整式的混合运算 (讲义及答案)

填空题（共42小题）1．若a2+a+1=2，则（a﹣5）（6+a）=﹣29．考点：整式的混合运算—化简求值。

专题：整体思想。

分析：先将（a﹣5）（6+a）去括号化简，然后与a2+a+1=2对照，可以发现两代数式中都有a2+a，因此可先求出a2+a的值，然后整体代入即可求出所求的结果．解答：解：∵a2+a+1=2，∴a2+a=1，∵（a﹣5）（6+a）=a2+a﹣30，将a2+a=1代入上式得：∴原式=1﹣30=﹣29．故填﹣29．点评：本题考查了多项式的乘法，已知条件和所求代数式都出现a2+a，然后利用“整体代入法”求代数式的值．2．已知m+n=3，mn=﹣2，则（m﹣2）（n﹣2）=﹣4．考点：整式的混合运算—化简求值。

专题：整体思想。

分析：根据多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积转换成以m+n，mn为整体的形式，代入求值．解答：解：由题意得（m﹣2）（n﹣2），=mn﹣2（m+n）+4，=﹣2﹣2×3+4，=﹣4．点评：本题考查了多项式乘多项式法则，展开后整理成已知条件的形式然后代入计算即可．3．定义运算“*”如下：当a≥b时，a*b=b2；当a＜b时，a*b=a．则当x=2时，（1*x）•x﹣（3*x）的值为x﹣x2．考点：整式的混合运算—化简求值。

专题：新定义。

分析：本题可根据x的取值，判断a*b等于a或者b2，由此可解出本题．解答：解：x=2＞1，∴（1*x）•x﹣（3*x）=x﹣x2．故本题答案为：x﹣x2．点评：本题考查了整式的化简，要注意将“*”前后的数进行比较，不要看错不等式方向得出错误的答案．4．已知a=3，b=7，c=5，（a﹣b+c）2•（b﹣a﹣c）4•（a+c﹣b）•（b﹣c﹣a）3的值是﹣1．考点：整式的混合运算—化简求值。

分析：先转化为同底数的幂相乘，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加化简，然后代入数据计算即可．解答：解：（a﹣b+c）2•（b﹣a﹣c）4•（a+c﹣b）•（b﹣c﹣a）3，=（a﹣b+c）2•[﹣（a+c﹣b）]4•（a+c﹣b）•[﹣（a+c﹣b）]3，=﹣（a﹣b+c）2+4+1+4，=﹣（3﹣7+5）11，=﹣1．点评：本题主要考查同底数幂相乘的性质，把算式转化成同底数幂是求解的关键．5．若n为正整数，且a2n=3，则（3a3n）2÷（27a4n）的值为1．考点：整式的混合运算—化简求值；幂的乘方与积的乘方。

