极值的充分条件

多元函数极值的充分条件马丽君（集宁师范学院 数学系）我们知道，一元函数()y f x =在点0x x =取得极值的充分条件是：函数()f x 在点0x 处具有一阶二阶连续导数，0x 是()f x 驻点，即0()0f x '=。

若0()0(0)f x ''><，则0x 为()f x 的极小值点（或极大值点）对于多元函数()Y f X =，其中12(,,,)n X x x x =，有与上面一元函数取得极值的充分条件相对应的结论。

定义 1.设n 元函数()Y f X =，其中12(,,,)n X x x x =，对各自变量具有一阶连续偏导数，则称12,,,Tn f ff x x x ⎛⎫∂∂∂⎪∂∂∂⎝⎭为()f X 的梯度，记作gradf 。

引理 设n 元函数()f X ，其中12(,,,)n X x x x =，对各自变量具有一阶连续偏导数，则()f X 在点000012(,,,)n X x x x =取得极值的必要条件是：0112(),,,0Tn n X X f ff gradf X x x x ⨯=⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭证明：引理成立是显然的，即极值点函数可导，则该点的偏导数等于零。

定义 2.设n 元函数()f X ，对各自变量具有二阶连续偏导数，000012(,,,)n X x x x =是()f X 的驻点，现定义()f X 在点0X 处的矩阵为：222000211212222000202122222000212()()()()()()()()()()f N n n n f X f X f X X X X X X f X f X f X H X X X X X X f X f X f X X X X X X ⎧⎫∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂∂⎪⎪=∂∂∂∂∂⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂⎩⎭由于各二阶偏导数连续，即22(,1,2,,)i j j if fi j n x x x x ∂∂==∂∂∂∂，所以0()f H X 为实对称矩阵。

二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下：1．二元函数的无条件极值(1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。

对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。

(2)二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。

(3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00，B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，则当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值；当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值；02>-AC B 时，),(00y x 不是极值点。

注意： 当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值．【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【解】先求函数的一、二阶偏导数：y x x z 232-=∂∂，x y y z 22-=∂∂．x x z 622=∂∂, 22-=∂∂∂y x z , 222=∂∂yz ． 再求函数的驻点．令x z ∂∂= 0，y z ∂∂= 0，得方程组⎩⎨⎧=-=-.022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3232． 利用定理2对驻点进行讨论：(1)对驻点(0, 0)，由于A = 0, B =－2， C = 2，B 2－AC >0,故(0, 0)不是函数z = f (x , y ) 的极值点．(2)对驻点），（3232，由于A =4, B =－2，C = 2,B 2－AC =－4<0, 且A >0,则 2743232-=），（f 为函数的一个极小值． 例2：（2004数学一）设z=z(x,y)是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值.【分析】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。

