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虚力原理和虚位移原理1.什么是虚力原理和虚位移原理虚力原理和虚位移原理是物理学中的两个重要原理，它们都是在分析物体运动和力学问题时被广泛应用的基本原则。
虚力原理指的是，在物体所处的系统中，某些力可以通过引入一些虚拟的力来使计算更加简单，而这些虚拟力不会对物体的实际运动产生任何影响。
虚位移原理则是指，在系统中某些点的位移可以通过引入一些虚拟的位移来计算，而这些虚拟位移不会对物体实际的位移产生任何影响。
2.虚力原理的应用虚力原理的一个重要应用就是在动力学中计算离心力和科里奥利力。
离心力的计算需要引入一个虚拟的离心力，这样就可以将受力分析转化为一类简单的静力学问题。
科里奥利力则是指在旋转运动中由于地球自转而产生的一种力，它可以通过虚力原理来进行计算。
此外，虚力原理还在弹性力学中被广泛应用。
对于某些复杂的结构，在计算内应力时可以通过虚力原理将求解过程简化，从而更加精确地得出物体的内应力分布。
3.虚位移原理的应用虚位移原理的一个经典应用是在静力学中计算刚体的平衡条件。
在分析平衡问题时，虚位移原理可以将各个受力点的位移分开考虑，从而可以计算出物体所受的各个力的大小和方向。
虚位移原理还可以在弹性力学中用来计算结构的变形。
结构的变形可以看作是每个点的位移，通过引入虚位移可以计算出结构的弹性形变，并据此得出结构的刚度和弹性模量。
4.总结总的来说，虚力原理和虚位移原理是物理学中非常重要的原理，它们可以为物理学相关问题的分析、计算提供一种全新的思路和方法，让物理学家更加准确地预测物体的运动和行为。
因此，深入研究并掌握这两个原理在物理学研究中的应用十分重要，不仅可以在学术领域中取得进步，还可以在实践中获得更多的应用和价值。
虚位移与虚位移原理虚位移与虚位移原理2010-04-22 10：528.2.1虚位移为了便于理解虚位移的概念，现把虚位移和实位移进行对比阐述。
1实位移--位置函数的微分实位移是质点系在微小的时间间隔内实际发生的位移，可用位置函数的微分表示。
设由n个质点组成的完整约束系统，其自由度为k，选取一组广义坐标，则每个点的位置可用其位置矢径表示。
满足该质点系的约束方程，取其微分(8-4)式(8-4)中，是满足约束条件的增量，是系统受不平衡力系作用而实际发生的微小位移，由动力学方程和运动初始条件确定。
由上式得到的不但是约束许可的，而且其大小和方向还满足运动的初始条件，并有一组惟一的值，称为质点系的一组实位移，而称为质点系的一组广义实位移。
2虚位移--位置函数的变分虚位移是质点系在某瞬时发生的一切为约束允许的微小位移，可用位置函数的变分表示。
(8-5)与实位移不同，虚位移是约束许可的，与主动力和运动初始条件无关的，不需要经历时间的假想微小位移。
在某一时刻，质点的虚位移可以有多个。
系统静平衡时，实位移不可能发生，而虚位移则只要约束允许即可发生。
是质点系的一组虚位移，而称为质点系的一组广义虚位移。
在定常约束下，实位移一定是虚位移中的一个。
如图8.6所示单摆，虚位移可为和，而实位移仅为其一。
但在非定常约束下，实位移一般不可能是虚位移中的一个，如图8.2中所示小球，其实位移中，摆长随时间变化，而虚位移是在固定时刻，摆长不变时的位移，二者显然不同。
思考8-3①试画出思考8-1图(a)中质点B以及图(b)中套筒D的实位移和虚位移。
②试画出图8.5中双摆的虚位移。
3虚位移的计算计算质点系中各点的虚位移以及确定这些虚位移之间的关系涉及质点系的位形变化，内容十分广泛。
这里主要针对定常完整约束的刚体系统，介绍通常采用的几何法与解析法。
例8.1试确定图所示曲柄连杆机构中，A，B两点虚位移之间的关系。
解①几何法。
此处可用求实位移的方法来确定各点虚位移之间的关系。
§5、2虚功原理（虚位移原理）一、虚位移和实位移实位移：由于运动而实际发生的位移 dt v r d= 对应时间间隔dt ，同时满足运动微分方程虚位移：t 时刻，质点在约束允许情况下可能发生的无限小位置变更虚位移是可能位移，纯几何概念（非运动学概念），以i rδ表示（1）特点（本质）：想象中可能发生的位移，它只取决于质点在t 时刻的位置和约束方程，并不对应一段时间间隔（)0=t δ，它是一个抽象的等时变分概念（2）直观意义（求法）：对于非稳定约束，在t 时刻将约束“冻结”，然后考察在约束允许情况下的可能位移，即视约束方程中的t 不变（)0=t δ，对约束方程进行等时变分运算（同微分运算，注意)0=t δ即可得虚位移；对于稳定约束，由于约束方程中不显含t ，“冻结”已无实际意义，等时变分运算与微分运算完全相同。
Example 质点被限制在以等速u 匀速上升的水平面内运动，约束方程为 0=-ut z 0=z δ udt dz =（3）实位移是唯一的，虚位移可若干个；对稳定约束，实位移为若干个虚位移中的某一个；对非稳定约束，实位移与虚位移不一致。
见273p 图5.2－1二、理想约束实功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在实位移rd中所作的功 dW虚功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在任意虚位移rδ中所作的功 W δ其中 i R为第i 个质点受的约束力 若∑=⋅ii i r R 0δ体系所受诸约束反力在任意虚位移中所作元功之和等于零⇒理想约束例如 光滑曲面、曲线约束，刚性杆，不可伸长的绳索等刚性杆约束 022112111='+'-=⋅+⋅r f r f r f r f δδδδ （21f f-= 21f f =； 21r r '='δδ 刚性杆约束所允许） 由于引入了虚位移，巧妙的消取了约束反力（优点 亦是缺点）三、虚功原理（分析力学重要原理之一）（受约束力学体系的力学原理之一）体系受k 个几何约束，在主动力和约束力的共同作用下处于平衡状态，则其中每个质点均处于平衡状态，即 0=+i i R F （2,1=i ……)n 0=⋅+⋅ii i i r R r F δδ⇒对系统求和⇒0=⋅+⋅∑∑i i ii i ir R r Fδδ 对于理想约束∑=⋅ii i r R 0δ 则=W δ0=⋅∑i i ir Fδ∑=++ii iz i iy i ixz F y F x F)(δδδ 虚功原理⇒具有理想约束力学体系，其平衡的充要条件是所有主动力在任意虚位移中所作元功之和等于零 （1717 伯努利）说明：1、由=W δ0=⋅∑i i ir Fδ ，只能求出平衡条件，不能求出约束反力，欲求约束反力i R，需用拉格朗日未定乘数法2、运用虚功原理求平衡条件的方法步骤（1）确定系统自由度，选择合适的广义坐标；（2）将i r表示为广义坐标q的函数，并求出i rδ（i i i z y x δδδ,,）；（3）由虚功原理列出平衡方程，并令αδq 的系数为零，求出平衡条件。
