条件即可推得结果.
综上所述, 可将求函数极值的步骤总结如下:
函数极值的求法
证 由极值的定义和定理的条件即可推得结果.
综上所述, 可将求函数极值的步骤总结如下:
函数极值的求法 证 由极值的定义和定理的条件即可推得结果. 综上所述, 可将求函数极值的步骤总结如下: (1) 求导数 f ( x ); (2) 求驻点, 及使 f ( x ) 不存在的 点 x k ; (3) 检查 f ( x ) 在 x k 左右的正负号, 确定极值点; (4) 求出函数极值.
f ( 2) 18 0,
值, 仍用第一充分条件进行判断.
2. 函数的不可导点, 也可能是函数的极值点.
完
例5 解
2 3 f ( x ) ( x 1 ) 1 的极值. 求函数
由 f ( x ) 6 x ( x 2 1) 2 0, 得驻点 x1 1,
x2 0, x3 1. f ( x ) 6( x 2 1)( 5 x 2 1). 因 f ( x ) 6 0, 故 f ( x ) 在 x 0 处取得极小 值, 极小值为 f (0) 0. 因 f ( 1) f (1) 0,
5( x 1) f ( x ) 3 ; 3 x 1
( 2) 令 f ( x ) 0, 得驻点 x 1; x 1 为 f ( x ) 的
不可导点;
( 3) 列表讨论如下:
例 2 求函数 f ( x ) ( x 4) ( x 1) 的极值.
3 2
解
( 3) 列表讨论如下:
f ( x0 x ) f ( x0 ) 证 (1) 因 f ( x0 ) lim 0 , x 0 x 故 f ( x0 x ) f ( x0 ) 与 x 异号, 当x 0 时, 有 f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, 当x 0 时, 有 f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, 所以, 函数 f ( x ) 在 x0 处取得极大值.

函数的极值与最值知识点总结函数的极值和最值是数学中重要的概念，它们对于函数的图像和性质有着重要的影响。

本文将对函数的极值和最值进行详细总结。

1. 函数的极值函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。

在函数图像上就是曲线的顶点或谷底。

1.1 极大值和极小值函数在区间内取得最大值的点称为极大值点，函数在区间内取得最小值的点称为极小值点。

极大值点和极小值点合称为极值点。

1.2 极值的必要条件函数的极值一定是函数的驻点（即函数的导数为0）或者是函数定义域的端点，这是极值的必要条件。

1.3 极值判定的充分条件若函数在某点的导数由正变负，则该点是函数的极大值点；若函数在某点的导数由负变正，则该点是函数的极小值点。

这是极值判定的充分条件。

2. 函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。

2.1 最大值和最小值函数在定义域内取得的最大值称为最大值，函数在定义域内取得的最小值称为最小值。

2.2 最值的存在性当函数在闭区间上连续时，函数一定存在最大值和最小值。

但是当函数在开区间上连续时，函数不一定存在最大值和最小值。

2.3 最值的求解方法求函数的最值主要通过导数的方法进行。

首先求出函数的导数，然后求出导数的零点，即函数的极值点。

从这些极值点中选取函数值最大的点，即为函数的最大值；选取函数值最小的点，即为函数的最小值。

3. 案例分析接下来通过一个具体的案例来说明函数的极值和最值的求解过程。

3.1 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的极值和最值。

首先求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x，令 f'(x) = 0，解得 x = 0 或 x = 2。

当 x = 0 时，f''(0) = 0，无法判断极值情况；当 x = 2 时，f''(2) = 6 > 0，说明 x = 2 是极小值点。

计算 f(2) = 2^3 - 3(2)^2 = -4，可知函数的极小值为 -4。

最优路径规划
在地图导航、物流配送等领域， 需要寻找从起点到终点的最优路 径，这也可以通过求解多元函数 的极值来找到最优解。
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何将资 源合理分配以最大化效益，可以 通过求解多元函数的极值来找到 最优解。
在经济模型中的应用
供需平衡问题
在市场经济中，供需关系影响着商品的价格，如何找到供需平衡点， 可以通过求解多元函数的极值来找到。
03
多元函数极值的存在性定理
极值存在定理
定理描述
如果函数在某区域内的二阶导数存在 且连续，则函数在该区域内必存在极 值点。
证明过程
利用二阶导数的性质，通过构建辅助 函数和运用中值定理，证明极值点的 存在性。
稳定点存在定理
定理描述
如果函数在某区域内的所有偏导数存在 且连续，则函数在该区域内必存在稳定 点。
投资组合优化
投资者需要根据市场情况选择不同的投资组合，以最大化收益或最 小化风险，这可以通过求解多元函数的极值来实现。
劳动力市场分析
在劳动力市场中，如何找到最佳的工资和就业率，可以通过求解多 元函数的极值来找到。
在机器学习中的应用
神经网络训练
在机器学习中，神经网络是一种重要 的模型，其训练过程实际上就是求解 多元函数的极值过程，以找到最佳的 权重和偏置。
多元函数的极值问题在数学建模中具有广泛 的应用，如最优化问题、曲线拟合、插值等 。
实际问题解决
在经济学、物理学、工程学等领域，多元函数的极 值问题常常用于解决实际问题，如成本最小化、效 益最大化等。
算法设计与分析
多元函数的极值问题也是算法设计与分析的 重要基础，如梯度下降法、牛顿法等优化算 法的设计与改进。
多元函数的极值问

