江苏省第一届至第十界高等数学竞赛本科一级真题

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.1y x =+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21xx e dx x-=⎰ 5.4211dx x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n =记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x-=⎰6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y∂∂+=∂∂8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D=二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰.四.（12分）求广义积分4211dx x +∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（民办本科）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x -=⎰ 6.214arctan 1x x dx x =+⎰7.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 8.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰.四. （12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.五．（12分）已知正方体1111ABCD A BC D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

七（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级、民办本科）一.填空（每题5分，共40分）1.22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭2. ()2301lim 1xt x e dt x -→-=⎰ 3. ()2lim320x x x ax b →+∞++++=，则,a b =4.()()()2sin 1,0x f x x x e f ''=++=5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则(),0e dz=6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，()1,0f -为其极大值. 7.交换二次积分的次序()211,x e exdx f x y dy -=⎰⎰ .8.设22:2,02D x x y y x ≤+≤≤≤，则221Ddxdy x y=+⎰⎰二.（8分）设()()2sin 0ln 10ax b x cx f x x x ⎧++≤⎪=⎨+>⎪⎩，试问,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在.三.（9分）过点()1,5作曲线3:y x Γ=的切线L ，（1）求L 的方程；（2）求Γ与L 所围成平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的函数，()00f =，()()1f x f x '-≤， 求证：()[)1.0,x f x e x ≤-∈+∞ 五（8分）求()12arctan 1xdx x +⎰六（9分）本科三级做：设()()()()()()2222tan ,0,0,0,0,0x y x y x y x yf x y x y -⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩，证明(),f x y 在点()0,0处可微，并求()()0,0,df x y民办本科做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积. 七（9分）本科一级考生做：用拉格朗日乘数法求函数()22,22f x y x xy y =++在区域2224x y +≤上的最大值与最小值. 八（9分）设D 为,,02y x x y π===所围成的平面图形，求()cos Dx y dxdy +⎰⎰.2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）一.填空（每题5分，共40分）1. ()f x 是周期为π的奇函数，且在0x =处有定义，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 2f x x x =-+，求当,2x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 的表达式.2. 0x →时，sin cos x x x -⋅与k cx 为等价无穷小，则c =3.()2tan 2lim sin xx x π→=4. 2222lim 14n nn n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭5. ()()2ln 1,2f x x x n =->时()()0n f =6.()()21x x e x dx x e -=-⎰7. ()1,1arctan ,x z dzy-== .8. 设()()01x x f x g x ≤≤⎧==⎨⎩其他，D 为,x y -∞<<+∞-∞<<+∞，则()()Df y f x y dxdy +=⎰⎰ .二．（10分）设()f x 在[],a b 上连续，()f x 在(),a b 内可导，(),f a a =，()()2212baf x dx b a =-⎰,求证： (),a b 内至少存在一点ξ使得()()1f f ξξξ'=-+ 三.（10分）设22:4,,24D y x y x x y -≤≥≤+≤，在D 的边界y x =上任取点P ,设P 到原点距离为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q 1）试将,P Q 的距离PQ 表示为t 的函数； 2）求D 饶y x =旋转一周的旋转体的体积四（10分）设()f x 在(),-∞+∞上有定义，()f x 在0x =处连续，且对一切实数12,x x 有()()()1212f x x f x f x +=+，求证：()f x 在(),-∞+∞上处处连续。

2010年江苏省普通高等学校第十届高等数学竞赛试题(本科一级)一填空题(每小题4分，共32分) 1.=-→30)(sin )sin(sin sin lim x x x x 。

2.设ϕ,f 可导，)),(tan (arctan x x f y ϕ+=则='y 。

3.,cos 2x y =则=)(n y 。

4.⎰=-dx e x x x 21 。

5.=-⎰∞+dx x2411 。

6.圆⎩⎨⎧≤+--++=+-+192240222222z y x z y x z y x 的面积为 。

7.设),,2(y x y x f z -=f 可微, ,2)2,3(1='f ,3)2,3(2='f 则===21y x dz 。

8.级数∑∞=--+1!2)!1()1(1n n n n n 的和为 。

二、(10分)设)(x f 在],0[c 上二阶可导，证明：),,0(c ∈∃ξ使得 )(12))()0((2)(30ξf c c f f c dx x f c ''-+=⎰。

