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整式及其运算

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整式及其运算
◆课前热身
1．受甲型H1N1流感影响，猪肉价格下降了30%，设原来的猪肉价格为a 元/千克，则现在的猪肉价格为____________元/千克． 2.已知22x =，则2
3x +的值是 .
3.计算25(3)a a ·= ．
4. a ，b 两数的平方差用代数式表示为（ ） A.22a b - B.2()a b - C.2a b + D.2a b +
【参考答案】1.0.7a （或70%a 或
710a ） 2.5 3.97a 4.A ◆考点聚焦
知识点
代数式、代数式的值、整式、同类项、合并同类项、去括号与去括号法则、幂的运算法则、整式的加减乘除乘方运算法则、乘法公式.
大纲要求
1.代数式
①在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义.
②能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示.
③能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义.
④会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算.
2.整式
①了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）. ②了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）.
③会推导乘法公式： ()()22b a b a b a -=-+；()2222b ab a b a ++=+，
了解公式的几何背景，并能进行简单计算.
考查重点与常见题型
1、 考查列代数式的能力。

题型多为选择题，如：
下列各题中，所列代数错误的是（ ）
（A ） 表示“比a 与b 的积的2倍小5的数”的代数式是2ab －5
（B ） 表示“a 与b 的平方差的倒数”的代数式是1a －b 2 （C ） 表示“被5除商是a ，余数是2的数”的代数式是5a+2
（D ） 表示“数的一半与数的3倍的差”的代数式是a 2
－3b 2、 考查整数指数幂的运算、零指数。

