江苏省第一届至第十届高等数学竞赛本科三级试题

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（民办本科）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x -=⎰ 6.214arctan 1x x dx x =+⎰7.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 8.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰.四. （12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.五．（12分）已知正方体1111ABCD A BC D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

七（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级、民办本科）一.填空（每题5分，共40分）1.22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭2. ()2301lim 1xt x e dt x -→-=⎰ 3. ()2lim320x x x ax b →+∞++++=，则,a b =4.()()()2sin 1,0x f x x x e f ''=++=5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则(),0e dz=6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，()1,0f -为其极大值. 7.交换二次积分的次序()211,x e exdx f x y dy -=⎰⎰ .8.设22:2,02D x x y y x ≤+≤≤≤，则221Ddxdy x y=+⎰⎰二.（8分）设()()2sin 0ln 10ax b x cx f x x x ⎧++≤⎪=⎨+>⎪⎩，试问,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在.三.（9分）过点()1,5作曲线3:y x Γ=的切线L ，（1）求L 的方程；（2）求Γ与L 所围成平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的函数，()00f =，()()1f x f x '-≤， 求证：()[)1.0,x f x e x ≤-∈+∞ 五（8分）求()12arctan 1xdx x +⎰六（9分）本科三级做：设()()()()()()2222tan ,0,0,0,0,0x y x y x y x yf x y x y -⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩，证明(),f x y 在点()0,0处可微，并求()()0,0,df x y民办本科做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积. 七（9分）本科一级考生做：用拉格朗日乘数法求函数()22,22f x y x xy y =++在区域2224x y +≤上的最大值与最小值. 八（9分）设D 为,,02y x x y π===所围成的平面图形，求()cos Dx y dxdy +⎰⎰.2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）一.填空（每题5分，共40分）1. ()f x 是周期为π的奇函数，且在0x =处有定义，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 2f x x x =-+，求当,2x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 的表达式.2. 0x →时，sin cos x x x -⋅与k cx 为等价无穷小，则c =3.()2tan 2lim sin xx x π→=4. 2222lim 14n nn n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭5. ()()2ln 1,2f x x x n =->时()()0n f =6.()()21x x e x dx x e -=-⎰7. ()1,1arctan ,x z dzy-== .8. 设()()01x x f x g x ≤≤⎧==⎨⎩其他，D 为,x y -∞<<+∞-∞<<+∞，则()()Df y f x y dxdy +=⎰⎰ .二．（10分）设()f x 在[],a b 上连续，()f x 在(),a b 内可导，(),f a a =，()()2212baf x dx b a =-⎰,求证： (),a b 内至少存在一点ξ使得()()1f f ξξξ'=-+ 三.（10分）设22:4,,24D y x y x x y -≤≥≤+≤，在D 的边界y x =上任取点P ,设P 到原点距离为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q 1）试将,P Q 的距离PQ 表示为t 的函数； 2）求D 饶y x =旋转一周的旋转体的体积四（10分）设()f x 在(),-∞+∞上有定义，()f x 在0x =处连续，且对一切实数12,x x 有()()()1212f x x f x f x +=+，求证：()f x 在(),-∞+∞上处处连续。

江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分） 1.函数sin sin y x x =（其中2x π≤）的反函数为________________________。

2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与nx 为同阶无穷小，则n =____________。

3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。

4.设(1)()n m nnd x p x dx-=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。

5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=⎰_______________________________。

6. 若函数)(t x x =由⎰=--xt dt e t 102所确定的隐函数，则==022t dt xd 。

7.已知微分方程()y yy x xϕ'=+有特解ln x y x =，则()x ϕ=________________________。

8.直线21x zy =⎧⎨=⎩绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。

9.已知a v为单位向量，b a ϖϖ3+垂直于b a ϖϖ57-，b a ϖϖ4-垂直于b a ϖϖ27-，则向量b a ϖϖ、的夹角为____________。

10. =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→nn n n n n 122222212111lim Λ 。

二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求n n a ∞→lim 。

三、（7分）求c 的值，使⎰=++b ac x c x 0)cos()(，其中a b >。

江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分）1.函数sin sin y x x=（其中2x π≤）的反函数为________________________。

2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与nx 为同阶无穷小，则n =____________。

3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。

4.设(1)()n m nn d x p x dx -=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。

5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=⎰_______________________________。

