生活中的变量关系

§2.1 生活中的变量关系【学习目标】1.通过学习结合实例来理解生活中变量之间的依赖关系和函数关系，特别要注意这两种关系之间的区别和联系；2． 2.结合初中学习过的函数，能描述因变量随自变量而变化的依赖关系；3． 3.激情投入，高效学习，踊跃展示，大胆质疑，体验成功，创想快乐。

【学习重点】判断变量与变量间是否存在函数关系【学习难点】生活中变量关系与函数关系的区分预习案 一、相关知识 知识链接1：初中阶段我们已经知道常量与变量的含义，即在某个变化过程中，数值保存不变的量叫作______，可以取不同数值的量叫作______。

知识链接2：初中数学中函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果当变 量x 在某变化范围内任意取一个数值时，变量y 按照一定的法则总有_______确定的数值与它 对应，则称y 是x 的函数，通常_______叫自变量，_______叫因变量。

知识链接3：现实生活充满变化，在初中数学、物理等学科中我们都接触过一个变量随着 另一个变量而变化的实例，这些变量之间都有依赖关系吗？都是函数关系吗？ 二、教材助读 阅读课本p23实例分析，思考在高速公路的情况下，有哪些变量存在？哪些变量与变量之间无依赖关系，哪些变量与变量之间有依赖关系？它们是函数关系吗？ 问题1：高速公路的里程数与修建的年数之间有无依赖关系？若有它们是函数关系吗？ 问题2：一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，行驶的路程与时间有无依赖关系？若有，它们是函数关系吗？问题3:观察课本 p24图2-2的高速公路加油站的图片，探究储油量v 与油面高度h ；储油量v 与油面宽度w 是否存在依赖关系？若有依赖关系，那它们是函数关系吗？为什么？问题4.进一步分析上述储油罐问题，讨论：还有哪些常量？哪些变量？ 哪些变量之间存在依赖关系？ 导学案装 订线哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？自主整理：非依赖关系：在变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值_______发生任何变化，这两个变量间具有非依赖关系。