高中物理求极值方法与常用结论总结高中物理中，求极值方法和常用结论是常见的问题类型，通过总结这些方法和结论，有助于高中物理学习者更好地理解和应用。

一、求极值方法：1.极值定理：对于一个连续函数f(x)在闭区间[a,b]上，必然存在至少一个极大值和极小值，即f(x)在[a,b]上必然取得极值。

2.导数法则：利用导数的相关概念和性质，可以简化极值的求解过程。

(1)极值的必要条件：函数f(x)在x=c处取得极值，必然满足f'(c)=0。

(2)极值的充分条件：若函数f'(x)在x=c的邻域内存在符号变化，且在c处f''(c)存在，则f(x)在x=c处取得极值。

3.端点法：闭区间[a,b]上的函数f(x)，当x=a或x=b时，可以直接求解f(a)和f(b)，作为极值的候选值。

4.区间内部法：闭区间[a,b]上的函数f(x)，通过求解f'(x)=0，得到f(x)的驻点。

然后比较驻点和两个端点的函数值，选取最大和最小值作为极值。

5.辅助线法：即画出函数的图像，观察图像的整体形状，然后根据函数的性质和题目要求，确定极值所在的位置。

二、常用结论：1.函数的单调性：函数在给定的定义域内是递增的还是递减的。

(1)若f'(x)>0，则f(x)在区间上递增。

(2)若f'(x)<0，则f(x)在区间上递减。

2.极值判定：通过一、二阶导数的符号来判断函数的极值。

(1)若f''(x)>0，则f(x)在x处取得极小值。

(2)若f''(x)<0，则f(x)在x处取得极大值。

3.凹凸性：函数图像在其中一区间上是凹向上还是凹向下。

(1)若f''(x)>0，则f(x)在区间上是凹向上的。

(2)若f''(x)<0，则f(x)在区间上是凹向下的。

4.零点定理：对于一个连续函数f(x)，若f(a)和f(b)异号，则在开区间(a,b)内至少存在一个实根。

求极值的方法与技巧极值一般分为无条件极值和条件极值两类。

无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件限制的极值问题。

一、求解无条件极值的常用方法1．利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型定理1(充分条件) 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0, 令f xx (x 0, y 0)=A , f xy (x 0, y 0)=B , f yy (x 0, y 0)=C ,则f (x , y )在(x 0, y 0)处是否取得极值的条件如下：(1) AC -B 2>0时具有极值, 且当A <0时有极大值, 当A >0时有极小值； (2) AC -B 2<0时没有极值；(3) AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值。

极值的求法：第一步 解方程组f x (x , y )=0, f y (x , y )=0, 求得一切实数解, 即可得一切驻点。

第二步 对于每一个驻点(x 0, y 0), 求出二阶偏导数的值A 、B 和C 。

第三步 定出AC -B 2的符号, 按定理1的结论判定f (x 0, y 0)是否是极值、是极大值 还是极小值。

应注意的几个问题：⑴对于二元函数z =f (x , y ),在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法, 但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用；⑵AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值，还需另作讨论；⑶如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点，讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑。

例1求函数2222()()xy z x y e -+=+的极值。

解 令222222()22()2(1)02(1)0x y x y z x x y e xz y x y e y -+-+∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩得驻点(0,0)及22 1.x y +=又由22222222()2[2(13)4(1)]x y zy x x x y e x-+∂=-----∂22222()4(2)x y zxy x y e x y-+∂=---∂∂22222222()2[2(13)4(1)]x y zx y y x y e y-+∂=-----∂22(0,0)2,z A x∂==∂ 2(0,0)0,zB x y∂==∂∂ 22(0,0)2zC y∂==∂240,0B AC A ∆=-=-<> 故(0,0)0f =为极小值。

