虚位移原理(精)

§5、2虚功原理（虚位移原理）一、虚位移和实位移实位移：由于运动而实际发生的位移 dt v r d= 对应时间间隔dt ，同时满足运动微分方程虚位移：t 时刻，质点在约束允许情况下可能发生的无限小位置变更虚位移是可能位移，纯几何概念（非运动学概念），以i rδ表示（1）特点（本质）：想象中可能发生的位移，它只取决于质点在t 时刻的位置和约束方程，并不对应一段时间间隔（)0=t δ，它是一个抽象的等时变分概念（2）直观意义（求法）：对于非稳定约束，在t 时刻将约束“冻结”，然后考察在约束允许情况下的可能位移，即视约束方程中的t 不变（)0=t δ，对约束方程进行等时变分运算（同微分运算，注意)0=t δ即可得虚位移；对于稳定约束，由于约束方程中不显含t ，“冻结”已无实际意义，等时变分运算与微分运算完全相同。

Example 质点被限制在以等速u 匀速上升的水平面内运动，约束方程为 0=-ut z 0=z δ udt dz =（3）实位移是唯一的，虚位移可若干个；对稳定约束，实位移为若干个虚位移中的某一个；对非稳定约束，实位移与虚位移不一致。

见273p 图5.2－1二、理想约束实功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在实位移rd中所作的功 dW虚功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在任意虚位移rδ中所作的功 W δ其中 i R为第i 个质点受的约束力 若∑=⋅ii i r R 0δ体系所受诸约束反力在任意虚位移中所作元功之和等于零⇒理想约束例如 光滑曲面、曲线约束，刚性杆，不可伸长的绳索等刚性杆约束 022112111='+'-=⋅+⋅r f r f r f r f δδδδ （21f f-= 21f f =； 21r r '='δδ 刚性杆约束所允许） 由于引入了虚位移，巧妙的消取了约束反力（优点 亦是缺点）三、虚功原理（分析力学重要原理之一）（受约束力学体系的力学原理之一）体系受k 个几何约束，在主动力和约束力的共同作用下处于平衡状态，则其中每个质点均处于平衡状态，即 0=+i i R F （2,1=i ……)n 0=⋅+⋅ii i i r R r F δδ⇒对系统求和⇒0=⋅+⋅∑∑i i ii i ir R r Fδδ 对于理想约束∑=⋅ii i r R 0δ 则=W δ0=⋅∑i i ir Fδ∑=++ii iz i iy i ixz F y F x F)(δδδ 虚功原理⇒具有理想约束力学体系，其平衡的充要条件是所有主动力在任意虚位移中所作元功之和等于零 （1717 伯努利）说明：1、由=W δ0=⋅∑i i ir Fδ ，只能求出平衡条件，不能求出约束反力，欲求约束反力i R，需用拉格朗日未定乘数法2、运用虚功原理求平衡条件的方法步骤（1）确定系统自由度，选择合适的广义坐标；（2）将i r表示为广义坐标q的函数，并求出i rδ（i i i z y x δδδ,,）；（3）由虚功原理列出平衡方程，并令αδq 的系数为零，求出平衡条件。

