多元函数极值的充分条件演示课件

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多元函数极值与最值课件

x4 y6x2
z ( 4, 2) 64
y
x y6
D

o
x
所以在 D 的边界上 , max z 0 , min z z ( 4, 2) 64 .
与 z (P) z ( 2, 1) 4 相比较 , 得 : z ( 4, 2) 64 为最小值 , z ( 2, 1) 4 为最大值 .
三、条件极值
A<0 时取极大值;
则: 1) 当AC B2 0时, 具有极值 A>0 时取极小值. 2) 当AC B2 0时, 没有极值. 3) 当AC B2 0时, 不能确定 , 需另行讨论.
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例1. 求函数解: 第一步求驻点.
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步判别. 求二阶偏导数
B
C
fxx ( x, y) 6x 6, fxy ( x, y) 0, f yy ( x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
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在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
y
在点 (0,0) 无极值.
y xx y
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2、驻点
使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点
f x ( x0 , y0 ) 0
fy(
x0 ,
y0 )
0
( x0 , y0 ) 为驻点
注驻点意
极值点
如 z x y 点 (0 , 0) 是驻点但不是极值点
如

大学课程《高等数学》PPT课件：6-6 多元函数的极值及其求法

第六章
多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值二、多元函数的最大值与最小值三、条件极值与拉格朗日乘数法
一、多元函数的极值
定义1 设函数 z f x, y 在点 x0, y0 的某个邻
域内有定义，
对于该邻域内的任何点 x, y x0, y0 ，若总有
f x, y f x0, y0
若有，加以判别是否为极值点.
例3 考察 z x2 y2 是否有极值. 解因为 z x , z y 在 x 0, y 0
x x2 y2 y x2 y2
处偏导数不存在，但是对任意点 x, y 0,0，均有 f x, y f 0,0 0，所以函数在 0,0 点取得极大值.
从上例可知，在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑.
构造拉格朗日函数
31
F x, y, 100x4 y4 50000 150x 250y
由方程组
1 1
Fx 75x 4 y 4 150 0
Fy
3
25x 4
3
y4
250
0
F 50 000 150x 250 y 0
中的第一个方程解得
1
1
x4
1
y4
2
，将其代入第二
个方程中，得
3 3
1 1
其中 x ，y 就是函数在条件 x, y=0 下的可能
极值点的坐标.
（3）如何确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定. 拉格朗日乘数法也可能推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形.
例如，求函数 u f x, y, z,t 在条件 x, y, z,t 0 ，

多元函数极值的充分条件10ppt课件

(D
:
0
x
12,
0
2
)
x
24
.
x
24 2x
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例题解析
内容小结
令
Ax 24 sin 4 x sin 2 x sin cos 0 A 24 x cos 2 x 2 cos x 2 (cos2 sin 2 ) 0
sin 0 , x 0
.
(
D
:
0
x
12,
0
2
)
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内容小结
二元函数取得极值的充分条件求二元函数极值的一般步骤
.
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L( x, y) R( x, y) x y
即
L( x, y) 15 14x 32 y 8xy 2x2 10 y2
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例题解析
内容小结
令 Lx 14 8 y 4x 0
Ly 32 8x 20 y 0
求得驻点（1.5,1），在该点处
fy (x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步对于每一个驻点 ( x0 , y0 )
求出二阶偏导数的值A、B、C.
同时要考虑偏导数不存在的点
第三步根据 AC B 2 的符号，判断是否为极值点.
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例题解析
内容小结
例1 求函数 f ( x，y) x3 y3 3x2 3 y2 9x 的极值.
复习引入