极值点的判定条件一、引言极值点是函数在其定义域内的点，函数在该点的导数或二阶导数出现变化。

确定极值点是研究函数性态的关键步骤之一。

通过对极值点的判定，我们可以理解函数的变化规律，了解函数在何处达到其最大值或最小值。

极值点的概念在实际应用中具有广泛的应用，如经济学、物理学、工程学等领域。

因此，掌握极值点的判定条件对于解决实际问题具有重要意义。

二、极值点的定义与分类极值点是函数在其定义域内的点，函数在该点的导数或二阶导数出现变化。

根据导数的符号变化，极值点可以分为极大值点和极小值点。

在极大值点，函数的一阶导数由负变正；在极小值点，函数的一阶导数由正变负。

此外，根据函数的二阶导数变化，极值点还可以分为鞍点、拐点、尖点和圆的界限点等类型。

这些不同类型的极值点对于函数性态的分析具有重要的意义。

三、一元函数的极值判定条件对于一元函数，其极值的判定条件主要包括：1.极值的必要条件：如果函数f在x0处可导，且x0为f的极值点，那么f’（x0）=0。

这个必要条件告诉我们，如果一个点是函数的极值点，那么该点的导数必定为零。

然而，需要注意的是，导数为零的点不一定是极值点。

2.极值的充分条件：如果函数f在x0处可导，且在x0的某邻域内：（i）若f’（x）在x0两侧的正负号改变，则x0为极值点。

这被称为“正负号检验法”。

（ii）若f’（x）在x0两侧的正负号不改变，则x0不是极值点。

（iii）若f’（x）在x0两侧的正负号由负变正，则x0为极大值点；若f’（x）在x0两侧的正负号由正变负，则x0为极小值点。

这被称为“变号检验法”。

在实际应用中，我们通常首先计算函数的一阶导数，然后令其一阶导数为零，解得可能的极值点。

然后使用正负号检验法或变号检验法来进一步确定这些可能的极值点是否为真正的极值点。

对于无法通过一阶导数直接判断的复杂函数，可能需要使用二阶导数或更高阶的导数来进行判断。

四、多元函数的极值判定条件对于多元函数，其极值的判定条件主要包括：1.极值的必要条件：如果函数f在点x0处可微，且x0为f的极值点，那么f’（x0）=0。

多元函数的微分中值定理与极值判定多元函数的微分中值定理和极值判定是微积分中重要的理论基础，也是应用广泛的数学工具。

它们是研究函数性质和优化问题的重要工具。

本文将介绍多元函数的微分中值定理和极值判定的概念、原理和应用。

一、多元函数的微分中值定理多元函数的微分中值定理是微积分的基本定理之一，它是单变量函数中值定理在多元函数中的推广。

多元函数的微分中值定理分为拉格朗日中值定理和柯西中值定理两种形式。

1.1 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是多元函数微分中值定理的一种形式。

设函数$f(x,y)$在闭区间$[a,b]\times[c,d]$上连续且在开区间$(a,b)\times(c,d)$上具有一阶偏导数，则存在一点$(x_0,y_0)$属于开区间$(a,b)\times(c,d)$，使得$$f(b,d) - f(a,c) = f_x(x_0,y_0)(b-a) + f_y(x_0,y_0)(d-c)$$其中，$f_x(x_0,y_0)$和$f_y(x_0,y_0)$分别表示函数在点$(x_0,y_0)$的偏导数。

1.2 柯西中值定理柯西中值定理是多元函数微分中值定理的另一种形式。

设函数$f(x,y)$和$g(x,y)$在闭区间$[a,b]\times[c,d]$上连续且在开区间$(a,b)\times(c,d)$上具有一阶偏导数，并且$g_x(x,y)$和$g_y(x,y)$在闭区间$[a,b]\times[c,d]$上不同时为零，则存在一点$(x_0,y_0)$属于开区间$(a,b)\times(c,d)$，使得$$\frac{f(b,d)-f(a,c)}{g(b,d)-g(a,c)} =\frac{f_x(x_0,y_0)}{g_x(x_0,y_0)} =\frac{f_y(x_0,y_0)}{g_y(x_0,y_0)}$$二、多元函数的极值判定多元函数的极值判定是通过求函数的偏导数和判定二次型的正负来确定函数的极值点。

函数的极值与最值知识点总结函数的极值和最值是数学中重要的概念，它们对于函数的图像和性质有着重要的影响。

本文将对函数的极值和最值进行详细总结。

1. 函数的极值函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。

在函数图像上就是曲线的顶点或谷底。

1.1 极大值和极小值函数在区间内取得最大值的点称为极大值点，函数在区间内取得最小值的点称为极小值点。

极大值点和极小值点合称为极值点。

1.2 极值的必要条件函数的极值一定是函数的驻点（即函数的导数为0）或者是函数定义域的端点，这是极值的必要条件。

1.3 极值判定的充分条件若函数在某点的导数由正变负，则该点是函数的极大值点；若函数在某点的导数由负变正，则该点是函数的极小值点。

这是极值判定的充分条件。

2. 函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。

2.1 最大值和最小值函数在定义域内取得的最大值称为最大值，函数在定义域内取得的最小值称为最小值。

2.2 最值的存在性当函数在闭区间上连续时，函数一定存在最大值和最小值。

但是当函数在开区间上连续时，函数不一定存在最大值和最小值。

2.3 最值的求解方法求函数的最值主要通过导数的方法进行。

首先求出函数的导数，然后求出导数的零点，即函数的极值点。

从这些极值点中选取函数值最大的点，即为函数的最大值；选取函数值最小的点，即为函数的最小值。

3. 案例分析接下来通过一个具体的案例来说明函数的极值和最值的求解过程。

3.1 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的极值和最值。

首先求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x，令 f'(x) = 0，解得 x = 0 或 x = 2。