极大值极小值知识点-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极值问题是数学分析中的一个重要内容，它在数学、物理、经济等领域都有着广泛的应用。

极大值和极小值是函数在一定区间内取得的最大值和最小值，它们是优化问题中的关键概念。

本文将从极值的基本概念出发，介绍如何求解极值，以及极值在实际问题中的应用。

让我们一起深入了解极值的知识，掌握求解极值的方法，从而更好地应用于实际问题中。

1.2 文章结构文章结构部分是对整篇文章的框架和内容进行概述和介绍。

在这一部分，我们将简要介绍本文的章节安排和各个部分的主要内容。

第一部分是引言部分，包括概述本文要讨论的内容、文章结构和目的。

在引言部分，我们将简要介绍极大值和极小值的概念，以及为什么学习这些知识点是重要的。

第二部分是正文部分，包括极大值的概念、求解极大值的方法和极小值的概念。

在这一部分，我们将详细讨论极大值和极小值的含义，以及如何通过不同的方法来求解极值的问题。

第三部分是结论部分，包括总结极值概念、应用实例和展望。

在结论部分，我们将对本文所讨论的内容进行总结，并展示极大值和极小值在实际问题中的应用和未来的发展方向。

通过这样的文章结构，读者可以清楚地了解到本文的主要内容和各个部分的重点，帮助他们更好地理解极值的知识点。

1.3 目的目的部分的内容:本文旨在系统地介绍极大值和极小值的概念，以及求解极值的方法，从而帮助读者更全面地理解这一数学知识点。

同时，通过应用实例的分析，读者能够更好地理解极值在实际问题中的应用，并对未来在相关领域的研究和实践提供一定的启发和参考。

最终，期望本文能够为读者提供一个清晰的极值概念框架，帮助他们更有效地应用这一知识，解决实际问题。

2.正文2.1 极大值的概念极大值是在函数曲线上某一点附近的最大函数值。

具体来说，对于函数f(x)，如果存在一个区间[a, b]，使得在该区间内，当x不等于a或b时，f(x)小于等于f(a)或f(b)，那么f(x)在该区间内的最大值就是极大值。

极大值点的存在性极值是数学中的重要概念，指函数在某一点取得最大或最小值。

其中，极大值是指函数在该点附近的所有取值中最大的那个值，而极小值则是指函数在该点附近的所有取值中最小的那个值。

在数学和物理等许多领域中，研究极值点的性质和存在性非常重要。

本文将探讨极大值点的存在性以及相关的数学与物理理论。

一、对于有限区间内连续函数，必然存在极大值点对于一个有限区间内的连续函数，根据闭区间最值定理（若$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在该区间上必定有极值），该函数必然存在极大值点和极小值点。

换句话说，该函数在该区间内一定能够取到最大值和最小值，而且这些极值点都是在函数定义域内的。

证明：设函数 $f(x)$ 在有限区间 $[a,b]$ 内连续，则 $f(x)$ 在$[a,b]$ 内必定取到一个最大值和一个最小值。

如果最大值和最小值都落在端点处，那么极大值点和极小值点就是函数定义域内的端点。

如果最大值或最小值在区间内部，那么这个值点就是函数的极大值点或极小值点。

二、对于无限区间内的函数，可能不存在极大值点对于一个无限区间的函数，在上述闭区间最值定理无法奏效，因为无限区间是无边界的，即不是闭区间。

因此，在无限区间内探讨极大值点的存在性更加复杂。

针对这个问题，有两个著名的定理提供了解答。

1. 狄利克雷(Dirichlet)定理狄利克雷定理是描述区间 $[a,b]$ 内非周期函数可能存在最大值或最小值的一种方法。

其依据为：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内单调增加（或单调递减），则 $f(x)$在该区间内具有最大值（或最小值）。

换句话说，只要函数在该区间内单调递增或者单调递减，就必然存在函数的极值点。

证明：假设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内单调递增。

从而$f(x)$ 在该区间内递增，因此对于任意$x\in[a,b]$，$f(x)\leq f(b)$。

因此，存在某个点 $x_0$，使得 $f(x_0)=\max_{x \in[a,b]} f(x)$ 即$f(x_0)$ 是该函数的最大值点。

极小点的判定条件（一） 内点为极小值点的判定条件（求)(min x f ，D x ∈）一、一般条件定理1（一阶必要条件）设1R R :→⊆n D f 具有一阶连续偏导数，*x 是D 的内点，若*x 是)(x f 的局部极小点，则0)(*=∇x f定理2（二阶必要条件）设1R R :→⊆n D f 具有二阶连续偏导数，若*x 是D 的内点且为)(x f 的局部极小点，则)(*2x f ∇是半正定的。