§1生活中的变量关系学习目标 1.了解生活中两个变量之间的依赖关系现象和函数关系现象.2.能辨析依赖关系和函数关系.3.认识并会分析分段函数．知识点一依赖关系在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．思考某人坐摩天轮一圈用时8分钟．摩天轮匀速转动，则他的海拔高度与摩天轮转动时间有依赖关系吗？当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了多少分钟？答案此人的海拔高度与摩天轮转动时间有依赖关系．当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了2分钟或6分钟．知识点二函数关系1．如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．2．两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么变量x和y具有函数关系．思考某人坐摩天轮一圈用时8分钟．摩天轮匀速转动，若把摩天轮的转动时间t当作自变量，他的海拔高度h为因变量，则每取一个t值，有几个h值与之对应？答案每取一个t值，有唯一一个h值与之对应．知识点三依赖关系与函数关系函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系．要确定变量间的函数关系，需先分清谁是自变量，谁是因变量．知识点四分段函数一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．1．若两个变量是函数关系，那么它们也是依赖关系．(√)2．若两个变量是依赖关系，那么它们也是函数关系．(×)3．球的体积和它的半径存在依赖关系．(√)4．人的身高和体重之间是函数关系．(×)一、依赖关系与函数关系的辨析例1下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？(1)圆的面积和它的半径；(2)速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；(3)家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势；(4)正三角形的面积和它的边长．解(1)中，圆的面积S与半径r之间存在S＝πr2的关系；(2)中，在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系；(3)中，家庭收入与其消费支出之间存在依赖关系，但具有不确定性；(4)中，正三角形的面积S与其边长a之间存在S＝34a2的关系．综上，(1)(2)(3)(4)中两个变量间都存在依赖关系，其中(1)(2)(4)是函数关系．反思感悟判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，是否会导致另一个变量随之变化．而判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系，关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性，即考察对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应．跟踪训练1下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；(2)家庭的食品支出与电视价格之间的关系；(3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系．解(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数定义知，二者之间是函数关系；(2)家庭的食品支出与电视价格之间没有依赖关系；(3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且具有确定性，是函数关系．综上可知，(1)(3)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中两个变量不存在依赖关系． 二、变量关系的表示例2 声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表：气温x /℃ 0 5 10 15 20 音速y (米/秒)331334337340343(1)根据表内数据作图，由图可看出变量________随________的变化； (2)用x 表示y 的关系式为________________________；(3)气温为22 ℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距________米．答案 (1)音速 气温 (2)y ＝35x ＋331 (3)1 721解析 (1)此图反映的是变量音速随气温的变化．(2)由表中数据可知，气温每升高5 ℃，音速加快3米/秒，又过点(0,331)， 故所求函数关系式为y ＝35x ＋331.(3)由(2)可知气温为22 ℃时音速y ＝35×22＋331，故此人与燃放的烟花所在地约相距5×⎝⎛⎭⎫35×22＋331＝1 721(米)．反思感悟 借助图表可以直观地呈现两个变量的关系，便于我们分析和猜想，从而发现规律． 