第十五章虚位移原理（静动法）
§15-1 约束、虚位移、虚功
一、约束及其分类
限制质点或质点系运动的条件称为约束，限制条件的数学方程称为约束方程。
1、几何约束和运动约束
限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。
限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束。
2、定常约束和非定常约束
约束条件随时间变化的称非定常约束，否则称定常约束。
3、其余分类
约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可能积分或有限形式的约束称非完整约束，否则为完整约束。
约束方程是等式的，称双侧约束（或称固执约束），约束方程为不等式的，称单侧约束（或称非固执单侧约束）。
本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束。
二、虚位移
在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移称为虚位移。
虚位移的表示方法：
ϕ
δδ,
x r 一般表示法
线位移
角位移
三、虚功
力在虚位移中作的功称虚功。
即：
r
F W δδ⋅=θ
δδsin x F W =()ϕ
δδF M W z =或
四、理想约束
如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为理想约束。
∑∑=⋅==0
i Ni Ni N r F W W δδδ
§15-2 虚位移原理
一质点系在力的作用下处于平衡状态某质点受力如图示，且：
=+Ni i F F Ni
F i
F 0
=⋅+⋅=i Ni i i i r F r F W δδδ为该质点设定虚位移且
i r δi
r δ∑∑=⋅+⋅0
i Ni
i
i
r F
r F δδ且
=∴
∑i
W
δ虚功方程
虚位移原理
所表达出的原理
虚位移原理（虚功原理）：对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。
()∑=++0
i zi i yi i
xi
z F y F x
F δδδ投影后的解析式为：
例1：图中所示结构，各杆自重不计，在Ｇ点作用一铅
直向上的力Ｆ，
求：支座Ｂ的水平约束力。
l
GE
DG
CB
CD
CE
AC=
=
=
=
=
=
解:解除B 端水平约束,以力代替,如图(b)Bx F 0
=+=G B Bx F y F x F w δδδθδθ
δδθδθ
θcos 3,sin 2sin 3,cos 2l y l x l y l x G B G B =-===由虚位移原理得：
各虚位移关系为：
带入虚功方程得：()0
cos 3sin 2=⋅+-θδθθδθl F l F Bx θ
cot F F Bx 2
3
=
如图在CG 间加一弹簧，刚度K ，且已有伸长量，仍求。
Bx F 0δ解法二：
在弹簧处也代之以力，如图（b)，其中
=⋅+⋅-⋅+⋅===G G G C C B Bx F G C y F y F y F x F W k F F δδδδδδ
θδθ
δθδθδθδθδcos 3,cos ,sin 2l y l y l x G C B ==-=θ
θθsin 3,sin ,cos 2l y l y l x G C B ===0
cos 3cos 3cos sin 2(00=+-+-θθδθδδθδθδθδθl F l k l k l F Bx 代入虚功方程得：
θ
δθcot cot 2
3
0k F F Bx -=解得：
例2：图所示椭圆规机构中，连杆AB 长为L ，滑块Ａ，Ｂ与杆重均不计，忽略各处摩擦，机构在图示位置平衡。
求：主动力与之间的关系。
B F A F
∑=⋅0
i i r F δ,
,B A r r δδ解：为A 、B 两处添加虚位移
=-B B A A r F r F δδ由虚位移原理得：
ϕ
δϕδsin cos A B r r =且0
cos =-∴
B B B A r F r F δδϕϕtan B A F F =∴
例3：如图所示机构，不计各构件自重与各处摩擦，求机构在图示位置平衡时，主动力偶矩Ｍ与主动力Ｆ之间的关系。
解：为B 、C 两处添加虚位移
c
r δθδ,由虚位移原理得：
∑=-=0
c F r F M w δθδδ由图中关系有θ
δδsin e a r r =θ
θδδδδθθθδδ2sin ,sin h r r h OB r a C e ====θ
2sin Fh M =
例4:求图所示无重组合梁支座Ａ的约束力。
解：解除A处约束，代之，给虚位移，如图（b）
F
A
2211=++-=s F M s F s F W A A F δϕδδδδ由虚位移原理得：
A M A A
s s s s s δδϕδδϕδδδδϕ81111,833,1=====8各虚位移间关系为：
A A M s s s s δδδδ14
112=⋅==8117474M F F F A 8114118321--=代入虚功方程得：。
