实数竞赛奥数

经典例题类型一．有关概念的识别1．下面几个数：0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（）A、1B、2C、3D、4解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数故选C举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（）A、的平方根是±3B、1的立方根是±1C、=±1D、是5的平方根的相反数【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）A、1B、1.4C、D、【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C．【变式3】【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10因此3π-9＞0，3π-10＜0∴类型二．计算类型题2．设，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.解析：（估算）因为，所以选B举一反三：【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2）-27立方根是__________. 3）___________，___________，___________.【答案】1）；.2）-3. 3），，【变式2】求下列各式中的（1）（2）（3）【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4类型三．数形结合3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______解析：在数轴上找到A、B两点，举一反三：【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C 表示的数是（）．A．－1 B．1－C．2－D．－2【答案】选C[变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示：化简【答案】：类型四．实数绝对值的应用4．化简下列各式：(1) |-1.4|(2) |π-3.142|(3) |-| (4) |x-|x-3|| (x≤3)(5) |x2+6x+10|分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。

初中实数奥数知识归纳
初中实数奥数知识归纳
公理的方法设R是所有实数的集合，则：
集合R是一个域：可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等常见性质。

域R是个有序域，即存在全序关系≥，对所有实数x,y和z：
若x≥y则x+z≥y+z;
若x≥0且y≥0则xy≥0。

集合R满足完备性，即任意R的有空子集S(S∈R，S≠)，若S 在R内有上界，那么S在R内有上确界。

最后一条是区分实数和有理数的关键。

例如所有平方小于2的有理数的集合存在有理数上界，如1.5;但是不存在有理数上确界(因为√2不是有理数)。

实数通过上述性质唯一确定。

更准确的说，给定任意两个有序域R1和R2，存在从R1到R2的唯一的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。

相关性质基本运算
实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数(即正数和0)还可以进行开方运算。

实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。

任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。

初中数学竞赛第七讲：实数运算之求和方法 方法一：倒序相加法 如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法（可用于求等差数列的性质公式------Sn=n(a1+an)/2）。较为常见的是我们所熟悉的整数1到100的求和方法。简单举个例子分享给大家：

方法二：解方程法 用解方程的方法求和就是：首先将要求的和式用一个字母S表示，然后根据S的结构，对S进行适当的运算和变形，使S重复出现得到一个关于S的方程，最后通过解方程求出S的值。

例2：计算2-22-23-24-25-26-27-28-29+210=________ 解：设S=22+23+24+25+26+27+28+29,则 2S=23+24+25+26+27+28+29+210=(S-22)+210 所以S=-22+210=1020, 原式=2-S+210=2-1020+1024=6 方法三：裂项法 裂项法，这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。通项分解（裂项）倍数的关系。通常用于代数，分数，有时候也用于整数。 一般形式：， （例题：略） 方法四：公式法 通过归纳、识记几个特殊公式，我们常常可以求出一些更加复杂的表达式的和。常见公式如下： 12+22+32+42+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+…+n3=

例3：设S=12-22+32-42+…+992-1002+1012，求S除以103的余数。 解法一： 由（2k+1）2-(2k)2=4k+1得： S=1+（4×1+1）++（4×2+1）+（4×3+1）+…+（4×50+1） =4(1+2+3+…+50)+51=5100+51=101×51=101×50+2×50+1 =103×50+1 所以S除以103的余数为1. 解法二： S=(12+22+32+42+…+992+1002+1012)-2(22+42+62+…+1002) =(12+22+32+42+…+992+1002+1012)-8(12+22+32+…+502) =101×17×203-200×17×101=101×17×3=101×50+2×50+1 =103×50+1 所以S除以103的余数为1. 例4：计算：1+2×2+3×22+4×23+…+100×299=________ 解：令S=1+2×2+3×22+4×23+…+100×299 则2S=2+2×22+3×23+4×24+…+100×2100 所以S=2S-S= （2+2×22+3×23+…+100×2100）-（1+2×2+3×22+4×23+…+100×299） =-（1+2+22+23+24+…+299）+100×2100 =99×2100+1

全国数学奥林匹克竞赛决赛题
全国数学奥林匹克竞赛决赛题是全国数学奥林匹克竞赛的最高水平竞赛题目，通常由全国数学奥林匹克竞赛委员会组织命题，难度较大，要求参赛选手具备扎实的数学基础和较强的思维能力。

题目：设 a、b、c 为正实数，且 a² + b² = c²。

证明：a³ + b³ < c³。

这道题是一道经典的数学证明题，需要运用数学归纳法和一些基本的数学不等式性质进行证明。

证明的思路是通过数学归纳法证明 a² + b²≤ (a+b)²/2，然后利用这个结论推导出 a³ + b³ < c³。

总结：全国数学奥林匹克竞赛决赛题是指全国数学奥林匹克竞赛的最高水平竞赛题目，通常由全国数学奥林匹克竞赛委员会组织命题，难度较大，要求参赛选手具备扎实的数学基础和较强的思维能力。