跟踪训练2 心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (单位：分钟)之间有如下关系：(其中0≤x ≤20) 提出概念所257101213141720用时间x/分钟对概念的接47.853.556.35959.859.959.858.355受能力y(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？(3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？(4)从表格中可知，当时间x在什么范围内时，随x的增大学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内时，随x的增大学生的接受能力逐步降低？解(1)画图如下：反映了提出概念所用的时间x和对概念接受能力y两个变量之间的关系；其中x是自变量，y 是因变量．(2)由题中表格可知，当提出概念所用时间为10分钟时，学生接受能力是59.(3)提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强．(4)当x在2分钟至13分钟的范围内时，随x的增大学生的接受能力逐步增强；当x在13分钟至20分钟的范围内时，随x的增大学生的接受能力逐步降低．1．(多选)下列说法正确的是()A．圆的周长与其直径的比值是常量B．任意四边形的内角和的度数是常量C．发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系D．某商品的广告费用与销售量之间是函数关系答案ABC解析A，B，C中说法均正确，而D中，广告费用与销售量之间关系不确定，故不是函数关系．2．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的长度y(cm)与燃烧的时间x(h)的函数关系用图象可表示为()答案 B3．下列说法不正确的是()A．依赖关系不一定是函数关系B．函数关系是依赖关系C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数答案 C解析由依赖关系及函数关系的定义知A，B正确；对于C，D，如m＝n2，则n＝±m，不是函数关系，故C错误，D正确．4．给出下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②抛物线上的点的横纵坐标之间的关系；③橘子的产量与气候之间的关系；④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系．其中不是函数关系的有________．(填序号)答案①③④解析由已知关系判断得，①③④中关系不确定，故不是函数关系，只有②是函数关系．5．自变量x与因变量y之间的关系如下表：x 01234…y 02468…(1)写出x与y的关系式：________；(2)当x＝2.5时，y＝________.答案(1)y＝2x(2)51．知识清单：(1)依赖关系．(2)函数关系．2．方法归纳：数形结合法．3．常见误区：依赖关系与函数关系容易混淆．1．下列各变量间不存在依赖关系的是()A．扇形的圆心角与它的面积B．某人的体重与其饮食情况C．水稻的亩产量与施肥量D．某人的衣着价格与视力答案 D2．谚语“瑞雪兆丰年”说明()A．下雪与来年的丰收具有依赖关系B．下雪与来年的丰收具有函数关系C．下雪是丰收的函数D．丰收是下雪的函数答案 A解析积雪层对越冬作物具有防冻保暖的作用，大雪可以防止土壤中的热量向外散发，又可阻止外界冷空气的侵入，具有增墒肥田的作用．所以下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系．3．已知变量x，y满足y＝|x|，则下列说法错误的是()A．x，y之间有依赖关系B．x，y之间有函数关系C．y是x的函数D．x是y的函数答案 D解析当y取一个正值时，有两个x与它对应，故D错．4．一人骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间．图中与这件事正好吻合的图象是(其中x轴表示时间，y轴表示行驶的路程)()答案 A解析 开始一段时间路程逐渐增大，速度不变，图象是一直线段，耽搁的时间段路程不变，图象与x 轴平行，然后行驶路程在原来的基础上又增大，由图象知选A. 5．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )答案 D解析 函数y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，故选D.6．从市场中了解到，饰用K 金的含金量如下表：K 数 24 K 22 K 21 K 18 K 14 K 含金量% 99以上 91.7 87.5 75 58.5 K 数 12 K 10 K 9 K 8 K 6 K 含金量%5041.6637.533.3425饰用K 金的K 数与含金量之间是________关系，K 数越大，含金量________． 答案 函数 越高7.某工厂八年来产品累积产量C (即前t 年年产量之和)与时间t (年)的函数如图，下列四种说法中正确的是________．(填序号)①前三年中，产量增长的速度越来越快； ②前三年中，产量增长的速度越来越慢； ③第三年后，这种产品停止生产； ④第三年后，年产量保持不变． 答案 ②③解析 由于纵坐标表示八年来前t 年产品生产总量，②③正确．8．假定甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程与时间的关系如图所示：(1)甲、乙两人中先到达终点的是________； (2)乙在这次赛跑中的速度为________m/s. 