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建模更是一种精神】数学建模全国大赛历年题目分析以及参赛成功方法数学建模竞赛的赛题分析1. CUMCM历年赛题简析2. “彩票中的数学”问题3. 长江水质的评估、预测与控制问题4. 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题5. 其他几个数学建模的问题数学建模竞赛的规模越来越大,水平越来越高；竞赛的水平主要体现在赛题水平；赛题的水平主要体现：（１）综合性、实用性、创新性、即时性等；（２）多种解题方法的创造性、灵活性、开放性等；（３）海量数据的复杂性、数学模型的多样性、求解结果的不唯一性等。
纵览16年的本科组32个题目(专科组13个)，从问题的实际意义、解决问题的方法和题型三个方面作一些简单的分析。
一、CUMCM历年赛题的简析1. CUMCM 的历年赛题浏览：1992年:(Ａ)作物生长的施肥效果问题(北理工：叶其孝）(B)化学试验室的实验数据分解问题（复旦：谭永基）1993年:(Ａ)通讯中非线性交调的频率设计问题（北大:谢衷洁）(Ｂ)足球甲级联赛排名问题（清华：蔡大用）1994年:(Ａ)山区修建公路的设计造价问题（西电大：何大可）(Ｂ)锁具的制造、销售和装箱问题（复旦:谭永基等）1995年:(Ａ)飞机的安全飞行管理调度问题（复旦:谭永基等）(Ｂ)天车与冶炼炉的作业调度问题（浙大:刘祥官等）一、CUMCM历年赛题的简析1. CUMCM 的历年赛题浏览：1996年:(A)最优捕鱼策略问题（北师大：刘来福）(B)节水洗衣机的程序设计问题（重大：付鹂）1997年:(A)零件参数优化设计问题（清华：姜启源）(B)金刚石截断切割问题（复旦：谭永基等）1998年:(A)投资的收益和风险问题（浙大：陈淑平）(B)灾情的巡视路线问题（上海海运学院:丁颂康）1999年:(A)自动化机床控制管理问题（北大：孙山泽）(B)地质堪探钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）(C)煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰）一、CUMCM历年赛题的简析1. CUMCM 的历年赛题浏览：2000年:(A)DNA序列的分类问题（北工大：孟大志）(B)钢管的订购和运输问题（武大：费甫生）(C)飞越北极问题（复旦：谭永基）(D)空洞探测问题（东北电力学院：关信）2001年:(A)三维血管的重建问题（浙大：汪国昭）(B)公交车的优化调度问题（清华：谭泽光）(C)基金使用计划问题（东南大学：陈恩水）2002年:(A)汽车车灯的优化设计问题（复旦:谭永基等）(B)彩票中的数学问题（信息工程大学：韩中庚）(D) 球队的赛程安排问题（清华大学：姜启源）一、CUMCM历年赛题的简析1. CUMCM 的历年赛题浏览2003年:(A)SARS的传播问题（集体）(B)露天矿生产的车辆安排问题（吉林大：方沛辰）(D)抢渡长江问题（华中农大：殷建肃）2004年:(A)奥运会临时超市网点设计问题(北工大：孟大志)(B)电力市场的输电阻塞管理问题(浙大:刘康生）(C)酒后开车问题（清华大学：姜启源）(D)公务员的招聘问题（信息工程大学：韩中庚）2005年:(A)长江水质的评价与预测问题（信息工大:韩中庚）(B)DVD在线租赁问题（清华大学：谢金星等）(C) 雨量预报方法的评价问题（复旦：谭永基）一、CUMCM历年赛题的简析1. CUMCM 的历年赛题浏览2006年:(A)出版社的资源管理问题（北工大:孟大志）(B)艾滋病疗法的评价及预测问题（天大：边馥萍）(C)易拉罐形状和尺寸的设计问题（北理工：叶其孝）(D)煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题（信息工程大学：韩中庚）2007年:(A)中国人口增长预测问题（清华大学:唐云）(B)“乘公交，看奥运”问题（吉大：方沛辰，国防科大：吴孟达）(C)“手机套餐”优惠几何问题(信息工程大学:韩中庚)(D)体能测试时间的安排问题(首都师大:刘雨林)一、CUMCM历年赛题的简析一、CUMCM历年赛题的简析1. CUMCM 的历年赛题浏览2001年夏令营三个题:(A)三峡工程高坡开挖优化设计(三峡大学:李建林等）(B)城市交通拥阻的分析与治理(北京理工大学:叶其孝）(C)乳房癌的诊断问题（复旦大学:谭永基）2006年夏令营三个题:(A)教材出版业的市场调查、评估和预测方法问题（北工大:孟大志）(B)铁路大提速下的京沪线列车调度问题（信息工程大学:韩中庚）(C)旅游需求的预测预报问题（北京理工：叶其孝）2、从问题的实际意义分析32个问题从实际意义分析大体上可分为：工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等七个大类。