（完整版）整式的混合运算专项练习99题（有答案有过程）整式的混合运算专项练习99题（有答案）（1）﹣（2x2y3）2?（xy）3（2）5x2（x+1）（x﹣1）（3）x（y﹣x）+（x+y）（x﹣y）；（4）（a+2b）2+4ab3÷（﹣ab）．（5）3（a2）3?（a3）2﹣（﹣a）2（a5）2（6）（5mn﹣2m+3n）+（﹣7m﹣7mn）（7）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）（8）（x+2）2﹣（2x）2；（9）（2a+3b）2﹣4a （a+3b+1）．（10）（﹣2xy2）2?3x2y÷（﹣x3y4）（11）（x+1）2+2（1﹣x）（12）（﹣a3）2?（﹣a2）3；（13）[（﹣a）（﹣b）2?a2b3c]2；（14）；（15）（x3）2÷x2÷x+x3÷（﹣x）2?（﹣x2）．（16）（﹣3x2）3?（﹣4y3）2÷（6x2y）3；（17）（﹣x﹣y）2﹣（2y﹣x）（x+2y）（18）（19）（a+b）（﹣b+a）+（a+b）2﹣2a（a+b）（20）；（21）x（x+1）﹣（2x+1）（2x﹣3）；（22）（2a+3b）2﹣（2a﹣3b）2．（23）2a2﹣a8÷a6；（24）（2﹣x）（2+x）+（x+4）（x﹣1）（25）（﹣2ab3）2+ab4?（﹣3ab2）；（26）（2a+3）（2a﹣3）+（a﹣3）2．（27）12ab2（abc）4÷（﹣3a2b3c）÷[2（abc）3]．（28）（﹣2x2）3÷（﹣x）2（29）（﹣2m﹣1）（3m﹣2）（30）2x?（﹣x2+3x）﹣3x2?（x+1）．（31）3a?（﹣ab2）﹣（﹣3ab）2．（32）﹣3x?（2x2﹣x+4）（33）2x3?（﹣2xy）（﹣xy）3．（34）3（x2﹣2x+3）﹣3x （x+1）=0．（35）（3x+2）（3x+1）﹣（3x+1）2．（36）2a （a+b）﹣（a+b）2．（37）x（2x﹣7）+（3﹣2x）2．（38）（﹣3x2y）2÷（﹣3x3y2）（39）（a+2）2﹣（a+1）（a﹣1）（40）（a2）4÷a2（41）．（42）a（ab2﹣4b）+4a3b÷a2；（43）（x﹣8y）（x﹣y）．（44）（3x2y）3?（﹣5y）；（45）[（x+y）2﹣y（2x+y）﹣4x]÷2x．（46）（2x+a）2﹣（2x﹣a）2（47）[（2x2）3﹣6x3（x3+2x2）]÷（﹣2x2）（48）（x﹣2）（x+2）﹣（x+1）（x﹣3）（49）（2a）3?b4÷12a3b2（50）（3x﹣1）（2x+3）﹣6x2．（51）（﹣6x2）2+（﹣3x2）?x﹣27x5÷（﹣9x2）（52）（﹣2y2）3+y?y5（53）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）（54）（a+b）（a﹣b）+（a+b）2﹣a（2a+b）（55）（﹣a）2?（a2）2÷a3（56）（15x2y﹣10xy2）÷5xy．（57）[（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）]÷（﹣x）4．（58）（x+1）2+2（1﹣x）﹣x2 （59）（12a3﹣6a2+3a）÷3a（60）5x2（x+1）（x﹣1）（61）（b﹣2a）2﹣4a（a﹣b）（62）（﹣3ab2）3（﹣4ab2）（63）（3a﹣2）（a﹣6）（64）（3a3b﹣9a2b2﹣21a2b3）÷（﹣3a2b）（65）（x+3）（x﹣2）﹣（x﹣2）2（66）（3x+4y）（3x﹣4y）（67）（x+3y）（2x﹣y）﹣y（5x+3y）（68）3（a5）2?（﹣a3）2﹣（2a3）2?（a2）5；（69）4xy+（x﹣2y）2+（x+3y）（3y﹣x）（70）﹣3x2y2?（﹣2xy）2．（71）（a﹣2b）2+（a+2b）（a﹣2b）（72）．（73）．（74）（﹣2xy2）3+（﹣3xy4）（﹣2x2y2）（75）（2x）3×（﹣3xy2）（76）（a+3b）（a﹣2b）﹣（2a﹣b）2．（77）（﹣2x2y）3+（3x2）2?（﹣x2）?y3．（78）（m2n）3?（﹣m4n）÷（﹣mn）2（79）（2a﹣1）2（2a+1）2（80）（x4y+6x3y2﹣x2y3）÷（3x2y）（81）（2x﹣3y+1）（2x+3y﹣1）（82）（﹣2x）（4x2﹣2x+1）（83）（6a3﹣4a2+2a）÷2a（84）（2x﹣y）（2x+y）﹣（x﹣3y）2（85）（4x2﹣2x3+6x）÷（﹣2x）﹣（2x﹣1）2．（86）．（87）[x（xy2+2xy）﹣y（x2y﹣6x2y2）]÷2x2y．（88）x6÷（﹣x）2﹣（x）2?27x2．（89）（2x+y）（2x﹣3y）+4y（2x+y）（90）（m+2）（m﹣2）+（m ﹣1）（m+5）（91）[（x+y）2﹣y（2x+y）﹣8x]÷2x．（92）（2xy2﹣6xy）÷2x+y（y+2）（93）（27a3﹣15a2+6a）÷（3a）（94）x（x+2y）﹣（x+1）2+2x．（95）（x2y3）2÷（x3y4）?（﹣4xy）（96）a3?a3+（﹣2a3）2﹣（﹣a2）3．（97）（2x+1）（x+3）﹣6（x2+x﹣1）；（99）[（2x+y）2﹣y（y+2x）﹣4x]÷2x．（98）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]+3x2y．整式混合运算99题参考答案：（1）﹣（2x2y3）2?（xy）3=﹣4x4y6?x3y3=﹣4x7y9；（2）5x2（x+1）（x﹣1），=5x2（x2﹣1），=5x4﹣5x2．（3）x（y﹣x）+（x+y）（x﹣y），=xy﹣x2+x2﹣y2，=xy﹣y2；（4）（a+2b）2+4ab3÷（﹣ab），=a2+4ab+4b2﹣4b2，=a2+4ab（5）3（a2）3?（a3）2﹣（﹣a）2（a5）2，=3a6?a6﹣a2?a10，=3a12﹣a12，=2a12．（6）（5mn﹣2m+3n）+（﹣7m﹣7mn），=5mn﹣2m+3n﹣7m﹣7mn，=（5﹣7）mn+（﹣2+7）m+3n，=3n﹣9m﹣2mn；（7）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1），=x2+4x+4﹣x2+x﹣x+1，=4x+5．（8）（x+2）2﹣（2x）2，=x2+4x+4﹣4x2，=﹣3x2+4x+4；（9）（2a+3b）2﹣4a（a+3b+1），=4a2+12ab+9b2﹣4a2﹣12ab﹣4a，=9b2﹣4a．（10）（﹣2xy2）2?3x2y÷（﹣x3y4），=4x2y4?3x2y÷（﹣x3y4），=12x4y5÷（﹣x3y4），=﹣12xy（11）（x+1）2+2（1﹣x），=（x+1）2+2（1﹣x），=x2+2x+1+2﹣2x，=x2+3．（12）（﹣a3）2?（﹣a2）3，=a6?（﹣a6），=﹣a12；（13）[（﹣a）（﹣b）2?a2b3c]2，=（﹣a3b5c）2，=a6b10c2；（14），=（9××）3，=23，=8；（15）（x3）2÷x2÷x+x3÷（﹣x）2?（﹣x2），=x6÷x2÷x+x3÷x2?（﹣x2），=x3﹣x3，=0．（16）原式=﹣27x6?（16y6）÷（216x6y3）=﹣2y3；（17）原式=（﹣x﹣y）2﹣（2y﹣x）（x+2y），=x2+2xy+y2﹣（4y2﹣x2），=x2+2xy+y2﹣4y2+x2，=2xy﹣3y2（18）=[3x2y ÷（﹣xy）]+[﹣xy2÷（﹣xy）]+[xy ÷（﹣xy）]，=﹣6x+2y﹣1；（19）（a+b）（﹣b+a）+（a+b）2﹣2a（a+b），=（a+b）（a﹣b+a+b﹣2a），=0（20）原式=[2x（3x6y6）?y2]÷9x7y8，=（6x7y6?y2）÷9x7y8，=2x7y8÷9x7y8，=；（21）原式=x2+x﹣（4x2﹣6x+2x﹣3），=x2+x﹣4x2+6x﹣2x+3，=﹣3x2+5x+3；（22）原式=（2a+3b+2a﹣3b）（2a+3b﹣2a+3b），=4a?9b，=36ab（23）2a2﹣a8÷a6，=2a2﹣a2，=a2；（24）（2﹣x）（2+x）+（x+4）（x﹣1），=4﹣x2+x2+3x﹣4，=3x．（25）（﹣2ab3）2+ab4?（﹣3ab2），=4a2b6﹣3a2b6，=a2b6；（26）（2a+3）（2a﹣3）+（a﹣3）2，=4a2﹣9+a2﹣6a+9，=5a2﹣6a（27）原式=12a5b6c4÷（﹣3a2b3c）÷2a3b3c3 =﹣4a3b3c3÷2a3b3c3=﹣2（28）原式=﹣8x6÷x2=﹣8x4；（29）原式=﹣6m2+4m﹣3m+2=﹣6m2+m+2 （30）原式=﹣2x3+6x2﹣3x3﹣3x2=﹣5x3+3x2．（31）3a?（﹣ab2）﹣（﹣3ab）2﹣12a2b2，=﹣3a2b2﹣9a2b2﹣12a2b2，=﹣24a2b2（32）原式=﹣6x3+3x2﹣12x；（33）原式=2x3?（﹣2xy）（﹣x3y3）=x7y4（34）3（x2﹣2x+3）﹣3x（x+1）=0，∴3x2﹣6x+9﹣3x2﹣3x=0，∴﹣9x=﹣9，∴x=1（35）原式=9x2+3x+6x+2﹣9x2﹣6x﹣1=3x﹣1．（36）2a（a+b）﹣（a+b）2．=（a+b）（2a﹣a﹣b）=（a+b）（a﹣b）（37）．原式=2x2﹣7x+9﹣12x+4x2=6x2﹣19x+9．（38）（﹣3x2y）2÷（﹣3x3y2），=9x4y2÷（﹣3x3y2），=﹣3x；（39）（a+2）2﹣（a+1）（a﹣1），=a2+4a+4﹣（a2﹣1），=a2+4a+4﹣a2+1，=4a+5（40）原式=a8÷a2=a6；（41）原式=a2b﹣6ab2+6ab2=a2b．（42）原式=a2b2﹣4ab+4ab=a2b2；（43）原式=x2﹣xy﹣8xy+8y2=x2﹣9xy+8y2（44）原式=27x6y3?（﹣5y）=﹣135x6y4；（45）原式=（x2+y2+2xy﹣2xy ﹣y2﹣4x）÷2x =（x2﹣4x）÷2x=x﹣2（46）原式=[（2x+a）+（2x﹣a）][（2x+a）﹣（2x ﹣a）] =（2x+a+2x﹣a）（2x+a﹣2x+a）=4x?2a=8ax；（47）原式=（8x6﹣6x6﹣12x5）÷（﹣2x2）=2（x6﹣6x5）÷（﹣2x2）=﹣x4+6x3=6x3﹣x4；（48）原式=x2﹣4﹣（x2﹣2x﹣3）=x2﹣4﹣x2+2x+3=2x﹣1（49）原式=8a3?b4÷12a3b2，=b2．（50）原式=（6x2+9x﹣2x﹣3）﹣6x2=6x2+9x﹣2x﹣3﹣6x2=7x﹣3（51）（﹣6x2）2+（﹣3x2）?x﹣27x5÷（﹣9x2）=36x4﹣3x3+3x3=36x4（52）（﹣2y2）3+y?y5=﹣8y6+y6=﹣7y6；（53）（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）=x2+4x+4﹣x2+1=4x+5．（54）原式=a2﹣b2+a2+2ab+b2﹣2a2﹣ab=ab．（55）（﹣a）2?（a2）2÷a3=a2?a4÷a3=a6÷a3=a3；（56）（15x2y﹣10xy2）÷5xy=3x﹣2y（57）原式=[8x6﹣6x6﹣12x5﹣6x4]÷x4=[2x6﹣12x5﹣6x4]÷x4=2x2﹣12x﹣6（58）原式=（x+1）2+2（1﹣x）﹣x2=x2+2x+1+2﹣2x﹣x2=3．（59）（12a3﹣6a2+3a）÷3a=4a2﹣2a+1；（60）5x2（x+1）（x﹣1）=5x2（x2﹣1）=5x4﹣5x2．（61）原式=b2﹣4ab+4a2﹣4a2+4ab=b2（62）原式=（﹣27a3b6）（﹣4ab2）=108a4b8（63）原式=3a2﹣18a﹣2a+12=3a2﹣20a+12（64）化成单项式除以单项式﹣a+3b+7b2（65）原式=x2﹣2x+3x﹣6﹣（x2﹣4x+4）=x2+x﹣6﹣x2+4x ﹣4=5x﹣10；（66）原式=9x2﹣16y2；（67）原式=2x2﹣xy+6xy﹣3y2﹣5xy﹣3y2=2x2﹣6y2．（68）原式=3a10?a6﹣4a6?a10=3a16﹣4a16=﹣a16；（69）原式=4xy+x2﹣4xy+4y4+9y2﹣x2=4y4+9y2．（70）原式=﹣3x2y2?4x2y2=﹣12x4y4；（71）原式=a2﹣4ab+4b2+a2﹣4b2=2a2﹣4ab（72）原式=a2﹣4b2﹣2ab+4b2=a2﹣2ab（73）原式=10x3﹣2x3=8x3（74）原式=﹣8x3y6+6x3y6=﹣2x3y6．（75）原式=8x3×（﹣3xy2）=﹣24x4y2；（76）原式=a2﹣2ab+3ab﹣6b2﹣（4a2﹣4ab+b2）=a2﹣2ab+3ab﹣6b2﹣4a2+4ab﹣b2=﹣3a2+5ab﹣7b2（77）原式=﹣8x6y3+9x4?（﹣x2）?y3=﹣8x6y3﹣9x6y3=﹣17x6y3（78）原式=﹣m10n4÷m2n2=﹣m8n2；（79）原式=[（2a﹣1）（2a+1）]2=16a4﹣8a2+1；（80）原式=x2+2xy ﹣y2；（81）原式=[2x﹣（3y﹣1）][2x+（3y﹣1）]=4x2﹣9y2+6y ﹣1（82）（﹣2x）（4x2﹣2x+1），=﹣8x3+4x2﹣2x；（83）（6a3﹣4a2+2a）÷2a，=3a2﹣2a+1．（84）（2x﹣y）（2x+y）﹣（x﹣3y）2，=4x2﹣y2﹣x2+6xy﹣9y2，=3x2+6xy﹣10y2．（85）原式=﹣2x+x2﹣3﹣（2x﹣1）2=﹣2x+x2﹣3﹣（4x2﹣4x+1）=﹣2x+x2﹣3﹣4x2+4x﹣1=x2﹣4x2﹣2x+4x﹣3﹣1=﹣3x2+2x﹣4（86）原式=（9m2+6mn+n2﹣6mn﹣n2）÷2m=9m2÷2m=m（87）原式=（x2y2+2x2y﹣x2y2+6x2y3）÷2x2y=（2x2y+6x2y3）÷2x2y=1+3y2（88）原式=x6÷x2﹣x2?27x2=x4﹣3x4=﹣2x4．（89）原式=（2x+y）（2x﹣3y+4y）=（2x+y）（2x+y）=（2x+y）2（90）原式=m2﹣4+m2+5m﹣m﹣5=2m2+4m﹣9；（91）原式=[x2+2xy+y2﹣（2xy+y2）﹣8x]÷2x =（x2+2xy+y2﹣2xy﹣y2﹣8x）÷2x=（x2﹣8x）÷2x=x﹣4．（92）．原式=2xy2÷2x﹣6xy÷2x+y2+2y=y2﹣3y+y2+2y=2y2﹣y（93）原式=9a2﹣5a+2；（94）原式=x2+2xy﹣x2﹣2x﹣1+2x=2xy﹣1；（95）原式=x4y6÷（x3y4）?（﹣4xy）=x4y6××（﹣4xy）=×（﹣4xy）=﹣；（96）原式=a3+3+4a6+a6=a6+4a6+a6=6a6（97）（2x+1）（x+3）﹣6（x2+x﹣1）=2x2+6x+x+3﹣6x2﹣6x+6=﹣4x2+x+9；（98）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]+3x2y =[x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2]+3x2y=2x3y2﹣2x2y+3x2y=2x3y2+x2y（99）原式=[（2x+y）（2x+y﹣y）﹣4x]÷2x =[（2x+y）×2x ﹣4x]÷2x=2x（2x+y﹣2）÷2x=2x+y﹣2．。