答案 (1)甲 (2)8解析 设甲、乙的速度分别为v 1，v 2，则v 1＝10012＝253(m/s)，v 2＝10012.5＝8(m/s)，v 1>v 2，甲先到达终点．9．某城市出租车收费标准如下：里程不超过3公里按起步价7元收费，超过3公里的按每公里1.5元加收，乘客乘车后出租车行驶的路程为x 公里，乘客该付的车费为y 元． (1)当0<x ≤3时，x 与y 分别是什么量？x 与y 之间的关系是否为函数关系？ (2)当x >3时，x 与y 分别是什么量？x 与y 之间的关系是否为函数关系？ 解 (1)当0<x ≤3时，x 可变，y ＝7不变，所以x 是变量，y 是常量．在0<x ≤3范围内，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，所以x 与y 之间的关系是函数关系．(2)当x >3时，x 与y 都是可变的量，所以x 与y 都是变量，并且对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，所以x 与y 之间的关系是函数关系．10．如图的曲线表示一人骑自行车离家的距离s (千米)与时间t (时)的关系．骑车者9时离开家，15时回到家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ (2)何时开始第一次休息？休息多长时间？ (3)第一次休息时，离家多远？ (4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？解(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时．(3)第一次休息时，离家17千米．(4)11：00至12：00，他骑了13千米．(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐．11．张大明种植了10亩小麦，每亩施肥量x千克，小麦总产量y千克，则()A．x，y之间有依赖关系B．x，y之间有函数关系C．y是x的函数D．x是y的函数答案 A解析虽然小麦总产量y与每亩施肥量x之间存在依赖关系，但小麦总产量y还受气候、管理等其他因素的影响，所以x，y之间无函数关系．12．星期天，小明从家出发，出去散步，图中描述了他散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系，根据图象，下面的描述符合小明散步情况的是()A．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了B．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了C．从家出发，散了一会儿步(没有停留)，然后回家了D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18 min后才回家答案 B解析水平线段表明小明离家的距离始终是300米，然后离家距离达到500米，故可能情况是小明从家出发后，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了．13．某公司生产某种产品的成本为1 000元，以1 100元的价格批发出去，随生产产品数量的增加，公司收入________，它们之间是________关系．答案增加函数14．圆柱的高为10 cm，当圆柱底面半径变化时，圆柱的体积也随之发生变化，在这个变化过程中，________是自变量，________是因变量．设圆柱底面半径为r(cm)，圆柱的体积V(cm3)与r(cm)的关系式为__________________，当底面半径从2 cm变化到5 cm时，圆柱的体积由________cm3变化到________cm3.答案圆柱的底面半径圆柱的体积V＝10πr240π250π解析圆柱的体积为V＝πr2h(其中r表示圆柱的底面半径，h表示圆柱的高)．15．下图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行时，路程和时间的函数图象，由图可知，骑自行车者用了6小时(含途中休息的1小时)，骑摩托车者用了2小时，有人根据这个函数图象，提供了这两个旅行者的如下信息，其中正确的序号是________．①骑自行车者比骑摩托车者早出发3小时，晚到1小时；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5小时后追上了骑自行车者．答案①解析由图象可以看出骑自行车者早出发3个小时，而晚到1小时，速度是先变慢，然后停下，再然后先快后慢，是变速运动．骑摩托车者也是变速运动，但速度变化不大．骑摩托车者在出发1小时后追上骑自行车者．所以正确的序号是①.16．在工作的状态下，饮水机会通过自动对水加热使饮水机中水的温度保持在一定范围内．如图表示在饮水机的水温达到最高后，饮水机处于工作状态中的水的温度的变化情况：根据此图，设计一个问题，并解答所设计的问题．解设计问题就是从图象中获取有关信息．例如，提出下列问题：问题1：饮水机中处于工作状态中的水的最高温度是多少？最低温度是多少？解：水的最高温度为96 ℃，最低温度约为91 ℃，问题2：水温上升到最高温度后，再经过10分钟饮水机中水的温度多高？35分钟时水的温度多高？解：10分钟后水的温度约为93 ℃，35分钟时水的温度约为95 ℃.问题3：哪段时间水的温度在不断下降？哪段时间水的温度在持续上升？解：约从开始到27分钟时水的温度在不断下降，从27分钟到32分钟时水的温度在不断上升，后面又一个相同的下降与上升的过程．。

