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8-8广义胡克定律已知简单W力状态的胡克定律和横向效应:备向同性材料，弹性范围内，线弹性材料，小变形。
由此：1）在复杂丿2力状态下，应变分最可市备丿、'、/：力分最引起的丿、'、Z变分最吾加得到。
2）正丿'V变只与正戒力冇关，剪应变只与剪丿、''/「力冇关，线变形与角变形的相互影响可以略去。
广义胡克定肄ey1）对空间一般应力状态r 1耳=万1务一虽（CF” +巳）［112）主应力形式r］习=万［6一“92 +6）］« 叼=-^［^2 _“（6 +6）］习=+［內一虽（6+內）］3）对平面一般应力状态1耳=_ w° 1 _ % E厂丘（空-“务）=—(8-11)(8-12)F = 一壬（耳+空）其余»= Yzx(8-13)4）考虑热应力的广义胡克定律耳=-［^ -吩y +匕）］+必« 弓=£［巧_“©+〔）］ +仏务+勺）卜加(8-14) 此处，。
一各向同性材料的线膨胀系数。
8-9微元体的体积改变与形状改变1・体积改变与静水应力体积应变定义（如图8-29&、b）:受力前微元体体积: V = dxdydz(8-15)受力后微元体体积:r"（1 +如° +习）初（1 +恥。
由于叼，习，习,略去正应变的二次，三次项后得:7’ = (1 + £1 + 叼 + s3 )dxdydz由定义式（8—15）即得3(1 - 2v) o-! + a2 + CF3~E 3定义材料的体积模量久1" 2v） o片=?（巧+丐+屯）微元体的静水应力（平均正应力）3△7 旷一7体积改变定律:微元体的体积改变与静水应力（平均正应力）b"成正比，与反映材料弹性性能的体积模量&成反比。
2. 形状改变与应力偏;处于空间一般应力状态的微元体的变形可以分为只产生体积改变和只产生形状改对于（c）,不存在体积改变,且偏应力状态可分解为几个纯剪应力状态。
第四章 广义胡克定律第四章 广义胡克定律 (1)§4.1节广义胡克定律 (2)§4.2节拉梅常数与工程弹性常数 (5)§4.3节弹性应变能函数 (7)§4.1节 广义胡克定律（一）单向应力状态下胡克定律单向应力状态下，处于线弹性阶段材料，其应力与应变关系可由下式表示：x x E σε=其中E 为材料的弹性模量。
（二）三维广义胡克定律三维条件下，物体应力状态可由6个分量表示，而应变状态也由6个分量表示。
假设应力与应变的各个分量之间均相关，一般地，1111111222133314121523163122211122222333241225232631333111322233333412352336311241114222433344124523463123511152225c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c σεεεεεεσεεεεεεσεεεεεεσεεεεεεσεε=+++++=+++++=+++++=+++++=++33354125523563131611162226333641265236631c c c c c c c c c εεεεσεεεεεε⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪+++⎪=+++++⎪⎩ 或写作111213141516111121222324252622223132333435363333121241424344454623235152535455563131616263646566c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c σεσεσεσεσεσε⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎥⎥ 其中，mn C （,1,,6m n ="）为弹性常数。
广义胡克定律的适用范围稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊广义胡克定律的适用范围。
你知道吗？广义胡克定律可不是随随便便就能用的哦！它一般适用于那些材料在弹性范围内的情况。
啥叫弹性范围？就是材料受力后能像弹簧一样，力没了还能恢复原状。
比如说常见的钢材、铝材这些金属材料，在受到不大不小的力时，就乖乖遵循广义胡克定律。
但是哦，如果力太大了，材料被拉坏了、压坏了，变形没法恢复了，那广义胡克定律可就不管用啦！就好像一个弹簧被拉得超过了极限，再也弹不回去了。
而且呀，广义胡克定律对于那些各向同性的材料表现特别好。