三、(10分)已知正方体1111D C B A ABCD -的边长为2，E 为11C D 的中点，F 为侧面正 方形11B BCC 的中点，(1)试求过点F E A ,,1的平面与底面ABCD 所成的二面角的值。

(2)试求过点F E A ,,1的平面截正方体所得到的截面的面积。

四、(12分)已知ABCD 是等腰梯形，BC ∥AD ，8=++CD BC AB ，求AD BC AB ,,的长，使该梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五、(12分)求二重积分⎰⎰+Ddxdy x x )sin (cos 22，其中1:22≤+y x D 。

六、(12分)应用高斯公式计算⎰⎰++∑ds cz by ax )(222(c b a ,,为常数)， 其中z z y x 2:222=++∑。

其中Γ为曲线⎩⎨⎧≤≤=+≤≤=,21,2,10,222x x y x x x y 从)0,0(O 到)1,1(-A 七、(12分)已知数列}{n a ：,,5,2,1321 ===a a a ),3,2(311 =-=-+n a a a n n n ，记a x n 1=，判别级数∑∞=1n n x 的敛散性。

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2ln(1x y x +=+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21xx e dx x-=⎰ 5.211dx x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A BC D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n =记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x-=⎰6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y∂∂+=∂∂8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D=二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰.四.（12分）求广义积分211dx x +∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级） 一 填空题（每题4分，共32分） 1.0s in s in (s in )lims in x x x x→-=2.21y x=+/y=3.2c o s y x=，()()n yx =4.21xx ed x x-=⎰ 5.4211d x x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为7.(2,)x z f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y d z==8.级数11(1)!2!nnn n n ∞=+-∑的和为 .二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()b baab f x d x xf x d x=⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x d x ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111A B C D A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11B C CB 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面A B C D 所成二面角的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知A B C D 是等腰梯形，//,8B C A D A B B C C D++=,求,,A B B C A D的长，使得梯形绕A D 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22co ssinDx y d xd y+⎰⎰，其中22:1,0,0D x yx y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e d x x y d y Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y xx ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}na 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n=记1nnx a =，判别级数1nn x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级） 一 填空题（每题4分，共32分） 1.0s in s in (s in )lims in x x x x→-=2.2a rc ta n ta n xy xe x=+，/y=3.设由yxx y=确定()y y x =，则d y d x=4.2c o s y x=，()()n yx =5.21xx ed x x-=⎰6.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y d z==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z++=确定(),z z x y =，则z z xy∂∂+=∂∂8.设22:2,0D xyx y +≤≥，则Dx d y =⎰⎰二.（10分）设a 为正常数，使得2a xxe≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x d x xf x d x=⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x d x ξ=⎰.四.（12分）求广义积分4211d xx+∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知A B C D 是等腰梯形，//,8B C A D A B B C C D++=,求,,A B B C A D 的长，使得梯形绕A D 旋转一周所得旋转体的体积最大。