6. 若函数)(t x x =由⎰=--xt dt e t 12所确定的隐函数，则==022t dt xd 。

7.已知微分方程()y y y x x ϕ'=+有特解ln x y x =，则()x ϕ=________________________。

8.直线21x zy =⎧⎨=⎩绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。

9.已知a v 为单位向量，b a ϖϖ3+垂直于b a ϖϖ57-，b a ϖϖ4-垂直于b a ϖϖ27-，则向量b a ϖϖ、的夹角为____________。

10.=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→nn n n n n 122222212111lim Λ 。

二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n，求nn a ∞→lim 。

三、（7分）求c的值，使⎰=++bacxcx0)cos()(，其中ab>。

江苏省高校历届专科类高等数学竞赛试题第五届（2000年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题3分，共15分） 1．已知21()d f x dx x ⎡⎤=⎣⎦，则()f x '= ． 2．1ln 0lim (tan )xx x +→= ．3．= ．4．若级数11(2)66n n nn n an -∞=-+∑收敛，则a 的取值为 ． 5．[()()]sin aaf x f x xdx -+-=⎰．二、选择题（每小题3分，共15分）1．函数21()(1)x e f x x x -=-的可去连续点为（ ）．A ．0,1x =B ．1x =C ．0x =D ． 无可去连续点2．设21()sin ,()sin f x x g x x x==，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）． A ．同阶无穷小但不等价 B ．低阶无穷小 C ．高阶无穷小 D ．等价无穷小3．设常数0k >，函数()ln x f x x k e=-+在(0,)+∞内零点个数为（ ）．A ．3B ．2C ．1D ． 0 4．设()y f x =对一切x 满意240y y y '''--=，若0()0f x >且0()0f x '=，则函数()f x 在点0x （ ）．A ．获得极大值B ．获得极大值C ．某个邻域内单调增加D ．某个邻域内单调削减5．过点(2,0,3)-且与直线2470,35210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩ 垂直的平面方程是（ ）．A ．16(2)1411(3)0x y z --+++=B ．(2)24(3)0x y z --++= C．3(2)52(3)0x y z -+-+=D ．16(2)1411(3)0x y z -+++-=三、（8分）设2220ln(1)()lim (ln )e x x ax bx dx x x x +∞→+-+=⎰，求常数,a b ． 四、（6分）已知函数()y y x =由方程组(1)0,10y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩ 确定，求220t d ydx =．五、（6分）设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且对于(,)a b 内的一切x 均有()()()()0f x g x f x g x ''-≠，证明：若()f x 在(,)a b 内有两个零点，则介于这两个零点之间，()g x 至少有一个零点． 六、（6分）设12()sin sin 2sin n f x a x a x a nx =+++，其中12,,,n a a a 是实数，且|()||sin |f x x ≤，试证：12|2|1n a a na +++≤七、（6分）过抛物线2y x =上一点2(,)a a 作切线，问a 为何值时所作切线与抛物线241y x x =-+-所围成的图形面积最小？八、（6分）当0x →时，220()()()xF x x t f t dt '=-⎰的导数与2x 为等价无穷小，求(0)f '．九、（8分）求级数210(21)n n n x ∞+=+∑的收敛域及与函数.十、（8分）将1()arctan1xf x x+=-展为x 的幂级数，并指明收敛域． 十一、（6分）求581x xdx x -+⎰．十二、（8分）设可微函数()f x 在0x >上有定义，其反函数为()g x ，且满意3()211()(8)3f xg x dxx x =-⎰，试求()f x ．第六届（2002年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．40ln(1)lim1cos(1cos )x x x →-=-- ． 2．设0lim (0)x kx e c c x +→-=≠，则k = ，c = ．3．设()f x 在[1,)+∞上可导，下列结论中成立的是 ． A ．若lim ()0x f x →+∞'=，则()f x 在[1,)+∞上有界 B ．若lim ()0x f x →+∞'≠，则()f x 在[1,)+∞上无界C ．若lim ()1x f x →+∞'=，则()f x 在[1,)+∞上无界4．设2ln(1),arctan x t y t t=+=+，则22d ydx= ． 5．设由()1y e x y x x -+-=+确定()y y x =，则(0)y ''= ． 6．(arcsin arccos )x x dx -=⎰ ． 7．4+∞=⎰ ．8． 幂级数11112n n x n ∞=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∑的收敛域为 ． 二、（8分）设()f x 在[0,)+∞上连续且单调削减，0a b <<，求证： 三、（9分）设()sin f x kx x =+．（1）若1k ≥，求证：()f x 在(,)-∞+∞上恰有一个零点；（2）若01k <<，且()f x 在(,)-∞+∞上恰有一个零点，求常数k 的取值范围．四、（8分）求2201tan 2xx e dx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰．五、（9分）设2224420,:22.x y z x y z x y z k ⎧+++-+=Γ⎨+-=⎩（1）当k 为何值时Γ为一圆？ （2）当6k =时，求Γ的圆心与半径．六、（8分）求直线1211x y z-==-绕y 轴旋转一周的旋转曲面的方程，并求该曲面与0,2y y ==所包围的立体的体积．七、（9分）求2222123123lim 2222n n n →∞⎛⎫++++ ⎪⎝⎭． 八、（9分）设k 为常数，试判别级数221(1)(ln )nk n n x ∞=-∑的敛散性，何时肯定收敛？何时条件收敛？何时发散？第七届（2004年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．()f x 是周期为π的奇函数，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 2f x x x =-+，则当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x = ．2．当0x →时，sin cos x x x -与k cx 为等价无穷小，则k = ，c =．3．2tan 2lim(sin )x x x π→= ．4．2222lim 14n n nn n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭． 5．已知2()ln(1)f x x x =-，则当2n >时，()(0)n f = ．6．2(1)(1)x x e x dx xe +=-⎰． 7．以直线x y z ==为对称轴，且半径1R =的圆柱面方程为 ． 8． 1(1)2nn nn ∞==+∑． 二、（10分）设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，()f a a =，221()()2baf x dx b a =-⎰，求证：在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()()1f f ξξξ'=-+．三、（10分）设22{(,)|4,,2,4}D x y y x y x x y x y =-≤≥+≥+≤．在D 的边界y x =上任取一点P ，设P 到原点的间隔 为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q ．（1）试将,P Q 的间隔 ||PQ 表示为t 的函数；（2）求D 绕y x =旋转一周的旋转体体积．四、（10分）设()f x 在(,)-∞+∞上有定义，()f x 在0x =处连续，且对一实在数12,x x 有1212()()()f x x f x f x +=+，求证：()f x 在(,)-∞+∞上到处连续．五、（10分）设k 为常数，方程110kx x-+=在(0,)+∞上恰有一根，求k 的取值范围．六、（10分）已知点(1,0,1)P -与(3,1,2)Q ，在平面212x y z -+=上求一点M ，使得||||PM MQ +最小．七、（10分）求幂级数11(32)nn nn x n ∞=+∑收敛域 第八届（2006年）专科类高等数学竞赛试题 一、填空题（每小题5分，共40分）1．22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭． 2．2301lim (1)xt x e dt x-→-=⎰ ． 3．若lim )0x ax b →+∞+=，则a = ，b = ．4．设2sin ()(1)x f x x x e =++，则(0)f ''= ． 5．设2ln(1),arctan x t y t =+=，则221t d y dx =-= ．6．1ln[()()]()()x bx ax a x b dx x a x b +++⋅+=++⎰ ．7．,,,A B C D 为空间的4个定点，AB 与CD 的中点分别为,E F ，||EF a =（0a >为常数），P 为空间的任一点，则()()PA PB PC PD ++的最小值为 ．8． 已知点(4,0,0),(0,2,0),(0,0,2),A B C O --为原点，则四面体OABC 的外接球面的方程为 ．二、（8分）设2sin ,0()ln(1),0ax b x c x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩ ，试问：,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在． 三、（9分）过点(1,5)作曲线3:y x Γ=的切线L ．（1）求L 的方程；（2）求Γ与L 所围平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥的局部绕x 轴旋转一周所得立体的体积． 四、（8分）设()f x 在区间[0,)+∞上是导数连续的函数，(0)0,|()()|1f f x f x '=-≤，求证：|()|1,[0,)x f x e x ≤-∈+∞．五、（8分）求12arctan (1)xdx x +⎰． 六、（9分）设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x z =++截下的（有限）局部为∑．为计算曲面∑的面积，我们用薄铁片制作∑的模型，其中(1,0,5),(1,0,1),(1,0,0)A B C --为∑上三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ．建立平面直角坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 的坐标为(0,5)．试写出D 的边界的方程，并求D 的面积．七、（9分）对常数p ，探讨级数11(1)n n ∞+=-∑何时肯定收敛？何时条件收敛？何时发散？ 八、（9分）求幂级数212nn n n x ∞=∑的收敛域与与函数． 第九届（2008年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分） 1．a = ，b = 时，2||limarctan ||2x ax x x bx x π→∞+=--．2．11lim (2)nn k k k →∞==+∑ ．3．