2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目A题: 长江水质的评价和预测水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。
专家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。
”长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。
2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。
为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”（附件１），并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤（附件2）。
附件3给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速）。
通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。
一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低。
反映江河自然净化能力的指标称为降解系数。
事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数通常介于0.1~0.5之间，比如可以考虑取0.2(单位：1/天)。
附件4是“1995~2004年长江流域水质报告”给出的主要统计数据。
下面的附表是国标(GB3838-2002)给出的《地表水环境质量标准》中4个主要项目标准限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水。
请你们研究下列问题：（1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。
（2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区?（3）假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况。
Netflix竟然还在出租 DVD，并且为此出了一个App最近，流媒体视频网站 Netflix 为自己的 DVD 租赁业务发布了一个应用：DVD Netflix。
这个 App 仅面向美国的 iOS 用户。
它的界面很简单，只有几个主要功能：新到碟片和影片推荐、个人影单和租借记录、电影检索。
很明显，它主要还是服务于 DVD 租赁业务。
这看起来多少有些不合时宜。
在美国，虽然 DVD 和蓝光租赁业务还有几百万用户市场，但是他们正以每年 24% 的流失率坍缩。
另外，这举动也跟近两年主推流媒体视频的 Netflix 有些矛盾。
截至去年第三季度，Netflix 影碟业务的订阅用户仅 430 万人——美国是唯一一个 Netflix 还在提供 DVD 租赁服务的国家。
而其流媒体订阅用户在美国的数量是 4750 万人，全球范围内达到8670 万人。
2014 年，Netflix 没有在 DVD 业务上花一分钱营销费用，而流媒体的营销费一个季度就花了 6500 万美元。
那他们为什么突然折返，又想抓住还在看 DVD 的人群了？也许是 Netflix 感受到的压力。
不光是影碟租赁这个缩小的市场，流媒体行业的竞争也更激烈了。
除了 Hulu 和亚马逊，曾经在影碟租赁行业的竞争对手 Redbox 也将触角伸向了流媒体。
Redbox 是一个类似自动贩卖机的碟片租铺，在美国 35000 个人流密集的场所设点，比如超市和 SEVEN-ELEVEN 。
对 大多数美国人来说，Redbox 就像便利店一样，是一个在 5分钟内可达的地方。
Netflix 美国影碟业务订阅用户数量不断减少。
Redbox 更适合那些临时想看一部电影的人，它不像 Netflix 需要支付每月 4.99 美元的影碟订阅费。
普通 DVD 光碟隔天归还的价格在每张 1 美元，蓝光碟额外增加 0.5 美元。
它占据了美国 DVD 租赁市场一半份额。
但 2016 年第一季度，租赁业务收益下滑17% 后，Redbox 三月份宣布进军流媒体市场。
DVD 在线租赁摘要本文主要是为DVD 在线租赁网站解决如何对DVD 碟片进行需求预测、购买和分配等问题，通过建立数学规划模型并求解，从而实现让会员在获得较大利益的同时使DVD 在线租赁网站赢利最大化。
在解决通过问卷调查1000个会员，决定至少需要准备各种DVD 多少张才能满足一定比例的会员在一定时间内可以观看到自己喜欢的DVD 的问题时，我们首先引入了市场上货币流通模型与之相比较，找出他们之间的共同点----流通量，并建立了新的单位----张次，从而利用对DVD 在一个月内租给会员时流通次数的假设，很容易地计算出每种DVD 需要准备的数量，再按比例推广到有10万个会员的情况。