2000年江苏省第五届高等数学竞赛试题（本科一级）一、填空（每题3分，共15分） 1.设()f x =()f f x =⎡⎤⎣⎦ .2. 1limln 1x x x xx x →-=-+ . 3.()14451x dx x=+⎰.4.通过直线122123:32;:312321x t x t L y t L y t z t z t =-=+⎧⎧⎪⎪=+=-⎨⎨⎪⎪=-=+⎩⎩的平面方程为 .5.设(),z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定（F 为任意可微函数），则z z x y x y ∂∂+=∂∂ 二、选择题（每题3分，共15分）1.对于函数112121xxy -=+，点0x =是( )A. 连续点；B. 第一类间断点；C. 第二类间断点；D 可去间断点2.设()f x 可导，()()()1sin F x f x x =+，若欲使()F x 在0x =可导，则必有（ ） A. ()00f '=； B. ()00f =；C. ()()000f f '+=；D ()()000f f '-=3. ()00sin limx y x y x y →→+=- （ ） A. 等于1； B. 等于0；C. 等于1-；D 不存在 4.若()()0000,,,x y x y f f xy∂∂∂∂都存在，则(),f x y 在()00,x y ( )A. 极限存在，但不一定连续；B. 极限存在且连续；C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续 5.设α为常数，则级数21sin n n n α∞=⎛ ⎝∑ ( )A. 绝对收敛B. 条件收敛；C. 发散； D 收敛性与α取值有关三（6分）设()f x 有连续导数，()()00,00f f '=≠，求()()2002limx xx f t dtxf t dt→⎰⎰.四（6分）已知函数()y y x =由参数方程(1)010y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩确定，求202t d ydx =.五（6分）设()(),f x g x 在[],a b 上可微，且()0g x '≠，证明存在一点()c a c b <<，使得()()()()()()f a f c f cg c g b g c '-='-. 六（6分）设()f x x =，()sin 0202x x g x x ππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，求()()()0x F x f t g x t dt =-⎰.七（6分）已知(),u u x y =由方程()()(),,,,,,0,,0u f x y z t g y z t h z t ===确定，其中,,f g h 都是可微函数，求,u ux y∂∂∂∂. 八（8分）过抛物线2y x =上一点()2,a a 作切线，问a 为何值时所作的切线与抛物线241y x x =-+-所围成的平面图形面积最小. 九（8分）求级数2311111323333nn +++++⋅⋅⋅⋅的和.十（8分）设()f x 在[],a b 上连续且大于零，利用二重积分证明不等式：()()()21bbaaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰. 十一（8分）已知两个球的半径分别为,()a b a b >，且小球球心在大球球面上，试求小球在大球内的那部分的体积.十二（8分）计算曲面积分()222xy z ds ∑++⎰⎰，其中∑为曲面0)z a =>.2002年江苏省第六届高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题5分，共40分）1.()tan 0lim0x xkx e e c c x →-=≠，则k = ，c = 2. 设()f x 在[)1,+∞上可导，下列结论成立的是A. 若()lim 0x f x →+∞'=，则()f x 在[)1,+∞上有界B. 若()lim 0x f x →+∞'≠，则()f x 在[)1,+∞上无界C. 若()lim 1x f x →+∞'=，则()f x 在[)1,+∞上无界3. 设由()1yex y x x -+-=+确定()y y x =，则()0y ''= .4.arcsin arccos x xdx ⋅=⎰.5. 曲线22222z x y x y y⎧=+⎨+=⎩，在点()1,1,2的切线的参数方程为 . 6.设(),sin xy z f g e y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，f 有二阶连续导数，g 有二阶连续偏导数，则2z x y ∂=∂∂7. 交换二次积分的次序()2130,xx dx f x y dy -=⎰⎰.8.幂级数111112n n x n∞=+++∑的收敛域 .二.（8分）设40tan n n I xdx π=⎰，求证()()()1122121n I n n n <<≥+-.三.（8分）设()f x 在[],a b 上连续，()()0b bx aaf x dx f x e dx ==⎰⎰，求证: ()f x 在(),a b 内至少存在两个零点.四.（8分）求直线1211x y z-==-绕y 轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面与0,2y y ==所包围的立体的体积.五.（9分）设k 为常数，试判断级数()()221ln nkn n n ∞=-∑的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？六.（9分）设()()()()(),0,0,0,0,0y x y f x y x y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩讨论(),f x y 在()0,0连续性，可偏导性与可微性.七.（9分）设()f u 在0u =可导，()2200,:2,0f D x y tx y =+≤≥，求41lim t Dfydxdy t +→⎰⎰八.（9分）设曲线AB 的方程为()22430x y y x +=-≥，一质点P 在力F 作用下沿曲线AB 从()0,1A 运动到()0,3B ，力F 的大小等于P 到定点()2,0M 的距离，其方向垂直于线段MP ，且与y 轴正向的夹角为锐角，求力F 对质点P 做得功.2004年江苏省第七届高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题5分，共40分）1.0x →时，sin cos cos 2x x x x -⋅⋅与kcx 为等价无穷小，则c = 2. 21lim arctan x x x x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭3. 2lim n n →∞⎛⎫++=+ 4. ()()4ln 1,4f x x x n =->时()()0n f =5.()2sin cos cos sin x x xdx x x +⋅=-⎰6.()112nn nn ∞==+∑ . 7.设(),f x y 可微，()()()1,22,1,23,1,24x y f f f ''===，()()(),,2x f x f x x ϕ=，则()1ϕ'= . 8. 设()()010x x f x g x ≤≤⎧==⎨⎩其他，D 为,x y -∞<<+∞-∞<<+∞，则()()Df y f x y dxdy +=⎰⎰ .二．（10分）设()f x '在[],a b 上连续，()f x 在(),a b 内二阶可导，()()0f a f b ==，()0baf x dx =⎰，求证:1) (),a b 内至少存在一点ξ使得()()f fξξ'=；2）(),a b 内至少存在一点,,ηηξ≠使得()()f f ηη''=三.（10分）设22:4,D x y x y x +≤≤-，在D 的边界y x =-上任取点P ,设P 到原点距离为t ，作PQ 垂直于y x =-，交D 的边界224x y x +=于Q1）试将,P Q 的距离PQ 表示为t 的函数；2）求D 饶y x =-旋转一周的旋转体的体积. 四（10分）已知点(1,0,1),(3,1,2)P Q ,在平面212x y z 上求一点M ，使PM MQ 最小.五（10分）求幂级数()()1132n nn n x n ∞=+-∑的收敛域.六（10分）求证：332ππΩ<<，其中222:1x y z Ω++≤. 七（10分）设()f x 连续，可导，()11f =，G 为不含原点单连通域，任取,M N G ∈，G 内积分()()212NMydx xdy x f y -+⎰与路径无关. （1）求()f x ；（2）求()()212ydx xdy x f y Γ-+⎰其中Γ为22331x y +=边界取正向.2006年江苏省第八届高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题5分，共40分）1.()3xf x a =，()()()41limln 12n f f f n n →∞=⎡⎤⎣⎦2. ()()2501lim 1xtx x e dt x -→-=⎰3.()122arctan 1xdx x =+⎰4.已知点()4,0,0,(0,2,0),(0,0,2)A B C --,O 为坐标原点，则四面体OABC 的内接球面方程为5. 设由y zx ze+=确定(,)z z x y =，则(),0e dz =6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，()1,0f -为其极大值.7.设Γ是sin (0)y a x a =>上从点()0,0到(),0π的一段曲线，a = 时，曲线积分()()222y x y dx xy e dy Γ+++⎰取最大值.8.级数()111n n ∞+=-∑条件收敛时，常数p 的取值范围是 二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200-公里/小时3. 三.（10分）曲线Γ的极坐标方程为1cos 02πρθθ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，求该曲线在4πθ=所对应的点的切线L 的直角坐标方程，并求切线L 与x 轴围成图形的面积.四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的有界函数，()()1f x f x '-≤，求证：()()1.,f x x ≤∈-∞+∞. 五（12分）设锥面22233(0)z x y z =+≥被平面40x +=截下的有限部分为∑.（1）求曲面∑的面积；（2）用薄铁片制作∑的模型，(1A B -为∑上的两点，O 为原点，将∑沿线段OB 剪开并展成平面图形D ，以OA 方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D 的边界的极坐标方程.六（10分）曲线220x zy ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周生成的曲面与1,2z z ==所围成的立体区域记为Ω，求2221dxdydz x y z Ω++⎰⎰⎰.七（10分）1）设幂级数21nn n a x ∞=∑的收敛域为[]1,1-，求证幂级数1nn n a x n ∞=∑的收敛域也为[]1,1-；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；若不正确举一反例说明.2008年江苏省第九届高等数学竞赛题（本科一级）一．填空题（每题5分，共40分） 1.a，b时，2limarctan 2xaxx xbxx2. a ，b 时()ln(1)1xf x ax bx在0x时关于x 的无穷小的阶数最高。