设()(1)(2)(100)f x x x x x =---，则(100)f '= ． 4．当a = ，b = 时，2()1xf x ax x bx=+++在0x →时关于x 的无穷小的阶数最高．5．2221(1)x dx x +∞=+⎰ ．6．点(2,1,1)-关于平面25x y z -+=的对称点的坐标为 ．7．通过点(1,1,1)-与直线：,2,2x t y z t ===+的平面方程为 ．8． 幂级数1n n nx ∞=∑的与函数为 ，收敛域为 ．二、（8分）设数列{}n x为111,(1,2,)n x x n +==，求证数列{}n x 收敛，并求其极限．三、（8分）设函数()f x 在[,]a b 上连续(0),()0ba a f x dx >=⎰，求证：存在(,)a b ξ∈，使得()()a f x dx f ξξξ=⎰．四、（8分）将xOy 平面上的曲线222()(0)x b y a a b -+=<<绕直线3x b =旋转一周得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积． 五、（8分）求200lim sin()tt tx dx +→⎰．六、（10分）在平面:220x y z ∏+-=内作一条直线Γ，使该直线经过另始终线221,:343x y z L x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面∏的交点，且Γ与L 垂直，求直线Γ的参数方程．七、（8分）判别级数)11(1)1n n ∞+=-∑的收敛性（包括肯定收敛、条件收敛、发散）．八、（10分）求函数222()(1)(12)x f x x x +=-+的幂级数绽开式，并指出其收敛域．第十届（2010年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分） 1． 30sin sin(sin )limx x x x →-= ．2．2arctan()tan x y x e x =+，则y '= ． 3．设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= ． 4．2cos y x =，则()n y = ． 5．21xx e dx x -=⎰． 6．214arctan()1x x dx x =+⎰ ．7．圆2222220,42219x y z x y z x y z +-+=⎧⎨++--+≤⎩的面积为 ．8． 级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的与为 ． 二、（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值．三、（10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，且1100()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在(0,1)ξ∈，使得()0a f x dx ξ=⎰． 四、（12分）求反常积分4211dx x +∞-⎰． 五、（12分）过原点(0,0)作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积．六、（12分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中心．（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成的二面角的值；（2）试求点D 到过点1,,A E F 的平面的间隔 ． 七、（12分）已知数列{}n a 单调增加，满意123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-(2,3,)n =，记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性．第十一届（2012年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分） 1．x →= ．2．333412limx n n →∞+++= ．3．3023sin lim sin xx t tdtx x→=⎰ ．4．ln(1)y x =-，则()n y = ． 5．2arctan x xdx =⎰． 6．11arccos dx x= ． 7．点(2,1,3)-到直线13122x y z-+==-的间隔 为 ．8． 级数2(1)1knn n n ∞=--∑为条件收敛，则常数k 的取值范围是 ． 二、（每小题6分，共12分）（1）求3322131lim ()n i n n n i →∞=⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑． （2）设()f x 在0x =处可导，且(0)1,(0)2f f '==，求2(cos 1)1limx f x x →--．三、（第（1）小题4分，第（2）小题6分，共10分）在下列两题中，分别指出满意条件的函数是否存在？若存在，举一例；若不存在，请给出证明．（1）函数()f x 在(,)δδ-上有定义（0δ>），当0x δ-<<时，()f x 严格增加，当0x δ<<时，()f x 严格削减，0lim ()x f x →存在，且(0)f 是()f x 的微小值．（2）函数()f x 在(,)δδ-上一阶可导（0δ>），(0)f 为极值，且(0,(0))f 为曲线()y f x =的拐点．四、（10分）求一个次数最低的多项式()P x ，使得它在1x =时取极大值13，在4x =时取微小值14-．五、（12分）过原点(0,0)作曲线:x y e -Γ=的切线L ，设D 是以曲线Γ、切线及x 轴为边界的无界区域．（1）求切线L 的方程；（2）求区域D 的面积；（3）求区域D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．六、（12分）点(1,2,1),(5,2,3)A B --在平面:223x y z ∏--=的两侧，过点,A B 作球面∑使其在平面∏上截得的圆Γ最小．（1）求直线AB 与平面∏的交点M 的坐标；（2）若点M 是圆Γ的圆心，求球面∑的球心坐标与该球面方程；（3）证明：点M 确是圆Γ的圆心．七、（12分）求级数1(1)(1)2n n n n n n ∞=++-∑的与．。