当 x = 0 时，f''(0) = 0，无法判断极值情况；当 x = 2 时，f''(2) = 6 > 0，说明 x = 2 是极小值点。

计算 f(2) = 2^3 - 3(2)^2 = -4，可知函数的极小值为 -4。

极值的第二充分条件
不定积分的极值第二充分条件是：函数的总和为零。

不定积分是指变量函数从有界的一段
中定义的积分，它不包括任何穷尽的情况。

因此，我们需要为函数的总和是零来证明不定积分的极值，从而确定特定课程的极值。

在这种情况下，因为极值是在某个有界段内定义的，所以考虑将空间分成一系列小空间，
然后再归结为各自的函数和，证明它是零。

为实现这一目标，引入了另一种典型的数学工
具“柯西不等式”，也被称为Cauchy-Schwartz不等式，它是概率论中最常用的不等式之一。

该不等式可用来比较两个向量，以便对它们中的变量集中进行统计分析和约简。

因此，柯西不等式的用法可以帮助我们在有界的空间内证明不定积分的极值总和等于零。

例如，在计算极值的过程中，计算小空间中每个点处函数的值，并计算它们的平均值，然
后将每个小空间中的总和函数值与平均值进行比较，最后得出总和函数值等于零的结论。

这样就可以证明极值的第二充分条件，即函数的总和是零。

因此，可以看出，柯西不等式是一种有效的数学工具，可以帮助我们在不定积分的极值的
第二充分条件的情况下证明函数的总和是零。

从而证明极值的第二充分条件。

多元函数极值的充分条件马丽君（集宁师范学院 数学系）我们知道，一元函数()y f x =在点0x x =取得极值的充分条件是：函数()f x 在点0x 处具有一阶二阶连续导数，0x 是()f x 驻点，即0()0f x '=。

若0()0(0)f x ''><，则0x 为()f x 的极小值点（或极大值点）对于多元函数()Y f X =，其中12(,,,)n X x x x =L ，有与上面一元函数取得极值的充分条件相对应的结论。

定义 1.设n 元函数()Y f X =，其中12(,,,)n X x x x =L ，对各自变量具有一阶连续偏导数，则称12,,,Tn f f f x x x ⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂⎝⎭L为()f X 的梯度，记作gradf 。

引理 设n 元函数()f X ，其中12(,,,)n X x x x =L ，对各自变量具有一阶连续偏导数，则()f X 在点000012(,,,)n X x x x =L 取得极值的必要条件是：0112(),,,0Tn n X X f f f gradf X x x x ⨯=⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭L证明：引理成立是显然的，即极值点函数可导，则该点的偏导数等于零。

定义 2.设n 元函数()f X ，对各自变量具有二阶连续偏导数，000012(,,,)n X x x x =L 是()f X 的驻点，现定义()f X 在点0X 处的矩阵为：222000211212222000202122222000212()()()()()()()()()()f N n n n f X f X f X X X X X X f X f X f X H X X X X X X f X f X f X X X X X X ⎧⎫∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂∂⎪⎪=∂∂∂∂∂⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂⎩⎭L L L L L L L L L L L由于各二阶偏导数连续，即22(,1,2,,)i j j if fi j n x x x x ∂∂==∂∂∂∂L ，所以0()f H X 为实对称矩阵。

极值充分条件极值充分条件设⼆元函数f 在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U (P 0)上具有⼆阶连续偏导数，且P 0是f 的稳定点。