虚位移与虚位移原理虚位移与虚位移原理2010-04-22 10：528.2.1虚位移为了便于理解虚位移的概念，现把虚位移和实位移进行对比阐述。

1实位移--位置函数的微分实位移是质点系在微小的时间间隔内实际发生的位移，可用位置函数的微分表示。

设由n个质点组成的完整约束系统，其自由度为k，选取一组广义坐标，则每个点的位置可用其位置矢径表示。

满足该质点系的约束方程，取其微分(8-4)式(8-4)中，是满足约束条件的增量，是系统受不平衡力系作用而实际发生的微小位移，由动力学方程和运动初始条件确定。

由上式得到的不但是约束许可的，而且其大小和方向还满足运动的初始条件，并有一组惟一的值，称为质点系的一组实位移，而称为质点系的一组广义实位移。

2虚位移--位置函数的变分虚位移是质点系在某瞬时发生的一切为约束允许的微小位移，可用位置函数的变分表示。

(8-5)与实位移不同，虚位移是约束许可的，与主动力和运动初始条件无关的，不需要经历时间的假想微小位移。

在某一时刻，质点的虚位移可以有多个。

系统静平衡时，实位移不可能发生，而虚位移则只要约束允许即可发生。

是质点系的一组虚位移，而称为质点系的一组广义虚位移。

在定常约束下，实位移一定是虚位移中的一个。

如图8.6所示单摆，虚位移可为和，而实位移仅为其一。

但在非定常约束下，实位移一般不可能是虚位移中的一个，如图8.2中所示小球，其实位移中，摆长随时间变化，而虚位移是在固定时刻，摆长不变时的位移，二者显然不同。

思考8-3①试画出思考8-1图(a)中质点B以及图(b)中套筒D的实位移和虚位移。

②试画出图8.5中双摆的虚位移。

3虚位移的计算计算质点系中各点的虚位移以及确定这些虚位移之间的关系涉及质点系的位形变化，内容十分广泛。

这里主要针对定常完整约束的刚体系统，介绍通常采用的几何法与解析法。

例8.1试确定图所示曲柄连杆机构中，A，B两点虚位移之间的关系。

解①几何法。

此处可用求实位移的方法来确定各点虚位移之间的关系。

关于虚位移与虚位移原理──分析力学扎记之一
虚位移是分析力学中的一个非常有用的概念，它是一种现有的变形模型，可以帮助我们确定结构或体系在受力时的变形情况。

这种模型不仅在工程结构方面，还在许多行业中都用于解决实际应用中的问题。

下面我们就先详细来讲一讲虚位移的原理以及如何使用它。

虚位移的原理很简单，实质上就是计算受力情况下的位移的一种方法。

它的基本原理是，当给结构施加一个力时，每一点将受到一个同等的位移，但这个位移的方向会受到受力的方向的影响而不同。

虚位移的优点是它可以简化计算过程，减少计算量，并可以保证生成的数据准确可靠。

虚位移的具体使用方法首先要明确以下三点：一是确定施加力的方向；二是确定施加力的大小；三是确定每一点体系的位置。

接下来，我们就可以定义每一点在该力作用下的位移。

从定义上来看，虚位移是一个矢量，它由三个分量构成，包括弯杆方向的位移，即径向、轴向和切向位移三个方向。

比如一个弯杆受拉力，应用虚位移的话，拉力的方向已经确定，只需根据方向乘以施加的力的大小定义弯杆上每个点的位移，最终就可以定义出结构的变形情况。

总而言之，可以说虚位移的运用可以大大提高工程结构分析时的计算效率，并可以更好地解决实际应用中的问题。

根据虚位
移原理，我们可以通过求解和分析，正确准确地得出结构在受力情况下的变形情况。

虚位移原理
虚位移原理是波动理论中的重要概念之一，它用来描述波的传播过程中的位移现象。

根据虚位移原理，当波传播到某一位置时，该位置上的物质并不发生实际的位移，而是被波动所“激发”产生了相对于平衡位置的微弱位移现象。

虚位移原理的提出主要是为了解释波动现象中的一些奇特现象，特别是在波的干涉和衍射现象中的一些观察结果。

在干涉现象中，当两个波相遇时，它们会产生明暗相间的干涉条纹。

根据虚位移原理，这些干涉条纹实际上是由波动所引起的位移造成的，而不是由物质实际的位移所引起的。

因此，虚位移原理解释了为什么在干涉实验中物质并没有发生实际的位移。

在衍射现象中，当波通过一个孔或一个边缘时，波会“弯绕”到非直线传播的路径上。

也是根据虚位移原理，我们可以解释为什么波在通过一个小孔时会扩散开来，形成衍射图样。

根据虚位移原理，通过小孔的波通过“弯绕”的方式传播，使得波的幅度在不同位置上有所变化，从而形成了衍射图样。

总的来说，虚位移原理为我们理解波动现象提供了一个重要的概念和解释框架。

它帮助我们解释了很多波动现象中观察到的奇特现象，并在波动理论的发展中起到了重要的作用。

虚位移原理及应用虚位移原理是物理学中的一个基本原理，它描述了物质在受到力的作用下所发生的位移现象。

根据牛顿第二定律，物体受到的合外力等于物体的质量乘以加速度。

而根据虚位移原理，我们可以假设物体在受到合外力的作用下，其位移可以分解为两个部分：实位移和虚位移。

实位移是由物体受力所引起的真实运动，而虚位移则是由虚拟外力所引起的虚拟运动。