啥是各向同性？简单说就是材料各个方向的性质都差不多。
可要是遇到那种各向异性的材料，比如一些复合材料，就得小心点用啦，说不定就会出偏差。
还有哦，温度也会影响广义胡克定律的适用呢。
如果温度变化太大，材料的性能可能会改变，这时候用广义胡克定律就得三思而后行啦。
呢，要想用广义胡克定律，得先看看材料是不是在弹性范围，是不是各向同性，还要注意温度等因素。
不然用错了可就闹笑话啦！好啦，今天就聊到这儿，小伙伴们明白了不？稿子二嗨呀，朋友们！今天咱们来好好唠唠广义胡克定律的适用范围。
先来说说材料方面，大多数普通的均质材料，像咱们常见的钢铁、铝合金啥的，在正常受力情况下，广义胡克定律那是相当好用的。
但要是碰到一些特殊材料，像那种有特殊微观结构的，或者经过特殊处理的，就得留神啦。
再说说受力的大小。
要是力小一点，材料能轻松应对，广义胡克定律就能准确描述它的变形。
可要是用力过猛，把材料折腾得不成样子，超过了它的承受能力，这定律就不灵啦，就像小孩玩玩具，太用力就玩坏了。
还有哦，时间也是个关键因素。
如果受力时间特别短，瞬间的冲击，广义胡克定律可能还能应付。
但要是长时间受力，材料可能会产生疲劳，这时候就得重新考虑啦。
另外，环境条件也很重要。
比如在高温或者低温环境下，材料的性质会发生变化，这时候可不能盲目套用广义胡克定律。
所以呀，用广义胡克定律的时候，一定要多方面考虑，可别想当然哟！不然得出错误的结果，那可就糟糕啦。
广义虎克定律
摘要：
1.广义虎克定律的定义
2.广义虎克定律的应用
3.广义虎克定律的意义
正文：
广义虎克定律是一个在固体力学中广泛应用的定律，它描述了在外力作用下，材料发生形变的规律。
广义虎克定律不仅可以用来描述材料的线性弹性形变，还可以描述材料的非线性弹性形变，甚至可以用来描述材料的塑性形变。
在应用广义虎克定律时，首先需要根据材料的性质和受力情况，确定材料的本构模型，然后通过本构模型，可以计算出材料在任意受力情况下的应变和应力。
广义虎克定律在各种工程设计中都有广泛的应用，比如在建筑设计中，可以使用广义虎克定律来计算建筑物在各种受力情况下的形变，从而保证建筑物的稳定性和安全性。
广义虎克定律的意义不仅在于它的应用价值，更在于它对固体力学的发展做出的贡献。
广义虎克定律的出现，使得人们可以更好地理解和描述材料的形变规律，从而推动了固体力学的发展。
广义胡克定律 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 § 空间应力状态及广义胡克定律 一、 空间应力状态简介 当单元体上三个主应力均不为零时的应力状态称为空间应力状态，也称为三向应力状态。本节只讨论在已知主应力σ1、σ2、σ3的条件下，单元体的
最大正应力和最大剪应力。先研究一个与σ1平行的斜截面上的应力情况，
如图10-16(a)所示。该斜面上的应力σ、τ与σ1无关，只由主应力σ2、σ3决
定。于是，可由σ2、σ3确定的应力圆周上的点来表示平行于σ1某个斜面上
的正应力和剪应力。同理，在平行于σ2或σ3的斜面上的应力σ、τ，也可分
别由（σ1、σ3）或（σ1、σ2）确定的应力圆来表示。这样作出的3个应力圆
称作三向应力圆，如图10-16（d）所示。当与三个主应力均不平行的任意斜面上的正应力和剪应力必然处在三个应力圆所围成的阴影范围之内的某一点D。D点的纵横坐标值即为该斜面上的正应力和剪应力。由于D点的确定比较复杂且不常用，在此不作进一步介绍。
二、 最大、最小正应力和最大剪应力
图10-16 空间应力状态及其应力圆 从图10-16(d)看出，在三个应力圆中，由σ1、σ3所确定的应力圆是三
个应力圆中最大的应力圆，又称极限应力圆。画阴影线的部分内，横坐标的极大值为Al点，而极小值为B1点，因此，单元体正应力的极值为：
σmax=σ1，σmin=σ3 单元体中任意斜面上的应力一定在σ1和σ3之间。
而最大剪应力则等于最大应力圆上Gl点的纵坐标，即等于该应力圆半径：
13max2
Gl点在由σ1和σ3所确定的圆周上，此圆周上各点的纵横坐标就是与σ2
轴平行的一组斜截面上的应力，所以单元体的最大剪应力所在的平面与σ2
轴平行，且与σ1和σ3主平面交450。
三、广义胡克定律 在研究单向拉伸与压缩时，已经知道了在线弹性范围内，应力与应变成线性关系，满足胡克定律
E （a）
此外，轴向变形还将引起横向尺寸的变化，横向线应变根据材料的泊松比可得出：
'E （b）
在纯剪切的情况下，根据实验结果，在剪应力不超过剪切比例极限时，剪应力和剪应变之间的关系服从剪切胡克定律，即
G 或 G