2010年江苏省普通高等学校第十届高等数学竞赛试题(本科一级)一填空题(每小题4分，共32分) 1.=-→30)(sin )sin(sin sin lim x x x x 。

2.设ϕ,f 可导，)),(tan (arctan x x f y ϕ+=则='y 。

3.,cos 2x y =则=)(n y 。

4.⎰=-dx e x x x 21 。

5.=-⎰∞+dx x2411 。

6.圆⎩⎨⎧≤+--++=+-+192240222222z y x z y x z y x 的面积为 。

7.设),,2(y x y x f z -=f 可微, ,2)2,3(1='f ,3)2,3(2='f 则===21y x dz 。

8.级数∑∞=--+1!2)!1()1(1n n n n n 的和为 。

二、(10分)设)(x f 在],0[c 上二阶可导，证明：),,0(c ∈∃ξ使得 )(12))()0((2)(30ξf c c f f c dx x f c ''-+=⎰。

三、(10分)已知正方体1111D C B A ABCD -的边长为2，E 为11C D 的中点，F 为侧面正 方形11B BCC 的中点，(1)试求过点F E A ,,1的平面与底面ABCD 所成的二面角的值。

(2)试求过点F E A ,,1的平面截正方体所得到的截面的面积。

四、(12分)已知ABCD 是等腰梯形，BC ∥AD ，8=++CD BC AB ，求AD BC AB ,,的长，使该梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五、(12分)求二重积分⎰⎰+Ddxdy x x )sin (cos 22，其中1:22≤+y x D 。

六、(12分)应用高斯公式计算⎰⎰++∑ds cz by ax )(222(c b a ,,为常数)， 其中z z y x 2:222=++∑。

其中Γ为曲线⎩⎨⎧≤≤=+≤≤=,21,2,10,222x x y x x x y 从)0,0(O 到)1,1(-A 七、(12分)已知数列}{n a ：,,5,2,1321 ===a a a ),3,2(311 =-=-+n a a a n n n ，记a x n 1=，判别级数∑∞=1n n x 的敛散性。

2010年江苏省普通高等学校非理科专业第十届高等数学（本科三级）竞赛题一、填空题（每小题4分，共32分） 1) ()30sin sin sin limx x x x→- = 16 2）()2arctan e tan ,x y x x y '=+=则()242e tan sec 1x x x x x+++ 3） 设由y xx y =确定(),y y x =d d y x =则()()()()22ln ln 1ln ln 1.y x y y y x x y x x x y ----或 4）()2cos ,n y x y==则 12cos 22n n x π-⎛⎫+⎪⎝⎭5） 21e d xx x x-=⎰ e x C x -+ 6）设 2,,x z f x y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭f 可微，()()123,22,3,23,f f ''==则()()d z,2,1x y ==7d 8d x y -7) 设函数 (),F u v 可微，由 ()22,0F x z y z++=确定(),,z z x y =则z z x y ∂∂+=∂∂ 12z- 8）设22:2,0,d DD x y x y x y +≤≥=则169二、（10分）设a 为正常数，使得 2e ax x ≤ 对一切正数x 成立，求常数a 的 最小值。

22ln e 2ln ,axxx x ax a x≤⇔≤⇔≥解 （3分） 要求a 的最小值，只要求 ()2ln xf x x= 的最大值。

（2分） 令()()221ln 0x f x x -'== 得e,x = （2分）由于()()0e 0,e 0,x f x x f x ''<<><<时时()2e ef =所以为其最大值， （2分） 故a 的最小值为 2e. （1分）三、（10分）设()f x 在[]01， 上连续，且()()110d d f x x x f x x =⎰⎰，求证：存在 ()01,ξ∈，使得 ()0d 0.f x x ξ=⎰证法1：令()()()0d ,xF x x t f t t =-⎰ （3分）则()()()()()()1110=0,11d d d 0,F F t f t t f t t t f t t =-=-=⎰⎰⎰应用罗尔定理，()01,ξ∃∈，使得()0,F ξ'= （4分）()()()()()0d d ,x xF x f t t x f x x f x f t t '=+-=⎰⎰而于是 ()()()0d d 0.F f t t f x x ξξξ'===⎰⎰ （3分）证法2 ()()()()()0d ,00,,xF x f x x F F x f x '===⎰令则 （3分）()()()()()11100011d d d 0F f x x x F x x x F x F x x'∴===-⎰⎰⎰()()()111d ,d 0,F F x x F x x =-⇒=⎰⎰ （3分）应用积分中值定理，存在 ()0,1,ξ∈ 使得()()()()1d 10,F x x F F ξξ=-=⎰于是 ()()0d 0.F f x x ξξ==⎰ （4分）四、（12分）求广义积分421d .1x x +∞-⎰22221111d d 2121x x x x+∞+∞=++-⎰⎰解原式 （4分） 111arctan ln22241x x x +∞+∞+=+- （4分） 11arctan 2ln 3.424π=-- （4分） 五、（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线。