题型多为选择题，在实数运算中也有出现，如：
下列各式中，正确的是（ ）
（A ）a 3+a 3=a 6 (B)(3a 3)2=6a 6 (C)a 3•a 3=a 6 (D)(a 3)2=a 6
整式的运算，题型多样，常见的填空、选择、化简等都有.
◆备考兵法
理解用字母表示数的意义，掌握用代数式表示简单问题的数量关系，灵活运用求代数式的值，掌握整式的加减乘法运算，灵活运用乘法公式.
【注意】1.求代数式的值一般有三种途径：(1)直接代入；(2)整体代入，运用整体代入需将欲求值的代数式适当变形为可用已知条件整体代入的式子，然后整体代入；(3)化简求值
2.几个单项式的和仍为单项式，其隐含条件是这几个单项式为同类项，同类项不仅所含字母相同，而且相同字母的指数也相同；
3.幂的运算一要注意运算符号，二要注意指数的运算，同底数幂相乘除指数相加减，幂的乘方指数相乘，反之亦然；
4. 整式的加、减、乘、除和乘方的混合运算，这方面应注意的是化简过程中的符号问题. ◆考点链接
1.代数式的分类：
2.整式： 叫做整式.
3.整式的运算：
⑴整式的加减：实质上就是合并同类项. 代数式 整式 分式 有理式
无理式
⑵整式的乘除：
①幂的运算法则：
=∙n m a a ；=÷n m a a ； ()=n m a ；()=n
ab . ②乘法公式：
平方差公式： ()()=-+b a b a ；
◆典例精析
【例1】填空：
(1)－23
43
ab c 的系数是_________，是__________次单项式． (2)已知与2x 3y 2与－x 3m y n
的和是单项式，则代数式4m －2n 的值是__________．
(3)计算：(a 3b) 2÷a 4=_________，a (－2a 2) 3___________． （4）（黑龙江齐齐哈尔）已知102103m n ==，，则3210
m n +=____________． 【解】(1)－43
，6 (2)0 (3) a 2b 2，－8a 7 (4)72 【解析】 (1)单项式的次数应是所有字母指数的和，特别是字母a 的指数是1而不是0；
(2)几个单项式的和仍为单项式，其隐含条件是这几个单项式为同类项，同类项不仅所含字母相同，而且相同字母的指数也相同；
(3)幂的运算一要注意运算符号，二要注意指数的运算，同底数幂相乘除指数相加减，幂的乘方指数相乘，反之亦然.
【例2】（陕西太原）下列计算中，结果正确的是（ ）
A ．236a a a =·
B ．()()26a a a =·3
C ．()326a a =
D ．623a a a ÷=
【答案】C
【解析】本题考查整式的有关运算，235
a a a =，选项A 是错的，()()226a a a =·3，选项B 是错的,624a a a ÷=，选项D 是错的，()326a a =，选项C 是正确的，故选C ．
【例3】（浙江宁波）先化简，再求值：(2)(2)(2)a a a a -+--，其中1a =-．
【答案】解：原式22
42a a a =--+ 24a =-．
当1a =-时，原式2(1)4=⨯--
【解析】整式运算应注意按步骤规范作答，去括号时括号前有系数应注意不要漏乘，括号前是负号括号内各项应改变符号．求值计算时应先化简再代入求值．
◆迎考精炼
一、选择题
1．（山西太原）已知一个多项式与2
39x x +的和等于2341x x +-，则这个多项式是（ ） A ．51x -- B ．51x + C ．131x -- D ．131x +
2．(四川南充)化简123()x x -的结果是（ ）
A ．5x
B ．4x
C ．x
D ．1x
3.（广西桂林）下列运算正确的是（ ）．
A ．22a b ab +=
B ． 222()ab a b -=
C ．2a ·2a =22a
D ． 422a a ÷=
4.（内蒙古包头）下列运算中，正确的是（ ）
A ．2a a a +=
B ．22a a a =
C ．22(2)4a a =
D ．325()a a = 5.（湖北襄樊）下列计算正确的是（ ）
A ．236a a a =
B ．842a a a ÷=
C ．325a a a +=
D ．()32628a a =
6.（ 年广东佛山）数学上一般把n a
a a a a 个···…·记为( )
A ．na
B ．n a +
C ．n a
D ．a n
7.（重庆）计算322x x ÷的结果是（ ）
A ．x
B ．2x
C ．52x
D ．6
2x 二、填空题
1.（湖南株洲）孔明同学买铅笔m 支，每支0.4元，买练习本n 本，每本2元．那么他买铅笔和练习本一共花了 元.
2．（湖北恩施）某班共有x 个学生，其中女生人数占45%，用代数式表示该班的男生人数是________．
3．（吉林长春）用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每
个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n 个图案中正三角形的个数为 （用含n 的代数式表示）．
4．（山东烟台）若523m x y +与3n x y 的和是单项式，则m n = ．
5．(宁夏) 已知：32
a b +=
，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 ． 三、解答题
1.（山东威海）先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其
中22a b =-=．
2.（北京市）已知2514x x -=，求()()()2
12111x x x ---++的值
3．（山西省）计算：()()()
2312x x x +---
…
【参考答案】
一、选择题
1. A
2. C
3. B
4.C
解析：本题考查合并同类项和幂的运算性质，2a a a +=，显然A 不正确；2123.a a a a +==，选项B 中误把a 的指数当作零.()23236a a a ⨯==，故D 不正确.
5. D 解析：本题考查整式的有关运算，通过计算可知()32628a
a =是正确的，故选D. 6. C 7.B 二、填空题
1.0.42m n +
2.0.55x
3.2n+2
4.
14
5.2 三、解答题
1.解：22()()(2)3a b a b a b a ++-+- 22222
223a ab b a ab b a ab
=+++---=
当2a =-2b =时，
原式22(22)(2)1=-=--=
2.解：()()()212111x x x ---++
=22221(21)1x x x x x --+-+++
=22221211x x x x x --+---+
=251x x -+
当2514x x -=时，
原式=2(5)114115x x -+=+= 3.解：原式=()
226932x x x x ++--+ =22
6932x x x x ++-+-
=97x +．。

