24.4圆锥的侧面积和全面积精品

2
h=20
l
O┓ r
2πr=58 29 2 根据勾股定理 ,圆锥母线l 20 22.03.
S圆锥侧
1 2r l 29 22.03 638 .8 20 12777 .4(cm2 ).
答:至少要用12777.4cm2的纸.
例7、如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一 只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬 到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行 的最短路线是多少？
做一下：如图，在Rt△ABC中， ∠BAC=90º ，AB=AC=2，以AB为直径的 圆交BC于点D，求图中阴影部分的面 积
一、复习 1、弧长公式、扇形的面积公式 2、若弓形的弦AB=2cm，高CD= 3 cm，则 弓形的弧长为____，弓形的面积为____。
探究 .圆锥的侧面积和全面积
A
B
O
C
圆锥的侧面展开图是扇形
R
A
B
O
C
母线的长=其侧面展开图扇形的半径
底面周长=侧面展开图扇形的弧长
S
A
O
r
B
圆锥及侧面展开图的相关概念
圆锥的侧面展开图是什么图形？ 如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆锥的全面积？
沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易 得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形． 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线 长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径 l 为______
小结
本节课我们有什么收获? 本节课我们认识了圆锥的侧面展开图， 学会计算圆锥的侧面积和全面积，在认识 圆锥的侧面积展开图时，应知道圆锥的底 面周长就是其侧面展开图扇形的弧长。圆 锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径， 这样在计算侧面积和全面积时才能做到熟 练、准确。
• 1.圆锥的底面直径为80cm.母线长为90cm,求它的全面积.
一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到 过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最 短路线是多少？
A
B
C
例6.如图,圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只 蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬 行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少?
解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB’, ∠BAB’=n° 连接BB’,即为蚂蚁爬行的最短路线 ∵ 圆锥底面半径为1, B’ A ∴ l 弧BB’=2π 6nπ 又∵ l 弧BB’= 180 6 6nπ ∴ 2π= 180 解得: n=60
5200
• 2.如图.扇形的半径为30,圆心角为120°用它做一个圆锥模 型的侧面,求这个圆锥的底面半径和高.
r=10,
h= 20 2
• 如图，一个直角三角形两直角边分别为 4cm和3cm，以它的一直角边为轴旋转一 周得到一个几何体，求这个几何体的表面 积。
思考题：如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，
A
C O
B
例3.蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱 组成的.如果想用毛毡搭建20个底面积为 35 m2,高为3.5 m，外围高1.5 m的蒙古包, 至少需要多少m2的毛毡? (结果精确到1 m2).解:如图是一个蒙古包的示意图 依题意,下部圆柱的底面积35m2,高为1.5m; 上部圆锥的高为3.5－1.5=2 m; 圆柱底面圆半径r= 35 (m)≈3.34 (m) h1 π 侧面积为: 2π×3.34×1.5 ≈31.45 (m2) 圆锥的母线长为 3.342+22 ≈3.85 (m) 侧面展开积扇形的弧长为: 2π×3.34 h2 ≈20.98 (m) 1 圆锥侧面积为:2 ×3.89×20.98 ≈40.81 (m2) 因此,搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡: 20× (31.45+40.81)≈1445(m2)
由勾股定理得：
h r l
l
r2+h2=l 2
填空: 根据下列条件求值（其中r、h、l 分别 是圆锥的底面半径、高线、母线长）
3 （1） l = 2，r=1 则 h=_______
(2) h =3, r=4
则
5 l =_______ 6 则r=_______
(3)
l
= 10, h = 8
l
图 23.3.6
∴ △ABB’是等边三角形 ∴ BB’=AB=6
答:蚂蚁爬行的最短路线为6.
