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实变432§3 可测函数的构造已知可测集上的连续函数一定是可测函数, 反之, 可测函数是“基本上”（指去掉一个测度可任意小的某点集外）连续的函数, 即下列定理：定理1（Lusin 定理） 设)(x f 是E(不要求∞<mE )上..e a 有限的可测函数,则对,0>∀δ 存在闭子集,E E⊂δ使)(x f 在δE 上是连续函数, 且δδ<)\(EE m , 即在E上..e a 有限的可测函数是“基本上连续”的函数。
证明 （1）设)(x f 是简单函数。
设,1Y ni iE E == 各iE 可测且互不相交,(),i if x c x E =∈。
>∀δ,由iE 可测, 知存在闭子集3,i i E F ⊂ 且(\)iim E F nδ<。
令Y ni iF E 1==δ, 则δE 为闭集, 且,E E⊂δ11(\)()n ni i i i m E E m E F δ===-U U111(())()nnni i i i i i i m E F m E F nδδ===≤-=-<=∑∑U(由于iiE F -互不相交,所以有限多个闭集之并仍为闭集)。
对01,nii x E F δ=∀∈=U0,i ∃ 使得 0000,()i i x F f x c ∈=。
因为iF 互不相交, 所以0,i i i x F ≠∉U 故0()i i i x C F ≠∈U （开集），所以0x ∃的一个邻域),()(0Y i i i F C x U ≠⊂ 故有=≠)()(00Y I i i i F x U ∅,4所以，0)()(00i F x U E x U I I =δ当0()x U x E δ∈I 时,，0)()(000=-=-i i c c x f x f故()f x 在E δ上连续。
（2）设,mE <∞()f x 为可测函数。
由)(x f 可测知, 存在一列简单函数{()},n x ϕ使得)(lim )(x x f n n ϕ∞→=。