第二章 函数2.1生活中的变量关系1.从实际生活中的例子出发，让学生认识到日常生活中各种变量之间的依赖关系，能利初中对函数的认识，了解依赖关系与函数关系的联系与区别．2.在观察事物的变量间关系过程中，培养学生发现问题、提出问题的能力，发展数学应用意识．重点：感受生活中处处有变量，加深理解初中的函数概念．难点：依赖关系和函数关系的差别． 一、新课导入 生活中变化的事物无处不在，你感受到了哪些事物的变化？请举例并加以说明？ 例如：温度随四季的变化，身高随年龄的变化，汽车行驶里程随时间的变化等． 设计意图：引导学生用数学的眼光，关注生活中的变量．二、新知探究活动1：分析生活中的变化现象，认识变量之间的关系．问题1：生活中温度的变化．我们能感受到每天温度的变化，怎么刻画这种变化呢？在一个标准大气压下定义了摄氏零度的概念，这样就可以用温度值的大小表示温度的变化，温度的变化与季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等很多客观因素都有关系．引导学生依据生活中的情境，围绕以下问题进行小组讨论交流：⑴生活情境是什么？其中的变化怎样描述？这种变化有什么需要说明的条件吗？ ⑵变化的过程中存在哪些变量？哪些常量？⑶变量之间是什么关系？这种关系是怎样描述的？答案：⑴生活情境是每天温度的变化，这种变化用温度值描述，这种变化要限制季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等客观因素．⑵变化过程中一个标准大气压下摄氏零度是常量，季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等是变量．⑶对于季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等每一个不同的值都对应一个温度． 设计意图：通过一个简单的例子，引导学生用数学的方式分析生活现象．◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆教学过程问题2：高速公路的加油站经过高速公路的加油站时，你是否想过，汽油存在哪儿？是怎么储存的？如图是某高速公路加油站的图片.加油站的油是存放在地下，常用圆柱体罐储存.储油罐的长度为d，截面半径为r，油面高度为h、油面宽度为w、储油量记作V.这些量哪些是常量，哪些是变量？量与量之间存在着怎样的关系？这些关系是同一类关系吗？有什么不同？答案：储油罐的长度d、截面半径r是常量，油面高度h、油面宽度w、储油量V是变量.当油面高度h和油面宽度w发生变化时，储油量V也随之改变即油面高度h和油面宽度w与储油量V是依赖关系．但这两种关系又不完全相同，对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量V与它对应．而对于油面宽度w取定一个值可以有两种油面高度和它对应．设计意图：在较为复杂的问题情境中，理解变量之间的依赖关系和函数关系，提升对函数概念的认识．问题3：阅读下面材料，回答问题．自2008年京津城际列车开通运营以来，高速铁路在中国大陆迅速发展，截至2017年年底运营里程突破25 000 km.下图表示的是中国高铁年运营里程的变化．从图中可以看出：随着时间的变化，高铁运营里程与年份存在着依赖关系．依据图中的数据，你能得出哪些结论？答案：通过观察图不难看出，（1）从2008年到2017年，高铁年运营里程是不断增加的，与前一年相比，2014年增长得最多．（2）随着时间的变化，高铁运营里程在变化，它与年份存在着依赖关系．对于年份的每一个取值，都有唯一的运营里程与它对应．初中我们学习过函数的概念：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它相对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．判断两个变量是否有函数关系：对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它相对应．因此在问题2与问题3中，储油量V是油面高度h的函数，高铁运营里程是年份时间的函数，但是储油量V不是油面宽度w的函数．设计意图：通过以上三个问题的分析，复习初中的函数概念，即在一个变化的过程中，有两个变量x，y，对于变量x的每一个取值，变量y都有唯一确定的值与之对应，那么y是x的函数，其中x是自变量．