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2ln(1x y x +=+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21xx e dx x-=⎰ 5.211dx x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A BC D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n =记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x-=⎰6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y∂∂+=∂∂8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D=二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰.四.（12分）求广义积分211dx x +∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

江苏省⾼等数学竞赛试题汇总2010年江苏省《⾼等数学》竞赛试题（本科⼆级）⼀填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.1y x =+/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21xx e dx x-=? 5.4211dx x +∞=-?6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=??++--+≤的⾯积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为. ⼆.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =??，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ三．（10分）已知正⽅体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧⾯正⽅形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平⾯与底⾯ABCD 所成⼆⾯⾓的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平⾯截正⽅体所得到的截⾯的⾯积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转⼀周所得旋转体的体积最⼤。

五（12分）求⼆重积分()22cos sin Dx y dxdy +??，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++?，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ?≤≤?+=≤≤?从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-L()2,3,,n =L 记1n nx a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《⾼等数学》竞赛试题（本科三级）⼀填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dy dx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x -=?6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y+=8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D⼆.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对⼀切正数x 成⽴，求常数a 的最⼩值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =??，求证：存在点()0,1ξ∈，使得()0f x dx ξ=?.四.（12分）求⼴义积分4211dx x+∞-?五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转⼀周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转⼀周所得旋转体的体积最⼤。

第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.解 令，则，，（*） 令，则，，，，2．设是连续函数，且满足, 则____________.解 令，则，,解得。

因此。

3．曲面平行平面的切平面方程是__________. 解 因平面的法向量为，而曲面在处的法向量为，故与平行，因此，由=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(D 1=+y x v x u y x ==+,v u y v x -==,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu u t-=121t u -=dt 2d t u -=42221t t u +-=)1)(1()1(2t t t u u +-=-⎰+--=0142d )21(2(*)t t t ⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t )(x f ⎰--=222d )(3)(x x f x x f =)(x f ⎰=2d )(x x f A23)(2--=A x x f A A x A x A 24)2(28d )23(22-=+-=--=⎰34=A 3103)(2-=x x f 2222-+=y x z 022=-+z y x 022=-+z y x )1,2,2(-2222-+=y x z ),(00y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1,2,2(-，知，即，又，于是曲面在处的切平面方程是，即曲面平行平面 的切平面方程是。

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级） 一 填空题（每题4分，共32分） 1.0s in s in (s in )lims in x x x x→-=2.21y x=+/y=3.2c o s y x=，()()n yx =4.21xx ed x x-=⎰ 5.4211d x x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为7.(2,)x z f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y d z==8.级数11(1)!2!nnn n n ∞=+-∑的和为 .二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()b baab f x d x xf x d x=⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x d x ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111A B C D A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11B C CB 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面A B C D 所成二面角的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知A B C D 是等腰梯形，//,8B C A D A B B C C D++=,求,,A B B C A D的长，使得梯形绕A D 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22co ssinDx y d xd y+⎰⎰，其中22:1,0,0D x yx y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e d x x y d y Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y xx ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}na 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n=记1nnx a =，判别级数1nn x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级） 一 填空题（每题4分，共32分） 1.0s in s in (s in )lims in x x x x→-=2.2a rc ta n ta n xy xe x=+，/y=3.设由yxx y=确定()y y x =，则d y d x=4.2c o s y x=，()()n yx =5.21xx ed x x-=⎰6.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y d z==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z++=确定(),z z x y =，则z z xy∂∂+=∂∂8.设22:2,0D xyx y +≤≥，则Dx d y =⎰⎰二.（10分）设a 为正常数，使得2a xxe≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x d x xf x d x=⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x d x ξ=⎰.四.（12分）求广义积分4211d xx+∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知A B C D 是等腰梯形，//,8B C A D A B B C C D++=,求,,A B B C A D 的长，使得梯形绕A D 旋转一周所得旋转体的体积最大。