示例中的题目是一道需要运用数学归纳法和不等式性质进行证明的题目。

一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. √4B. -2.5C. πD. 02. 如果a、b是实数，且a+b=0，那么下列说法正确的是（）A. a=0，b=0B. a=0，b≠0C. a≠0，b=0D. a≠0，b≠03. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -2.3B. -2.2C. 2.3D. 2.24. 下列方程中，解得x=-2的是（）A. 2x+3=1B. 2x-3=1C. 2x+3=-1D. 2x-3=-15. 一个长方形的长是4厘米，宽是3厘米，那么它的周长是（）A. 10厘米B. 11厘米C. 12厘米D. 13厘米二、填空题（每题5分，共20分）6. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是______。

7. 下列数中，有理数是______。

8. 下列数中，无理数是______。

9. 已知一个等腰三角形的底边长为8厘米，腰长为10厘米，那么这个三角形的周长是______厘米。

10. 已知一个梯形的上底长为6厘米，下底长为10厘米，高为4厘米，那么这个梯形的面积是______平方厘米。

三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知a、b是实数，且a-b=5，求a²-b²的值。

12. 已知一个正方形的对角线长为10厘米，求这个正方形的面积。

13. 已知一个等腰三角形的底边长为6厘米，腰长为8厘米，求这个三角形的面积。

四、应用题（每题10分，共20分）14. 一辆汽车从A地出发，以每小时60千米的速度匀速行驶，经过2小时到达B 地。

如果汽车的速度提高20%，求汽车从A地到B地所需的时间。

15. 小明从家出发，先向东走了5千米，然后向北走了4千米，最后向西走了3千米。

请问小明家距离他的最终位置有多远？答案：一、选择题1. C2. C3. A4. C5. C二、填空题6. ±47. -2.5，08. π9. 48厘米 10. 32平方厘米三、解答题11. 2512. 50平方厘米13. 16平方厘米四、应用题14. 3小时15. 6千米。

初中奥数竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 若\( a \)和\( b \)是方程\( 2x^2 - 5x + 3 = 0 \)的两个实数根，则\( a^2 + b^2 \)的值等于（）A. 17B. 23C. 27D. 31答案：D解析：根据韦达定理，\( a + b = \frac{5}{2} \)，\( ab = \frac{3}{2} \)。

所以，\( a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab =\left(\frac{5}{2}\right)^2 - 2 \times \frac{3}{2} = \frac{25}{4} - 3 = \frac{25 - 12}{4} = \frac{13}{4} \times 2 = 31 \)。

2. 若\( x \)是方程\( 4x - 3 = 2x + 5 \)的解，则\( 3x - 2 \)的值等于（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C解析：解方程\( 4x - 3 = 2x + 5 \)，得\( 2x = 8 \)，即\( x = 4 \)。

所以，\( 3x - 2 = 3 \times 4 - 2 = 12 - 2 = 10 \)。

3. 若\( a, b, c \)是等差数列的前三项，且\( a + b +c = 12 \)，\( abc = 27 \)，则该等差数列的公差是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：由题意得\( a + b + c = 3a = 12 \)，即\( a = 4 \)。