整式的混合运算 (习题及答案)整式的混合运算题例题示范1：已知$x=-1$，$y=-1$，求解原式：$(3x+2y)(3x-2y)-5x(x-y)-(2x-y)^2$。

解：原式$=(9x^2-4y^2)-(5x^2-5xy)-(4x^2-4xy+y^2)$9x^2-4y^2-5x^2+5xy-4x^2+4xy-y^2$9xy-5y^2$当$x=-1$，$y=-1$时。

原式$=9\times\frac{-1}{3}-5\times(-1)^2=-2$例题示范2：已知$x^m-n=2$，$x^n=2$，求解$x^{m+n}$。

思路分析：①观察所求式子，根据同底数幂的乘法，$x^{m+n}=x^m\times x^n$，我们需要求出$x^m$，$x^n$的值；②观察已知条件，由$x^{m-n}=x^m\div x^n=2$，$x^n=2$，可求出$x^m=4$；③代入，求得$x^m\times x^n=8$，即$x^{m+n}=8$。

例题示范3：若$4x^2+mx+9$是一个完全平方式，则$m$=________。

思路分析：①完全平方公式是由首平方，尾平方，二倍的乘积组成，观察式子结构，首尾两项是平方项。

②将$4x^2$，$9$写成平方的形式$4x^2=(2x)^2$，$9=3^2$，故$m$应为二倍的乘积。

③对比完全平方公式的结构，完全平方公式有两个。

a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$因此$mx=\pm2\times2x\times3$，所以$m=\pm12$。

巩固练：1.计算：①$\frac{(−3a−b)−(−3a+b)(3a+b)}{2a−3b}$；②$\frac{(xy+1)(xy-1)-2xy+1}{-xy}$；③$(1-2a)(2a+1)(4a^2+1)-1$；④$50^2-49^2+48^2-47^2+…+2^2-1^2$；⑤$-2016\times4028+2014^2$。

整式的混合运算（讲义）1.计算：①23232-⋅-----⋅-；ab a b a b a b(2)(3)(3)()④2----+---．a ab a b a b b4()(2)(2)(2)2.化简求值：①322-+÷-+-，其中21ab a b ab a b a b(48)4(2)(2)，．a b==②2322()(2)()x y xy x y xy +---÷-，其中2x =，1y =．3. 计算：①24(1)(1)(1)(1)m m m m -+++；②2432(21)(21)(21)(21)1+++++ ；③22222210099989721-+-++- ；④222013201340242012-⨯+．4. 若23(5)(23)x ax x x ++++的展开式中不含2x 的项，则a =______．5. 若22(3)(21)ax x x x ---的展开式中不含3x 的项，则a =_____．6. （1）若234m n +=，则927m n ⋅=_______．（2）若2332m n a +=，2m a =，则n a =_______．9. 如图1是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后拼成一个如图2所示的正方形．（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积；（2）观察图2，你能写出三个代数式2()m n +，2()m n -，mn 之间的等量关系吗？（3）根据第（2）问中的等量关系，解决下列问题：已知7a b +=，5ab =，求2()a b -的值．图1图2mnn m mnn m10. 已知9a b -=，5ab =．求22a b +，2()a b +的值．11. 氧原子的直径约为0.000 000 001 6米，0.000 000 001 6米用科学记数法可表示为________________米．12. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，粒径小，含大量的有毒、有害物质且在大气中的停留时间长、输送距离远，对人体健康和大气环境质量的影响很大．2.5微米用科学记数法表示为______________米． 想一想：根据多项式的乘法我们可以得到222()2a b a ab b +=++，33223()33a b a a b ab b +=+++，进而4()a b +，5()a b +呢？你一定发现解决上述问题需要大量的计算，是否有简单的方法呢？我们不妨找找规律！如果将()n a b +（n 为非负整数）的每一项按字母a 的指数由大到小排列，就可以得到下面的等式：0()1a b +=，它只有一项，系数为1；1()a b a b +=+，它有两项，系数分别是1，1；222()2a b a ab b +=++，它有三项，系数分别是1，2，1； 33223()33a b a a b ab b +=+++，它有四项，系数分别是1，3，3，1． 如果将上述每个式子的各项系数排成下表，那么你会发现什么规律？… (1)64343211111111这就是我们常说的杨辉三角，按照发现的规律，请你计算5()a b +=______________________________．【参考答案】二、精讲精练1.①328a b②122x y+③1-④23a-2.①12-②43.①81m-+②264 ③5 050 ④14.3 2 -5.3 2 -6.（1）81 （2）27. D8.222()2a b a ab b+=++9.（1）2()m n-2()4m n mn+-（2）22()()4m n m n mn-=+-（3）2910.91 10111.91.610-⨯12.62.510-⨯想一想：54322345510105a ab a b a b ab b+++++。