另外，在现实生活中，要确定两个变量之间是否具有函数关系，关键是判断对于变量x的每一个取值，变量y是否都有唯一确定的值与之对应，这点非常重要，需要学生认真理解．活动2：分析事物中变量间的函数关系，叙述刻画函数关系的不同方法．阅读下面的材料，思考以下问题，学生之间交流讨论．（1）确认变量之间是否存在函数关系．（2）材料中采用什么方法描述函数关系的？材料1：表2-1记录了几个不同气压下水的沸点：条曲线画在同一平面直角坐标系中，每一条曲线表示在一个观测点的观测情况．材料3：某地电力公司为鼓励市民节约用电，采取阶梯电价，即按月用电量分段计费办法.居民每月应缴电费y（单位：元）与用电量x（单位：kW•h）的关系是y={0.4883x,0≤x≤240,0.5383x−12,240<x≤400,0.7883x−112,x>400．答案：（1）材料1，2，3中的变量之间均存在着函数关系．（2）材料1，2，3分别用列表法、图象法和解析法来表示函数．尤其是在材料3中，给定范围内，对于自变量x的取值范围不同所对应的函数关系也不同，我们称这样的函数为分段函数．设计意图：通过分析学生理解材料中隐含着函数的三种表示法：列表法、图象法和解析法．活动3：1.对于问题２中的储油罐的问题中还有很多量，如储油罐长度、油面面积等，找出这些量中的常量和变量，并指出哪些变量之间是函数关系．答案：（1）常量有圆柱底面积、油罐容积、油的密度等；变量有油的体积、圆柱底面上的弓形面积等；（2）储油量和油的体积、储油量和圆柱底面上弓形的面积、油的体积和油面宽度之间都存在依赖关系；（3）储油量是油体积的函数，油的体积也是储油量的函数，储油量是圆柱底面上弓形面积的函数．2.选定超市、邮局、公路或其他一个场景，观察分析其中有哪些常量和变量，哪些变量之间是函数关系？答案：略．结论很开放，由学生交流各自的结论．设计意图：鼓励学生积极思考，让学生体会到生活中的函数关系非常普遍，数学源于生活，用于生活．三、应用举例1．某电器商店以2 000元/台的价格购进了一批电视机，然后以2100元/台的价格售出，随着售出台数的变化，商店的利润是怎样变化的？利润和售出的台数之间存在函数关系吗？答案：随着售出台数的变化，商店的利润也会增加，利润和售出的台数间存在函数关系．2.坐电梯时，电梯距地面的高度与时间之间存在怎样的依赖关系？答案：坐电梯时，电梯距地面的高度随时间的确定而确定．3.在一定量的水中加入蔗糖，糖水的质量分数与所加蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系？答案：在一定量的水中加人燕糖，糖水的浓度随所加蔗糖的质量的确定而确定．四、课堂练习1．下列各组中两个变量间之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？（1）球的体积和它的半径；（2）速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；（3）家庭的收入与其消费支出；（4）正三角形的面积和它的边长．πr3的关系．答案：（1）中，球的体积V与半径r间存在V=43（2）中，在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系．（3）中，家庭收入与其消费支出间存在关系，但具有不确定性．a2的关系．（4）中，正三角形的面积s与其边长a间存在s=√34综上可知（1）（2）（3）（4）中两个变量间都存在依赖关系，其中（1）（2）（4）是函数关系．2．下图是我国某年某地降雨量的统计情况，图中横轴为月份（单位：月），纵轴为降雨量（单位：cm）.由图中曲线可判断该地该年的降雨量与时间是否具有函数关系？答案：因为对于该年的每一个月都有唯一的降雨量与之对应，故可得该年的降雨量与时间具有函数关系，且自变量是时间，因变量是降雨量．五、课堂小结1.依赖关系：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的改变引起变量y的改变，则这两个变量是依赖关系．2.函数关系：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，则这两个变量是函数关系，在现实生活中，凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应”．3.依赖关系不一定是函数关系，但函数关系一定是依赖关系．六、布置作业教材第51页习题2-1A组、B组．。