又因为\( abc = 27 \)，所以\( b \times 4 \times c = 27 \)，即\( bc = \frac{27}{4} \)。

因为\( b \)和\( c \)是等差数列的第二项和第三项，所以\( c - b = d \)。

由\( a + b + c = 12 \)得\( b + c = 8 \)，即\( c = 8 - b \)。

实数考点·方法·破译1．平方根与立方根：假设2x＝a(a≥0)那么x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x＝a的平方根为x a的算术平方根．假设x3＝a，那么x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq〔p、q是两个互质的整数，且q≠0〕的形式．3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根〔或偶次方根〕都是非负数．即a>0，2na≥0〔n为正整数〕0(a≥0) ．经典·考题·赏析【例1】假设2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m−4与3m−l 是同一个数的平方根，∴2m−4 ＋3m−l＝0，5m＝5，m＝l．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，那么这个数是____．02．m m的平方根是____．03____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是____．【例2】〔全国竞赛〕非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，那么a ＋b 等于( )A ．－1B ． 0C ．1D ．2有意义，∵a 、b 为非零实数，∴b 2>0∴a －3≥0 a ≥3 ∴()22030b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32a b =⎧⎨=-⎩，应选C ．【变式题组】0l3b +＝0成立，那么a b ＝____．02()230b -=，那么a b的平方根是____． 03．〔天津〕假设x 、y 为实数，且20x +=，那么2009x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为〔 〕 A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－204．x1x π-的值是( )A ．11π- B ．11π+ C ．11π- D ．无法确定【例3】假设a 、b都为有理效，且满足1a b -=+．求a ＋b 的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商〔除数不为0〕还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商〔除数不为0〕不一定是无理数．∵1a b -=+，∴1a b -=⎧⎪=1a b -=⎧⎪，∴1312a b =⎧⎨=⎩， a ＋b ＝12 ＋13＝25．∴a＋b的平方根为：5==±．【变式题组】01．〔西安市竞赛题〕m、n2〕m＋(3－n＋7＝0求m、n．02．〔希望杯试题〕设x、y都是有理数，且满足方程〔123π+〕x＋〔132π+〕y−4−π＝0，那么x−y＝____．【例4】假设a−2的整数局部，b−1是9的平方根，且a b b a-=-，求a＋b的值．【解法指导】−2＝整数局部＋小数局部．整数局部估算可得2，那么小数局部−2 −2−4．∵a＝2，b−1＝±3，∴b＝－2或4∵a b b a-=-．∴a<b，∴a＝2，b＝4，即a＋b＝6．【变式题组】01．假设3a，b，那么a＋b的值为____．02a，小数局部为b a〕·b＝____．演练稳固反应进步0l．以下说法正确的选项是( )A．－2是(－2)2的算术平方根B．3是－9的算术平方根C．16的平方根是±4 D．27的立方根是±302．设a=b＝－2，c=，那么a、b、c的大小关系是( )A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b03．以下各组数中，互为相反数的是( )A．－9与81的平方根B．4与C．4D．304．在实数1.414，0.1•5•，π，3.1•4•中无理数有( ) A．2个B．3个C．4个D．5个05．实数a、b在数轴上表示的位置如下图，那么( )A．b>a B．a b>C．－a＜b D．－b>a0611之间的有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个07．设m n＝2．那么m，n的关系是( )A. m＝±nB.m＝n C .m＝－n D.m n≠08．〔烟台〕如图，数轴上A、B两点表示的数分别为－1点B关于点A的对称点C，那么点C所表示的数为( )A．－2B．－1C．－2 D．l09．点A点B在数轴上和原点相距3个单位，且点B在点A左边，那么A、B之间的间隔为____．10．用计算器探究：按一定规律排列的一组数：1．假如从中选出假设干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数．11．对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b，如3※212.※4＝____．12．〔长沙中考题〕a、b为两个连续整数，且a<b，那么a＋b＝____．13．对实数a、b，定义运算“*〞，如下a*b＝()()22a b a bab a b⎧⎪⎨⎪⎩≥<，3*m＝36，那么实数m＝____．14．设a是大于1的实数．假设a，23a+，213a+在数轴上对应的点分别是A、B、C，那么三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．假如该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．16．整数x、yx、y．17．2a−1的平方根是±3，3a＋b−1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B点所对的数；(2)求圆心O挪动的路程．19．假设b＋3l，且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求〔mn−2〕(3mn＋4)的平方根与立方根．20．假设x、y为实数，且〔x−y＋1〕2的值．培优晋级奥赛检测01．〔荆州市八年级数学联赛试题〕一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a−3，那么a值为( )A．2 B．－1 C．1 D．002．( ) A．0 B．1C．1 D．203−2的最小值为____．04．设a 、b 为有理数，且a 、b 满足等式a 2＋3b ＋a ＋b ＝____． 05．假设a b -＝1，且3a ＝4b ，那么在数轴上表示a 、b 两数对应点的间隔 为____．06．实数a 满足2009a a -+=，那么a − 20212＝_______．07．假设m 满足关系式199y x =--试确定m 的值．08．〔全国联赛〕假设a 、b 满足5b ＝7，S ＝3b ，求S 的取值范围． 09．〔北京市初二年级竞赛试题〕0<a <1，并且123303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2930a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a ]的值[其中[x ]表示不超过x 的最大整数] ．10．〔北京竞赛试题〕实数a 、b 、x 、y 满足y 21a =-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值．11．〔全国竞赛试题〕巳知x ＝b a，a 、b 为互质的正整数．且a ≤8x 1， (1)试写出一个满足条件的x ；(2)求所有满足条件的x ．。

实数、代数式综合测试题一、选择题（每小题1分，30分）1、下面四个命题中错误的是＿＿。

A 相反数等于它本身的数只有零；B ±1的倒数等于它本身；C 若a为任意实数，则它的倒数是a－1；D 绝对值最小的整数是02、－24÷(－2)2=___. A 4 B －4 C －2 D 23、的平方根是＿＿＿。