整式的加减培优讲义考点1.利用整体思想化简求值典例精析（2022秋•旌阳区校级期中）阅读材料：我们知道，4x ﹣2x +x ＝（4﹣2+1）x ＝3x ，类似地，我们把（a +b ）看成一个整体，则4（a +b ）﹣2（a +b ）+（a +b ）＝（4﹣2+1）（a +b ）＝3（a +b ）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用：（1）把（a ﹣b ）2看成一个整体，合并3（a ﹣b ）2﹣6（a ﹣b ）2+5（a ﹣b ）2的结果是 ．（2）当x ＝1时，代数式a 2x 3+bx ﹣5的值为2，则当x ＝﹣1时，求代数式2a 2x 3+2bx ﹣10的值．拓广探索：（3）求2（3m 2+n ）﹣3（2m 2﹣mn ）﹣（4mn ﹣2m ）的值，其中m +n ＝3，mn ＝﹣9． 方法归纳整式化简求值时，若无法直接求出字母的值，且整式的 某部分与已知条件中的某部分相似，可利用整体思想解题，应用此方法， 一般先将求 值式变形为与已知条件相似或者相同，或者成倍数关系的 形式，再利用整体代入的方法求解.针对训练1.如果代数式8y 2﹣4y +6的值是﹣10，那么代数式2y 2﹣y ﹣4的值等于（ ）A ．0B ．﹣5C ．﹣8D ．8 2.对于任意的有理数a ，b ，如果满足a 2+b 3=a+b 2+3，那么我们称这一对数a ，b 为“相随数对”，记为（a ，b ）．若（m ，n ）是“相随数对”，则2[4m +（2n +1）]+m ＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．33.（2022秋•黄陂区期中）当x ＝2时，代数式ax 3﹣bx ﹣1的值为﹣15，则当x ＝﹣1时，代数式16ax 2+4bx +3的值为 ．4.（2022秋•济南期末）已知m ﹣n ＝2，mn ＝﹣5，则3（mn ﹣n ）﹣（mn ﹣3m ）的值为 ．5.先化简，再求值．若m 2+3mn ＝﹣5，则代数式5m 2﹣[5m 2﹣（2m 2﹣mn ）﹣7mn +7]的值．6.（2023秋•大连期中）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例：化简4（a +b ）﹣2（a +b ）+（a +b ）．解：原式＝（4﹣2+1）（a +b ）＝3（a +b ）．参照本题阅读材料的做法解答：（1）把（a ﹣b ）6看成一个整体，合并3（a ﹣b ）6﹣5（a ﹣b ）6+7（a ﹣b ）6的结果是 ．（2）已知x 2﹣2y ＝1，求3x 2﹣6y ﹣2023的值．（3）已知a ﹣2b ＝3，2b ﹣c ＝﹣4，c ﹣d ＝10，求（a ﹣c ）+（2b ﹣d ）﹣（2b ﹣c ）的值．7.（2022秋•公主岭市期中）[阅读理解]若代数式x 2+x +3的值为7，求代数式2x 2+2x ﹣3的值． 小明采用的方法如下：由题意得x 2+x +3＝7，则有x 2+x ＝4，2x 2+2x ﹣3＝2（x 2+x ）﹣3＝2×4﹣3＝5． 所以代数式2x 2+2x ﹣3的值为5．[方法运用]（1）若代数式x 2+x +1的值为10，求代数式﹣2x 2﹣2x +3的值．（2）当x ＝2时，代数式ax 3+bx +4的值为9，当x ＝﹣2时，求代数式ax 3+bx +3的值．[拓展应用]若a 2﹣ab ＝26，ab ﹣b 2＝﹣16，则代数式a 2﹣2ab +b 2的值为 ．8.（2023秋•深圳期中）在代数式求值问题中，整体思想运用十分广泛，如：已知代数式5a +3b ＝﹣4，求代数式2（a +b ）+4（2a +b ）+3的值．解法如下：原式＝2a +2b +8a +4b +3＝10a +6b +3＝2（5a +3b ）+3＝2×（﹣4）+3＝﹣5．利用整体思想，完成下面的问题：（1）已知﹣m 2＝m ，则m 2+m +1＝ ；（2）已知m ﹣n ＝2，求2（n ﹣m ）﹣4m +4n ﹣3的值．（3）已知m 2+2mn ＝﹣2，mn ﹣n 2＝﹣4，求3m 2+92mn +32n 2的值． 例.（2022秋•北京期末）我们规定：使得a ﹣b ＝2ab 成立的一对数a ，b 为“有趣数对”，记为（a ，b ）．例如，因为2﹣0.4＝2×2×0.4，（﹣1）﹣1＝2×（﹣1）×1，所以数对（2，0.4），（﹣1，1）都是“有趣数对”．（1）数对（1，13），（1.5，3），（−12，﹣1）中，是“有趣数对”的是 ；（2）若（k ，﹣3）是“有趣数对”，求k 的值；（3）若（m ，n ）是“有趣数对”，求代数式8[3mn −12m ﹣2（mn ﹣1）]﹣4（3m 2﹣n ）+12m 2的值．方法归纳三步解决“新定义”问题 (1)审题——提取信息提取关键词，明确“新定义”的概念、原理、方法、步骤和结论；(2)理解——以旧引新利用“例子”及“旧知识”理解 和正确运用“新定义”;(3)转化——迁移应用类比“新定义”中的概念、原 理、方法、步骤和结论，解决题目中需要解决的问题.针对训练1.（2022秋•桥西区校级期末）定义一种新运算：a ⊗b ＝a ﹣2b ．例如2⊗3＝2﹣2×3＝﹣4，则x ⊗（﹣y ）化简后的结果是（ ）A ．x +2yB ．2x ﹣yC ．x ﹣2yD ．2x +y 2.（2022秋•荆门期末）定义一个新运算f （a ，b ）={a +b(a ＜b)a −b(a ＞b)，已知a 2＝4，b ＝1，则f （a ，b ）＝ ．3.（2023•北碚区校级开学）对任意一个四位正整数m ，如果m 的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m 的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m 为“逊敏数”．例如：m ＝7523，满足2+3＝5，2×2+3＝7，所以7523是“逊敏数”；m ＝9624，满足2+4＝6，但2×2+4＝8≠9，所以9624不是“逊敏数”．（1）判断7431和6541是不是“逊敏数”，并说明理由；（2）若m 是“逊敏数”，且m 与12的和能被13整除，求满足条件的所有“逊敏数”m ．4.（2022秋•港北区期中）定义：若m +n ＝2，则称m 与n 是关于2的平衡数．（1）3与 是关于2的平衡数；5﹣x 与 （用含x 的整式表示）是关于2的平衡数．（2）若A ＝2x 2﹣3（x 2+x ）+4，B ＝2x ﹣[3x ﹣（4x +x 2）﹣2]，判断A 与B 是否是关于2的平衡数，并说明理由．5.（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A 是12的“和倍数”，a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a ＞b ＞c ．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F （A ），最小的两位数记为G （A ），若F(A)+G(A)16为整数，求出满足条件的所有数A ．例.（2022秋•霞浦县期中）用火柴棒按如图的方式搭图形．（1）按图示规律完成下表：图形1 2 3 4 5 … 火柴棒根数 5 9 13 …（2）按照这种方式搭下去，搭第n 个图形需要 根火柴棒．（用含n 的代数式表示）（3）小静同学说她按这种方式搭出来的一个图形用了200根火柴棒，你认为可能吗？如果可能，那么是第几个图形？如果不可能，请说明理由．方法归纳图形变化规律问题解决图形变化规律问题可以从“形”和“数”两个角度 入手，通过逐一观察图，分析和归纳出图形或数字的变化规律，从而得出答案.这体现 了从特殊到一般的数学思想. 针对训练1.（2022秋•新城区校级期中）按一定规律排列的单项式：x 3，2x 5，3x 7，4x 9，5x 11，6x 13……第n （n ≥1，n 为正整数）个单项式是（ ）A ．nx n +1B ．nx 2n +1C ．nx 2n ﹣1D ．x 2n +12.（2022秋•泗水县期末）学校举办图画展览，需要依次把图画作品横着钉成一排（如图所示），图中圆点表示图钉，照这样的规律，当需要的图钉颗数为2022颗时，则所钉图画作品的数量为（ ）A ．1011张B ．1010张C ．1009张D ．1012张3.（2022•大同模拟）如图是一组有规律的图案，它们是由相同的正方形和相同的圆组成的，正方形涂有阴影，依此规律，则第n 个图案中有 个圆．（用含有n 的代数式表示）4.如图，第1个图形需要3个棋子，第2个图形需要8个棋子，第3个图形需要15个棋子，…，按照这样规律第n 个图形需要 个棋子（用含n 的代数式表示）．5.（2023•沙县一模）用棋子摆出下列一组图形（如图），按图上所显示的规律继续摆下去，摆到第个图形时，这组图形总共用了 枚棋子．6.观察下面三行数：2，﹣4，8，﹣16，32，…①1，﹣5，7，﹣17，31，…②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…③（1）第①行数按什么规律排列，请直接写出第n 个数为 （n 是正整数）．（2）第②行数与第①行数有什么关系，请直接写出第②行第n 个数为 （n 是正整数）．第③行数与第①行数有什么关系，请直接写出第③行第n 个数为 （n 是正整数）．（3）取每行数的第21个数，分别设为a ，b ，c ，求12a +12b +2c 的值．。

第1页共6页整式的混合运算（习题）
例题示范
例1：先化简再求值：2(32)(32)5()(2)x y x
y x x y x y ，其中13x ，1y ．【过程书写】
解：原式22222(94)(55)(44)x
y x xy x xy y 22222945544x
y x xy x xy y 295xy y 当1
3
x ，1y 时，原式2
19
(1)5(1)3
352例2：若2m n x ，2n x ，则m n x =_______________．
【思路分析】①观察所求式子，根据同底数幂的乘法，m n m n x
x x ，我们需要求出m x ，n x 的值；
②观察已知条件，由2m n m n x
x x ，2n x ，可求出4m x ；③代入，求得8m n x
x ，即8m n x ．例3：若249x mx 是一个完全平方式，则m=________．
【思路分析】
①完全平方公式是由首平方，尾平方，二倍的乘积组成，观察式子结构，首尾
两项是平方项．
②将24x ，9写成平方的形式224(2)x
x ，293，故mx 应为二倍的乘积．③对比完全平方公式的结构，完全平方公式有两个．222
()2a b a ab b 因此223mx x ，所以12m ．
巩固练习
1.计算：
①2(3)(3)(3)23a b a b a b a b ；。