举例说明生活中的变量
标题，生活中的变量。

生活中充满了各种各样的变量，它们时刻影响着我们的生活。

从天气的变化到
人际关系的变动，都是我们无法控制的变量。

让我们通过一些例子来看看生活中的变量是如何影响我们的。

首先，天气是一个常见的变量。

在夏天，天气可能会变得非常炎热，而在冬天
则可能会变得非常寒冷。

这种变化会影响我们的日常生活，比如我们可能会选择不同的衣服来适应不同的天气，或者改变我们的活动计划来应对天气的变化。

其次，人际关系也是一个重要的变量。

我们的家人、朋友和同事都会影响我们
的生活。

他们的情绪、行为和决定都会对我们产生影响。

比如，如果我们的朋友突然改变了计划，可能会影响我们原本的安排。

或者如果我们的同事情绪低落，可能会影响我们的工作效率。

另外，经济状况也是一个重要的变量。

通货膨胀、失业率和股市波动都会对我
们的生活产生影响。

比如，如果通货膨胀导致物价上涨，我们的购买力可能会下降。

或者如果失业率上升，我们可能会面临失业的风险。

总之，生活中的变量无处不在，它们时刻影响着我们的生活。

我们无法完全控
制这些变量，但我们可以通过适应和调整来应对它们。

在面对变量时，我们需要保持灵活性和适应性，以便更好地适应生活的变化。

生活中常见的自变量和因变量的例子1.喝水量（自变量）和体重（因变量）。

当一个人喝了更多的水时，他的体重通常会增加。

2.学习时间（自变量）和考试成绩（因变量）。

学生花费更多时间学习时，通常会获得更好的成绩。

3.消费金额（自变量）和信用卡账单（因变量）。

当人们消费的金额增加时，他们的信用卡账单通常也会相应地增加。

4.运动量（自变量）和睡眠质量（因变量）。

当人们运动量增加时，他们的睡眠质量通常会提高。

5.温度（自变量）和冰淇淋销量（因变量）。

当天气变得更热时，人们通常购买更多的冰淇淋。

6.研究时间（自变量）和论文质量（因变量）。

当研究者花费更多的时间进行研究时，他们的论文质量通常会提高。

7.饮食习惯（自变量）和健康状况（因变量）。

当人们养成更健康的饮食习惯时，他们的健康状况通常也会得到改善。

8.年龄（自变量）和记忆力（因变量）。

当人们年龄增加时，他们的记忆力通常会下降。

9.交通方式（自变量）和二氧化碳排放量（因变量）。

当人们使用公共交通工具而不是开车上班时，城市中的二氧化碳排放量通常会减少。

10.睡眠时间（自变量）和情绪状态（因变量）。

当人们睡眠时间不足时，他们通常会感到疲倦和情绪低落。

11.节食（自变量）和身体健康（因变量）。

当人们采用不适宜的节食方式时，他们的身体健康通常会受到损害。

12.儿童看电视时间（自变量）和学业成绩（因变量）。

研究发现，当儿童花费更多时间看电视时，他们的学业成绩通常会下降。

13.个人收入（自变量）和幸福感（因变量）。

当人们的收入增加时，他们的幸福感通常也会增加。

14.社交活动（自变量）和心理健康（因变量）。

当人们积极参与社交活动时，他们的心理健康通常会得到提高。

15.家长教育程度（自变量）和儿童成就感（因变量）。

研究表明，家长的教育程度与儿童的成就感有密切关系。

16.空气质量（自变量）和健康状况（因变量）。

当空气污染严重时，人们的健康状况通常会受到影响。

17.工作压力（自变量）和心理健康（因变量）。

举例说明生活中的变量标题，生活中的变量。

生活中的变量就像数学中的未知数，它们是不断变化的因素，影响着我们的生活。

在日常生活中，我们可以发现许多变量，它们可以是时间、人际关系、工作环境、经济状况等等。

这些变量会不断地影响着我们的生活，让我们的生活变得丰富多彩。

举例来说，时间是一个常见的变量。

随着时间的推移，我们的生活会发生许多变化。

比如，一个人在不同的阶段会有不同的生活方式和需求。

在学生时代，时间可能被用来学习和成长；而在工作后，时间可能被用来兼顾工作和家庭。

时间的变化会让我们的生活节奏有所不同，也会让我们的生活方式有所改变。

另一个例子是人际关系。

人际关系是一个复杂的变量，它可以影响着我们的情绪和行为。

比如，一个人的朋友圈子可能会随着时间的推移而发生变化，新的朋友进入，旧的朋友离开。

这些变化会影响着我们的心情和生活态度，让我们的生活变得更加多姿多彩。

工作环境也是一个重要的变量。

随着工作环境的变化，我们可能会面临新的挑战和机遇。

比如，一个人可能会在不同的公司工作，面对不同的同事和领导，这些变化会让我们的工作方式和态度有所不同。

经济状况也是一个重要的变量。

随着经济状况的波动，我们的生活方式和消费习惯也会发生变化。

比如，当经济状况良好时，我们可能会更加大手大脚地消费；而当经济状况不佳时，我们可能会更加谨慎地管理自己的财务。

总的来说，生活中的变量是不可避免的，它们会不断地影响着我们的生活。

我们需要学会适应这些变化，让自己的生活变得更加丰富多彩。

只有在不断地适应变化中，我们才能更好地享受生活的乐趣。

高一数学必修一第二章第一节生活中的变量关系设计理念：这节课是新教材新增内容，目的是加强数学的应用意识，强调理论来源于实际，在教学过程中应充分发挥学生的主观能动性，让学生多从周围的实际生活中举些例子，引导他们进行分析，正确理解这节课的内容。

教学目标：知识目标：学会分析什么是常量？什么是变量？会判断变量之间的依赖关系是否是函数关系能力目标：提高学生分析问题解决问题的能力情感目标：学会用辩证的观点看待生活中的现象，加强数学与实际生活的联系，增强学习数学的兴趣。

教学重点，难点：判断变量间的依赖关系是否为函数关系教学准备：制作ppt，几何画板制作例题片段教学过程：一、生活中的常量与变量世界上万事万物都是相互联系,运动和发展的.常量,是相对于某一过程或另一变量而言的 ,绝对的常量是没有的。

变量与变量的依赖关系在生活中随处可见与我们息息相关。

例如向平静的湖面投一石子,便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆,在这一变化过程中圆的面积,半径,周长都是变量.随着半径增大,面积和周长也都会增大,因此他们之间存在着依赖关系。