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整式及其运算

整式及其运算

知识点3 整式及其因式分解一、分类：单项式和多项式统称为整式。

整式可分为单项式和多项式1.单项式：定义：数与字母的积组成的式子，单独一个数或字母也叫单项式。

系数：单项式中的数字因数。

次数：所有字母的指数和。

注意：单独一个字母a 的系数为1，次数为1。

单独一个数字比如3的系数为3次数为02.多项式：定义：几个单项式的和。

项数：含几个单项式是几项式。

次数：次数最高项的次数。

二、计算1.加减：(1)去括号：括号前是+时，去掉括号和括号前的+，括号内各项不变号 括号前是-时，去掉括号和括号前的-，括号内各项要变号(2)合并同类项。

①同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。

②合并同类项：系数相加，字母和字母的指数不变。

2. 乘除：(1)公式：a m .a n =a m+n , (a m )n =a mn , (ab)n =a n b n(2) 计算：单项式乘单项式：系数相乘，相同的字母按照同底数幂的乘法相乘 单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项再把结果相加多项式乘多项式：用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项再把结果相加 平方差公式：（a+b ）(a-b)=a 2-b 2完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 （a-b ）2=a 2-2ab+b 2 注意：3.除法：a n ÷a m =a m-n （a ≠0） a 0=1(a ≠0), p paa 1=-(a ≠0) 单项式除以单项式：系数相除，相同的字母按照同底数幂的除法相除 多项式除以单项式：用多项式的每一项去除以单项式再把结果相加第三讲整式（A 卷）一、选择题1. 下列各式计算正确的是（ ）A ．222()a b a b +=+B ．235a a a +=C ．824a a a ÷=D ．23a a a ⋅= 2．下列计算正确的是（ ）A ．a 2•a 3=a 5B ． a 2+a 3=a 5C ． （a 3）2=a 5D ．a 3÷a 2=13.下列运算正确的是（ ）A.()236aa = B. 22a a a ⋅= C. 2a a a += D. 632a a a ÷=4. 下列运算正确的是A. (－a 3)2= a 5B. (－a 3)2=－a 6C. (－3a 2)2=6a 4 D . (－3a 2)2= 9a 422222222)()(42)(2)(b a b a ab ab b a b a ab b a b a --+=+-=+-+=+5.下列式子正确的是（ ）A ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2B ．(a －b )2＝a 2－b 2C ．(a －b )2＝a 2＋2ab ＋b 2D ．(a －b )2＝a 2－ab ＋b 2 6. 计算()23ab 的结果是（ ）A ．6abB ．26a b C ．29ab D ．229a b 7．下列计算中，不正确的是（ ） A ．﹣2x+3x=x B ． 6xy 2÷2xy=3yC ．（﹣2x 2y ）3=﹣6x 6y 3D ． 2xy 2•（﹣x ）=﹣2x 2y 28. 如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M 与m 、n 的关系是（ ）A ． M =mnB ． M =n (m +1)C ．M =mn +1D ．M =m (n +1)二、填空1.如图9所示，图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：()127531-+⋅⋅⋅++++n = . （用n 表示，n 是正整数）2. 一件商品的进价为a 元，将进价提高100%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售后的利润为 元.3. 如果x=1时，代数式2ax 3+3bx+4的值是5，那么x=-1时，代数式2ax 3+3bx+4的值是 ．4.单项式35-x y 的系数是 ．5. 为落实“阳光体育”工程，某校计划购买m 个篮球和n 个排球，已知篮球每个80元，排球每个60元，购买这些篮球和排球的总费用为 元. 6.若m +n =2，mn =1，则m 2+n 2 = ．7.的结果等于 a 2 ．8 .用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n 个图案中共用小三角形的个数是 .三、计算1. 计算：5a ＋2b ＋(3a —2b )； (3)(3)(4)a a a a +-+-2n -15 12 34n7 1 1 2 43 3 n3.请你化简 22236911211x x x x x x x +++÷+--++，再取恰当x 的值代入求值。

整式的概念与运算

整式的概念与运算

整式的概念与运算整式是代数中的重要概念，广泛应用于数学和科学领域。

本文将介绍整式的概念和运算规则，并且通过实例进行详细说明，以便读者更好地理解整式的特点和运算方法。

一、整式的概念整式是由常数、变量及它们的乘积和积的和构成的代数式。

整式可以包含一个或多个变量，并且可以对变量进行加、减、乘、除等运算。

一般来说，整式是多项式的一种特殊形式。

1.1 单项式当整式中只包含一个变量的乘积时，称为单项式。

例如：2x，-3xy，4a^2b等都是单项式。

其中，x、y、a、b是变量，2、-3、4是系数。

1.2 多项式当整式中包含多个单项式时，称为多项式。

例如：3x^2 - 2xy + 5是一个多项式。

其中，3x^2、-2xy、5都是单项式。

二、整式的运算整式的运算包括加法、减法、乘法和除法。

下面将分别介绍各种运算规则，并通过实例进行说明。

2.1 加法和减法整式的加法和减法运算规则与数的加法和减法类似。

只需将同类项(具有相同的变量和相同的指数)的系数相加或相减即可。

例如：3x^2 + 2xy - 5 和 -2x^2 - 3xy + 4 是两个整式，它们可以进行相加运算：(3x^2 + 2xy - 5) + (-2x^2 - 3xy + 4) = (3x^2 - 2x^2) + (2xy - 3xy) + (-5+ 4) = x^2 - xy - 12.2 乘法整式的乘法运算规则是将每一项的系数相乘，并将变量和指数相乘。

