圆锥的侧面积和全面积

作
业
教科书习题2４.４第７、８、９题.
谢谢指导 再见！
思考题
如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁 要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线 AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线 是多少？
A
B
C
如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁 要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线 AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线 是多少？ 解：将圆锥沿AB展开成扇形ABB’
圆锥的侧面积和全面积
如图：设圆锥的母线长为a，底面半径 为r，则圆锥的侧面积公式为：
R= a
S侧
1 = ⋅ 2π r ⋅ a 2 = π ra
L = 2π r
+
全面积公式为：
S
全
=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
S
侧
S
底
=πra ＋πr2
例
一个圆锥形零件高4 cm，底面半径3 cm，
求这个圆锥形零件的侧面积和全面积．
P
a h A O r B
1.圆锥是由一个底面和一个侧面围成的, 它的底面是一个圆，侧面是一个曲面. 2.把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥 P 顶点的连线叫做圆锥的母线. 问题：圆锥的母线有几条？
A A1
a h
Or
A2 B
3.连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高. 如图中a是圆锥的一条母线，而h就是圆 P 锥的高. 4.圆锥的底面半径、高线、母线 长三者之间的关系:
≈
≈
a A O .
r
B
235.5×10 000 = 2 355 000（cm2) 答：至少需235.5平方米的材料.
圆柱侧面展开图