江苏高等数学竞赛试题汇总HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题4分，共32分）1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2ln(1x y x =+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x =4.21xx e dx x-=⎰5.4211dx x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n =记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一 填空题（每题4分，共32分）1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x =5.21xx e dx x-=⎰6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y∂∂+=∂∂8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D=二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得()0f x dx ξ=⎰.四.（12分）求广义积分4211dx x +∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题4分，共32分）1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2ln(1x y x =+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x =4.21xx e dx x-=⎰5.4211dx x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-L()2,3,,n =L 记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一 填空题（每题4分，共32分）1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x =5.21xx e dx x-=⎰6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y∂∂+=∂∂ 8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D=二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且110()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰.四.（12分）求广义积分4211dx x+∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

第一届数学竞赛试题及答案试题一：求和问题题目：计算下列数列的前10项和：\[ 1, 3, 5, 7, \ldots, 19 \]答案：这是一个等差数列，首项 \( a_1 = 1 \)，公差 \( d = 2 \)。

前 \( n \) 项和的公式为：\[ S_n = \frac{n}{2} \times (2a_1 + (n-1)d) \]将 \( n = 10 \)，\( a_1 = 1 \)，\( d = 2 \) 代入公式，得到：\[ S_{10} = \frac{10}{2} \times (2 \times 1 + (10-1) \times 2) = 5 \times (2 + 18) = 5 \times 20 = 100 \]试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，如果一个角是30度，另一个角是60度，求斜边与较短直角边的比例。