例 1：先化简再求值：(3x + 2 y)(3x - 2 y) - 5 x ( x - y) - (2 x - y)2，其中 x = - ，y = -1 ． 当 x = - ， y = -1 时， 原式 = 9 ⨯ - ⎪ ⨯ (-1) - 5 ⨯ (-1)2 ⎣ ⎦ 整式的混合运算（习题）➢ 例题示范1 3【过程书写】解：原式 = (9 x 2 -4 y 2 ) - (5x 2 - 5xy) - (4 x 2 - 4 x y + y 2 )= 9 x 2 -4 y 2 - 5x 2 + 5xy - 4 x 2 + 4 x y - y 2= 9 x y - 5 y 21 3⎛ 1 ⎫ ⎝ 3 ⎭= 3 - 5= -2例 2：若 x m -n = 2 ， x n = 2 ，则 x m +n =_______________．【思路分析】① 观察所求式子，根据同底数幂的乘法，x m +n = x m ⋅ x n ，我们需要求出 x m ，x n 的值；② 观察已知条件，由 x m -n = x m ÷ x n = 2 ， x n = 2 ，可求出 x m = 4 ；③ 代入，求得 x m ⋅ x n = 8 ，即 x m +n = 8 ． 例 3：若 4x 2 + mx + 9 是一个完全平方式，则 m =________．【思路分析】① 完全平方公式是由首平方，尾平方，二倍的乘积组成，观察式子结构，首尾两项是平方项．② 将 4 x 2 ，9 写成平方的形式 4 x 2 = (2 x )2 ， 9 = 32 ，故 mx 应为二倍的乘积．③ 对比完全平方公式的结构，完全平方公式有两个． (a ± b )2 = a 2 ± 2ab + b 2因此 mx = ± 2 ⋅ 2x ⋅ 3 ，所以 m = ±12 ．➢ 巩固练习1. 计算： ① ⎡(-3a - b )2 - (-3a + b )(3a + b ) ⎤ ÷ 2a - 3b ；②⎡⎣(xy+1)(xy-1)-2x2y2+1⎤⎦÷(-xy)2；③(1-2a)(2a+1)(4a2+1)-1；④502-492+482-472+…+22-12；⑤20162-2016⨯4028+20142．2.化简求值：①(2a+b)(2a-b)-(ab)2⋅(4ab2-2a2b3)÷(ab4)，其中a=1，b=2．图 2 图2 ② (-4 x y 3 + 4 x 2 y 2 ) ÷ (- x y) - ( x - 2 y)2 ，其中 x =2，y =1．3. 如图 1，在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形（ a > b ），剩余部分拼成图 2 的形状，利用这两个图形中面积的等量关系， 能验证一个公式，这个公式是_______________．bb b baa a4. 若 ( x 2 + 3x + 3)(x 1 - 3x + m ) 的展开式中不含 x 2 项，则 m =_____．5. 若 (ax 3 - 3x 2 )( x 2 - 2 x - 1) 的展开式中不含 x 4 项，则 a=______．6. （1）若 3x = 2 ，则 32x = ______；若 3y = 4 ，则 33 y = ______． （2）若 3x = 2 ， 3y = 4 ，则 32 x +3 y = ______， 33 y -2 x = ______．（3）若 2n = a ， 5n = b ，则10n = ___________．7. 若 x m = 9 ， x n = 3 ，则 x m -3n = ________；9. 要使 4a 2 + ma + 成为一个完全平方式，则 m =_____． 若 a 2 x + y = 32 ， a x = 2 ，则 a y = ___________．8. 若 3x + 4 y = 4 ，则 27x ⋅ 92 y = _____________；若 m + 2n = 3 ，则 3m ⋅ 9n = _______．1 410. 要使 4a 2 + ab + mb 2 成为一个完全平方式，则 m =_____．11. 实验表明，人体内某种细胞的形状可近似地看作球，它的直径约为 0.000 00156 米，其中 0.000 001 56 米用科学记数法可表示为___________________米．思考小结1. 比较有理数运算与整式运算的异同点：有理数运算有理数加法口诀：同号相加_________， 整式运算幂的运算法则： a m ⋅ a n =运 异号相加_________． a m ÷ a n = 算法 则 有理数减法法则： 减去一个数等于____ 这个数的________．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同(a m )n = (ab)m = 加减运算法则： 合并同类项： 系数_____，字母和字母的指3；8号得___，异号得___，数_______．并把______相乘；任何乘除运算口诀：数与0相乘，都得单×单：____；几个有理数相______乘以______，______乘，因数都不为0时，乘以______．积的符号由_______的单×多：个数决定，当_____为根据____________，转化为奇数个时积为___，当单×单．______为偶数个时积多×多：握手原则．为________，并把单÷单：系数除以系数，字绝对值相乘．母除以字母．有理数除法法则：多÷单：借用乘法分配律．除以一个数等于_____这个数的_______．公①归类组合；①平方差公式：式②凑整分解；_____________________；、③裂项相消；②完全平方公式：技④倒序相加；_____________________，巧⑤错位相减．_____________________．【参考答案】巩固练习1.①9a；②-1；③-16a4；④1275；⑤42.①0；②-43.a2-b2=(a+b)(a-b)4.65.-3 26.（1）4，64（2）256，16（3）ab7.18.81；279.±210.1 1611.1.56⨯10-6思考小结合并，抵消，加上，相反数，正，负，绝对值，0，负因数，负因数，负，负因数，正，乘以，倒数；a m+n，a m-n，a mn，a mb m，相加，不变，系数，系数，字母，字母，乘法分配律，(a+b)(a-b)=a2-b2，(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。