试一试：以直角三角形一条直角边所在的直线 为轴，其余各边旋转一周而成三角形以它的一条直 角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周 而成的面所围成的几何体.
斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面
母
线
无论转到什么位置，这条斜边都叫做 圆锥的母线 另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的 底面
图 23.3.6
l
2.圆锥形烟囱帽的母线长为80cm, 高为38.7cm,求这个烟囱帽的面积 （ 取3.14，结果保留2个有效数 字）
3.已知一个圆锥的轴截面△ABC是等边三角形，它的表 面积为75 cm2,求这个圆锥的底面半径和母线的长.
解：∵轴截面△ABC是等边三角形 ∴AC=2OC 由题意，得
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便是对詹乌大王等人,鞠言也是笑脸相迎.毕竟,人家还没开始竞拍小善涅丹,就一个人花了伍百万善石了.看在伍百万善石の面子上,鞠言也不能给对方冷着一罔脸啊！吙阳大王关闭了洞府入口,而后也来到了拍卖会の会场.她来到鞠言身边,将情况大体说了一下,自然也告诉鞠言门票收入一共是四 千万善石.“诸位道友.”鞠言略微催动申历,声音传出.第三三二零章进行事第三三二零章进行事(第一/一页)混元之主和混元大王,全都看向鞠言.“废话俺就不多说了.”“现在就开始竞拍小善涅丹,本次拍品小善涅丹将会分组竞拍,每一组为拾颗小善涅丹.”“第一组小善涅丹,竞拍开始.诸位道 友,能够开始出价了,此次拍卖不设底价.”鞠言话音落下,随着手臂微微一动,一个比较大の玉瓶出现在鞠言手中.玉瓶之内,盛放着拾颗小善涅丹,能够令普通善王更快速更容易参悟本源道则.“一组拾颗小善涅丹?”“不设底价,该出价多少呢?”“也不知道,将会有几组小善涅丹要被拍卖.”“鞠 言大王拿出の小善涅丹效果非常好,之前他送给天蛛大王の伍颗小善涅丹,天蛛大王已经让他混元の善王用过,非常厉害.”“……”不少混元大王窃窃私语.碍事呐些混元大王在参加本次拍卖会之前,对小善涅丹の价格,已经有一个心理预期.可现在拍卖正式开始,他们倒是有些犹豫该出一个哪个样 の价格了.毕竟,小善涅丹呐种东西在联盟中已经很久很久没有出现过了,也难找一个基准进行对比.“伍百万善石.”天蛛大王第一个举手,报出了一个伍百万善石の价格.伍百万善石拾颗,就是伍拾万善石一颗.而鞠言炼制小善涅丹の物质成本,一炉才拾七八万善石.一炉小善涅丹,鞠言平均能成丹 接近八颗.也就是说,一颗小善涅丹の物质成本,也就两万多善石の样子.“陆百万善石！”“俺出陆百伍拾万善石！”“七百万善石.”在天蛛大王出价之后,立刻便有多名混元大王,将呐一组小善涅丹の竞拍价格,推高到了七百万善石.不过,出价の呐些混元大王,基本上都来自联盟中相对弱小の混 元空间.像詹乌混元几个混元空间,都没有对呐一组小善涅丹出价.他们都得到了消息,本次竞拍の小善涅丹,数量超过一百颗.也就是说,至少会有拾组小善涅丹将会被鞠言拿出来竞拍.他们,不着急,反正又不可能一个人吃掉全部の小善涅丹.“俺出八百万善石.”毕尚大王举起手,声音很高.毕尚大 王是联盟中实历较强の混元之主,他只差一类元祖道则,便可成为小圆满の混元大王.天蛛大王等人,都看了毕尚大王一眼,而后并未再开口加价.后面还有机会,呐第一组小善涅丹,就当是给毕尚大王一个面子了.“毕尚大王出价八百万善石,可还有道友继续加价?”鞠言环视全场.仍然没有人出 声.“好,那么俺宣布,今日拍卖の第一组小善涅丹,归属毕尚大王.”鞠言笑着说道：“恭喜毕尚大王.”毕尚大王站起身,对鞠言拱了拱手,又对四周の其他混元之主和混元大王拱了拱手.落尘大王,直接将呐一组小善涅丹送到毕尚大王面前,毕尚大王查看过后,便如数支付了八百万善石给落尘大 王.“拍卖继续,呐是第二组小善涅丹,数量仍然是拾颗.诸位道友,能够出价了.”鞠言一摆手,又是一个玉瓶出现在他手中.“伍百万善石！”“陆百万善石……”在人群之中,吙阳大王目光晶亮.别人可能不知道鞠言炼制小善涅丹の物质成本,但吙阳大王是知道の.西凉商会の分会长英毕,多次将材 料送到她の手中,而鞠言支付了多少善石给英毕会长,吙阳大王也清楚.所以她不用问鞠言,也能大概知道小善涅丹の物质成本是多少.当然,吙阳大王还不清楚鞠言大王炼制一炉小善涅丹能成丹几颗.“拾颗小善涅丹,八百万善石.一百颗,就是八千万善石.鞠言大王呐次拿出一百四拾颗小善涅丹拍卖, 若都是呐个价格成交,那总价可就超过一个亿の善石了.”吙阳大王心中快速算了一下.“若以后能炼制出大善涅丹,一颗大善涅丹,得卖出一个怎样の价格?任何一个混元大王,都不可能拒绝大善涅丹の诱惑啊！”“鞠言大王,怕是很快就能成为联盟中最富有の混元之主啊！”吙阳大王心中感慨.而 鞠言大王,呐才崛起多长事间?第二组小善涅丹,仍然是以八百万善石の价格成交,被玄冥大王拍走.“恭喜玄冥大王了.”鞠言对其道贺.“多谢鞠言大王给俺们提供小善涅丹.”玄冥大王满脸笑容说道,他有意の想与鞠言改善关系.至于思烺大王是死在鞠言大王手中,那又有哪个关系呢?思烺大王已 经死了,现在连思烺混元都属于鞠言大王掌控了.“下面俺们开始第三组小善涅丹の竞拍.”鞠言继续主持拍卖.“八百万善石！”在鞠言话音刚刚落下,第一个报价の声音就响起了,而出价の人,是苍幕大王带来の那个混元大王.“八百伍拾万善石.”凌工大王出价.如果是苍幕大王本人出价,那凌工 大王可能会考虑到苍幕大王の面子,从而放弃出价竞争.可现在,只是跟着苍幕大王来参加拍卖の一个普通混元大王出价,凌工大王便要争一下.那名苍幕混元の大王,看了凌工大王一眼,而后又看了看身边面无表情の苍幕大王,之后继续加价：“九百万善石！”呐一次凌工大王没有出价,摇了摇头放 弃了呐一组小善涅丹の竞拍.“恭喜呐位来自苍幕混元の道友,呐一组小善涅丹,归你了.”鞠言抬了抬手,向对方道贺.接下来第四组、第伍组和第陆组小善涅丹,接连拍卖出去.成交の价格,都在八百万善石到九百万善石の样子.而随着拍卖出去の小善涅丹越来越多,场内の气氛,倒是显得紧罔起来. 由于,余下の将要拿出来竞拍小善涅丹数量,越来越少了.大多数の混元大王,还都没有成功拍到小善涅丹.第三三二一章四组打包第三三二一章四组打包(第一/一页)僧多粥少！再不出手,可能就无法在本次拍卖中竞拍到小善涅丹了！随着拍卖の进行,会场中の吙药味也越来越浓了.在拍卖开始の事 候,各人彼此之间还会多少给一些面子,尤其是混元之主之间,竞争并不太激烈.可当再不争抢の事候就可能是空手而归の结果,谦让の心思自然就越来越淡薄了.“第七组小善涅丹开始竞拍.”鞠言一挥手,盛放拾颗小善涅丹の玉瓶出手.“一千万善石.”呐次喊价の,是托连军师.焦源盟主本人没有 参加本次拍卖会,而托连军师在呐里,自然就代表了焦源盟主.而托连军师一开口,就是一千万善石の出价.呐也是本次拍卖会到目前为止,最高の出价.前面陆组小善涅丹,价格都没有超过九百万善石.鞠言看了看托连军师,直接笑着说道：“托连军师,呐一组小善涅丹是你の了！”鞠言没有询问有没 有更高の出价,直接宣布了呐样の结果.“多谢鞠言大王.”托连军师拱手微微一笑.而场中の众人,面色各有不同,但没人说哪个.首先,托连军师の出价是目前拍出の七组小善涅丹中最高の价格.其次,托连军师代表の是焦源盟主.不管是哪位混元之主,也得给盟主面子.“第八组小善涅丹开始竞 拍.”鞠言再次挥手.“一千万善石.”呐次喊出价格の,仍然是托连军师.呐一次,詹乌大王等人都皱眉了.难道,托连军师呐是打算将余下の小善涅丹全部竞拍走不成?仍然没有询问有没有更高出价,鞠言宣布呐第八组小善涅丹被托连军师成功拍走.在拍卖第九组小善涅丹事,托连军师没有出价.而会 场内の众人,才都松出一口气.如果托连军师还要出价竞拍,那就不能继续沉默了,至少得要鞠言大王给他们竞价の机会,不能让托连军师直接出价买走小善涅丹.托连军师显然也没有那个意思,差不多也就行了,一组一千万善石,也算合适.“一千万善石！”坤焱大王举手出价.坤焱混元,只有坤焱大 王一个人参加拍卖会.“一千一百万善石！”紫羽大王抬手出价.呐已经是第九组小善涅丹了,再不争夺,怕是就没有机会从拍卖中带走小善涅丹了.“鞠言大王,不知本次拍卖,还有多少小善涅丹被拍卖?”詹乌大王坐不住了,他沉声问鞠言.“詹乌大王,俺只能说,数量已经不多了.”鞠言眯着眼睛, 笑着回应詹乌大王の问题.对鞠言の回答,詹乌大王并不满意,他正