定理3（二阶充分条件）设1R R :→⊆n D f 具有二阶连续偏导数，*x 为D 的内点，且0)(*=∇x f ，若)(*2x f ∇正定，则*x 为)(x f 的严格局部极小点。

定理4（二阶充分条件）设1R R :→n f 具有二阶连续偏导数，n x R *∈且0)(*=∇x f ，若存在*x 的δ邻域),(*δx N 使对),(*δx N x ∈∀，都有)(2x f ∇半正定，则*x 为)(x f 的局部极小点。

二、凸规划极值判定条件凸规划问题：非空凸集D 上的凸函数的极小化问题。

定理5 设1R R :→⊆n D f 为凸集D 上的凸函数，则（1）)(x f 的任一局部极小点*x 为全局极小点；（2）若)(x f 可微，且存在D x ∈*，使0)(*=∇x f ，则*x 为)(x f 在D 上的全局极小点；（3）若)(x f 为严格凸函数，且全局极小点存在，则必唯一。

定理6 考虑如下特殊的凸规划问题：正定二次函数C x b Qx x x f ++=T T21)(，n x R ∈则b Q x 1*--=为唯一的全局极小点。

（二） 边界点为极小值点的判定条件考虑一般的非线性规划(NP)：)(min x f:D x ∈ ⎩⎨⎧===≥ ,,1 ,0)(,,1 ,0)(l j x h m i x s ji （1）一、一般条件定理1（K —T 条件）（或一阶必要条件）：设*x 是（NP ）的局部极小点，)(,),(),(,),(),(11x h x h x s x s x f l m 在点*x 处可微，且点*x处的全部起作用约束的梯度线性无关（即*x 是正则点），则存在实数l m λλμμ,,,,,11 ，使下述条件成立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥===∇-∇-∇∑∑==mi mi x s x h x s x f i i i lj j j m i i i ,,2,1 ,0,,2,1 ,0)(0)()()(*1*1** μμλμ （*）二、凸规划极值判定条件考虑凸规划问题：)(min x f. ⎩⎨⎧===≥ ,,1 ,0)(,,1 ,0)(l j x h m i x s ji （2）其中，)(x f 是可微凸函数，m i x s i ,,1 ),( =是可微凹函数，l j x h j ,,1 ),( =是线性函数。

又g(0) 48, g(4) 48 43 16 故f (x, y)限制在圆周边界上的最小值为 16. b、再考虑D在y轴边界的最小值 限制在其边界上函数为f (x, y) 3y 2 , 其中 4 y 4 易见3y 2在 4 y 4的最小值为0
结合(1),(2)的 讨论可知，
f ( x, y)在x 4, y 0处取得最小值，且最小值为 16。
有唯一驻点(1,0)
yLeabharlann 2.A 2 0 B 1 C 2 0 B2 AC 1 4 3 0
3. B2 AC 0, A 0 (1,0)为极小值点。 且z极小值 1 2 1
例2. 求函数 解: 1.解
的极值.
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
函数 f 在有界闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点及偏导数不存在的点 边界上的最值点
例3 求 f (x, y) 3x2 3y 2 x3 在 D {(x, y) | x2 y 2 16, x 0} 上的最小值.
解: (1)求出f (x, y)在D内的极小值可能点。
得驻点: (2, 0) , (0, 0)(舍去） 在点(2,0) 处f(2,0)=4
证明见 (P229) .
二元函数求极值的步骤:
1.解：zzxy
0 0
得驻点p1、p2、p3 pk。
2.求A, B,C 在pi处验证Di B2 AC的符号。
3.若Di 0,由A(C )的正负号判定pi为极大极小值点。
例1. 求函数
的极值.
解:
1.
z 2x y 2 0 x z x 2 y 1 0
(2)求出f (x, y)在D的边界{(x, y) x2 y 2 16, x 0}上的最小值 可能点