在解决第二和第三个问题时，我们首先定义了会员满意度的概念，并建立平均满意度的表达式，并要求其取最大值：[]100010011(9(,))(,)1000(1098)i j MAX PRFDU i j ISGET i j ==⎡⎤=-⨯÷⨯++⎢⎥⎣⎦∑∑然后根据(,)ISGET i j 是个特殊集合（只包括0和1两个元素）的性质，和所要解决的问题的其他内在约束列出所有相关的约束条件，通过建立0-1整数规划模型并结合大量的数据求解此模型。
在处理10万个数据时，我们先使用excel 的内部命令对其中的数据进行相应的处理（主要是替换并调整偏爱度的数据，但并不失去数据的原始涵义），接着将数据复制到WINDOWS 自带的记事本中并保存（在选择数学软件时，因为LINGO 在解决规划问题时拥有的强大优势，所以我们选择了LINGO 作为我们的主要工具），然后利用LINGO 软件的函数@file 将处理过的数据导入，最后通过对LINGO 的编程解决该0-1整数规划模型。
对于第四问，我们在对各个阶段的重要问题进行了合理的分析，然后在前三问基础上，把第四问的各个阶段看为一个整体，进行整体分析，建立了可行赢利最优模型。
关键词：在线租赁偏爱度购买分配满意度平均满意度货币流通模型0-1整数规划一、问题提出随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
DVD在线租赁就是一种可行的服务。
这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
网站制订相应的规则让会员去遵守，在收到会员交纳的会费后承担向会员提供DVD出租的业务，而会员根据自己对DVD碟片的偏爱程度去租赁DVD并承担向网站交纳一定的月会费，他们相互承担相应的义务和享有相应的权利。
就网站而言，网站管理需要兼顾会员利益和自身赢利两个方面，怎样在两者之间取得一个平衡点，使得既照顾到会员的利益又不影响到网站今后的发展时网站赢利最大。
因此，如何对DVD碟片进行需求预测、购买和分配等问题的研究和解决具有重要的社会意义和经济意义。
二、定义与符号说明1.DVD(j)----第j种DVD2.CLUBMEMBER(i)----第i个会员3.NUM(j)---- 在第一问中调查1000个会员时愿意观看DVD（j）的人数(j=1、2、3、4、5)4.need(j)----在第一问中调查1000个会员时要让希望看到DVD（j）的会员中有至少50%在一个月内如愿，DVD（j）所需的张数 (j=1、2、3、4、5) 5.NEED(j)----在第一问中若调查10万个会员时要让希望看到DVD（j）的会员中有至少50%在一个月内如愿，DVD（j）所需的张数 (j=1、2、3、4、5) 6.PRFDU(i,j)----第i个会员对第j种DVD的偏爱度，即CLUBMEMBER (i)对DVD（j）的偏爱度，值越小，表明越偏爱，偏爱度越高7.ISGET（i，j）----第j种DVD是否租给第i个会员（ISGET（i，j）=0，1）8.COUNT（j）----第j种DVD的实际总数或所应购买的总数9.张次----一张DVD租出一次，作为单位使用10.满意度-----会员对所租到的DVD满意程度，用%或纯小数表示11.平均满意度-----所有会员的满意度的平均值三、模型假设公共假设：1：一张DVD碟一个月最多流通两次2：每张DVD的价格相同3：每个会员都能及时的寄回所租的DVD，不影响DVD的流通4.满意度只与会员所偏爱的DVD是否能租到有关，而与其他因素无关私有假设：问题一中模型一：规定每个会员租每张DVD的期限是半个月，不论是一个月租一次还是两次问题一中模型二：规定每个月租一次的会员所租的DVD的期限是一个月，而租两次的期限是半个月问题三：1.规定每个月租一次的会员所租的DVD的期限是一个月，而租两次的期限是半个月2.每月租两次的会员订单是一月提交两次，每月只租一次的会员订单是一月一次3.各种DVD的现有数量全部为0四、模型分析和建立问题（一）问题重述:网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD 两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD 的会员中至少有50%在一个月内能够看到该DVD ？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD 呢？表1 对1000个会员调查的部分结果问题分析:解决该问题时，可类比于货币在市场上流通的模型，例如1元面值的货币在市场上流通100次，相当于100元面值的货币在市场上流通1次。
当10张DVD 租出了2次也就相当于20张DVD 租出了1次，即他们都租出了20张次。
下面我们先使用1000个被调查的会员及表1数据来分析。