例如：(2x + 3)(4x - 5)是一个整式乘法运算，可以按照分配律展开运算：(2x + 3)(4x - 5) = 2x * 4x + 2x * (-5) + 3 * 4x + 3 * (-5) = 8x^2 - 10x + 12x - 15 = 8x^2 + 2x - 152.3 除法整式的除法运算需要借助长除法的方法进行求解。

例如：将12x^2 + 8x + 4除以4x，可以进行如下的除法运算：3x + 1--------------4x | 12x^2 + 8x + 412x^2 + 4x----------4x + 44x + 1-------3所以，商为3x + 1，余数为3。

第2课 整式及其运算

第2课 整式及其运算


(
)
【答案】
C
4．(2016· 江西)下列运算中，正确的是 ( A．a2＋a2＝a4 B．(－b2)3＝－b6 C．2x· 2x2 ＝ 2x3 D．(m－n)2＝m2－n2
)
【答案】
B
5．(2016· 杭州)下列各式变形中，正确的是 ( ) A．x2· x3＝x6 B． x2＝|x| 1 1 1 C．(x2－x)÷ x＝ x－ 1 D．x2－x＋1＝(x－x)2＋ 4
(4)同底数幂相除： － a m÷ an＝am n(m，n 都是整数，a≠0)．
6．整式乘法： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别 相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式． 单项式乘多项式：m (a＋b)＝ma＋mb． 多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd．
1．(2016· 柳州)在下列单项式中，与 2xy 是同类项的是( A．2x2y2 B． 3y C．xy D ． 4x
)
【答案】
C
2．(2016· 丽水)计算 32× 3 1 的结果是 A．3 B．－3 C．2 D．－2
－
(
)
【答案】
A
3．(2016· 泸州)计算 3a2－a2 的结果是 A．4a2 B． 3a2 C．2a2 D．2
【答案】
B
【类题演练 2】 (2016· 岳阳)下列运算结果正确的是( A．a2＋a3＝a5 B．(a2)3＝a6 C．a2· a3＝a6 D．3a－2a＝1
)
【解析】 A．a2 与 a3 不是同类项，不能合并，故本选项 错误． B．(a2)3＝a2×3＝a6，故本选项正确． ＋ C．a2· a3＝a2 3＝a5，故本选项错误． D．3a－2a＝a，故本选项错误．
整式的加减乘除

整式的加减乘除

整式的加减乘除整式是代数表达式的一种形式，由数和字母通过加法、减法、乘法、除法等基本运算符号连接而成。

在数学中，整式的加减乘除是重要的基础知识，本文将从加法、减法、乘法和除法四个方面对整式的运算进行详细介绍。

一、整式的加法整式的加法是指将两个或多个整式相加的运算。

在进行整式的加法时，需要注意以下两点：1. 同类项相加：同类项是指具有相同字母的指数项，如4x²和3x²就是同类项，可以直接相加。

例如，将3x²+2x²相加，结果为5x²。

2. 系数相加：对于同类项，可以直接将系数相加。

例如，将3x²+2x²相加，结果为5x²。

二、整式的减法整式的减法是指将一个整式减去另一个整式的运算。

在进行整式的减法时，需要注意以下两点：1. 减去一个整式可以转化为加上这个整式的相反数。

例如，将5x²-3x²相减，可以转化为5x²+(-3x²)的运算。

2. 同类项相减：对于同类项，可以直接将系数相减。

例如，将5x²-3x²相减，结果为2x²。

三、整式的乘法整式的乘法是指将两个或多个整式相乘的运算。

在进行整式的乘法时，需要按照分配律和乘法公式进行展开和合并。

例如，将(3x+2)(2x-1)展开乘法运算，结果为6x²+2x-3。

四、整式的除法整式的除法是指将一个整式除以另一个整式的运算。

在进行整式的除法时，需要使用长除法的方法进行计算。

例如，将6x³+3x²-2x-1除以2x+1，可以通过长除法得到商为3x²+2x-1，余数为0。

综上所述，整式的加减乘除是代数学中基本的运算，熟练掌握整式的加减乘除运算对于理解和解决复杂的代数问题至关重要。

通过不断练习和巩固，相信大家在整式的运算能力上会有所提升，为解决数学问题提供更加有效的方法和工具。