(2) 最大值
M m f(x1),a f(x2), x ,f(xm), f (a), f (b)
最小值
m m f (x1), fi (x2n ),,f(xm), f (a), f (b)
特别:
• 当 f (x) 在 [a,b]内只有一个极值可疑点时,
若在此点取极大 (小)值 , 则也是最大 (小)值 .
得
x0

ma mn
是区间唯一的驻点，
故 f ( x0 ) 为区间(0, a)之间的最大值
fma x f(m m n)a m m nn(m a n)m n
例7. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20
Km , AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数; (2)求最值;
若 目 标 函 数 只 有 点,则 唯该 一点 驻的 函 数 值 即 为 所 求 的 最 小（ ）或 值最 ．
例8. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于
观察者的眼睛1.8 m , 问观察者在距墙多远处看图才最
清楚(视角 最大) ?
例6. 设 x1是, x任2 意两正数，满足： x 1 x 2 a (a 0 )
求 x1m x2n 最大值。
解: 设 f (x) xm(ax)n
0xa
即求 f (x) 在 ( 0, a ) 内的最大值
f'(x ) x m 1 ( a x )n 1 [ m ( m a n )x ]令 f'(x)0

o
x0
x
求极值的步骤:
(1)给出定义域,并找出定义域内所给函数的驻点及连续不可导点; (2)考察这些点两侧导函数的符号,从而确定极值点; (3)求出极值点的函数值,即为极值.

极大值定理考研
函数在其定义域的某些局部区域所达到的相对最大值或相对最小值。

当函数在其定义域的某一点的值大于该点周围任何点的值时，称函数在该点有极大值；当函数在其定义域的某一点的值小于该点周围任何点的值时，称函数在该点有极小值。

这里的极大和极小只具有局部意义。

因为函数的一个极值只是它在某一点附近的小范围内的极大值或极小值。

函数在其整个定义域内可能有许多极大值或极小值，而且某个极大值不一定大于某个极小值。

函数的极值通过其一阶和二阶导数来确定。

对于一元可微函数f(x)，它在某点x0有极值的充分必要条件是f(x)在x0的某邻域上一阶可导，在x0处二阶可导，且f'(X0)=0，f"(x0)≠0，那么：
1）若f"（x0）<0，则f在x0取得极大值；
2）若f"（x0）>0，则f在x0取得极小值。

极小点的判定条件（一） 内点为极小值点的判定条件（求)(min x f ，D x ∈）一、一般条件定理1（一阶必要条件）设1R R :→⊆n D f 具有一阶连续偏导数，*x 是D 的内点，若*x 是)(x f 的局部极小点，则 0)(*=∇x f定理2（二阶必要条件）设1R R :→⊆n D f 具有二阶连续偏导数，若*x 是D 的内点且为)(x f 的局部极小点，则)(*2x f ∇是半正定的。

定理3（二阶充分条件）设1R R :→⊆n D f 具有二阶连续偏导数，*x 为D 的内点，且0)(*=∇x f ，若)(*2x f ∇正定，则*x 为)(x f 的严格局部极小点。

定理4（二阶充分条件）设1R R :→n f 具有二阶连续偏导数，n x R *∈且0)(*=∇x f ，若存在*x 的δ邻域),(*δx N 使对),(*δx N x ∈∀，都有)(2x f ∇半正定，则*x 为)(x f 的局部极小点。

二、凸规划极值判定条件凸规划问题：非空凸集D 上的凸函数的极小化问题。

定理5 设1R R :→⊆n D f 为凸集D 上的凸函数，则（1）)(x f 的任一局部极小点*x 为全局极小点；（2）若)(x f 可微，且存在D x ∈*，使0)(*=∇x f ，则*x 为)(x f 在D 上的全局极小点；（3）若)(x f 为严格凸函数，且全局极小点存在，则必唯一。

定理6 考虑如下特殊的凸规划问题：正定二次函数C x b Qx x x f ++=T T 21)(，n x R ∈ 则b Q x 1*--=为唯一的全局极小点。

（二） 边界点为极小值点的判定条件考虑一般的非线性规划(NP)：)(min x f:D x ∈ ⎩⎨⎧===≥ ,,1 ,0)(,,1 ,0)(l j x h m i x s ji （1） 一、一般条件定理1（K —T 条件）（或一阶必要条件）：设*x 是（NP ）的局部极小点，)(,),(),(,),(),(11x h x h x s x s x f l m 在点*x 处可微，且点*x处的全部起作用约束的梯度线性无关（即*x 是正则点），则存在实数l m λλμμ,,,,,11 ，使下述条件成立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥===∇-∇-∇∑∑==mi m i x s x h x s x f i i i l j j j m i i i ,,2,1 ,0,,2,1 ,0)(0)()()(*1*1** μμλμ （*）二、凸规划极值判定条件考虑凸规划问题：)(min x fs.t. ⎩⎨⎧===≥ ,,1 ,0)(,,1 ,0)(l j x h m i x s ji （2） 其中，)(x f 是可微凸函数，m i x s i ,,1 ),( =是可微凹函数，l j x h j ,,1 ),( =是线性函数。