第六章-多元函数微积分多元函数的极值及其求法-PPT课件

. D p 1,p 2p 10 ,p 20 内取得，又函数在 D
p1632,p214时，利润可到达最大，而此时的产量为
q1 9,q2 6
上一页下一页目录
事实上，Lp1p2 8
Lp1p1 4
Lp2p2 20
，
.又因 ( L p 1 p 2 ) 2 L p 1 p 1 L p 2 p 2 8 2 ( 4 ) ( 2 0 ) 0 .
(x,y,z)0下的极值.
设L ( x , y , z ,1 ,2 ) f ( x , y , z ) 1 ( x , y , z ) 2 ( x , y , z )
F x f x 1x 2x 0
F y fy 1y2y 0
解方程组 F z fz 1z 2z 0
F1 0 F1 0
1 1 1 1 xyza
下的极值.
x 0 , y 0 ,z 0 ,a 0
解作拉格朗日函数
L(x, y,z,) xyz1x1y1za1.
由
L
x
yz
x2
0
xyz
. x
L
y
xz
y2
0
xyz
. y
L z
xy
z2
0
xyz
. z
上一页下一页目录
那么有3xyz1x1y1za. xyx3a
Ay 2(xy82)0
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 2
高为 2 时, 水箱所用材料最省.
上一页下一页目录
设为商品q 1A的需求量, 为商q品2 B的需求量, 其
需求函数分别为 q 1 1 2 p 6 1 4 p 2 ,q 2 2 4 p 0 1 1 p 2 ,0 总本钱函数为 C3q12q，2 其中 p1, p2为商品A和B的价格, 试问价格 p1, p2 取何值时可使利润最大?

16-8.多元函数有极值的充分条件PPT

函数有极值的充分条件定理（充分条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续，有二阶连续偏导数，一、函数有极值的充分条件又 0),(00=y x f x , 0),(00=y x f y ，令 A y x f xx =),(00， B y x f xy =),(00， C y x f yy =),(00，则),(y x f 在点),(00y x 处是否取得极值的条件如下：（1）02>-B AC 时具有极值，当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；（2）02<-B AC 时没有极值；（3）02=-B AC 时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．例题求由方程y x z y x 22222+-++0104=--z 确定的函数),(y x f z =的极值将方程两边分别对y x ,求偏导⎩⎨⎧='-+'⋅+='--'⋅+0422204222y y x x z z z y z z z x 由函数取极值的必要条件知,驻点为)1,1(-P ,将上方程组再分别对y x ,求偏导数,解,21|,0|,21|zz C z B z z A P yy P xy P xx -=''==''=-=''= 故 )2(0)2(122≠<--=-z z AC B ,函数在P 有极值.将)1,1(-P 代入原方程,有6,221=-=z z ,当21-=z 时，041>=A ,所以2)1,1(-=-=f z 为极小值；当62=z 时，041<-=A ,所以6)1,1(=-=f z 为极大值.第一步解方程组,0),(=y x f x 0),(=y x f y 求出实数解，得驻点.第二步对于每一个驻点),(00y x ，求出二阶偏导数的值A 、B 、C .第三步定出2B AC -的符号，再判定是否是极值.二、求极值的步骤三、小结多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）求函数的极值的步骤。

12-6.多元函数的极大值与极小值PPT

多元函数的极值
实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？
x y y x 4570+-y x 7680-+每天的收益为=
),(y x f )7680)(2.1()4570)(1(y x y y x x -+-++--求最大收益即为求二元函数的最大值.
一、问题的提出
的图形
观察二元函数22+=y x e xy
z -播放
设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内
有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的点
),(y x ：若满足不等式),(),(00y x f y x f <，则称函数在),(00y x 有极大值；若满足不等式),(),(00y x f y x f >，则称函数在),(00y x 有极小值；
极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.
二、二元函数极值的定义
(1)(2)(3)
例1处有极小值．在函数)0,0(4322y x z +=例２处有极大值．在函数)0,0(22y x z +-=例３处无极值．在函数)0,0(xy z =
三、小结
多元函数的极值。

高数多元函数的极值和条件极值教师教材.ppt

cos z 0
,
得
x
y
z
2
3
x y z 2 0
故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为
Smax
R2 2
3sin
2
3
3 3 R2 4 青苗辅导
.
xyz
24
2. 求平面上以 a ,b , c , d 为边的面积最大的四边形 ,
试列出其目标函数和约束条件 ?
a b
提示:
d
目标函数 : S 1 ab sin 1 cd sin
2
2
(0 ,0 )
c
约束条件 : a2 b2 2ab cos c2 d 2 2cd cos
答案: , 即四边形内接于圆时面积最大 .
青苗辅导
25
f (P) 为最小(大) 值
青苗辅导
10
例3. 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水箱
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
解:
设水箱长,宽分别为
x
,
y
m
,则高为
2 xy
m,
则水箱所用材料的面积为
2x y
2 x
2 y
令
Ax
2( y
2 x2
)
0
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
Ay
解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则
x y z 2 , x 0 , y 0 , z 0
它们所对应的三个三角形面积分别为
S3
1 2
R2
sin
z
设拉氏函数 F sin x sin y sin z (x y z 2 )
cos x 0 解方程组 cos y 0