B
1
C
将圆锥沿AB展开成扇形ABB’ A 解 ： 将圆锥沿 将圆锥沿 AB 展开成扇形 AB B ， 则点 CB 是 ′ 解： 将圆锥沿AB展开成扇形ABB′ ，解 则点 C是BB′ 的中点 ，：过点 BAB 作 BD ⊥ AC ，是 解 将圆锥沿 展开成 ： AB 展开成扇形 B′ ，AB 则点 C 解： 将圆锥沿 AB 展开成扇形 AB ， 则点 C ′ 解 ： 将圆锥沿 AB 展开成扇形 AB B ， 则点 C 是 BB 的中点 ， 垂足为 D . ⊥AB ′ ， 将圆锥沿 展开成扇形 则点 C是 垂足为 D .AB 垂足为 D .BD 成扇形 AB B ， 则点C是 B B′ 的中点， 过点 B 作 AC ， 垂足为 D .′ 垂足为 D .r 垂足为D. 垂足为 D .r r r ∠ BA B = × 360 ° = 120 ° ′ ∠BAB′ = × 360°= 120 ° B 360 120 BA ∠BAB′ = × 360°= 120° l lr r r l l C B BA B 360 120 ∠ BA B′ = ×° 360 ° = 120 ° ∠BAB′ = × 360 ° = 120 ° ∴ ∠ BAD = 60 ° . 在 Rt Δ ABC 中 ， ∠ = 60 ° , ° ∠ BAD = 60 . 在 Rt Δ ABC 中 ， ∠ BAD 60 ° , AB BAD 60 BAD .在= Rt ABC l l l ∴∠BAD = 60° .在RtΔABC中， ∠BAD = 60° , AB = 3. 3 3 BAD 60 ， .在 Rt Δ ABC 中 ，° BAD 60 ,A 3 ∴ ∠ BAD = 60 ° .在 Rt ABC 中 ， ∠ BAD = 60 ∴ ∠ BAD = 60 ° . 在 Rt Δ ABC 中 ∠ BAD = 60 , AB = 3 . ∴ BD = 3 BD = 3 BC中， ∠ , AB = 3. BD 3 3BAD = 60° 2 2 ∴ BD = 3 3 2 3 3 BD 2 BD =2 3 3 ∴ BD = 3 ∴ 33 答： 它爬行的最短路线是 3.3. 2 它爬行的最短路线是 答： 它爬行的最短路线 32 22 33 答： 它爬行的最短路线是 3. 答： 它爬行的最短路线是 3 3.3. 3 答： 它爬行的最短路线是 3. 答： 它爬行的最短路线是 2 22 线是 3. 2 2
3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90º ， AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于点D， 求图中阴影部分的面积
二、圆柱由两个圆的底面和一个侧面围成的 1、底面是两个等圆，侧面是一个曲面。 2、两个底面之间的距离是圆柱的高。
圆柱也可以看成是由一个矩形旋转得到的
二、圆柱的侧面展形图
例2、用一张面积为900cm2的正方形硬纸片围 成一个圆柱形的侧面，求这个圆柱的底面直径
r
r
例4.童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子,其 圆锥形帽身的母线长为15cm,底面半 径为5cm,生产这种帽身10000个,你 能帮玩具厂算一算至少需多少平方 米的材料吗(不计接缝用料和余料, π取3.14 )?
解:∵ l =15 cm,r=5 cm, 1 ∴S 圆锥侧 = ×2πrl 2 =π×15×5 ≈3.14×15×5 =235.5 (cm2) ∴ 235.5×10000=2355000 (cm2)
l
答:至少需 235.5 平方米的材料.
r
例1、圆锥形烟囱帽(如图)的母线长为80cm，高 为38.7cm,求这个烟囱帽的面积（ 取3.14，结
果保留2个有效数字）
解：∵l=80，h=38.7 ∴r= l 2 h2 802 38.72 70 ∴S侧=π rl≈3.14×70×80≈1.8×104（cm2） 答：烟囱帽的面积约为1.8×104cm2。
1 2 s侧 = × 5× 2π × 3 = 15 π（cm ） P2
h l
s全 = s侧 + s底
= 15π + 9π
B
A
O
r
= 24π cm
( )
2
例2：如图所示的扇形中，半径R=10，圆心 角θ=144°用这个扇形围成一个圆锥的侧面.
(1)求这个圆锥的底面半径r;
(2)求这个圆锥的高(精确到0.1)
• 1.圆锥的底面直径为80cm.母线长为90cm,求它的全面积.
5200
• 2.如图.扇形的半径为30,圆心角为120°用它做一个圆锥模 型的侧面,求这个圆锥的底面半径和高.
r=10,
h= 20 2
• 如图，一个直角三角形两直角边分别为 4cm和3cm，以它的一直角边为轴旋转一 周得到一个几何体，求这个几何体的表面 积。
l
h r
θ
h
l
r
(1)已知一个圆锥的高为6cm，半径为8cm，则这
个圆锥的母长为_______ 10cm
(2)已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为20cm，
2 则这个圆锥的侧面积为_________ _______ 240 cm，全面积为 384 cm 2
例1.一个圆锥形零件的高4cm，底 面半径3cm，求这个圆锥形零件的侧 面积和全面积。
练习： 2 1、如果圆柱底面积为 16cm 侧面积是 64cm2 那么它的母线长为___ 2、若一个圆柱的底面半径长和母线长是方 2 程 2 x 5 x 1 0 的两个根，则该圆柱的 侧面展开图的面积是____。