（c） 对于复杂受力情况，描述物体一点的应力状态，通常需要9个应力分量，如图所示。根据剪应力互等定律，τxy=－τyx，τxz=－τzx，τyz=－τzy，因
而，在这9个应力分量中只有6个是独立的。这种情况可以看成是三组单向应力（图10-17）和三组纯剪切的组合。对于各向同性材料，在线弹性范围内，处于小变形时，线应变只与正应力有关，与剪应力无关；而剪应变只与剪应力有关，与正应力无关，并且剪应力只能引起与其相对应的剪应变分量的改变，而不会影响其它方向上的剪应变。因此，求线应变时，可不考虑剪应力的影响，求剪应变时不考虑正应力的影响。于是只要利用（a）、（b）、（c）三式求出与各个应力分量对应的应变分量，然后进行叠加即可。
图10-17 应力分解 如在正应力σx单独作用时(图10-17(b))，单元体在x方向的线应变xxxE
；
在σy单独作用时(图10-17(c))，单元体在x方向的线应变为：yxyE
；
在σz单独作用时(图10-17 (d))，单元体在x方向的线应变为zxzE
；
在σx、σy、σz共同作用下，单元体在x方向的线应变为： 1()xxxxyxzyxZxyzEEEE
同理，可求出单元体在y和z方向的线应变εy和εz。最后得 1()xxyzE
1()yyzxE
（10-
9）
1()zzxyE
对于剪应变与剪应力之间，由于剪应变只与剪应力有关，并且剪应力只能引起与其相对应的剪应变分量的改变，而不会影响其它方向上的剪应变。因而仍然是（c）式所表示的关系。这样，在xy、yz、zx三个面内的剪应变分别是
12(1)xyxyxyGE
12(1)yzyzyzGE
（10-
10）
12(1)zxzxzxGE
公式（10-9）和（10-10）就是三向应力状态时的广义胡克定律。 当单元体的六个面是主平面时，使x、y、z的方向分别与主应力σ1、
σ2、σ3的方向一致，这时有
1,2,3,0,0,0,xyzxyyzzx
广义胡克定律化为： 1123
1
()E
2231
1
()E
（10-
11）
3312
1
()E
0,0,0xyyzzx ε1、ε2、ε3方向分别与主应力σ1、σ2、σ3的方向一致，称为一点处的主
应变。三个主应变按代数值的大小排列，ε1 ≥ ε2 ≥ε3，其中，ε1和ε3分别是
该点处沿各方向线应变的最大值和最小值。
四、 体积应变 单位体积的改变称为体积应变（体应变）。图10-18所示的主单元体，边长分别是dx、dy和dz。在3个互相垂直的面上有主应力σ1、σ2和σ3。
单元体变形前的体积为: v = dxdydz; 变形后的体积为：v1=（dx +ε1dx)(dy +ε2dy)(dz +ε3dz)
则体积应变为：
1123()()()vvvdxdxdydydzdzdxdydzvvdxdydz
(1)(1)(1)1xyz123122331123
略去高阶微量，得
123
（10-
12）
将广义胡克定律式(10-11)代入上式，得到以应力表示的体积应变
图10-18 主应力单12312312()E
（10-
13）
令
1231()3m
（10-
14）
则 3(12)mmEK
（10-15）
式中：3(12)EK称为体积弹性模量，σm称为平均主应力。 公式（10-15）表明，体积应变θ与平均主应力σm成正比，即体积胡克定律。单位体积的体积改变只与三个主应力之和有关，至于三个主应力之间的比例对体积应变没有影响。
若将图10-19（a）中所示单元体分解为（b）和（c）两种情况的叠加，在（c）图中，由于各面上的主应力为平均主应力，该单元体各边长按相同比例伸长或缩短，所以单元体只发生体积改变而不发生形状改变。
在图（b）中，三个主应力之和为零，由式（10-13）可得其体积应变θ也为零，表明该单元体只发生形状改变而不发生体积改变。由此可知，图（a）所示的单元体的变形将同时包括体积改变和形状改变。 五、 复杂应力状态下的弹性变形比能 弹性变形比能是指物体在外力作用处于弹性状态下，在单位体积内储存的变形能。在单向应力状态下，当应力σ与应变ε满足线性关系时，根据外力功和应变能在数值上相等的关系，导出变形比能的计算公式为
12u
在复杂应力状态下的单元体的变形比能为
1122331()2u
将将广义胡克定律式代入上式，经过整理后得出：
112322133321
1
()()()2uE
222123122331
12()2E
（10-
16）
式（10-16）就是在复杂应力状态下杆件的弹性变形比能计算公式。由于单元体的变形包括体积改变和形状改变，所以变形比能也可以看成由体积改变比能和形状改变比能这两部分的组合。
duuu
图10-19 单元体应力的组合