课件8-8多元函数的极值资料

则f ( x, y)在点( x0, y0 ) 处是否取得极值的条件：
（1）当AC B2 0时具有极值
当A 0时,有极大值, 当A 0时,有极小值; （2）当AC B2 0时没有极值；
（3）当AC B2 0 时，可能有极值,也可能
没有极值，还需另作讨论．
例4 求函数的极值.
0，
解得 x 4.85, y 4.46
根据题意可知,最大值一定存在, 并在开区域
D ( x, y) x 2, y 3 内取得，又函数在D内
只有唯一驻点(4.85,4.46), 因此可断定本地的
饮料价格约定为4.85元,外地的约为4.46元时，
收益最大.
三、条件极值及拉格朗日乘数法
与一元函数相类似,我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较, 其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.
例5 求二元函数z f ( x, y) x2 y(4 x y)
在直线 x y 6，x轴和y轴所围成的闭区
在D内驻点处 f (2,1) 4，
在边界 x 0和 y 0上, f ( x, y) 0,
在边界x y 6上，f (4,2) 64,
y
比较函数值后可知：
x y6
D (4,2)
f (2,1) 4为最大值,
(2,1)
o
x
f (4,2) 64为最小值.
例6 某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每瓶
在边界x y 6上，即 y 6 x y
于是 f ( x, y) x2(6 x)(2), 由 fx 4x( x 6) 2x2 0,

学习_课件98多元函数的极值及其求法

第三步定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
例4、求函数f ( x, y) x2 y2 2x 1的极值. 例5、求函数f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x 的极值.
3、多元函数的最值 (1)无即约：束寻求最目优标化函问数题的最大（小）值.
在条件 x02 a2

y02 b2

z02 c2
1下求 V 的最小值,
令 u ln x0 ln y0 ln z0 ,
G( x0 , y0 , z0 )

ln
x0

ln
y0

ln
z0

(
x02 a2

y02 b2

z02 c2

1) ,
由
G
x0

x02 a2
0,

体积最小，求切点坐标.
解设P( x0 , y0 , z0 )为椭球面上一点,
令F ( x,
y,
z)

x2 a2

y2 b2

z2 c2

1,
则Fx |P
2 x0 ， a2
Fy |P
2 y0 ， b2
Fz |P
2z0 c2
过P( x0 , y0 , z0 )的切平面方程为
x0 a2
其中1,2均为常数，可由偏导数为零及条件解出
x, y, z, t ，即得极值点的坐标.
例 7 将正数 12 分成三个正数x, y, z 之和使得 u x3 y2z为最大.
解令 F ( x, y, z) x3 y2z ( x y z 12),

大学经典课件之高等数学——8-9多元函数的极值及其求法

第三步：定出 AC − B 2 的符号，再判定是否是极值。
注意：偏导数不存在的点也是可疑的极值点，是否是极值要用定义去判断。
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求函数 f ( x , y ) = x 3 − y 3 + 3 x 2 + 3 y 2 − 9 x 的极值. 例1.
解: 第一步求驻点. f x′ ( x , y ) = 3 x 2 + 6 x − 9 = 0 解方程组 2 f y′ ( x , y ) = − 3 y + 6 y = 0
( 3) 考察函数
f ( x, y) = x + y
2
4
及 g( x , y ) = x 2 + y 3 .
容易验证，这两个函数都以(0,0)为驻点，且在点
(0,0)处都满足 AC − B 2 = 0 。但 f ( x , y ) 在点(0,0)
处有极小值，而 g ( x , y ) 在点(0,0)处却没有极值。
z = − x + y 在点 (0,0) 有极大值;
2 2
z z z
x x
z = x y 在点 (0,0) 无极值.
x
上页下页返回
y y y
结束
机动
目录
多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件）：设函数 z = f ( x , y ) 在点
( x0 , y0 ) 具有偏导数，且在点( x0 , y0 ) 处有极值，则
其他类似. ′′ 由(8) 式可知，当( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 ) 时， f xx
′′ 及 f yy 都不等于零且两者同号，于是 (6) 式可写成 1 ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ (hf xx + kf xy )2 + k 2 f xx f yy − f xy 2 . Δf = ′′ 2 f xx 当 h、k 不同时为零且 ( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 )