虚位移原理可以运用在很多物理问题的求解中，下面就让我们来看几个具体的应用。

1. 力学中的应用：虚位移原理在力学中应用非常广泛。

例如，在弹簧质量系统中，可以利用虚位移原理计算弹簧的变形量。

只需要假设弹簧的变形可以分解为实位移和虚位移，然后利用虚位移原理方程解出弹簧的变形量。

同样地，在弹性体受压缩或拉伸时，我们也可以利用虚位移原理来求解位移量。

2. 静电场中的应用：虚位移原理也可以应用到电场的计算中。

在计算电场中的能量和势能时，我们可以通过假设电荷的位移可以分解为实位移和虚位移，然后利用虚位移原理来求解电场的能量和势能。

3. 磁场中的应用：在磁场中，虚位移原理可以用来计算导线所受力和位移。

例如，在电磁铁中，我们可以通过假设导线上的电流产生的磁场可以导致引力或斥力，从而利用虚位移原理来计算导线所受的力和位移。

4. 光学中的应用：在光学中，虚位移原理可以应用到光线传播的计算中。

例如，我们可以假设光线的传播可以分解为实位移和虚位移，从而计算光线的折射、反射等现象。

总之，虚位移原理是物理学中非常重要的一个原理，它可以帮助我们理解物体在受力作用下的位移现象。

通过应用虚位移原理，我们可以计算弹簧变形、电场能量、磁场力和位移、光学现象等等。

虚位移原理的应用范围广泛，为我们研究物理现象和解决物理问题提供了有力的工具和方法。

因此，掌握虚位移原理对于物理学的学习和应用具有重要意义。

虚位移原理虚位移原理提供了静力学问题的一种全新的解法，它还是分析力学的基础。

虚位移原理是设计用来消除平衡方程中的约束力，主要是用来求解平衡系统的主动力之间的关系或平衡位置。

另外，通过解除约束，将内力或约束力转化为主动力，则虚位移原理也可用来求解内力和约束力，而且这比以前的列平衡方程的常规方法更有效。

一、力的功元功：力在微小位移上所做的功称为元功。

其数学表达式为：t d W v F ∙=δ或r F d W ∙=δ，其中v 和r d 分别为力F 作用点的速度和微小位移。

变力在曲线路径上做的功可以用曲线积分计算。

等效力系做功定理: 等效力系在刚体的位移上所做的功相等。

即：若},,{},,{11m P P F F n =，则∑∑===mj jn i i P W F W 11)()(。

在计算力的功时，为计算方便，可以利用上述定理。

例如：图4-1(a)所示鼓轮上缠绕有柔索，在力F （大小和方向不变）作用下在地面上纯滚动。

计算在轮心沿直线移动S 距离过程中力F 所做的功。

(a) (b) 图4-1由于力F 的作用点的位移不易计算，我们可将F 平移到轮心，同时附加一力偶M (其力偶矩的大小为=M Fr ,如图4－1b 所示）以保持力系等效，即},{}{M F F =。

新的力系},{M F 在轮心沿直线移动S 距离过程中所作的功较易计算：ϕθM FS W +=cos ，其中：ϕ为圆盘轮心移动S 距离时，圆盘转动的角度，即RS ＝ϕ，于是上式可写成cos SW FS Fr R θ=+⋅ 它等于在轮心沿直线位移S 距离过程中力F 所做的功。

返回主目录二、约束及其分类约束：对质点或质点系运动所加的限制。

如某质点被限制在固定曲面上运动,则该质点就是受到了约束。

约束体对被约束体的运动是通过力的作用(称为约束力)来加以限制的,但是约束与受力是应区别对待的两个不同概念,这可以通过下面的例子来区分.(a)(b) (c)图4-2对图4-2中所示的系统：在(a)中，质点A 被固定在刚性杆上并球铰链连接接在固定点o 。

虚位移原理
虚位移原理是指在分析物体的运动时，可以把物体的位移看作是由两个独立的分量相互叠加得到的。

这两个分量分别是平移位移和旋转位移。

虚位移原理的应用十分广泛，不仅在物理学中有着重要的地位，而且在工程领域也有着重要的应用。

下面将从物理学和工程领域两个方面来介绍虚位移原理的相关内容。

在物理学中，虚位移原理是描述物体运动的一个重要概念。

在分析物体的运动时，我们可以把物体的位移分解为平移位移和旋转位移。

平移位移是指物体整体上的位移，而旋转位移则是指物体围绕某一点的旋转运动所产生的位移。

通过虚位移原理，我们可以将物体的复杂运动分解为简单的平移和旋转运动，从而更加清晰地理解物体的运动规律。

虚位移原理在刚体力学、动力学等领域有着广泛的应用，为研究物体的运动提供了重要的理论基础。

在工程领域，虚位移原理同样具有重要的应用价值。

例如，在机械设计中，我们经常需要分析机械零件的运动规律，虚位移原理可以帮助我们更好地理解机械零件的运动特性，从而指导设计工作。

此外，在结构分析和材料力学中，虚位移原理也是一个重要的工具，可以帮助工程师们分析结构的受力情况，指导工程设计和施工。

总的来说，虚位移原理是一个十分重要的物理概念，在物理学和工程领域都有着广泛的应用。

通过虚位移原理，我们可以更加深入地理解物体的运动规律，为科学研究和工程实践提供重要的理论支持。

希望本文的介绍能够帮助读者更加深入地理解虚位移原理，并在学习和工作中加以应用。