第6讲 直线上的点集
问题3 问题3：能否在直线上找到既完备有是疏朗的 集合？ 集合？
第6讲 直线上的点集
Cantor集的构造: 将[0，1]均分为三段，删去中间的开区间
2 三等分，删去中间的两个区间即 1 , 9 , 7 , 8 。 9 9 9
1 2 , ，将剩下的两个区间 3 3
(α, β) − F = U(αi , βi ) ，从而
证毕。 证毕。
F = [α, β] − U(αi , βi ) = I([α, β] − (αi , βi )) 。
i i
i
第6讲 直线上的点集
问题8 直线上什么样的闭集是完备的？ 问题8：直线上什么样的闭集是完备的？所有 的完备集都是这样的吗？ 的完备集都是这样的吗？
。如
果 αx ∈G ，则存在 α, β ，使 αx ∈(α, β) ⊂ G， 显然 (α, βx ) ⊂ (α, β) U (αx , βx ) ⊂ G，这与αx的 定义矛盾。因此 αx ∉G 。同理可证 βx ∉G 。
第6讲 直线上的点集
(i)证完。 再证（ii），对任意 x, y ，若
(αx , βx ) ≠ (αy , βy ) ， (αx , βx ) I(αy , βy ) ≠ ∅ ，
x 必然在删去的区间内，即 x∉G 。因此，除了分 必然在删去的区间内， 因此，
点外， 中当且仅当其三进制表示中不出现数1 点外，x 在 G中当且仅当其三进制表示中不出现数1。 注意挖去的区间是可数的， 也可数， 注意挖去的区间是可数的，故分点集 G0 的区间是可数的 也可数，因此
第6讲 直线上的点集
存在开区间 (α, β ) ，使 x ∈(α, β ) ⊂ G 。 不难看到， 中开区间有无穷多个， 不难看到，包含 x 的 G 中开区间有无穷多个，记