A 3 B ±3 C 3 D ±4、样本8,8，9,10,12,12,13的中位数和众数分别是＿＿＿。

A 12、12B 11、13C 10、12D 11、12200220035、若的值是＿＿。

A0 B2C－1 D－2 互为相反数，则a+b6、当a＜－4时，那么｜2－a+2)2|等于＿＿＿。

A 4＋aB －aC －4－aD a7、下列运算中正确的是＿＿。

A 3x3－2x3=－xB －a²(－a)2=a3 C(π－3.14)0 =1 D 1÷(2－28、若｜m｜=－m，则m是＿＿。

A 正数 B 负数 C 非正数 D非负数 9、43100000用科学记数法可表示为＿＿。

A 4.31³105B 43.1³106C 4.31³107D 0.431³10810、在（－2）0,sin45°,0,0.010010001,221，这六个数中，无理数有＿＿。

272A 2个B 3个C 4个D 5个211、已知0＜x＜3，化简2x＋的结果是＿＿。

1）－｜x－5｜A 3x－4B x－4C 3x＋6D －x－612、已知a<b<0，那么|a|、－b、a－b的大小关系是＿＿。

A －b>|a|>a－bB a－b>|a|>－bC |a|>－b>a－bD |a|>a－b>－b｜－2｜－(－5)0⨯(－1)2002的结果是＿＿。

13、计算：12³()+()－2÷131412A 4B 3C 2D 114、化简(－a5)2+(－a2)5的结果是＿＿。

高中数学奥数
高中数学奥数通常指的是针对数学奥林匹克竞赛的高中阶段数学题目。

这些题目通常比常规的高中数学课程更难，需要学生具备更深入的数学知识和更强的逻辑推理能力。

以下是一些高中数学奥数题目示例：
1. 设 a、b、c 是正实数，且 a^2 + b^2 + c^2 = 1，证明：(a + b +
c)^2 ≤ 3(a^2 + b^2 + c^2)。

2. 设 n 是正整数，证明：√(n + 1) - √ n < √ n - √(n - 1)。

3. 设 x、y 是正实数，且 x + y = 1，证明：x^3 + y^3 ≥ 1/8。

4. 设 a、b、c 是三角形三边的长，证明：√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) + √(c^2 + a^2) ≥ a + b + c。

5. 设 n 是正整数，证明：1^2 + 2^2 + ... + n^2 = (n(n + 1)(2n + 1))/6。

这些题目只是高中数学奥数的一部分，还有很多其他类型的题目和更难的题目。

如果你对高中数学奥数感兴趣，建议查阅相关资料或寻求专业指导。

D C 第5讲 实 数如果谁不知道正方形的对角线同边是不可通约的量，那他就不值得人的称号。

——柏拉图知识方法扫描1. 平方根和立方根 如果一个数的平方等于a, 则称这个数为a 的平方根。

正数a 有两个平方根, a 表示a 的平方根中非负的一个，称为a 的算术平方根. 正数a 的两个平方根是±a 。

显然，(±a )2 = a .在式子a 中，a ≥0a |.如果一个数的立方等于a,则称这个数为a 的立方根。

数a 的立方根记作3a 。

(3a )=a .2．实数有理数和无理数统称为实数。

有理数包括整数和分数，无限不循环小数是无理数。

两个有理数的和差积商都是有理数，一个无理数与一个非零有理数的积是无理数。

有理数能够写成两个整数之商的形式，而无理数不能够写成两个整数之商的形式。

判断一个数是有理数的方法是：其一是证明它可以写成两个整数的商的形式，其二是证明它是循环小数。

反之，判断一个数是无理数的方法是：其一是证明它不能写成两个整数的商的形式，其二是证明它不是循环小数，一般要用到反证法。

利用无理数不等于有理数这个结论来解题，是一种重要的方法。

经典例题解析例1．（1）说明边长为1的正方形的对角线的长度为； （2是无理数；解 （1）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形。

它的面积是1。

三角形ABC 的面积是12，将4个 与三角形ABC 一样大的三角形拼成一个正方形ACFE ，它的面积是2，所以它的边长为，也就是说正方形ABCD 的对角线的长度为 。

（2）用反证法． 假设=p q（p,q 是互质的正整数），两边平方后整理得p 2=2q 2. 所以p 一定是偶数．设p=2m(m 是自然数)，代入上式得4m 2＝2q 2，q 2＝2m 2，所以q 也是偶数，p 与q 均为偶数和p 与q是无理数 。

评注 （1）只要p 就一定是无理数 ，这个结论的证明与p=2时类似，我们将它的证明留给读者。

（2）利用无理数不等于有理数这个性质，我们可以解答许多类似的问题。