引导学生举出生活中具体实例并分析什么是常量？什么是变量？比如某同学在每天上学，放学回家的路上骑自行车的过程中，什么是常量？什么是变量？；汽车在高速公路上行驶的过程中，什么是常量？什么是变量？老师提问：初中学习过的函数描述了两个变量:因变量y与自变量x之间什么样的依赖关系？它描述了因变量随自变量变化而变化的依赖关系.二、怎样判断两个变量间的依赖关系是否为函数关系问：一辆长途汽车在高速公路上行驶的过程中,有哪些常量?哪些变量?他们之间有函数关系吗?答：本题中的汽车在行驶过程中常量有汽车的大小，颜色，车牌号等，变量有汽车的速度，时间，路程，耗油量等 路程与速度，路程与时间，路程与耗油量，速度与耗油量之间都有依赖关系，当速度一定时路程与时间之间是函数关系，速度与耗油量之间，速度过快或过慢有相同的耗油量，即对于一个耗油量存在两个不同速度与之对应，速度不是耗油量的函数。

生活中的变量关系-北师大版必修1教案一、教学目标1.了解变量、常量、函数的基本概念和关系；2.通过实例学习变量、常量、函数在生活中的应用；3.培养学生对于变量关系的思辨和探究能力；4.提高学生的逻辑思维和解决问题的能力。

二、教学重点和难点重点1.变量、常量的概念和区别；2.函数的概念和基本形式。

难点1.变量、函数的实际应用；2.理解函数的返回值和参数的概念。

三、教学内容和方法教学内容1.变量的概念和使用；2.常量的概念和区别；3.函数的概念和基本形式；4.生活中的实际应用。

教学方法1.案例教学法；2.互动式教学法。

四、教学过程1.引入通过生活中的实例引出变量、常量的概念。

比如：购物时的价格、数量、优惠券等都是变量；而超市的会员卡则是常量。

2.定义和区分变量、常量的概念讲解变量和常量的含义和区别，重点讲解变量在生活中的实际应用，比如：小明每天步行上下学路程相同，但所用时间不同。

如果时间用t表示，路程用s表示，那么t 就是变量，s就是常量。

3.函数的概念和基本形式讲解函数的定义和基本形式，重点讲解函数的返回值和参数的概念，比如：煮饭时，煲饭的时间和水的重量是有关系的。

这个关系可以表示为：V=f(t,w)，其中V是煲出的饭的重量，t是煲饭的时间，w是加入的水的重量。

在这个函数中，t和w是参数，V是返回值。

4.生活中实际应用通过实际例子让学生体会变量、常量、函数在生活中的应用。

比如：垃圾分类需要一个评价标准，一般是参照各类垃圾对环境的危害程度。

比如家庭垃圾中的果皮、纸屑等过期的有机物可以通过堆肥处理变成有机肥，可以视为一种“变量”；而废旧材料则需要通过回收处理给予循环利用，这些废旧材料对于不同材质、颜色甚至是否有污染等都需要评估，因此就是“函数”；而废弃物的分类标准则是“常量”。

5.总结和拓展在总结中让学生回顾重点和难点，进一步加深对变量关系的理解和应用。

在拓展环节中可以引入更多实际生活中的例子，让学生参与讨论，探究实际中的变量关系。

生活中的变量
六（1）郝子胥
1.婴儿体重的变化
从表格中可以发现：婴儿的体重随着月龄的变化而变化 关系式：w=4100+700t （月龄t ，体重w ）
2.汽车行驶（匀速）的路程
关系式1：路程=100*时间
从这个关系式中可以发现：路程随着时间的变化而变化 关系式2：速度*时间= 100km
从这个关系式中可以发现：速度越快，时间越短；速度越慢，时间越长
3.
从这两个圆柱中可以发现：高一样，半径大，体积就大（高
一样，体积随着半径的变化而变化）
4.单价数量与总量
上超市买东西，一种矿泉水，1.5元1瓶，买4瓶6元，买10瓶15元。

假设你只有3元，都买矿泉水，一种1.5元一瓶，另一种1元一瓶。

如果你买1.5元一瓶的，那你可以买2瓶；如果你买1元一瓶的，那你可以买3瓶。

从这段文字中可以得出：
1.东西的总价随着东西数量的变化而变化（买的越多，花钱越多）
2.总价一样时，数量随着价格的变化而相反的变化（价格越贵，数量越少，东西越便宜，数量越多）。