答案：在30-60-90三角形中，较短直角边与斜边的比例是\( \frac{1}{2} \)。

所以，如果较短直角边的长度是 \( a \)，斜边的长度就是 \( 2a \)。

试题三：代数问题题目：解方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。

答案：这是一个二次方程，可以通过因式分解来解：\[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \]所以，\( x = 2 \) 或 \( x = 3 \)。

试题四：概率问题题目：一个袋子中有5个红球和3个蓝球，随机取出2个球，求取出的两个球都是红球的概率。

答案：取出第一个红球的概率是 \( \frac{5}{8} \)，取出第二个红球的概率是 \( \frac{4}{7} \)（因为已经取出一个红球）。

所以，两个都是红球的概率是：\[ \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{5}{14} \]试题五：组合问题题目：从10个人中选出3个人组成一个委员会，求不同的选法总数。

2017年江苏省高等数学竞赛一．解答下列各题（每小题5分，共25分）1.求极限：（10分）1）22232323212lim()12n n n n n n →∞++++++ 2）22233333312lim()12n n n n n n→∞++++++ 2.已知函数()y f x =在2x =处连续，2()32lim 22x f x x x →-+=-，试证()f x 在2x =处可导，并求(2)f '。

3.设[]x 表示实数x的整数部分，试求定积分611dx x ⋅⎰4.试求三重积分Ω⎰⎰⎰，其中222{(,,)|,2}x y z z x y z z Ω=++≤二．判断下一命题是否成立？若判断成立，给出证明；若判断不成立，举一反例，证明命题不成立。

命题：若函数()f x 在区间[],a b 上可导(,)a b R ∈，()0f a '>，则存在(,)c a b ∈，使得()f x 在区间[,)a c 上单调增加。

（10分）三．已知函数()f x 在区间[],a b 上连续，n N ∈，求证：1(()()1b b n a a b x f x dx f x dx b a n -≤-+⎰⎰（10分）四．求函数233(,)3(2)8f x y x y x y =-+-的极值，并证明(0,0)0f =不是(,)f x y 的极值（13分）五．设,02()0,02x x f x x orx ≤≤⎧=⎨<>⎩，试求二重积分2R ，其中2{(,)|||,||}R x y x y =<+∞<+∞（12分）六．设Γ为圆224x y +=，试将对弧长的曲线积分222(1)(1)x y y ds x y Γ+-+-⎰化为对坐标的曲线积分，并求该曲线积分的值。

（10分）七．已知直线1513:102x y z L -+-==与2811:.211x y z L ---==--1）证明1L 与2L 是异面直线；2）若直线L 与12L L 、皆垂直且相交，交点分别为P Q 、，试求点P 与Q 的坐标；3）求异面直线1L 与2L 的距离。

历届高等数学竞赛真题一、极限1、n n n n n !2lim ⋅∞→ 2、)2cos 2cos 2(cos lim 2n n x x x ⋅⋅∞→ 3、)sin ln arctan(lim x x x x ⋅-+∞→ 4、520)sin(limx dt xt x x ⎰→5、 1101lim21arctantt t tete tπ→+- 6、0tan(sin )sin(tan )lim tan sin t x x x x →-- 7、))1()1(1221111(lim 22222--+-++-++-+∞→n n n n n n8、设10tan(tan )sin(sin )tan (sin )lim 0a a x x x b z x x -→⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦，且0b ≠，求常数,a b 9、设)(1lim)(2212N n x bxax x x f n n n ∈+++=-∞→，求a 、b 的值，使与)(lim 1x f x →)(lim 1x f x -→都存在.10、limn →∞a 为常数。