模型建立： 模型一：根据问题一中模型一的私有假设：每个会员租每张DVD 的期限是半个月，不论是一个月租一次还是两次，并根据表1中的调查结果：（1）对于DVD(j)来说有200个人愿意观看，那么要满足希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD ，即至少有100个人能够看到。
每张DVD 都能在一个月内租出两次，则need （j ）张DVD 一个月能租出2need(j) ⨯张次，综上，以DVD （1）为例，应有2(1)100(1)50()need need ⨯==张按比例关系，当有10万个会员时，至少需要准备的DVD （1）张数是410105050001000⨯⨯=。
对DVD （j ）来说，有：)(42()()10011010()()1000need j NUM j NEED j need j ⨯=⨯⎪⎪⎨⨯⎪=⨯⎪⎩取j=1，2，3，4，5。
我们可以得到DVD （j ）的总数量NEED （j ）。
(2)要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到DVD （j ）,也就是说在这三个月内每张DVD （j ）都要流通6次,need （j ）张DVD 三个月内能出租6need(j)⨯张次。
对于DVD （1）就有：6(1)2000.95need ⨯=⨯, 当10万会员时至少需要准备的张数是41010(1)31671000need ⨯⨯≈对DVD （j ）来说，有：()4956()()10021010()()1000need j NUM j NEED j need j ⎧⨯=⨯⎪⎪⎨⨯⎪=⨯⎪⎩取j=1，2，3，4，5。
我们可以得到DVD （j ）的总数量NEED （j ）。
模型二：根据问题一中模型二的私有假设：每个月租一次的会员所租的DVD 的期限是一个月，而租两次的期限是半个月，并根据表1中的调查，以及历史数据显示的60%的会员每月租赁DVD 两次，而另外的40%只租一次：（1） 对于need （j ）张DVD （j ）在一个月内有60%的会员租两次，40%的会员租一次，那就相当于一个月内出租了need(j)60%2+need(j)40%1 ⨯⨯⨯⨯张次，即1.6need(j)⨯张次。
对DVD （j ）来说，有：()41.6()()10031010()()1000need j NUM j NEED j need j ⨯=⨯⎪⎪⎨⨯⎪=⨯⎪⎩取j=1，2，3，4，5。
我们可以得到DVD （j ）的总数量NEED （j ）。
（2） 同上对DVD （j ）应有：)(4953 1.6()()10041010()()1000need j NUM j NEED j need j ⎧⨯⨯=⨯⎪⎪⎨⨯⎪=⨯⎪⎩取j=1，2，3，4，5。
我们可以得到DVD （j ）的总数量NEED （j ）。
问题（二） 问题重述:表2中列出了网站手上100种DVD 的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从/mcm05/problems2005c.asp 下载），如何对这些DVD 进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD 。
问题分析:如何对这些DVD 进行分配，才能使会员获得最大的满意度？就是说对DVD 的分配原则是使得会员的满意度最大。
根据公共假设4可知会员的满意度只与会员所偏爱的DVD 是否能租到有关，而与其他因素无关，具体说来是当会员一次租到的DVD 的数量越多满意度越高，当租到的DVD 所具有的会员的偏爱度越高满意度也越高，他与这两个量之间是成正比关系的。
但一个会员的满意度高不能说明就达到了DVD 的最佳分配方案，它是与平均满意度成正比的。
在这里我们用平均满意度来作为DVD 分配的直接相关因素之一，即当使得平均满意度最大以及所分配的各DVD 数量不超过各DVD 库存总量时，DVD 的分配方案为最佳。
又因为DVD 的分配只存在租与不租的两种方式，所以我们可以认为这是个0-1整数规划问题，可以用LINGO 软件来解决。
如何确定满意度的值？当会员能够得到他最想要的3张DVD ，即在订单上排在最前面的3种DVD ，则认为这位会员的满意度为1，又因为最想要的3张DVD 的(,)PRFDU i j 分别是-1，0，1（在处理数据时作了相应的处理），那9(,)PRFDU i j -的值分别是10，9，8。
将1098++作为基数。
当会员租到的DVD 是自己最想租到的第2，4，5张时，则他的满意度应该为(976)/(1098)++++。
由以上对应关系可以得到满意度的表达式：1001(9(,))(,)/(1098)j PRFDU i j ISGET i j =-⨯++∑模型建立：平均满意度趋于最大值，则有：[]100010011(9(,))(,)1000(1098)i j MAX PRFDU i j ISGET i j ==⎡⎤=-⨯÷⨯++⎢⎥⎣⎦∑∑此式作为目标函数。