整式（二）题型练题型一同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．a m•a n＝a m＋n（m，n是正整数）（2）推广：a m•a n•a p＝a m＋n＋p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x－y）2与（x－y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．例1.计算：计算x6•x2的结果等于．【解析】解：x6•x2＝x6＋2＝x8变式1.已知2x＝8，则2x＋3的值为________．【答案】11【解析】【分析】直接代入求值即可．【详解】解：∵2x＝8，∴2x＋3=8+3=11，故答案为：11．【点睛】此题主要考查了代数式求值，熟练掌握含字母的式子求值的方法是佌题的关键．题型二幂的乘方幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（a m）n＝a mn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．例2.计算：（y 3）2＝．【解析】解：（y 3）2＝y 6变式2.已知340m n +-=，则28m n ⋅的值为_________．【答案】16【解析】【分析】用n 表示出m ，得43m n =-，将m 代入到28m n ⋅即可求解．【详解】解：∵340m n +-=，∴43m n =-，34334222216282m n n n m n -===∴⋅= ．故答案为：16【点睛】本题考查了求代数式的值，同底数幂的乘法，正理解同底幂的乘法法则是解题的关键．题型三积的乘方积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab ）n ＝a n b n （n 是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．例3.计算（x 2y ）3的结果等于．【解析】解：（x 2y ）3＝（x 2）3•y 3＝x 6y 3变式3.2m a =，5m b =，则()=mab ____．【答案】10．【解析】【分析】根据()=mm m ab a b ，将2m a =，5m b =代入求解即可．【详解】解：()=m m m ab a b∵2m a =，5m b =∴()=2510m m m ab a b =?，故答案是：10．【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算，熟悉相关知识点是解题的关键．题型四同底数幂的除法同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．a m ÷a n ＝a m －n （a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n ）①底数a ≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a 可是单项式，也可以是多项式．例4：计算：m 3÷m ＝．【解析】解：m 3÷m ＝m 3－1＝m 2变式4.已知33,36x y ==，则23x y -的值为______．【答案】32【解析】【分析】根据幂的乘方运算及同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减即可求出答案．【详解】解：2223(3)333x x x y y y -==，33,36x y == ，222(3)333362x x y y -∴===，故答案是：32．【点睛】本题考查了幂的乘方运算及同底数幂的除法法则的逆运算，解题的关键是：掌握幂的乘方运算及同底数幂的除法法则．题型五单项式乘单项式运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．例5.计算：－3a•2ab＝．【解析】解：－3a•2ab＝（－3×2）•（a•a）•b＝－6a2b．变式5.已知单项式3x2y3与﹣5x2y2的积为mx4y n，那么m﹣n＝_____．【答案】﹣20.【解析】【分析】将两单项式相乘后利用待定系数即可取出m与n的值．【详解】解：3x2y3×（﹣5x2y2）＝﹣15x4y5，∴mx4y n＝﹣15x4y5，∴m＝﹣15，n＝5∴m﹣n＝﹣15﹣5＝﹣20故答案为﹣20【点睛】本题考查单项式乘以单项式，解题关键是熟练运用整式的乘法法则，本题属于基础题型．题型六单项式乘多项式（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．例6：计算2a （5a ＋3a 2）的结果是（）．A .10a ＋6a 3B .10a 2＋6a 3C .10a 2＋3a 3D .5a 2＋6a 2【解析】解：2a （5a ＋3a 2）＝10a 2＋6a 3变式6.计算：()2221623a ab b a b a b ⎛⎫--- ⎪⎝⎭．【答案】224a b -【解析】【分析】利用乘法分配律展开括号，再合并同类项．【详解】原式=3222232622a b a b a b a b --+=224a b -．【点睛】此题考查整式的混合运算，掌握单项式乘以多项式法则，去括号法则是解题的关键．题型七多项式乘多项式（1）多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）运用法则时应注意以下两点：①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．例7：计算（a ＋3）（b －2）【解析】解：（a ＋3）（b －2）＝ab －2a ＋3b －6变式7.已知：实数m ，n 满足：m ＋n ＝3，mn ＝4，则（1＋m ）（1＋n ）的值等于_______．【答案】8【解析】【分析】将()()11m n ++按照多项式乘以多项式展开得1m n mn +++在将m n +的值和mn 的值代入即可求解．【详解】 ()()11m n ++=1m n mn+++又3,4m n mn +== ∴()()11m n ++=1348++=故答案为：8．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运算，熟练掌握其运算法则以及整体代入得思想是解题关键．题型八平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a 和b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．例8：计算（y ＋2）（y －2）的结果等于．【解析】解：（y ＋2）（y －2）＝y 2－4变式8.若a 2－b 2＝1，a －b ＝12，则a ＋b 的值为________．【答案】2【解析】【分析】由a2－b2＝1可得（a+b）（a-b）=1，结合，a－b＝12求解即可．【详解】a2-b2=1，即（a+b）（a-b）=1，因为a－b＝12，所以a+b=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．题型九平方差公式的几何背景（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．例9.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（）A.a2－b2＝（a＋b）（a－b）B.a2－ab＝a（a－b）C.a2－b2＝（a－b）2D.a2－2ab＋b2＝（a－b）2【解析】解：第一个图形阴影部分的面积是a2－b2，第二个图形的面积是（a ＋b ）（a －b ）．∴a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）．变式9.从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是．（请选择正确的选项）A .()()22a b a b a b -=+-B .()2222a ab b a b -+=-C .()2a ab a a b =+＋（2）若2216a b -=，8a b +=，求-a b 的值；（3）用你选的等式进行简便计算：199992－199982【答案】（1）A ；（2）2a b -=；（3）39997．【解析】【分析】（1）图1剩余部分的面积拼成了图2的长方形，所以面积相等，根据面积相等列出等式即可；（2）根据平方差公式进行计算即可；（3）根据（1）的公式进行计算．【详解】解：（1）图1得剩余部分的面积为：22a b -，图2把剩余部分拼成一个长方形，长为()a b +，宽为()a b -，面积为()()a b a b +-，∴()()22a b a b a b -=+-．故选：A ．（2）∵8a b +=，∴()()()22816a b a b a b a b -=+-=-=，∴2a b -=；（3）199992－199982()()19999199981999919998=+-399971=?39997=．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟悉相关性质是解题的关键．题型十完全平方公式（1）完全平方公式：（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a ，b 可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．例10.利用完全平方公式计算：（m ＋3）2＝．【解析】解：（m ＋3）2＝m 2＋2×3•m ＋32＝m 2＋6m ＋9变式10.若21()3,2x y xy +==，则2()x y -=___．【答案】1【解析】【分析】利用完全平方和公式和完全平方差公式展开，由条件求出22xy +的值，即可求出答案．【详解】解：222()23x y x xy y +=++=，12xy = ，2232312x y xy ∴+=-=-=，222()2x y x y xy-=+- 1222=-⨯1=故答案是：1．【点睛】本题考查了完全平方和与差的公式，解题的关键是：熟练掌握完全平方和与差的公式．题型十一完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2（用大正方形的面积等于边长为a 和边长为b 的两个正方形与两个长宽分别是a ，b 的长方形的面积和作为相等关系）例11.如图，用不同的代数式表示阴影部分的面积，可以表示下面哪个等式（）A .（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2B .（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2C .（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2D .a （a ＋b ）＝a 2＋ab【解析】解：阴影部分面积：方法一：（a －b ）2，方法二：大正方形面积为：a 2，小正方形面积为b 2，两个矩形面积为2（a －b ）b ＝2ab －2b 2，∴阴影部分面积为：a 2－b 2－（2ab －2b 2）＝a 2－2ab ＋b 2，∴（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2变式11.(1)如图，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么?(用含有x 、y 的等式表示)；(2)若2(32)5x y -=，2(32)9x y +=，求xy 的值；(3)若25,2x y xy +==，求2x y -的值．【答案】（1）224()()xy x y x y =+--；（2）16xy =；（3）23x y -=±．【解析】【分析】（1）阴影部分的面积可以由边长为x+y 的大正方形的面积减去边长为x-y 的小正方形面积求出，也可以由4个长为x ，宽为y 的矩形面积之和求出，表示出即可；（2）先利用完全平方公式展开，然后两个式子相减，即可求出答案；（3）利用完全平方变形求值，即可得到答案．【详解】解：（1）图中阴影部分的面积为：224()()xy x y x y =+--；故答案为：224()()xy x y x y =+--；（2）∵2(32)5x y -=，∴2291245x xy y -+=①，∵2(32)9x y +=，∴2291249x xy y ++=②，∴由②-①，得24954xy =-=，∴16xy =；（3）∵25,2x y xy +==，∴222(2)4425x y x xy y +=++=，∴224254217x y +=-⨯=，∴222(2)4417429x y x y xy -=+-=-⨯=；∴23x y -=±；【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，以及完全平方公式变形求值，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键．题型十二完全平方式完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A ，如果存在另一个实系数整式B ，使A ＝B 2，则称A 是完全平方式．a 2±2ab ＋b 2＝（a ±b ）2完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用＋，完全平方差公式就用－，后边的符号都用＋）”例12.若关于x 的二次三项式x 2＋kx ＋81是完全平方式，则k 的值是．【解析】解：∵x 2＋kx ＋81是关于x 的完全平方式，∴k ＝±18，解得：k ＝±18变式12.多项式291x +加上一个单项式后﹐使它成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是（）A.6x± B.-1或4814x C.29x - D.6x ±或1-或29x -或4814x 【答案】D【解析】【分析】根据完全平方公式计算解答．【详解】解：添加的方法有5种，分别是：添加6x ，得9x 2+1+6x=（3x+1）2；添加﹣6x ，得9x 2+1﹣6x=（3x ﹣1）2；添加﹣9x 2，得9x 2+1﹣9x 2=12；添加﹣1，得9x 2+1﹣1=（3x ）2，添加4814x ，得242819+91142x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，故选：D ．【点睛】此题考查添加一个整式得到完全平方式，熟记完全平方式的特点是解题的关键．题型十三整式的除法整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．例13.计算：（1）24a3b2÷3ab＝；（2）（12a3＋6a2－3a）÷3a＝．【解析】解：（1）24a3b2÷3ab＝8a2b；（2）原式＝4a2＋2a－1变式13.已知7x3y2与一个多项式之积是28x4y2+7x4y3﹣21x3y2，则这个多项式是______．【答案】4x+xy-3【解析】【分析】根据7x3y2与一个多项式之积是28x4y2+7x4y3﹣21x3y2，用28x4y2+7x4y3﹣21x3y2除以7x3y2，用多项式除以单项式的法则，即可得到答案.【详解】解：∵7x3y2与一个多项式之积是28x4y2+7x4y3﹣21x3y2，∴(28x4y2+7x4y3﹣21x3y2)÷7x3y2=(4x+xy-3)(7x3y2)÷7x3y2=4x+xy-3【点睛】本题主要考查了多项式的除法、多项式除以单项式的法则，关键是根据已知条件得到这个多项式是(28x4y2+7x4y3﹣21x3y2)÷7x3y2.题型十四整式的混合运算（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．例14.计算：（－a）3•a2＋（2a4）2÷a3【解析】解：（1）原式＝－a3•a2＋4a8÷a3＝－a5＋4a5＝3a5变式14.计算：（y ＋3）（y －3）－（2y －1）2【答案】−3y 2+4y −10【解析】【分析】利用平方差公式，完全平方公式计算，在合并同类项即可求解．【详解】解：()()()23321y y y +---229441y y y =--+-23410y y =-+-【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握其运算法则是解题关键．题型十五整式的混合运算—化简求值先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．例15.