第十届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准（非数学类，2019年3月30日）一、填空题（本题满分30分，每小题6分）1、设函数在点在处连续，则的值为答案：2、设则答案：3、设曲线L是空间区域的表面与平面的交线，则答案：4、设函数由方程确定，其中具有连续二阶偏导数，则答案：5、已知二次型，则的规范形为答案：二、设内三阶连续可导，满足，又设数列满足严格单调减少且计算【解】由于在区间（-1,1）内三阶可导，在处有Taylor公式又，所以分①由于数列严格单调且，则，且为严格单调增加趋于正无穷的数列，注意到，故由Stolz定理及①式，有分分三、设上具有连续导数，且证明：对于成立【证明】令则故函数在上严格单调增加，记的反函数为，则定义在上，且4分于是根据积分中值定理，存在使得分因此注意到则即分四、计算三重积分：，其中【解】采用“先二后一”法，并利用对称性，得其中分用极坐标计算二重积分，得交换积分次序，得分作变量代换:并利用对称性，得所以.分五、之和.【解】级数通项令分其中.因为所以满足解这个一阶线性方程，得由得,故且分六、设A是n阶幂零矩阵,即满足证明:若A的秩为r，且则存在n阶可逆矩阵P其中为r阶单位矩阵. 【证】存在n阶可逆矩阵H,Q，使得因为所以有分对QH作相应分块为则有因此分而所以显然，所以为行满秩矩阵.8分因为使得分令则有分七、设为单调递减的正实数列,收敛，证明：收敛，所以对任意给定，存在自然数，使得当时,有因为单调递减的正数列，所以分注意到当时，有令得到分下面证明：对于任意自然数n，如果满足则有事实上,即得到分利用（2），令可以得到即分又由知，存在自然数，使得分取则当时，有因此分。

第十届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准（非数学类，2019年3月30日）一、填空题（本题满分30分，每小题6分）1、设函数在点在处连续，则的值为答案：2、设则答案：3、设曲线L是空间区域的表面与平面的交线，则答案：4、设函数由方程确定，其中具有连续二阶偏导数，则答案：5、已知二次型，则的规范形为 答案：二、设在区间内三阶连续可导，满足，又设数列满足严格单调减少且计算【解】由于在区间（-1,1）内三阶可导，在处有Taylor 公式又，所以分 ① 由于数列严格单调且，则，且为严格单调增加趋于正无穷的数列，注意到，故由Stolz 定理及①式，有分分 三、设在上具有连续导数，且证明：对于成立 【证明】令则故函数在上严格单调增加，记的反函数为，则定义在上，且4分 于是根据积分中值定理，存在使得分 因此注意到则即分四、计算三重积分：，其中【解】采用“先二后一”法，并利用对称性，得其中分用极坐标计算二重积分，得交换积分次序，得分作变量代换:并利用对称性，得所以.分五、求级数之和.【解】级数通项令分则收敛区间为其中.因为所以满足解这个一阶线性方程，得由得,故所以且分六、设A 是n 阶幂零矩阵,即满足证明 :若A 的秩为r ，且则存在n 阶可逆矩阵P ，使得其中为r 阶单位矩阵.【证】存在n 阶可逆矩阵H,Q ，使得因为所以有分对QH 作相应分块为则有因此分而所以显然，所以为行满秩矩阵8分因为所以存在可逆矩阵使得分令则有分七、设为单调递减的正实数列,为一实数列，级数收敛，证明：【证】由于收敛，所以对任意给定，存在自然数，使得当时,有因为单调递减的正数列，所以分注意到当时，有令得到分下面证明：对于任意自然数n，如果满足则有事实上,即得到分利用（2），令可以得到即分又由知，存在自然数，使得分取则当时，有因此分。

江苏省高等数学竞赛本科级试题与评分标准(一)江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准是一项重要的数学技能评估活动。

在本次竞赛中，评分标准起着至关重要的作用。

评分标准不仅决定了考试成绩的计算方式，而且也体现了竞赛评分者对学生数学水平的认知。

本文将详细介绍江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准，以便于竞赛参与者更好地了解竞赛并备战。

