1虚位移原理与达朗贝尔原理

第十五（1）章 虚位移原理虚位移原理应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。

虚位移原理与达朗贝尔原理结合起来组成动力学普遍方程，为求解复杂系统的动力学问题提供了另一种普遍的方法，构成了分析力学的基础。

本书只介绍虚位移原理的工程应用，而不按分析力学的体系追求其完整性和严密性。

§15-1 约束·虚位移·虚功1．约束及其分类在第一章，我们将限制物体位移的周围物体称为该物体的约束。

为研究上的方便，现将约束定义为：限制质点或质点系运动的条件称为约束，表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。

我们从不同的角度对约束分类如下。

（1）几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。

例如图15-1所示单摆，其中质点M 可绕固定点O 在平面Oxy 内摆动，摆长为l 。

这时摆杆对质点的限制条件是：质点M 必须在以点O 为圆心、以l 为半径的圆周上运动。

若以x ，y 表示质点的坐标，则其约束方程为222l y x =+。

又如，质点M 在图15-2所示固定曲面上运动，那么曲面方程就是质点M 的约束方程，即()0,,=z y x f又例如，在图15-3所示曲柄连杆机构中，连杆AB 所受约束有：点A 只能作以点O 为圆心，以r 为半径的圆周运动；点B 与点A 间的距离始终保持为杆长l ；点B 始终沿滑道作直线运动。

这三个条件以约束方程表示为()()0222222==-+-=+B A B A B A A y l y y x x r y x上述例子中各约束都是限制物体的几何位置，因此都是几何约束。

在力学中，除了几何约束外，还有限制质点系运动情况的运动学条件，称为运动约束。

例如，图5-4所示车轮沿直线轨道作纯滚动时，车轮除了受到限制其轮心A 始终与地面保持距离为r 的几何约束r y A =外，还受到只滚不滑的运动学的限制，即每一瞬时有0=-ϖr v A上述约束就是运动约束，该方程即为约束方程。

第7章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理是法国科学家达朗贝尔于1743年提出的，是分析力学的两个基本原理之一。

该原理揭示，对动力系统加入惯性力后，惯性力与外力构成平衡，因而提供一种用静力平衡方法处理动力学问题的普遍方法——动静法。

§7.1 质点系的达朗贝尔原理7.1.1 惯性力与质点的达朗贝尔原理1、质点达朗贝尔原理如图7.1所示，质量为m 的质点沿曲线轨道运动，受主动力F 和约束力N F 作用，由牛顿第二定律有N m +=F F a即0N m +-=F Fa 引入惯性力I m =-F a (7-1)则有0N I ++=F F F (7-2)这就是质点的达朗贝尔原理：作用在质点上的所有主动力、约束力和惯性力组成平衡力系。

这样，我们完全可以采用静力学的方法和技巧，求解动力学问题。

顺便指出，达朗贝尔原理作为分析力学的基本原理之一是不需要推导证明的。

这里由牛顿第二定律导出，可以说明它与牛顿力学在数学上的等价性。

问题7-1 如图所示，重为G 的小球用细绳悬挂，试求AC 绳断瞬时AB 绳的张力。

答 研究小球，加惯性力I F ，受力如图所示，由质点达朗贝尔原理，有0I T ++=F G F由力三角形有cos T F G =θ可见，加上惯性力，采用静力学中三力平衡的几何法求解决，直观简便。

2、惯性力的概念质点的惯性力I F 可以想象为：当质点加速运动时外部物质世界作用在质点上的一个场图7.1 质点达朗贝尔原理IF 问题7-1图力，其大小等于质点的质量与其加速度的乘积，方向与质点加速度方向相反。

惯性力与万有引力是完全等效的。

惯性力与参考系相关，如图7.2(a)所示，小球在旋转水平圆台上沿光滑直槽运动。

在地面惯性参考系观察，小球运动的绝对轨迹为螺旋线，见图7.2(b)，在水平面内受滑槽侧壁对它的作用力N F 作用，加速度如图所示；从转动圆台非惯性参考系观察，小球的运动轨迹沿槽直线，在半径方向，受牵连法向惯性力2()nnIe Ie F mr ω=F 作用，小球沿直槽加速向外运动。

2020年考研复试力学专业综合素质环节导师常问问题（仅供参考）专业课笔试科目涉及考生所报考专业的一门或两门重要的基础课。

复试阶段的专业课笔试着重对考生基本功的考查，更重基础，一般来说要容易很多，但不能掉以轻心，考生最好早动手准备，全面复习本科重要基础课中的基本概念、基本定理、基本方法。

力学课程体系简介1.力学基础课程（数学基础、理论力学、材料力学等）学习目的储备学习工具。

2.力学专业课程（弹性力学等）学习目的是知晓力学原理，为后续的其它力学课程建立严密的数学体系提供基础。

3.行业力学课程（机械设计、航天动力学、桥梁力学、建筑力学、施工力学等）学习目的是实现服务工程。

理论力学1.什么是惯性系？无角加速度和线加速度的坐标系为惯性系。

2.柯西加速度产生的原因？3.什么是虚位移？虚功？某瞬时，质点系在约束允许的条件下可能实现的任何无限小的位移为虚位移。

力在虚位移上所做功为虚功。

4.什么是虚位移原理？对于具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作虚功之和为0.5.达朗贝尔原理和虚位移原理结合后是什么？动力学普遍方程。