计算：先化简，再求值：（x －2y ）2－x （x －4y ），其中，x ＝1，y ＝－1解：原式＝x 2－4xy ＋4y 2－x 2＋4xy＝4y 2，当x ＝1，y ＝1时，原式＝4×1＝4变式15.已知210x x +-=，求代数式()()2312x x x +--的值【答案】9【解析】【分析】根据完全平方公式展开所求代数式，把已知式子代入求解即可；【详解】解：2(31)(2)x x x +--，229612x x x x =++-+，2881x x =++，210x x +-= ，21x x ∴+=，∴原式()2818119x x =++=⨯+=．【点睛】本题主要考查了代数式求值，结合完全平方公式化简是解题的关键．题型十六因式分解的意义1、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．例16.16.下列由左边到右边的变形，是因式分解的有_______（填序号）①a （x ＋y ）＝ax ＋ay ；②10x 2－5x ＝5x （2x －1）；③y 2－4y ＋4＝（y －2）2；④t 2－16＋3t ＝（t －4）（t ＋4）＋3t ．【答案】②③．【解析】【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【详解】解：①a （x +y ）=ax +ay ，等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故不符合题意；②10x 2-5x =5x （2x -1），等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意；③y 2-4y +4=（y -2）2，等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意；④t 2-16+3t =（t -4）（t +4）+3t ，等式从左边到右边的变形不属于因式分解，故不符合题意；即等式从左边到右边的变形，属于因式分解的有②③，故答案为：②③．【点睛】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．变式17.下列等式中，从左到右的变形属于因式分解且分解彻底的是（）A.a3＋2a2＋a＝a（a＋1）2B.a（a﹣b）＝a2﹣abC.x4﹣1＝（x2＋1）（x2﹣1）D.ax2﹣abx＋a＝a（x2﹣bx）＋a【答案】A【解析】【分析】根据因式分解的定义和因式分解的方法逐个判断即可；【详解】A、从左到右的变形属于因式分解且分解彻底，故本选项符合题意；B、从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C、从左到右的变形属于因式分解但分解不彻底，故本选项不符合题意；D、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解；题型十七公因式1、定义：多项式ma＋mb＋mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．例17.多项式x3y－xy的公因式是【解析】解：多项式x3y－xy的公因式是xy．变式18.多项式3a2b－6a3b各项的公因式是________．【答案】23a b【解析】【分析】根据公因式的寻找方法：先确定系数：最大公约数，再找同底的幂：指数最低的；即可确定答案.【详解】∵()23236312a b a b a b a -=-，∴公因式为23a b .故答案为：23a b .【点睛】本题考查公因式的确定方法：如果各项都是单项式，先确定系数：最大公约数，再找同底的幂：指数最低的；如果是多项式，就需要先因式分解.题型十八因式分解－提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“－”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．例18.因式分解：3mx －9my ＝【解析】解：3mx －9my ＝3m （x －3y ）．变式19.因式分解：（1）2015a ax--（2）()()2326a a ---【答案】（1）()543a x -+；（2）()()35--a a 【解析】【分析】（1）直接提取公因式−5a ，进而得出即可；（2）直接提取公因式（a −3），进而得出即可．【详解】解：（1）2015a ax --=5453a a x -⨯-⋅()543a x =-+；（2）()()2326a a ---=()()2323a a ---=()3(32)a a ---()()35a a =--【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式得出是解题关键．题型十九因式分解－运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）；完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝（a ±b ）2；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．例19.下列分解因式不正确的是（）A .a 4＋1－2a 2＝（a －1）2（a ＋1）2B .4y 2－1＝（4y ＋1）（4y －1）C .94x 2－x ＋19＝（32x －13）2D .－16＋a 4＝（a 2＋4）（a －2）（a ＋2）【解析】解：A ．a 4＋1－2a 2＝（a2）2－2a2＋1＝（a2－1）2＝[（a＋1）（a－1）]2＝（a＋1）2（a－1）2，正确，不符合题意；B．4y2－1＝（2y）2－12＝（2y＋1）（2y－1），错误，符合题意；C．94x2－x＋19＝＝（32x）2－2•32x•13＋（13）2＝（32x－13）2，正确，不符合题意；D．－16＋a4＝（a2）2－42＝（a2＋4）（a2－4）＝（a2＋4）（a＋2）（a－2），正确，不符合题意．变式20.因式分解：（a2+4）2-16a2．【答案】(a+2)2(a−2)2【解析】【分析】原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式分解即可．【详解】原式=(a2+4+4a)(a2+4−4a)=(a+2)2(a−2)2.故答案为(a+2)2(a−2)2.【点睛】此题考查因式分解-运用公式法，掌握运算法则是解题关键题型二十因式分解－十字相乘法借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．①x2＋（p＋q）x＋pq型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x 2＋（p ＋q ）x ＋pq ＝（x ＋p ）（x ＋q ）②ax 2＋bx ＋c （a ≠0）型的式子的因式分解这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a 1，a 2的积a 1•a 2，把常数项c 分解成两个因数c 1，c 2的积c 1•c 2，并使a 1c 2＋a 2c 1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果：ax 2＋bx ＋c ＝（a 1x ＋c 1）（a 2x ＋c 2）．例20.分解因式：x 2＋3x －10＝．解：原式＝（x －2）（x ＋5）．变式21.分解因式：(4)(1)6p p -++．【答案】()()12p p --．【解析】【分析】先去括号，再用十字相乘法因式分解．【详解】解：原式232p p =-+()()12p p =--【点睛】考核知识点：因式分解．掌握十字相乘法是关键．题型二十一因式分解－分组分解法1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．例如：①ax ＋ay ＋bx ＋by＝x （a ＋b ）＋y （a ＋b ）＝（a ＋b ）（x ＋y ）②2xy －x 2＋1－y 2＝－（x 2－2xy ＋y 2）＋1＝1－（x －y ）2＝（1＋x－y）（1－x＋y）例21.因式分解：9－x2＋2xy－y2解：9－x2＋2xy－y2＝9－（x2－2xy＋y2）＝9－（x－y）2＝（3＋x－y）（3－x＋y）．变式22.观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：甲：x2－xy+4x－4y=(x2－xy)+(4x－4y)(分成两组)=x(x－y)+4(－y)（直接提公因式）=(x－y)(x+4).乙：a2－b2－c2+2b c=a2－(b2+c2－2bc)(分成两组)=a2－(b－c)2（直接运用公式）=(a+b－c)(a－b－c).请你在他们的解法的启示下，完成下面的分解因式：（1）m3－2m2－4m+8；（2）x2－2xy+y2－9.【答案】ሺ1ሻሺm－2ሻ2ሺm൅2ሻ;ሺ2ሻሺx－y൅3ሻሺx－y－3ሻ.【解析】【分析】（1）将原式进行分组，再分别因式分解即可求解；（2）先利用完全平方公式把前面部分因式分解，再利用平方差公式进行因式分解.【详解】（1）原式=(m3-2m2)+(－4m+8)=m2(m－2)－4(m－2)=(m－2)(m2－4)=(m－2)2(m+2).(2)原式=(x2－2xy+y2)－9=(x－y)2－9=(x－y+3)(x－y－3).【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键根据材料灵活使用提取公因式法与公式法进行因式分解.题型二十二因式分解的应用1、利用因式分解解决求值问题．2、利用因式分解解决证明问题．3、利用因式分解简化计算问题．【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用1.因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．2.用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．例22.若x ＋2y ＝6，xy ＝－3，则2x 2y ＋4xy 2＝．解：∵x ＋2y ＝6，xy ＝－3，∴2x 2y ＋4xy 2＝2xy （x ＋2y ）＝2×（－3）×6＝－36变式23.若ABC 的三边长是a 、b 、c ，且222a b c ab bc ac +=++＋，则这个三角形形状是_________角形．【答案】等边【解析】【分析】先等式两边同乘以2，再移项，利用完全平方公式，即可得到答案．【详解】∵222a b c ab bc ac ++=++，∴222222222a b c ab bc ac ++=++，∴2222222220a b c ab bc ac ++---=，∴222()()()0a b a c b c -+-+-=，∵222()0,()0,()0a b a c b c -≥-≥-≥，∴222()0,()0,()0a b a c b c -=-=-=，∴a=b=c，∴这个三角形是等边三角形，故答案是：等边【点睛】本题主要考查完全平方公式，偶数次幂的非负性以及等边三角形的定义，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．实战练24.已知2x+3y-5=0，则9x•27y的值为______．【答案】243【解析】【分析】先将9x•27y变形为32x+3y，然后再结合同底数幂的乘法的概念和运算法则进行求解即可．【详解】∵2x+3y−5=0，∴2x+3y=5，∴9x⋅27y=32x⋅33y=32x+3y=35=243.故答案为243.【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练的掌握同底数幂乘法的概念和运算法则.25.已知x2n＝3，则（x3n）2－（x2）2n的值为_____．【答案】18【解析】【分析】根据幂的乘方的公式的逆用，对指数进行变形，然后整体带入求值即可．【详解】解：（x3n）2－（x2）2n=x6n-x4n=（x2n）3-（x2n）2=33-32=27-9=18．故答案为：18．【点睛】本题考查了幂的乘方，会对公式进行逆用是解题的关键．26.（－0.25）100×4101＝_________．【答案】4【解析】【分析】逆用积的乘方进行求解即可．【详解】解：1001010().254⨯－100100=(4144⨯⨯－10014=()44⨯⨯－100=()14⨯－=14⨯=4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了积的乘方的逆用，掌握住积的乘方运算公式是解答此题的关键．27.已知146a b ab -==，，则22a b +＝__________．【答案】208【解析】【分析】将14a b -=两边平方，即可得出222196a ab b -+=，再根据6ab =，即可求出22a b +的值．【详解】∵14a b -=，∴2()196a b -=，即222196a ab b -+=，∵6ab =，∴2226196a b +-⨯=，∴2219612208a b +=+=．故答案为：208．【点睛】本题考查完全平方式和代数式求值．掌握完全平方公式并能够进行灵活变形是解答本题的关键．28.我们知道，同底数幂的除法法则为m n m n a a a -÷=（其中a ≠0，m ，n 为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m ，n 的一种新运算：()()()f m n f m f n -=÷其中f （m ），f （n ）都为正数），请根据这种新运算填空：（1）若f （2）＝4，f （3）＝8，则f （1）＝_______；（2）若f （2000）＝k ，f （2）＝4，那么f （500）＝______（用含k 的代数式表示，其中k ＞0）．【答案】①.2②.7504k 【解析】【分析】（1）由新运算法则直接求解；（2）同过新定义的运算法则，推导出前几项的结果，同过前几项发现规律，利用规律来解答．【详解】解：（1）根据新运算：()()()f m n f m f n -=÷，(1)(32)(3)(2)842f f f f ∴=-=÷=÷=，故答案是：2．（2）(1998)(20002)44kf f k =-=÷= 2(1996)(200022)(19982)4kf f f =-⨯=-=3(1994)(200023)(19962)4k f f f =-⨯=-=750(500)(20002750)(5022)4k f f f =-⨯=-=根据规律得：750(500)4k f =，故答案是：7504k ．【点睛】本题考查了新定义运算法则，解题的关键是：理解新定义的运算法则，从运算中找到规律，用来解答．29.观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-；432(1)(1)x x x x x -++++51x =-……；则20082007200622+2+2++2+2+1 ＝_____．【答案】200921-【解析】【分析】观察其右边的结果：第一个是x 2−1；第二个是x 3−1；…依此类推，得出第n 个的结果，从而得出要求的式子的值．【详解】根据给出的式子的规律可得：（x −1）（x n ＋x n −1＋…x ＋1）＝x n ＋1−1，则22008＋22007＋22006＋……＋22＋2＋1=（2-1）×（22008＋22007＋22006＋……＋22＋2＋1）=22009−1；故答案为：22009−1．【点睛】本题考查了平方差公式，发现规律：右边x 的指数正好比前边x 的最高指数大1是解题的关键．30.下列计算正确的是（）A.a 3÷a 2＝aB.a 3•a 2＝a 6C.a 3＋a 2＝a 5D.（－a 3）2＝a 5【答案】A【解析】【分析】直接利用同底数幂的乘除法、合并同类项以及积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算即可判断．【详解】解：A .3232a a a a -÷=＝，计算正确，故此选项符合题意；B .3253+2•=a a a a ＝，原选项计算错误，故不符合题意；C .325a a a ≠＋，原选项计算错误，故不符合题意；D .362()a a －＝，原选项计算错误，故不符合题意；故选：A【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法、合并同类项以及积的乘方和幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解答此题的关键．31.要使()()22524x x x ax -+--展开式中不含2x 项，则a 的值等于（）。