11、()()200cos 2lim tan 1xtx x e tdt x x x →----⎰ 12、∑=∞→++n k n k n kn 12lim13、设0,0>>b a ，求xx x x ba b a 1110)(lim ++++→14、⎰+∞→n n dx xn1)11ln(1lim15、x e e x x x 3sin )1()1sin(lim 4sin 0---+→ 16、)1221212(lim 21nn n n nnnnn ++++++∞→ 17、0)1(lim 33=---∞→b ax x x ，求b a ,18、设)(x f 在12=x 邻域内可导，0)(lim 12=→x f x ，998)(lim /12=→x f x ，求3121212)12(])([limx dtdu u f t x tx -⎰⎰→19、设b a <<0，求ttx dx x a bx 1100))]1([(lim ⎰-+→20、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠≠+-++=122,1)2)(1()(4x x x x x b ax x x f 在1=x 处连续，求b a ,21、设n n n x x x x x ⋅===++1221,2,1，求n n x ∞→lim22、xx x x )21(lim 1+∞→ 23、 n n n n 1)!(1lim ∞→24、设0)()1(lim3210≠=++-+→d x cx bx a x xx ，求d c b a ,,, 25、设01>x ，nnn x x a x ++=+11，求n n x ∞→lim26、nn n nn n n ln )ln ln (lim -+∞→27、))ln(11(lim 3234234xe x x x x x x x x x x +⋅+++-+++++∞→ 28、已知数列{}n x ，满足1lim()0n n n x x +→∞-=，证明：lim0nn x n→∞=29、已知10=x ，13014x x =+，41312+=x x ，…，4131+=+n n x x ，…. 求证：（1）数列}{n x 收敛；（2）}{n x 的极限值a 是方程0144=-+x x 的唯一正根二、导数和微分1、求x x y +-=11的n 阶导数2、11arccos 22+-=x x y ，求/y3、)1()1)(1)(1(2842nx x x x y ++++= ，求1/|=x y4、设x y y x arctanln22=+，当0,1==y x 时，求dxdy5、设dt t y x x ⎰=sec csc 2arctan ，求dxdy6、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==⎰⎰--t t u duu y due x 02140)1(2，求22,dx y d dx dy 7、)(x f 和)(x g 互为连续的反函数，32)0(,1)0(/-==g f ，求)1(/g 8、设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上可导，且0)()(==b f a f ，证明 （1）存在),(b a ∈ξ，使0)()(/=+ξξξf f （2）存在),(b a ∈η，使0)()(/=+ηηηf f9、设函数)(x f 在),0[+∞上可导，且21)(0x xx f +≤≤，证明存在0>ξ，使222/)1(1)(ξξξ+-=f 10、求点（0，4）到抛物线102x y =的最短距离11、设)(x f 在],0[π上连续，在),0(π上可导，证明至少存在一点),0(πξ∈使得ξξξcot )()(/⋅-=f f12、设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0,(0)(0)0f f f '''>==，t 是曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在x 轴的截距，求0()lim()x xf t tf x →13、设()f x 在()1,1-内有()0f x ''<，且0()s i n li m2x f x xx→-=，证明在()1,1-内有()3f x x ≤.14、试问：方程22(3)xe x x -=-总共有几个实根.15、()[])1()(lim lim --=-+∞→∞→x f x f ax a x x x x ，则=a 。

2000年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题3分，共15分）. 1.设()f x =()f f x =⎡⎤⎣⎦2. 1limln 1x x x xx x →-=-+ 3.()14451x dx x=+⎰4.通过直线122123:32;:312321x t x t L y t L y t z t z t =-=+⎧⎧⎪⎪=+=-⎨⎨⎪⎪=-=+⎩⎩的平面方程为5..设(),z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定（F 为任意可微函数），则z zxy x y∂∂+=∂∂ 二选择题（每题3分，共15分）1.对于函数112121xx y -=+，点0x =是 .A. 连续点；B. 第一类间断点；C. 第二类间断点；D 可去间断点2.设()f x 可导，()()()1sin F x f x x =+，若欲使()F x 在0x =可导，则必有（ ） A. ()00f '=； B. ()00f =；C. ()()000f f '+=；D ()()000f f '-=3. ()00sin limx y x y x y →→+=-（ ）A. 等于1；B. 等于0；C. 等于1-；D 不存在 4.若()()0000,,,x y x y f f xy∂∂∂∂都存在，则(),f x y 在()00,x yA. 极限存在，但不一定连续；B. 极限存在且连续；C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续5.设α为常数，则级数21sin n n n α∞=⎛ ⎝∑ A. 绝对收敛 B. 条件收敛； C. 发散； D 收敛性与α取值有关三（6分）设()f x 有连续导数，()()00,00f f '=≠，求()()2002limx xx f t dtxf t dt→⎰⎰四（6分）已知函数()y y x =由参数方程(1)010y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩确定，求202t d ydx =五（6分）设()(),f x g x 在[],a b 上可微，且()0g x '≠，证明存在一点()c a c b <<，使得()()()()()()f a f c f cg c g b g c '-='-。