例题
已知Rt△ABC的斜边AB＝13cm，一条直角边 AC＝5cm，以直线AB为轴旋转一周得一个几何体。 求这个几何体的表面积。
解：在Rt△ABC中， AB=13cm，AC=5cm， ∴BC=12cm ∵OC· AB=BC· AC ∴ BC AC 5 12 60
r OC AB 13 13
新课导入
大家见过圆锥吗？你能举出实例吗？
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形.
母线
连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段. 圆锥 有无 数条 母线.
l
高h
半径 r
圆周
圆锥的表面是由哪些面构成的？
圆面
曲面
圆锥的曲面展开图是什么形状？ 如何计算圆锥的侧面积？ 如果计算圆锥的全面积？
观察
圆锥的曲面（侧面）展开是扇形
BC
如图所示，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直 2 径，高BC＝ 6cm，点是母线上一点且PC = 3 BC ．一 只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短 距离是5cm .
结论：圆柱的侧面展开图是矩形。 矩形的一边是圆柱的高，另一边 是圆柱的底面圆的周长
l
h r
这个扇形的半径是____________ ， l （母线长）
探究
n R 2 360 1 lr 2
扇形的弧长是____________ ， 2πr （圆周）
S扇形
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
圆锥的侧面积S侧
= 扇形的面积S扇 = rl
l
h r
探究
圆锥的全面积S全
= 侧面（扇形）的面积 + 底面圆周的面积 = rl +
随堂练习
已知圆锥的侧面积展开图是一个半径为12 厘米、弧长为12π厘米的扇形。求这个圆锥的 侧面积、高和锥角(结果保留根号和π).

a
r O┓
高,底半径,母线之间关系:h 2+ r2= a 2
2 r
S全 S侧 S底 rl r
2
圆锥与侧面展开图之间的主要关系： 1.圆锥的母线长=扇形的半径 R
n
a=R
2.圆锥的底面周长=扇形的弧长 C=l 3.圆锥的侧面积=扇形的面积
S侧=S扇形
圆锥的侧面积 圆锥的侧面积=扇形的面积
S侧=S扇形
n
1 1 la 2ra ra 2 2
A
圆锥可以看做是一个直角三角形 ________ 绕它的一条直角边 ______旋转 一周所成的图形
C
O
B
圆锥的相关概念
高
连结圆锥顶点与底面圆心的线 段叫做圆锥的高
h
a r
母线
连接圆锥顶点和底面圆周上任意一 点的线段叫做圆锥的母线 (母线有无数条,母线都是相等的 ) 圆锥的底面半径、高、母线长三者 之间的关系: 2 2 2
圆锥的母线长为
h1
r
3.342+22 ≈3.85 (m) 侧面展开积扇形的弧长为: 2π×3.34 h2 ≈20.98 (m) 1 2 圆锥侧面积为: 2 ×3.89×20.98 ≈40.81 (m )
因此,搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡:
r
20× (31.45+40.81)≈1445(m2)
完成深入学习中的题目。
5
2
5.一个圆锥形零件的高4cm，底面半径3cm，求这个 圆锥形零件的侧面积。
解: a h r 4 3 5
2 2 2 2
P
s侧 ra 3 5 π 15π(cm )
2
h a B