试题分析江苏省高等数学竞赛本科级试题旨在考察参赛学生的数学思维能力和素质。

试题难度逐级提高，分别从选择题、填空题、证明题和应用题四个方面进行测试。

选择题和填空题主要考察学生的数学基础知识和解决问题的能力，证明题则更偏重于学生的推理和论证能力。

应用题则结合实际问题进行考察，需要学生将抽象理论与实践相结合，丰富其数学思维。

评分标准江苏省高等数学竞赛本科级评分标准主要分为两个部分：试题得分和满分。

试题得分根据学生对不同难度级别试题的答案正确率进行加权。

满分则是指总分，也就是学生在所有试题中可获得的最大分数。

对于选择题，每个题目的实际得分有三种情况。

如果参赛选手回答正确，则该题得分为该题分值；如果回答错误，则得分为0；未作答则计为0分。

填空题亦是如此。

对于证明题，如果参赛选手证明正确，则该题得分为该题分值，反之则为0分。

对于应用题，情况稍有不同。

应用题的得分计算方式为：学生需要先完成所有题目，获得所有的解题思路和计算方式。

如果该题是否定回答，则该题得分为该题分值的一半；如果回答错误，再回答正确情况下得分的一半；如果回答正确，则该题得分为该题分值。

如果参赛选手未能完成所有题目，则该题记为0分。

本文介绍了江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准。

试题难度分层，主要考察参赛选手的数学思维能力和素质。

评分标准则以得分和满分为主，通过对不同难度测试题的答对记录和正确率进行加权，最终得出学生成绩。

通过本文，相信参赛学生可以对江苏省高等数学竞赛本科级有更全面的认识，并更加有效地备战竞赛。

江苏省第十届（2010年）高等数学竞赛本科三级，民办本科竞赛试题考试时间：2010年6月5日 上午 8:30—11:30一、 填空题（每小题4分，共32分）1、 极限30sin sin(sin )lim (sin )x x x x →-=_____________________________.2、已知2arctan()tan x y x e x =+，则y '=__________________. 3、设由y x x y =确定()y y x =，则dy dx =________________________. 4、设2cos y x =，则()n y =_______________________________. 5、 不定积分21x x e dx x -=⎰________________________________. 6、 积分2140arctan()1x x dx x ⋅=+⎰______________________________. 7、 圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为________________. 8、 已知z (2,)x f x y y =-，f 可微且(2,1)12(3,2)2,(3,2)3,|dz f f ''===_____________.二、（10分）设a 为正常数，使得2a x x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值。

三、（10分）设()f x 在[0,1]上连续，且1100()()f x dx xf x dx =⎰⎰； 求证：存在(0,1),ξ∈使得⎰=ξa dx x f 。

0)(四、（12分）过原点(0,0)作曲线ln y x =-的切线。

求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。

已知为侧面的中点，为，边长为正方体F D C E D C B A ABCD 1111112 的中心，11BCC B（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成的二面角的值；（2）试求点D 到过点1,,A E F 的平面的距离。

全国大学生数学竞赛赛试题(19届)一、试题概述全国大学生数学竞赛是由中国数学会主办的一项面向全国高校本科生的数学竞赛。

自2009年首届竞赛举办以来，已成功举办九届。

竞赛旨在激发大学生对数学的兴趣，提高他们的数学素养和综合能力，同时选拔优秀数学人才。

每届竞赛均设有预赛和决赛两个阶段，预赛为全国范围内的统一考试，决赛则在全国范围内选拔出的优秀选手中进行。

二、竞赛内容全国大学生数学竞赛的试题内容主要包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计等基础数学知识。

试题难度适中，既考查参赛选手的基础知识掌握程度，又注重考查他们的综合应用能力和创新思维能力。

三、竞赛特点1. 公平公正：竞赛试题由全国数学教育专家命题，确保试题质量，保证竞赛的公平公正。

2. 注重基础：竞赛试题主要考查参赛选手对基础数学知识的掌握程度，有利于引导大学生重视基础数学学习。

3. 综合应用：试题设计注重考查参赛选手的综合应用能力，培养他们的创新思维和实践能力。

4. 激发兴趣：竞赛通过丰富多样的试题形式，激发大学生对数学的兴趣，培养他们的数学素养。

四、竞赛组织全国大学生数学竞赛由各省、市、自治区数学会负责组织本地区的预赛，中国数学会负责全国范围内的决赛。

竞赛组织工作包括试题命制、竞赛宣传、选手选拔、竞赛监督等环节，确保竞赛的顺利进行。

五、竞赛影响全国大学生数学竞赛自举办以来，受到了广大高校和数学爱好者的广泛关注和热情参与。

竞赛不仅为优秀数学人才提供了展示才华的舞台，也为全国高校数学教育提供了有益的借鉴和启示。

通过竞赛，大学生们不仅提高了自己的数学水平，还结识了许多志同道合的朋友，拓宽了视野，激发了学习热情。

六、竞赛历程自2009年首届全国大学生数学竞赛举办以来，竞赛规模逐年扩大，影响力不断提升。

参赛选手涵盖了全国各大高校的本科生，包括综合性大学、理工科院校、师范院校等。

随着竞赛的普及，越来越多的学生开始关注并参与其中，竞赛逐渐成为衡量高校数学教育水平和学生数学素养的重要标志。