6.定常约束？又称稳定约束。

不随时间变化的一种约束。

若完整约束的约束方程中不显含时间t，称该完整约束是定常约束。

非定常约束？又称非稳定约束。

不符合定常约束条件的约束。

例如对一被限制在半径为R的球面上运动的质点，若球心固定在坐标原点，R随时间而变，即R=R(t)，则约束方程为（P343）7.完整约束？约束方程中不含确定系统位置的坐标的微商，或含有坐标的微商但不利用动力学方程就可直接积分成为不含坐标微商的约束。

非完整约束？约束方程中含有确定系统位置的坐标的微商且不利用动力学方程不能直接积分为不含坐标微商的约束。

（P343）8.理想约束？在质点系任何虚位移中，所有约束力所做虚功之和为0.9.主动力？主动力：重力，弹簧弹性力，静电力和洛仑兹力等有其“独立自主”的大小和方向，不受质点所受的其它力的影响，处于“主动”地位，称“主动力”。

达朗贝尔原理知识总结1.质点的惯性力。

•设质点的质量为m ，加速度为，则质点的惯性力定义为2.质点的达朗贝尔原理。

•质点的达朗贝尔原理：质点上除了作用有主动力和约束力外，如果假想地认为还作用有该质点的惯性力，则这些力在形式上形成一个平衡力系，即3.质点系的达朗贝尔原理。

•质点系的达朗贝尔原理：在质点系中每个质点上都假想地加上各自的惯性力，则质点系的所以外力和惯性力，在形式上形成一个平衡力系，可以表示为4.刚体惯性力系的简化结果（1）刚体平移，惯性力系向质心C 简化，主矢与主矩为（2）刚体绕定轴转动，惯性力系向转轴上一点O 简化，主矢与主矩为其中如果刚体有质量对称平面，且此平面与转轴z 垂直，则惯性力系向此质量对称平面与转轴z 的交点O 简化，主矢与主矩为（3）刚体作平面运动，若此刚体有一质量对称平面且此平面作同一平面运动，惯性力系向质心C简化，主矢和主矩为式中为过质心且与质量对称平面垂直的轴的转动惯量。

5.消除动约束力的条件。

刚体绕定轴转动，消除动约束力的条件是，此转轴是中心惯性主轴（转轴过质心且对此轴的惯性积为零）；质心在转轴上，刚体可以在任意位置静止不动，称为静平衡；转轴为中心惯性主轴，不出现轴承动约束力，成为动平衡。

常见问题问题一在惯性系中，惯性力是假想的（虚加的），达朗贝尔原理也是数学形式上的，物体一般并不是真的处于平衡。

问题二惯性力系一般都是向定点或者质心简化，因此这时惯性力系的主矩，而向其它的点简化，一般上是不成立的。

如果一定要向某一任意点A简化，那么要先向定点或质心简化，之后将其移至A点（注意力在平移时将会有附加力偶）。

惯性力系的主失是与简化中心无关的。

问题三用达朗贝尔原理解题时，加上惯性力系后就完全转化成静力学问题，其求解方法与精力学完全相同。

问题四物体系问题。

每个物体都有惯性力系，因此每个物体的惯性力系向质心（或定点）简化都得到一个力与一个力偶。

虚位移原理知识点总结1.虚位移·虚功·理想约束。

多自由度系统振动微分方程的建立如下图所示三个自由度系统的有阻尼强迫振动，分别用达朗贝尔原理、牛顿第二定律、拉格朗日方程、能量法、虚位移原理建立其振动微分方程。

1、直接平衡法建立方程（1）达朗贝尔原理根据达朗贝尔原理，当系统振动时，将受到干扰力、惯性力、阻尼力以及弹性恢复力作用，这四种力在系统的每一个广义坐标上的分量应保持平衡。

对于n 个自由度结构系统，力的平衡关系可以表示成为：)(t P F F F S D I =++I F 为惯性力列阵，D F 为阻尼力列阵；S F 为弹性恢复力列阵)(t P 为干扰力列阵。

设系统位移矢量为Tn t y y y y Y ]......,[21=，则： ..X M F I =, .X C F D = , KX F S = ∴)(...t P KX X C X M =++对以上三自由度系统进行受力分析如下图所示：11x k )(1t F )(122x x k - )(2t F )(233x x k - )(3t F.11x c ..11x m .1.22)(x x c - ..22x m .2.33)(x x c - ..33x m由达朗贝尔原理列平衡方程：1m ：0)()()(..11.11.1.22111221=---+--+x m x c x x c x k x x k t F1m2m 3m2k2c3k 3c1k 1c1x2x3x)(1t F )(2t F)(3t F1m2m2m2m ：0)()()()()(..22.1.22.2.331222332=----+---+x m x x c x x c x x k x x k t F 3m ：0)()()(..33.2.332333=-----x m x x c x x k t F整理得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=-++--++-=-++-++)()()()()()()(33323.33.23..3323323212.33.232.12..22122121.22.121..11t F x k x k x c x c x m t F x k x k k x k x c x c c x c x m t F x k x k k x c x c c x m 写成矩阵形式得：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--++⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--++⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()()(0)(0)(0)(0)(00000321321333322221.3.2.1333322221..3..2..1321t F t F t F x x x k k k k k k k k k x x x c c c c c c c c c x x x m m m 2、牛顿第二定律由牛顿第二定律建立上述系统振动微分方程，与达朗贝尔原理类似，分析各质量单元受力图，只是此时将不加惯性力。