北师大版七年级下册综合复习利用图形结合思维解决整式运算一、整式混合运算与数学思维的碰撞1、整式混合运算主要是加、减、乘、除、乘方这5种运算，应运用运算顺序与数学思维相结合的计算方式来简化，从而为后面函数学习打下坚固基础。

2、整式乘法相关的几个重要公式⑴、单项式与多项式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc⑵、多项式与多项式相乘：（m+a）（n+b）=mn+mb+an+ab注意：多项式与多项式相乘，均可以转化为单项式与多项式相乘。

如：（m+n+p）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）+p（a+b+c）⑶、平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2⑷、完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b23、整式四则运算与数学思维碰撞出的最亲密思维---整体思维例题1：若a+b=23,ab=1,求（a-2）（b-2）的值【解析】：（a-2）（b-2）=ab-2a-2b+4=ab-2（a+b）+4=1-2×23+4=2整体思维的运用：将代数式a+b、ab的值作为一个整体带入求值，而不必将这2个已知条件中等式联合成方程组分别求出a、b的值再带入，可见数学思维的运用是要简化并降低计算的难度。

例题2：将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a bc d，定义a bc d=ad﹣bc，请你将3113x xx x+-++化为代数式，再化简为__________．【解析】：∵a bc d=ad﹣bc，∴3113x xx x+-++=（x+3）（x+3）﹣（x﹣1）（x+1）=x2+6x+9﹣x2+1=6x+10．整体思维的运用：这里是将代数式x+3、x﹣1、x+1分别与已知条件中的a、b、c、d对应成一个整体，再运用已知条件，来进行解答题目。

整体思维的总结：整体思维作为整式混合运算中一个非常重要，并且是每个人都必须掌握的一个思维，可见整式运算与整体思维已经融为一体了，你只有了解它、分析它、熟悉它、并把它作为你的一种武器，才能在整式混合运算这个大机器里拥有属于你的一小片领地，只有这样你才能为后面学习代数打下坚固的基础，并且不断完善以及开阔自己的知识面。

整式的混合运算测试时间：100分钟总分：100一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.计算的结果是A. B. C. D.2.下列各运算中，计算正确的是A. B. C.D.3.下列各式的计算中不正确的个数是；；；；．A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4.计算的结果，与下列哪一个式子相同A. B. C. D.5.现有7张如图1的长为a，宽为的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分两个矩形用阴影表示设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足A. B. C. D.6.已知，则的值是A. B. 0 C. 2 D. 47.下列计算错误的是A. B.C. D.8.若，则代数式的值为A. B. 8 C. D. 39.下列计算中，正确的是A. B.C. D.10.若，，，，，均为正数，，又，则M与N的大小关系是A. B. C. D. 无法比较二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.若规定符号的意义是：，则当时，的值为______ ．12.已知，，则的值为______．13.计算：______．14.若，，则______．15.如果，，那么______．16.已知：，，则代数式的值是______ ．17.已知：，则______ ．18.观察下列运算并填空：；：；根据以上结果，猜想并研究：______ ．19.若，则______ ，______ ，______ ．20.已知，则______．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.先化简并求值：，其中，．，其中，．22.先化简，再求值：，其中，；，其中，．23.计算24.已知，求代数式的值．四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.已知的展开式中不含和项分别求m、n的值；化简求值：26.观察下列各式：，而，；，而，；，而，；______ ______ ．根据以上规律填空：______ ______ ．猜想：______ ．答案和解析【答案】1. B2. D3. A4. B5. B6. B7. D8. D9. C10. C11. 912. 1513.14.15. 416.17. 2518.19. 1；3；420. 121. 解：原式，当，时，原式；原式，当，时，原式．22. 解：原式，当，时，原式；原式，当，时，原式．23. 解：原式；原式；原式．24. 解：原式，由得到：，则原式．25. 解：，的展开式中不含和项，，得，即m的值为2，n的值为3；，当，时，原式．26. ；225；；；11375【解析】1.．故选：B．按照整式的计算的方法先去掉括号，再进一步合并得出答案即可．此题考查整式的混合运算，掌握计算方法，注意合并同类项的化简即可．2. 解：原式，故A错误；原式，故B错误；原式，故C错误；故选：D．根据整式的运算法则即可求出答案．本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．3. 解：，正确；，错误；，错误；，错误；，错误，则不正确的选项有4个．故选A．原式各项计算得到结果，即可做出判断．此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4. 解：原式，故选B原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断．此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5. 解：法1：左上角阴影部分的长为AE，宽为，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，，即，，，即，阴影部分面积之差，则，即．法2：既然BC是变化的，当点P与点C重合开始，然后BC向右伸展，设向右伸展长度为x，左上阴影增加的是3bx，右下阴影增加的是ax，因为S不变，增加的面积相等，，．故选：B．表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式．此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6. 解：，即，原式．故选：B．原式去括号合并后，将已知等式变形后代入计算即可求出值．此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7. 解：A、，本选项不合题意；B、，本选项不合题意；C、，本选项不合题意；D、，本选项符合题意，故选DA、先利用同底数幂的乘法法则计算，再利用积的乘法法则变形，得到结果，即可作出判断；B、利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算，得到结果，即可作出判断；C、合并同类项得到结果，即可作出判断；D、利用单项式乘以单项式法则计算，得到结果，即可作出判断．此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：积的乘方及幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法、除法法则，熟练掌握法则是解本题的关键．8. 解：，．故选：D．原式计算整理变形后，把已知等式代入计算即可求出数值．此题考查整式的化简求值，注意整体代入思想的渗透．9. 解：A、结果是，故本选项不符合题意；B、结果是，故本选项不符合题意；C、结果是，故本选项符合题意；D、结果是，故本选项不符合题意；故选：C．根据同底数幂的乘法、平方差公式、单项式乘以多项式、单项式除以单项式分别求出每个式子的值，再判断即可．本题考查了同底数幂的乘法、平方差公式、单项式乘以多项式、单项式除以单项式等知识点，能灵活运用知识点进行化简是解此题的关键．10. 解：，，，，，均为正数，，又，，则M与N的大小关系是，故选C．先求出的值，再根据求出的结果比较即可．本题考查了整式的混合运算，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．11. 解：由题意可得，，，解得：，，将，代入，等式两边成立，故，都是方程的解，当时，，当时，．所以当时，的值为9．故答案为：9．结合题中规定符号的意义，求出，然后根据，求出m的值并代入求解即可．本题考查了整式的混合运算化简求值，解答本题的关键在于结合题中规定符号的意义，求出，然后根据，求出m的值并代入求解．12. 解：原式，故答案为15．先去括号，再整体代入即可．本题考查了整式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．13. 解：原式，故答案为．根据积的乘方、单项式的乘除法进行计算即可．本题考查了整式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．14. 解：，，，故答案为：．先算乘法，再变形，最后整体代入求出即可．本题考查了整式的混合运算的应用，用了整体代入思想，题目比较好，难度适中．15. 解：，，即，，解得，．故答案为：4．根据立方和公式变形，再将已知条件整体代入即可．本题考查了整式的混合运算，化简求值关键是关键是利用立方和公式，完全平方公式将代数式变形，整体代入求值．16. 解：，，原式．故答案为：．原式利用多项式乘以多项式法则计算，把与ab的值代入计算即可求出值．此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17. 解：，，．故答案为：25．求出，先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，用了整体代入思想．18. 解：由；；，观察发现：．证明：等式左边等式右边．故答案为：先根据题中的一系列等式，把5的平方，11的平方以及19的平方变形后，归纳猜想得到所求式子的化简结果，然后进行证明，方法是利用多项式的乘法法则把等式的左边化简，合并后，把平方项的系数拆为，然后利用完全平方公式化简后，即可得到与等式的右边相等．此题考查学生根据已有的等式归纳总结，得出一般性规律的能力，是一道中档题．19. 解：．，，，，，．故答案为：1，3，4．将展开，然后再根据对应项系数相等求解即可．本题考查了整式的混合运算，解答本题的关键在于将展开，然后再根据对应项系数相等求解．20. 解：，，，故答案为1．先根据多项式乘以多项式的运算法则去掉括号，然后整体代值计算．本题主要考查了整式的化简求值的知识，解答本题的关键是掌握多项式乘以多项式的运算法则，此题难度不大．21. 原式利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值；原式中括号中利用平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值．此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．22. 原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b 的值代入计算即可求出值；原式利用多项式乘以单项式，平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b 的值代入计算即可求出值．此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23. 原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；原式先计算乘方运算，再利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果；原式利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24. 原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25. 先将题目中的式子化简，然后根据的展开式中不含和项，可以求得m、n的值；先化简题目中的式子，然后将m、n的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查整式的混合运算--化简求值，解题的关键是明确整式化简求值的方法．26. 解：由题意可知：，；．故答案为：；225；；；11375．观察题中的一系列等式发现，从1开始的连续正整数的立方和等于这几个连续正整数和的平方，根据此规律填空，根据上述规律填空，然后把变为个相乘，即可化简；对所求的式子前面加上1到10的立方和，然后根据上述规律分别求出1到15的立方和与1到10的立方和，求出的两数相减即可求出值．此题要求学生综合运用观察、想象、归纳、推理概括等思维方式，探索问题，获得解题途径考查了学生善于观察，归纳总结的能力，以及运用总结的结论解决问题的能力．。