则当H f (P 0)是正定矩阵时，f 在点P 0处取得极⼩值；当H f (P 0)是负定矩阵时，f 在点P 0处取得极⼤值；当H f (P 0)是不定矩阵，f 在点P 0不取极值证：由f 在P 0的⼆阶泰勒公式f (x ,y )−f (x 0,y 0)=∇f (x 0,y 0)TΔx Δy−12(Δx ,Δy )H f (P 0)ΔxΔy+o (Δx 2+Δy 2)=(f x ,f y )TΔx Δy−12(Δx ,Δy )H f (P 0)ΔxΔy+o (Δx 2+Δy 2)假定f 具有⼆阶连续偏导数，并记作：H f (P 0)=f xx (P 0)f xy (P 0)f yx (P 0)f yy (P 0)=f xx f xy f yxf yyP 0由于f 具有⼆阶连续偏导数，所以f xy =f yx由于P 0是f 的稳定点，所以f x (P 0)=f y (P 0)=0，有f (x ,y )−f (x 0,y 0)=12(Δx ,Δy )H f (P 0)(Δx ,Δy )T +o (Δx 2+Δy 2)=12(Δx ,Δy )f xxf xy f yxf yyP 0(Δx ,Δy )T=f xx Δx 2+2f xy Δx Δy +f yy Δy 2+o (Δx 2+Δy 2)由⼆元⼀次⽅程ax 2+bx +c ，不妨令a =f xx ,b =2f xy Δy ,c =f yy Δy 2,则Δ=b 2−4ac =4f 2xy Δy 2−4f xx f yy Δy 2=f 2xy −f xx f yy 1. f xx >0,Δ=f 2xy −f xx f yy <0，f xx Δx 2+2f xy Δx Δy +f yy Δy 2+o (Δx 2+Δy 2)是⼀个开⼝向上，与x 轴没有交点的抛物线，此时f (x ,y )−f (x 0,y 0)=f xx Δx 2+2f xy Δx Δy +f yy Δy 2+o (Δx 2+Δy 2)>0成⽴，得证f 在P 0处取得极⼩值2. f xx <0,Δ=f 2xy −f xx f yy <0，则f 为开⼝向下，与x 轴没有交点的抛物线，函数恒⼩于0，此时f (x ,y )−f (x 0,y 0)=f xx Δx 2+2f xy Δx Δy +f yy Δy 2+o (Δx 2+Δy 2)<0，即f 在点P 0处取得极⼤值3. Δ=f 2xy −f xx f yy >0时，抛物线与x 轴有交点，有正有负，f 在P 0处不能取得极值4. Δ=f 2xy −f xx f yy =0时，不能肯定f 是否在点P 0处取得极值若H f 正定，则H f 的顺序主⼦式都⼤于0，所以f xx >0,f xx f yy −f 2xy >0时，恰好H f 正定，且f 在P 0处取得极⼩值，若H f 负定，f xx <0,f xx f yy −f 2xy >0时，f 在P 0处取得极⼤值若H f 不定，则不取得极值()()()()()()()Processing math: 100%。

求极值的方法与技巧极值一般分为无条件极值和条件极值两类。

无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件限制的极值问题。

一、求解无条件极值的常用方法1．利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型定理1(充分条件) 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0, 令f xx (x 0, y 0)=A , f xy (x 0, y 0)=B , f yy (x 0, y 0)=C ,则f (x , y )在(x 0, y 0)处是否取得极值的条件如下：(1) AC -B 2>0时具有极值, 且当A <0时有极大值, 当A >0时有极小值；(2) AC -B 2<0时没有极值；(3) AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值。

极值的求法：第一步 解方程组f x (x , y )=0, f y (x , y )=0, 求得一切实数解, 即可得一切驻点。

第二步 对于每一个驻点(x 0, y 0), 求出二阶偏导数的值A 、B 和C 。

第三步 定出AC -B 2的符号, 按定理1的结论判定f (x 0, y 0)是否是极值、是极大值 还是极小值。

应注意的几个问题：⑴对于二元函数z =f (x , y ),在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法, 但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用；⑵AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值，还需另作讨论；⑶如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点，讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑。

例1求函数的极值。

2222()()xy z x y e -+=+解 令222222()22()2(1)02(1)0x y x y z x x y e x z y x y e y-+-+∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩得驻点及(0,0)22 1.x y +=又由22222222()2[2(13)4(1)]x y zy x x x y e x-+∂=-----∂ 22222()4(2)x y zxy x y e x y-+∂=---∂∂ 22222222()2[2(13)4(1)]x y z x y y x y ey -+∂=-----∂ 22(0,0)2,z A x∂==∂2(0,0)0,z B x y ∂==∂∂22(0,0)2zC y∂==∂240,B AC A ∆=-=-<>故为极小值。

极值点的判断条件
极值点是函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值点的横坐标。

对于函数f(x)，如果f'(x0)=0，那么x0可能是f(x)的极值点。

然而，这只是一个必要条件，并非充分条件。

根据极值的第二充分条件，如果f''(x0)>0，那么x0是f(x)的极小值点；如果f''(x0)<0，那么x0是f(x)的极大值点。

另外，驻点（一阶导数为零的点）和不可导点（导数不存在，也可以取得极值）都可能是极值点，但这并不绝对。

一个给定的区间内，可以有多个极大值和极小值点，其中最大的为最大值，最小的为最小值。