14-7.多元函数有极值的必要条件PPT

多元函数有极值的必要条件(1)(2)(3)例1处有极小值．在函数)0,0(4322yx z +=例２处有极大值．在函数)0,0(22yx z +-=例３处无极值．在函数)0,0(xyz =定理1（必要条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： 0),(00=y x f x ， 0),(00=y x f y .不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值,则对于),(00y x 的某邻域内任意≠),(y x ),(00y x 都有<),(y x f ),(00y x f ,证二、多元函数取得极值的条件故当0y y =，0x x ≠时，有<),(0y x f ),(00y x f ,说明一元函数),(0y x f 在0x x =处有极大值,必有 0),(00=y x f x ;类似地可证 0),(00=y x f y .推广如果三元函数),,(z y x f u =在点),,(000z y x P 具有偏导数，则它在),,(000z y x P 有极值的必要条件为 0),,(000=z y x f x ，0),,(000=z y x f y ，0),,(000=z y x f z .例如, 点)0,0(是函数xy z 的驻点，但不是极值点.仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点思考：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：三、小结定理1（必要条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： 0),(00=y x f x ， 0),(00=y x f y .驻点极值点注意：。

10多元函数的极值 78页PPT

取极值.
该定理的常用写法是下面的形式.
定理 (可微的二元函数极值判别法)
设 z f ( x , y ) C 2 (x 0 U , y 0 )g ) ( f ( , r x 0 , y 0 a ) 0 ,d
记
2 f A x2
, (x0,y0 )
B 2 f xy
, ( x0 , y0 )
x
y
该结论还 graf可 (d x0,y写 0)0为 , 或 f(x0,y0)0, J(fx0,y0)0.
下面看看函数极值的几何意义
设函数 f(x,y)在点 (x0, y0 ) 处可微且取极值, 则相应的曲面 zf(x,y)在点 (x0, y0)
处的切平面方程为
f x ( x 0 ,y 0 ) x ( x 0 ) f y ( x 0 ,y 0 ) y ( y 0 ) ( z z 0 ) 0
函数 z x2 y2 在点 (0, 0) 处偏导数不存在.
固定 y0(x0),发现相应的一元函数 z | x | (z| y|)在 x0(y0)处取极值.
将以上对两例的分析与极值的定义综合起来, 你能得出什么样的结论？
得出结论没有？
如果点X0 是函数的极值点,则在过X0 的任何一条曲线上,点X0 将仍是函数的极值点.
先以二元函数为例, 叙述结果, 然后将它推广到一般的 n 元函数.
若 X0(x0, y0)是函数 f (x, y) 的极值点, 则
x 0 是一元函数 f (x, y0) 的极值点; y 0 是一元函数 f (x0 , y) 的极值点,
但函数 f (x, y) 在极值点 X0(x0, y0) 处偏导数可能存在, 也可能不存在, 故可得到结论:

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第九章多元函数微分法及其应用
知识点名称：091303 多元函数极值的充分条件
1
全国高校数学微课程教学设计竞赛
多元函数极值的充分条件
❖ 复习引入 ❖ 定理学习 ❖ 例题解析 ❖ 内容小结
2
全国高校数学微课程教学设计竞赛
复习引入
定理学习
函数的极值函数可疑点
例题解析
内容小结
用料最省
实际应用
成本最低
复习引入
定理学习
例题解析
内容小结
例2 某公司通过电视和报纸两种形式做广告，已知销售收入R（万元）与电视广告费x（万元）、报纸广告费y（万元）有如下关系：
R (x ,y ) 1 5 1 5 x 3 3 y 8 x y 2 x 2 1 0 y 2
在广告费用不限的条件下，求利润最大时广告策略；解：由题意可知，利润函数：
复习引入
定理学习
例题解析
内容小结
练习2 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成
一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面积最大.
解: 设折起来的边长为 x cm,倾角为 , 则断面面积为
A
1( 2
24 2x 2x cos
24 2x ) x sin
24x sin 2x2 sin x2 cos sin
（优化问题）
利润
最大
驻点
. .
.
不可导点
3
全国高校数学微课程教学设计竞赛
复习引入
定理学习
二元函数取极值的充分条件
例题解析
内容小结
定理2
设函数 z f(x, y)在点( x 0 , y 0 ) 的某邻域内连续，
并有一阶和二阶连续偏导数，且
fx (x0 , y0 ) 0
f
y
(
x0
,
y0
)
0
记 Afxx(x0， y0)，B fxy(x0，y0)，C fyy(x0，y0)
4
全国高校数学微课程教学设计竞赛
复习引入
定理学习
例题解析
内容小结
则 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下：
ACB2 0 取得极值 ACB2 0 没有极值
A 0
A
0
极大值极小值
ACB2 0 情况不定
Afxx(x0， y0) ，B fxy(x0，y0) ，C fyy(x0，y0)
该点是函数的极大值点，也是最大值点，
故最佳广告策略为，电视广告投入1.5万元，报纸广告投入1万元.
L (x ,y ) 1 5 1 4 x 3 2 y 8 x y 2 x 2 1 0 y 2
Afxx(x0， y0) B fxy(x0，y0) C fyy(x0，y0)
11
全国高校数学微课程教学设计竞赛
L (x ,y)R (x ,y)xy
即
L (x ,y ) 1 5 1 4 x 3 2 y 8 x y 2 x 2 1 0 y 2
10
全国高校数学微课程教学设计竞赛
复习引入
定理学习
例题解析
内容小结
令 Lx148y4x0
Ly328x20y0
求得驻点（1.5,1），在该点处
A 4, B8,C20, A C B 2806416 0
5
全国高校数学微课程教学设计竞赛
复习引入
定理学习
例题解析
内容小结
求函数极值的一般步骤：zf(x,y)
第一步解方程组
fx(x, y) 0
fy(x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步对于每一个驻点 (x0, y0)
求出二阶偏导数的值A、B、C.
同时要考虑偏导数不存在的点
第三步根据 AC B2 的符号，判断是否为极值点.
A6x6, B0,C6y6, A CB 236(x1)(1y)
f(x ， y)x 3y33x23设计竞赛
复习引入
定理学习
例题解析
内容小结
练习1 求函数f(x ， y)y3x26x12y5的极值.
解得驻点为(3，2)，(3，–2). 极大值 f(3， 2)30
9
全国高校数学微课程教学设计竞赛
6
全国高校数学微课程教学设计竞赛
复习引入
定理学习
例题解析
内容小结
例1 求函数 f(x ， y)x3y33x23y29x的极值.
解由方程组
fx
fy
3x2 6x9 3y2 6y0
0
解得驻点为(1，0)，(1，2)，(–3，0)， (–3，2).
A fxx(x， y)6x6，Bfxy(x，y)0 ，
12 2 x x cos 0
24 cos 2x cos x(cos2 sin 2 ) 0
解得: 60 , x 8 (cm)
3
由题意知,最大值在定义域D 内达到, 而在域D 内只有一个驻点,
故此点即为所求.
A 24x sin 2x2 sin x2 cos sin
(
D
:
0
x
12,
0
2
)
13
全国高校数学微课程教学设计竞赛
复习引入
定理学习
例题解析
内容小结
二元函数取得极值的充分条件求二元函数极值的一般步骤
14
全国高校数学微课程教学设计竞赛
Cfyy(x， y)6y6，A CB 236(x1)(1y)
7
全国高校数学微课程教学设计竞赛
复习引入
A B C AC-B2 结论
定理学习
例题解析
内容小结
（1,0）
（1,2）
（-3,0）（-3,2）
12
12
-12
-12
0
0
0
0
6
-6
6
-6
72 极小，-5
-72 无极值
-72 无极值
72 极大，31
(D
:
0
x
12,
0
2
)
x 24
x
24 2x
12
全国高校数学微课程教学设计竞赛
复习引入
定理学习
例题解析
内容小结
令
Ax 24 sin 4 x sin 2 x sin cos 0 A 24 x cos 2 x 2 cos x 2 (cos2 sin 2 ) 0
sin 0 , x 0