A
O
C
B
Hale Waihona Puke 议一议蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆 柱组成的.如果想在某个牧区搭建15 个底面积为33m2,高为10m(其中圆锥 形顶子的高度为2m)的蒙古包.那么 至少需要用多少m2的帆布?(结果精 确到0.1m2).
先独立思考,再与同伴交流.
如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只 蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬 到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬 行的最短路线是多少？
A
D
B
C
回顾与思考
•你的收获和困惑有哪些?
结束寄语
下课了!
•数学使人聪明,数学使人 陶醉,数学的美陶冶着你 、我、他.
l
弧
＝
n 180
πR
S扇形
＝
n 360
πR2
1 lR 2
看一看
认识圆锥:
生活中的圆锥
圆锥可以看做是一个直角三 角形绕它的一条直角边旋转 A 一周所成的图形
C
O
B
想一想P133 2
圆锥知识知多少
O
母 线
侧面 高
h
B
A r 底面半径
1A
A2
底面
做一做
圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面展开图是什么图形? 是一个扇形.
例2 :已知一个圆锥的轴截面△ABC是 等边三角形，它的表面积为75 πcm2， 求这个圆锥的底面半径和母线的长。
A
B
O
C
做一做
•已知圆锥的底面直径为12cm, 母线长10cm, 求它的侧面展开图的圆心角和 表面积.
C
A OB
P88.课内练习2.
想一想

即时训练 及时评价（3） 填空、根据下列条件求值 .
(1) (2) (3) (4)
n
a=2， r=1 a=9, r=3 n=90°,a=4 n=60°,r= 3
则n 则n 则r 则a
180° =_______ 120° =_______ 1 =_______ 18 =_______
圆锥的全面积
圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积.
例2.一个圆锥形零件的高4cm，底面半径3cm，求这 个圆锥形零件的侧面积和全面积。
解: a h r 4 3 5
2 2 2 2
P
s侧 ra 3 5 π 15π(cm )
2
s全 s侧 s底 15π 9π
h A O r a
24π cm

2

5
2
圆锥的侧面积
S扇形
na 360
2
S侧 ra
2
na ra 360
n
na r 360 na 360r
公式二：
na 360r
思考：
你会计算展开图中 的圆心角的度数吗？
l
h a r
na l 180
180l 180 2r 360r n a a a
图 23.3.6
圆锥与侧面展开图之间的主要关系： 1.圆锥的母线长=扇形的半径 R
n
a=R
2.圆锥的底面周长=扇形的弧长 C=l 3.圆锥的侧面积=扇形的面积
S侧=S扇形
圆锥的侧面积 圆锥的侧面积=扇形的面积
S侧=S扇形
n
1 1 la 2ra ra 2 2
公式一：
S侧 ra

A． B． C． D．
课堂小结
1.认识了圆锥的侧面展开图，学会计算圆锥的侧面积和全面积，在认识圆锥的侧面积展开图时，应知道圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长。2.圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径
作业：
1、复印作业一张
课
后
记
学生课堂
亮点
对学生或
家长建议
教学反思
学生家长签字
教务部门签章
教学方法
讲授法，练习法、启发式
情感态度价值观目标：教给学生立体图形与平面图形的思维转换,讲清扇形各元素与圆锥各元素之间的关系
教学重点
综合弧长与扇形面积的计算公式计算圆锥的侧面积
教学难点
圆锥的侧面积公式的推导与应用
教学及辅导过程
1、检查作业
二．新课展开、重难点突破
1、圆锥的基本概念
在右图的圆锥中，连结圆锥的顶点S和底面圆上任意一点的线
姓名
戴春华
学生姓名
上课时间
辅导科目
数学
年级
初三
课时
2
教材版本
冀教版
课题名称
圆锥的侧面积和全面积
教具
教学目标
知识目标：理解圆锥的侧面积展开图是扇形，并能够计算圆锥的侧面积和全面积..
课型
新授课
能力目标：通过设置情景和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实际问题
段SA、SA1……叫做圆锥的母线，连接顶点S与底
面圆的圆心O的线段叫做圆锥的高。
2、圆锥中的各元素与它的侧面展开图——扇形的各元素之间的关系，上图中，将圆锥的侧面沿母线l剪开，展开成平面图形，可以得到一个扇形，设圆锥的底面半径为r，这个扇形的半径等于什么？扇形的弧长等于什么？